文档内容
八年级上学期数学期中押题重难点检测卷（培优卷）
（满分120分，考试时间120分钟，共25题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：北师大版2024第1—4章：勾股定理、实数、位置与坐标、一次函数；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（25-26八年级上·山西晋中·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键．
最简二次根式：被开方数不能含有能开方的数或因式；被开方数中不能含有分母；分母中不能含有二次根
式；由此即可求解．
【详解】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 ，原选项不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，原选项不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，原选项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A ．2．（25-26八年级上·云南昆明·期中）若点 在第二象限，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查象限点的概念，熟悉各象限点的特征是解题的关键．
由题知 ，解得 ，接着得到 ，再根据象限点的特征判断即可．
【详解】解：因为点 在第二象限，
所以 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以点 在第三象限．
故选：C．
3．（25-26八年级上·福建三明·期中）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错
误的，这组错误的数据是（ ）
0 1 2
3 2
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键．
在坐标系中描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论．
【详解】解：如图所示，
点 和其它三个点不在同一条直线上，
∴错误的数据是 ，故选：A．
4．（25-26八年级上·福建三明·期中）对于一次函数 ，下列结论不正确的是（ ）
A．它的图像与 轴交于点 B． 随 的增大而增大
C．它的图像经过第一、二、三象限 D．它的图像与直线 平行
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图像的性质，掌握一次函数解析式中各项系数与图像的特点是解题的关键．
根据一次函数解析式得到，一次函数图像经过第一、三、四象限，由此即可求解．
【详解】解：一次函数 ，
当 时， ，
∴它的图像与 轴交于点 ，故A选项正确，不符合题意；
∵ ，
∴一次函数图像经过第一、三、四象限， 随 的增大而增大，故B选项正确，不符合题意，C选项错误，
符合题意；
∵一次函数 向上平移6个单位，得到一次函数 ，
∴它的图像与直线 平行，故D选项正确，不符合题意；
故选：C ．
5．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，在数轴上，点 对应的数是1，点 对应的数是3，线段
于点 ，且线段 长为1个单位长度，若以点 为圆心， 长为半径的弧交数轴于0和1之间
的点 ，则点 表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关键．由勾股定理得 ，求出 ，由 即可求解．
【详解】解：由题意得， ，
在 中， ，
，
表示的实数为 ．
故选：A．
6．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，将长方形纸片 折叠，使边 落在对角线 上，折痕
为 ，且D点落在对角线 处，若 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出 的长，由折叠的性质得到
，根据 列式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ；
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：A．
7．（25-26八年级上·浙江宁波·期中） 中， ，以 的每条边为边按如图方向作三
个正方形，分别是正方形 ，正方形 ，正方形 ，且点 恰好是 的中点．若图中阴影
部分面积为9，则正方形 的面积是（ ）
A．27 B．36 C．40 D．45
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，设 交于G， 交于H，可
证明 ，得到 ；再证明 三点共线，则可证明 ，
得到 ，根据 ，得到 ，则
，由勾股定理可得 ，则正方形 的面积是45．
【详解】解：如图所示，设 交于G， 交于H，
由正方形的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵点 恰好是 的中点，
∴ ；
由正方形的性质可得 ，∴ ，
∴ 三点共线，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形 的面积是45，
故选：D．
8．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标都是整数的点，我
们称它们为“整点”．把这些点按图中箭头标注的顺序排列，第1个点是 ，第2个点是 ，第3个
点是 ，第4个点是 ……根据这个规律，第2025个点是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键．
根据图形推导出当 时，第 个点的坐标为： ，再往后推1个点即可得到答案．
【详解】解：由图可知：第4个点的坐标为： ，
第8个点的坐标为： ，
第12个点的坐标为： ，
∴第 个点的坐标为： ，
∴当 时，第 个点的坐标为： ，
∴第 个点的坐标为： ．
故选：D．
9．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，已知点 在第一象限角平分线 上，若
是直角顶点，点P在 上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则 等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知 ，求出点P的
坐标为 ，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，
，证明 ，得出 ，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由条件可知 ，
解得： ，
则点P的坐标为 ，
过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由点P的坐标知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
答案：D．
10．（2024八年级上·安徽蚌埠·期中）甲、乙两车从 地出发，匀速驶往 地．乙车出发 后，甲车才沿
相同的路线开始行驶．甲车先到达 地并停留 分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中
的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离 与甲车行驶的时间 的函数关系的图象，则
（ ）
A．甲车速度是 B．A、 两地的距离是C．乙车出发 时甲车到达 地 D．甲车出发 最终与乙车相遇
【答案】C
【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题．
分析两车之间的距离 与甲车行驶的时间 的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解．
【详解】解：点 中可知，乙1小时行驶了 ，
∴乙的速度 ，
点 中可知， 后，甲追上乙，
∴甲的速度为 ，
由点 可知，甲到 地，且甲乙相差 ，则：
，
点 可知，休息 分钟，
∴ ， ；
点 可知，甲乙再次相遇， ；
A．甲车的速度是 ，故A错误，不符合题意；
B．由以上分析已知甲出发 后到达B地，且甲速度为 ，所以A，B两地为 ，
故B错误，不符合题意；
C．甲车 到达B地，乙车比甲车早出发 ，所以乙车出发 时甲车到达 地，故C正确，符合题意；
D．从上中 和 可知，甲出发 和 与乙车相遇，故D错误，不符合题意．
故选：C．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11．（25-26八年级上·福建三明·期中）在 ， ， ， ， 这五个实数中，其中是无理数的有几
个．【答案】
【分析】本题考查了无理数定义，结合数值判断即可．
【详解】解：无理数有三种形式：无限不循环小数、开方开不尽的数、含有 的数，
所以无理数有： ， ，
故答案为： ．
12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点 与点 关于y轴对称，则
．
【答案】8
【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于对称轴对称的点的坐标特征．
根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出m，n的值，再代入解答即可．
【详解】解：根据题意得， ，
解得 ，
∴ ，
故答案为：8．
13．（25-26八年级上·山西太原·期中）某初中数学小组参加项目学习，他们的项目课题是《测量吊车起重
臂顶端与地面的距离》，他们的项目对象是吊车，如图为某吊车操作示意图，吊车作业时是通过液压杆
的伸缩使起重臂 绕点 转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂 的长度也可以伸缩），
如果起重臂 米，点 到地面的距离 米，钢丝绳所在直线 垂直地面于点 ，点 到
的距离 米，则吊车起重臂的顶端 到地面的距离 米．
【答案】【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，由勾股定理得 ，即可求解．
【详解】解：由题意得 ，
在 中，
，
（米），
故答案为： ．
14．（22-23七年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点 ，若 轴，
则线段 的值最小时，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是坐标与图形，垂线段的性质．先根据 轴得出y的值，再由垂线段最短即可得
出x的值，进而得出结论．
【详解】解： 轴， ，
点C在直线 ，
垂线段最短，
∴当 时，线段 最短，
∵ ，
，
线段 的值最小时，点 的坐标为 ，
故答案为： ．
15．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，动点 ， 分别是正方形 的边 ， 上的动点，
沿 ， 折叠正方形，点 ， 的对应点恰好都落在 处，若 ，当点 是 边的三等分点时，
的长为 ．【答案】 或 （ 或 ）
【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段．
由题意可知，需要分为点 位于靠近点 的三等分点和点 位于靠近点 的三等分点两种情况进行讨论，
根据题意可得 ， 的长度，设出 的长度，由折叠的性质可依次求出 ， 的长度，由勾股定理
可知， ，建立方程并解方程即可得解．
【详解】如图1所示，当点 位于靠近点 的三等分点时，
由题意可知， ，
，
，
由折叠的性质可知， ，
设 ，
则由折叠的性质可知， ，
，
又 ，
在 中，由勾股定理可知， ，
，
整理得， ，
解得， ，
当点 位于靠近点 的三等分点时， 的长为 ．
如图2所示，当点 位于靠近点 的三等分点时，
由题意可知， ，
，由折叠的性质可知， ，
此时，设 ，
则由折叠的性质可知， ，
，
又 ，
在 中，由勾股定理可知， ，
，
整理得， ，
解得， ，
当点 位于靠近点 的三等分点时， 的长为 ．
综上所述，当点 是 边的三等分点时， 的长为 或 ．
故答案为： 或 （4.5或1.8）．
16．（24-25八年级上·四川成都·期中）对于线段 外一点M，给出如下定义：若点M满足
，则称M为线段 的垂点．当 或 时，称M为线段 的等垂点．在
平面直角坐标系 中，已知点 ， ．（1）如图， 时，直线 上存在线段 的等垂点，则 ；
（2） 的顶点坐标分别为 ， ， ，若 边上（包含顶点）存在线段 的垂
点，则t的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】（1）设点M是直线 上存在的线段 的等垂点，根据垂点的定义得到 于点
Q或 于点P，则 ，分 在线段 上方和下方，两种情况讨论求解即可；
（2）根据新定义结合（1）知， 边上（包含顶点）的点的直线与线段 垂直，当 时，则
，此时 有最小值，此时， ，求出直线 的解析式为 ；再求出平行于直
线 的直线的解析式为 ，当点 过直线 时，此时 有最大值，即可得出答案．
【详解】解：（1）当 时，点 ，
设点M是直线 上存在的线段 的等垂点，
由垂点的定义得 ，
当 时，即 ，
则 ，即 于点Q，当 时，即 ，
则 ，即 于点P，
如图，当 于点P，且直线 在线段 上方时，
则 ，
过点M作 轴于点G，
由等垂点的定义得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ；
当直线 在线段 下方时，
则 ，过点 作 轴于点H，
同理可得： ，∴ ，解得： ；
当 于点Q，且直线 在线段 上方时，
同理可得： ，
∴ ，解得： ；
当 于点Q，且直线 在线段 下方时，
同理可得： ，
∴ ，解得： ；
综上，b的值为 或 ；
故答案为： 或 ；
（2）∵ 边上（包含顶点）存在线段 的垂点，
同理（1）知， 边上（包含顶点）的点的直线与线段 垂直，
如图，当 时，则 ，此时 有最小值，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： ；
此时， ，
设直线 的解析式为 ，
则： ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
设平行于直线 的直线的解析式为 ，
当此直线过点B时，则 ，解得 ，
∴平行于直线 的直线的解析式为 ，
∵ ，
∴ 直线 ，
当点 过直线 时，此时 有最大值，
则 ，
解得： ，此时， 两点重合（不符合题意），
∴t的取值范围是 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何图形综合，掌握新定义、学会对动点
在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题是解题的关键．
三、解答题（9小题，共72分）
17．（25-26八年级上·四川内江·期中）计算．(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据立方根定义，算术平方根定义和绝对值的意义，进行求解即可；
（2）根据平方根定义解方程即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解： ，
方程两边同除以4得： ，
开平方得： ，
∴ ， ．
18．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知 ， ，分别求下列代数式的值．
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)25
【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键：
（1）利用平方差公式法进行因式分解，整体代入法进行计算即可；（2）利用完全平方公式进行因式分解，整体代入法进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）
．
19．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，已知 的三个顶点分别为 、 、 ．
(1)请在图中作出 关于x轴对称的图形 （A、B、C的对应点分别是D、E、F）．
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)4
【分析】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积公式等知识．
（1）分别画出A、B、C三点关于x轴的对称点D、E、F即可解决问题；
（2）根据四边形 是等腰梯形，利用梯形的面积公式即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示： 即为所求；
（2）解：四边形 的面积为： ．20．（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图，方格纸中每个小方格的边长均为1．
(1)在图1中，以 为边画一个 ，使得 ，并直接写出 的面积．
(2)在图2中，画一个 ，使得 ．
(3)在图3中，画一个 ，使得 ，并计算 的面积．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析
(3)图见解析，
【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、勾股定理逆定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，
解决本题的关键是根据网格准确画图．
（1）在图1中，画一个以 为直角边的等腰直角三角形即可；
（2）在图2中，根据网格利用勾股定理即可画一个三角形，使它的三边长分别为：；
（3）在图2中，根据网格利用勾股定理即可画一个三角形，使它的三边长分别为：
，根据割补法求面积即可．
【详解】（1）解：如答图1，
，
，
即为所求（答案不唯一）．
的面积为 ．
（2）解：如答图2，
，
则 即为所求（答案不唯一）．
（3）解：如答图3，，
则 即为所求（答案不唯一）．
．
21．（24-25八年级下·山西大同·期中）小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家
到体育场，到达赛场后观看比赛用了 ，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的
同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早40 到家，姐姐从家出发开始计时，
两人离家的距离y（ ）与所用时间t（ ）之间的关系图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
(1)填空： ______， ______；
(2)求出小亮从体育场出发的过程中，小亮与姐姐第一次相遇距出发的时间．
【答案】(1)40，70
(2)8
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
（1）由姐姐从离家到回到家，共用 ，即可求出 ，而小亮比姐姐早
到家，故 ，即可解答；
（2）设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为 ，根据题意列方程可解得答案．
【详解】（1）解：根据已知，姐姐从离家到回到家，共用 ，
∴ ，
∵小亮比姐姐早 到家，
∴ ，
故答案为：40，70；（2）设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为 ，
根据题意得： ，
解得 ，
∴小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为 ．
22．（25-26八年级上·福建三明·期中）我们知道 ，因此将 分子、分母同时
乘“ ”，分母就变成了1，原式可以化简为 ，所以有 ．
请仿照上面的方法，解决下列各题．
(1)化简： ______； ______
(2)根据以上规律计算下列式子的值：
．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字类规律探究，熟练掌握分母有理化是解答的关
键．
（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；
（2）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为： ， ．
（2）解：∵∴
．
23．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在长方形 中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标
为 ，点C的坐标为 ，且a、b满足 ，点B在第一象限内，点P从原点出发，以
每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．
(3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
【答案】(1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ．
(2)点P的坐标是
(3)点P移动的时间是 秒或 秒．
【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，
利用数形结合的思想解答问题．
（1）利用非负数的性质可以求得 的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；
（2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动，可以
得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标；
（3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可．
【详解】（1）解：∵a、b满足 ，
∴ ，解得 ，
∴点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ．
（2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 的线路移动，
∴点P的路程： ，
∵
∴当点P移动4秒时，在线段 上，
即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是 ．
（3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在 上时．
点P移动的时间是： （秒），
第二种情况，当点P在 上时，
点P移动的时间是： （秒），
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是 秒或 秒．
24．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在 中， ，点 ， 分别是 ， 上的点，
连接 ．
(1)【基础设问】若点 为 的中点， ， ， ，则 是 三角形．（填“等腰”“等
边”或“直角”）
(2)如图 ，连接 ，若 平分 ， ， ， ，则 ．
(3)如图 ，若 ， ，求证：点 在 的平分线上．
(4)【能力设问】 如图 ，点 在 上运动， 始终保持与 相等， 是 的垂直平分线，交 于
点 ．
①判断 与 的位置关系，并说明理由；
②若 ， ， ，求线段 的长．
【答案】(1)直角(2)5
(3)见解析
(4)① ，理由见解析；②
【分析】（1）先根据中点的定义得 ，再利用勾股定理逆定理求解即可；
（2）先根据角平分线的性质得 ，设 ，则 ，利用勾股定理列方程求解即可；
（3）连接 ，证明 得 ，即可得出结论；
（4）①由 得， ，由线段垂直平分线的性质得 ， ，进而可推出
，进一步可得结论；
②连接 ，设 ，则 ，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点 为 的中点， ，
∴ ，
∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）解： 平分 ， ， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
即 ，
故答案为：5；
（3）证明：如图，连接 ，，
，
在 和 中，
，
，
，
∴点 在 的平分线上；
（4）解： ，理由如下：
由题意知， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，
，
，
，
；
②如图，连接 ，设 ，则 ，
， ，
， ，
由勾股定理，得 ， ，即 ，
，
线段 的长为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定及应
用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是能够灵活应用相关知识点．
25．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，直线
： 交 于点 ．
(1)求 ， 两点的坐标；
(2)如图1，点 是线段 的中点，连接 ，点 是射线 上一点，当 ，且 时，在
轴上找一点 ，当 的值最小时，求出 的面积；
(3)如图2，若 ，过 点作 ，交 轴于点 ，此时在 轴上是否存在点 ，使
，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】（1）令 ，求B点坐标，令 ，求A点坐标；
（2）过F点作 轴交于点W，证明 ，可求F点坐标，作E点关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，当 、D、P三点共线时， 的值最小，再由 在直线 上，
求出 的直线解析式 ，联立 ，则可求 ，再求直线 的解析式为
，即可求 ，根据三角形的面积公式可得 的面积；
（3）根据题意得到 ，分两种情况，①当点M在点O的右侧时，②当点M在点O的左侧时，分别
求解即可．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ；
（2）解：∵点E是线段 的中点， ，
∴ ，
如图，过F点作 轴交于点W，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
作E点关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，
∴ ，
∴ ，
当 、D、P三点共线时， 的值最小，
∵ ，
∴ ，
∵ 在直线 上，
∴ ，
∴ ，
联立 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，令 ，则 ，
∴ ，
∴当 的值最小时， ， 的面积为 ；
（3）解：存在，
∵ ，
∴直线 ，
∵ ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时，即 ，
∴ ，
∴ ，
①如图，当点M在点O的右侧时，过点O作 于H，延长 交 的延长线于N，作 轴
于P， 轴于Q，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得 ，
∴ ；
当点M在点O的左侧时，如图，∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，点M的坐标为 或 ．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，等腰直角
三角形的性质，全等三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
