文档内容
专题 6.1 平面向量的线性运算，基本定理
及坐标表示
题型一 平面向量的基本概念
题型二 平面向量的线性运算
题型三 已知平面向量的线性运算求参数
题型四 向量共线与三点共线
题型五 平面向量共线定理的推论
题型六 平面向量的坐标运算
题型七 平面向量基本定理
题型一 平面向量的基本概念
例1．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．向量的模可以比较大小 B．平行向量就是共线向量
C．对于任意向量 ，必有 D．对于任意向量 ，必有
【答案】D
【分析】根据平面向量的模、平行向量、共线向量的定义即可判断AB；根据平面向量数
量积的定义即可判断CD.
【详解】A：向量的模表示向量的长度，为数量，是可以比较大小的，故A正确；
B：平行向量就是共线向量，故B正确；
C：由 ， 得 ，故C正确；
D： ， ，
又 ，所以 ，故D错误.
故选：D.
例2．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考期中）（多选）下列有关向量命题，正确的
是（ ）
A．若 ，则
B．已知 ，且 ，则
C．若 ， ，则D．若 ，则 且
【答案】CD
【分析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项．
【详解】对于A：若 ， ，此时满足 ，但是 ，故A错误；
对于B：若 ，且与 垂直，此时 ，但 不一定等于 ，故B错误；
对于C：若 ， ，则 ，故C正确；
对于D：若 ，则 且 与 同向，故D正确；
故选：CD
练习1．（2023春·吉林·高三长春吉大附中实验学校校考期中）下列向量中不是单位向量
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据单位向量的定义，一一判断各选项中的向量，即得答案.
【详解】由于 ，故 ，即 为单位向量；
，则 ，故 不是单位向量；
，则 ， 为单位向量；
根据单位向量的定义可知 为单位向量，
故选：B
练习2．（2023春·陕西宝鸡·高三统考期中）以下结论中错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若向量 ，则点 与点 不重合
C．方向为东偏南 的向量与北偏西 的向量是共线向量
D．若 与 是平行向量，则
【答案】D
【分析】利用向量共线的基本定理可判定A、C、D选项，利用向量相等的性质可以判断B
选项.【详解】对于A选项，若 ，则 ，则 ，故A说法正确；
对于B选项，若向量 ，则两向量的起点都是A，点 与点 不重合，故B说法正
确；
对于C选项，方向为东偏南 的向量与北偏西 的向量可知，两个向量方向相反，是共
线向量，故C说法正确；
对于D选项，若 与 是平行向量，则 ，两向量的模长不一定相等，故D说法错误；
故选：D.
练习3．（2023春·四川成都·高三成都市第十八中学校校考期中）（多选）下列叙述中正
确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．已知非零向量 与 且 // ，则 与 的方向相同或相反
D．对任一非零向量 是一个单位向量
【答案】CD
【分析】A注意 即可判断；B根据向量的性质判断；C由共线向量的定义判断；D由
单位向量的定义判断.
【详解】A：若 时， 不一定有 ，错误；
B：向量不能比较大小，错误；
C：非零向量 与 且 // ，则 与 的方向相同或相反，正确；
D：非零向量 ，则 是一个单位向量，正确.
故选：CD
练习4．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．若ABCD为平行四边形，则 B．若 ， ，则
C．互为相反向量的两个向量模相等 D．
【答案】B
【分析】根据向量的相关概念和线性运算逐项分析判断.
【详解】对于A：若ABCD为平行四边形，则 ，故A正确；
对于B：若 ，则 与任何向量均平行，
可得 ， ，但 不一定平行，故B错误；
对于C：相反向量：模长相等，方向相反的向量互为相反向量，所以互为相反向量的两个向量模相等，故C正确；
对于D：因为 ，故D正确；
故选：B.
练习5．（2023春·陕西西安·高三西安市第八十三中学校考期中）（多选）下列说法正确
的是（ ）
A．平行向量不一定是共线向量
B．向量 的长度与向量 的长度相等
C． 是与非零向量 共线的单位向量
D．若四边形 满足 ，则四边形 是矩形
【答案】BC
【分析】根据共线向量的概念，可判断A不正确；根据相反向量概念，可判定B正确；由
向量 是与非零向量 同向的单位向量，可判定C不正确；由 ，得到四边形
是平行四边形，可判定D不正确.
【详解】对于A中，根据共线向量的概念，可得平行向量一定是共线向量，所以A不正确；
对于B中，向量 与向量 是相反向量，可得 ，所以B正确；
对于C中，根据单位向量概念，向量 是与非零向量 同向的单位向量，也是与向量
共线的单位向量，所以C正确；
对于D中，四边形 满足 ，则四边形 是平行四边形，不一定是矩形，
所以D正确.
故选：BC.
题型二 平面向量的线性运算
例3．（2023春·吉林·高三校联考期中）已知 ， ，E为 的中点，记
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算即可结合图形关系求解.
【详解】由 得 ,所以,
故选：B
例4．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD
中，下列计算结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得.
【详解】因为四边形 为平行四边形，
对A， ，正确；
对B， ，错误；
对C， ，正确；
对D， ，正确.
故选：B.
练习6．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）化简
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用向量加法、减法运算求解即可.
【详解】
故选：C.
练习7．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，
，BC＝2AD，DE＝EC，设 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取BC中点F，先征得四边形 为平行四边形，再结合平面向量基本运算求解
即可.
【详解】取BC中点F，连接AF，如图所示，
又因为 ， ，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以
.
故选：D.
练习8．（2023·河北·统考模拟预测）已知 为 所在平面内一点，且满足 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性表示和加减法运算即可求解.
【详解】如图，因为 ，所以 是线段 的四等分点，且 ,
所以 ,
故A,B错误；
由 ，可得 ，故C正确，D错误，
故选:C.
练习9．（2023春·北京·高三汇文中学校考期中）如图，在平行四边形 中，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算法则计算出结果.
【详解】 .
故选：D
练习10．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考期中）下列式子中，不能化简
为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案.
【详解】A： ；
B： ；
C： ；
D： ；
故选：B
题型三 已知平面向量的线性运算求参数例5．（2023·广东广州·统考模拟预测）在 中， 是 边上一点，且
是 上一点，若 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理用 表示 ，又因为 三点共线，利用系数
和为1求解结果.
【详解】由 ，得出 ，
由 得
，
因为 三点共线，所以 ，解得 .
故选：D.
例6．（2023·北京·高一专题练习）在 中，M，N分别是AB，AC的中点，若
，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】将 分别用 表示，根据平面向量基本定理即可求解.
【详解】 , ,
故
，
故 ，解得 .
所以 .
故选:A.练习11．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知 的边 的中点为 ，
点 在 所在平面内，且 ，若 ，则 （ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算可将 转化为 ，则得到
的值，进而即可求解．
【详解】因为 ，边 的中点为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ， ，故 .
故选：D．
练习12．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）平行四边形ABCD中，点E满足
，则 （ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析求解.
【详解】由题意可得： ，
即 ，则 .
故选：D.
练习13．（2023春·陕西·高三校联考期中）如图，在平行四边形 中，.
(1)若 ，试用 表示 ；
(2)若 与 交于点 ，且 ，求 的值.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】(1)根据平面向量加减法的运算规则计算；
(2)先求出AG与GF的比值，以 作为基底，将根据向量平行的运算规则计算.
【详解】（1）由题意可知 ，
，
所以 ，
；
（2）若 ，则 ，
，
由题意可知 三点共线，
， ，
由 ，可得 ，
解得 ；
综上，（1） ， ；（2） .
练习14．（2023春·四川成都·高一校考期中）在 中，点 ， 满足 ，，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由已知得 ，由此能求出结果．
【详解】
在 中，点 ， 满足 ， ，
，
， ，
．
故选：B．
练习15．（2023春·广东佛山·高三校考阶段练习）已知在 中，点 为边 的中点，
若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用平面向量基本定理求得 的值，进而求得 的值.
【详解】在 中， ，
又点 为边 的中点，则 ，
则
又 ，则 ，则
故选：C
题型四 向量共线与三点共线
例7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中， ， 分别是与 轴、 轴
方向相同的单位向量，已知 ， ， ，若 与 共线，
则实数 的值为（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
【答案】A
【分析】根据平面向量的正交分解得到 ， ， 的坐标，然后利用坐标运算得到
和 的坐标，最后根据向量共线列方程求 即可.
【详解】解：根据题意， ， ， ；
， ；
与 共线；
；
解得 ．
故选：A．
例8．（2023春·广东深圳·高一深圳中学校考期中）已知 是平面内四个互不相同
的点， 为不共线向量， ， ， ，则（ ）
A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线C．M，P，Q三点共
线 D．N，P，Q三点共线
【答案】B
【分析】根据共线定理即可判断各项.
【详解】对于A，令 ，即 ，
所以 ，所以不存在 ，使得 ，A错误；
对于B，由于 ， ，
所以 ，
所以 ，又 相交于点 ，
故 M、N、Q三点共线.B正确；
对于C， ，
令 ，即 ，所以 ，所以不存在 ，使得 ，C错误；
对于D， 令 ，即 ，
所以 ，所以不存在 ，使得 ，D错误.
故选：B
练习16．（2021春·高三课时练习）已知 为平面内所有向量的一组基底， ，
， ，则 与 共线的条件为（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】A
【分析】由题意可得存在 使得 ，得到关于 的方程组，根据方程组求解即可.
【详解】因为 为平面内所有向量的一组基底，所以 不共线，且 不为零向量，
由 与 共线可得 使得 ，即 ，
又因为 不共线，所以 ，
所以 ，
故选：A
练习17．（2023春·四川成都·高三川大附中校考期中）设 ， 是两个不共线的非零向量，
则“ 与 共线”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【分析】利用向量共线定理即可判断.
【详解】“ 与 共线”等价于 .
因为 ， 是两个不共线的非零向量，所以 ，解得： .
所以“ 与 共线”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， 中任意两个都不共线，并且与 共线， 与 共线，那么 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量共线定理即可得到相关方程组，解出即可.
【详解】∵ 与 共线，∴存在实数 ，使得 .①
又∵ 与 共线，
∴存在实数 ，使得 .②
由①得， .
∴ ，
∴ 即 .
∴
故选：D.
练习19．（2023春·陕西西安·高三交大附中校考阶段练习）（多选）设向量 、 是不共
线的两个平面向量，已知 ，其中 ， ，若P、Q、R三
点共线，则角 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】三点共线转化为向量共线，再由向量共线的列式求出 值判断作答.
【详解】因为 三点共线，即 共线，则存在实数 使得 ，
因此 ，又 不共线，
于是 ，解得 ，又 ，所以 或 .
故选：CD
练习20．（2022春·高一课时练习）已知 三点共线， 是直线外一点，若
，则 ________．
【答案】1
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】因为 三点共线，
则存在唯一实数对 ，使得 ，又 ，
所以 1．
故答案为：1.
题型五 平面向量共线定理的推论
例9．（2023春·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考期中）已知 三点共线于直
线 ，对直线 外任意一点 ，都有 ，则 的最小值为
________．
【答案】
【分析】先由A、B、C三点共线，得到 ，利用基本不等式“1”的妙用求最值.
【详解】由题意，A、B、C三点共线
所以存在实数λ使得 ，即 ，
所以
而
所以
则 ，
所以
当且仅当 ,即 时取等号．
因此 的最小值为 ．
故答案为： ．
例10．（2022秋·江西宜春·高三校联考期末） ABC中，D为AB上一点且满足 ，
若P为CD线段上一点，且满足 △ （ ， 为正实数），则下列结论正确的
是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最小值为3【答案】D
【分析】由向量对应线段的位置及数量关系用 表示 判断A；由题设可得
，结合 共线有 ，结合基本不等式“1”的代换等判断
B、C、D.
【详解】由 ，A错误；
由 ，则 ，
因为 共线，所以 ，则 ，B错误；
而 ，仅当 ，即 时等号成立，
故 ，即 ，故 的最大值为 ，C错误；
，仅当 ，即
时等号成立，
所以 的最小值为3，D正确.
故选：D.
练习21．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模） 中，点M是BC的中点，点N
为AB上一点，AM与CN交于点D，且 ， .则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量基本定理得到 ，结合平面向量共线定理得推论得到
，求出 .【详解】因为点M是BC的中点，所以 ，
故 ，则 ，
故 ，
因为 三点共线，所以存在 使得 ，
即 ，则 ，
所以 ，解得： .
故选：A
练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知 为线段 上的任意一点， 为直线 外一
点， 关于点 的对称点为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】依题意可得 、 、 三点共线，即可得到 ，再由
，即可得到 ， 从而得解.
【详解】解：依题意可得 、 、 三点共线，所以 ，
又 关于点 的对称点为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，则 .
故选：C
练习23．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知 是平行四边形 对角线上的一点，且
，其中 ，写出满足条件的 与 的一组 的值
__________．
【答案】 （答案不唯一，满足 或 即可）
【分析】若 在 上可得 ，若 在 上，根据共线定理的推论得到 ，填
写符合题意的答案即可.
【详解】因为 ，若 在 上，则 ，又 ，所以
，
若 在 上，即 、 、 三点共线，又 ，则 ．故答案为： （答案不唯一，满足 或 即可）
练习24．（2023春·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期中）如图所示，在 中，
为 边上一点，且 ，过 的直线 与直线 相交于 点，与直线 相交
于 点（ ， 两点不重合）.
(1)用 ， 表示 ；
(2)若 ， ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）根据（1）的结论，转化用 ， 表示 ，根据 、 、 三点共线找出等量关
系，再利用基本不等式计算可得；
【详解】（1）因为 ，所以 ，
化简得 ；
（2）因为 ， ， ，
所以 ，由图可知 ，
又因为 、 、 三点共线，所以 ，
所以 ，
当 ，即 时， 取最小值 .
练习25．（2023秋·辽宁抚顺·高三抚顺一中校考期末）在平行四边形 中， 分
别为 上的点，且 ，连接 ，与 交于点 ，若 ，
则 的值为______.【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量定理的推论求解作答.
【详解】在 中， 不共线，因为 ，
则有 ，
又 三点共线，于是得 ，解得 ，
所以 的值为 .
故答案为：
题型六 平面向量的坐标运算
例11．（湖南省名校2023届高三考前仿真模拟（二）数学试题）（多选）已知向量
， // ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】A选项根据向量的数量积运算判断；
B选项根据模长公式计算；
C选项利用向量共线的关系结合模长公式计算；
D选项根据向量的加法进行判断.
【详解】因为 ，所以 ，则A正确；
，则B正确；
因为 // ，所以设 ，因为 ，
所以 ，解得 ，所以 或 ，故C错误；
，故D错误．
故选：AB
例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知向量 ， ，若向量
，则可使 成立的 可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】设 ，由平面向量的坐标运算可得 用 表示，逐项检验看是否满足
即可得答案.
【详解】设 ，
由向量 ， ，若向量 ，
则 ，解得 ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
故选：AC．
练习26．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）已知向量 ，
， .
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量的坐标运算可求得向量 的坐标；
（2）求出向量 、 的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数 的值.
【详解】（1）解：因为 ， ， .
所以， .
（2）解：由已知可得 ，，
因为 ，则 ，解得 .
练习27．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知点
.
(1)求以线段 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)若实数 ， 满足 ，求 的值.
【答案】(1) 和
(2)
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算及模的坐标公式分别求出 ， ，
即可得解；
（2）先分别求出 ，再根据向量相等的坐标表示即可得解.
【详解】（1）由 ，
，
， ，
所以以线段 为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为 和 ；
（2）∵ ，
∴ ，
所以 .
练习28．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若向量 ， ，
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】利用向量的坐标运算与平行充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值.【详解】 ，因为 ，
所以 ，解得 .
故选：A.
练习29．（2023春·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，
则实数m的值为（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】先求得 的坐标，再由 求解.
【详解】解：因为向量 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
解得 ，
故选：D
练习30．（2023春·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考期中）已知向量 ，
，若 ，则m＝______．
【答案】1
【分析】根据向量的坐标运算可得向量 ， ，再利用模长公式整理即可计算出
.
【详解】根据题意可知， , ,
所以 ，
由 可得 ，
整理可得 ，解得 .
故答案为：1
题型七 平面向量基本定理
例13．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点， ， ，点P
在线段AB上，且 ，则点P的坐标为______．【答案】
【分析】解设 点坐标，根据已知得出 ，利用直线 方程，解设 点坐
标，再根据 ，得出答案即可.
【详解】由题知， ，设 ，
， ， ， ，
， ，
， ，则直线 方程为 ，
设 点坐标为 ， ，
， ，
求解可得， ， ，即 点坐标为 .
故答案为：
例14．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）（多选）在下列各组
向量中，能作为平面的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】判断两个向量是否共线即可，不共线的两个向量才能作为基底.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，故两向量不能作为基底；
对于B，因为 ，所以两向量不共线，故两向量能作为基底；
对于C，因为 ，所以 ，故两向量不能作为基底；
对于D，因为 ，所以两向量不共线，故两向量能作为基底.
故选：BD.练习31．（2023·全国·高三专题练习）若 是一组基底，向量 ，则称 为
向量 在基底 下的坐标，现已知向量 在基底 下的坐标为 ，则
向量 在另一组基底 下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量基底与坐标关系列式求解即可得答案.
【详解】由题意，得 ；设 ，
即 , , , , ，
则 ，解得 ，
故选： ．
练习32．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，在 中，
， ，直线 交 于点 ，若 则 _________ .
【答案】 /0.6
【分析】由 三点共线可得存在实数 使得 ，再由 三
点共线可解得 ，利用向量的线性运算化简可得 ，即 .
【详解】由题可知， 三点共线，由共线定理可知，
存在实数 使得 ,
又 ，所以 ，
又 三点共线，所以 ，解得 ，
即可得 ，所以 ，
所以 ，即 ，可得 ，
又 ，即可得 .故答案为： .
练习33．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 ．其中不能作
为平面内所有向量的一组基底的是_____．（写出所有满足条件的序号）
【答案】③
【分析】根据基底的定义判断即可.
【详解】解：③中 ，可知两向量共线， 不能作为一组基底， 选③；
其它选项中的两个向量都不满足 ， 都能做基底， 不选．
故答案为：③．
练习34．（2023·全国·高三专题练习）在 中，D是BC的中点，E是AD的中点，F
是CE的中点，记 ， ，则以 为基底表示向量 ______．
【答案】
【分析】结合图象，由三角形法则以及平行四边形法则，即可得出答案.
【详解】
由已知可得， ，
.
故答案为： .
练习35．（2023·全国·高三专题练习）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O
点，线段OD上有点M满足 ，线段CO上有点N满足 ，设
，已知 ，则 _________．【答案】3
【分析】由 ，根据 三点共线， 用基底 表示，由
，可得 ，进而用 表示，根据向量基本定理，建立等量
关系，即可求解.
【详解】 ，
， ，
，
，
由平面向量基本定理，得
，解得 ，
故答案为：3.
