专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置 2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示. 新课程考试要求 3．掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算. 4．掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量夹角，并会解决简单的立体 几何问题. 核心素养 本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象等. （1）空间向量的线性运算及其坐标表示. （2）运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 考向预测 （3）应用空间向量解决立体几何问题. （4）一般不独立命题．预测2022年高考会以简单几何体为载体，利用空间向量解决 与平行、垂直有关的证明及空间角的计算问题．解题时要求有较强的运算能力. 【知识清单】 知识点1．空间向量的线性运算 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度． (2)几种常用特殊向量 ①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量． ③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量． ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量． 2.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广． (cid:2) (cid:2) (cid:2)  (cid:2) (cid:2)  (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)  OA AC a,ABb OBOA ABab 设a，b是空间任意两向量，若 ，P∈OC，则 ， (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)  (cid:2) (cid:2)  BC  ACAB ab OPa(R) ， . （2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律①加法交换律：a＋b＝b + a . ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）． ③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb. ④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)． 知识点2．共线向量定理、共面向量定理的应用 (1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对 (cid:2) (cid:2) (cid:2) p xa yb x、y，使 . (3)空间向量基本定理 如(cid:2) 果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使 (cid:2) (cid:2) (cid:2) p xa ybzc .把{a，b，c}叫做空间的一个基底． 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z， (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) OP xOA yOBzOC 使 .其中x＋y＋z＝1. 知识点3．空间向量的数量积及其应用 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)； (3)|a|2＝⇔a2，|a|＝. 2．向量的坐标运算 a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b) 1 2 3 1 2 3 向量和 a＋b＝(a＋b，a＋b，a＋b) 1 1 2 2 3 3 向量差 a－b＝(a－b，a－b，a－b) 1 1 2 2 3 3 数量积 a·b＝ab＋ab＋ab 1 1 2 2 3 3 共线 a∥b a＝λb，a＝λb，a＝λb(λ∈R) 1 1 2 2 3 3 垂直 a⊥b ab＋ab＋ab＝0 ⇒ 1 1 2 2 3 3 夹角 ⇔ 公式 cos〈a，b〉＝ 知识点4．空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一 个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平 面叫做坐标平面． (2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正 方向． (3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 2．空间两点间的距离公式 (cid:2) | AB| 设点A(x，y，z)，B(x，y，z)，则 ＝. 1 1 1 2 2 2 【考点分类剖析】 考点一 ：空间向量的线性运算 【典例1】（2020·全国）如图，在长方体 中， ( ) A． B． C． D． (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 【典例2】如图，在空间四边形 OABC 中， OAa ， OBb ， OC c ．点M 在 OA 上，且 (cid:3) OM 2MA N BC MN ， 是 的中点，则 =( ) 1 (cid:3)(cid:3) 2 (cid:3) 1 2 (cid:3)(cid:3) 1 (cid:3) 1 a b  c  a b  c A. 2 3 2 B. 3 2 2 1 (cid:3)(cid:3) 1 (cid:3) 2 2 (cid:3)(cid:3) 2 (cid:3) 1 a b  c a b  c C. 2 2 3 D. 3 3 2 【规律方法】 用已知向量表示某一向量的方法 (1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始 点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则． (3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．【变式探究】 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1．如图，在平行六面体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1中，M 为 AC与BD 的交点．若 A 1 B 1 =a A 1 D 1 b ， (cid:2) (cid:2) AAc B M 1 ，则下列向量中与 1 相等的向量是（ ） 1 (cid:2)(cid:2)(cid:2)1 1 (cid:2)(cid:2)(cid:2)1 - a bc a bc A． 2 2 B．2 2 1 (cid:2)(cid:2)(cid:2)1 1 (cid:2)(cid:2)(cid:2)1 a bc - a bc C．2 2 D． 2 2 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ABa,ADb,AA c 2．在平行六面体ABCD-ABCD中，设 1 ，E，F分别是AD，BD的中点． 1 1 1 1 1 (cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:2) (cid:2) a,b,c DB,EF （1）用向量 (cid:2) (cid:2) 表示 1 ，； (cid:2) (cid:2) DF  xa ybzc （2）若 1 ，求实数x，y，z的值． 【总结提升】 1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本 要求.解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量. 2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和， 可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决. 考点二 ： 共线向量定理、共面向量定理的应用 【典例3】（2020·全国）如图所示，已知斜三棱柱 ，点 ， 分别在 和 上，且满足， ，判断向量 是否与向量 ， 共面． 【典例4】（2021·全国）如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. （1）求证：E，F，G，H四点共面； （2）求证： 平面EFGH； （3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有 . 【规律方法】 1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示． (cid:2) 1 (cid:2) (cid:2) OM  (OAOB) 2.中点向量公式 2 ，在解题时可以直接使用． 3．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线. (cid:2) (cid:2) PAPB (1) ； (cid:2) (cid:2) (cid:2) OPOAtAB (2)对空间任一点O， ； (cid:2) (cid:2) (cid:2) OP xOA yOB(x y 1) (3)对空间任一点O， ． 4．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 (cid:2) (cid:2) (cid:2) MP xMA yMB (1) ；(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) OPOM xMA yMB (2)对空间任一点O， ； (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) OP xOM  yOAzOB(x yz 1) (3)对空间任一点O， ； (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (4)PM ∥AB(或PA∥MB或PB∥AM )． 【变式探究】 (cid:2) 3(cid:2) 1(cid:2) 1(cid:2) OP  OA OB OC 1．若A，B， C 不共线，对于空间任意一点 O 都有 4 8 8 ，则P，A，B， C 四 点（ ） A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线 2．（2021·全国）已知 ， ， 三点不共线，对平面 外的任一点 ，若点 满足 . （1）判断 ， ， 三个向量是否共面； （2）判断点 是否在平面 内. 考点三 ： 空间向量的数量积及其应用 【典例5】（2021·全国高一课时练习）在棱长为1的正四面体 中，点 满足 ，点 满足 ，当 最短时， （ ） A． B． C． D． 【典例6】【多选题】（2021·江苏省板浦高级中学高二期末）如图，在平行六面体 中， 以顶点 为端点的三条棱长都是 ，且它们彼此的夹角都是 ， 为 与 的交点.若 ， ， .则下列正确的是（ ）A． B． C． 的长为 D． 【总结提升】 1.空间向量数量积计算的两种方法 (1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)坐标法：设a＝(x，y，z)，b＝(x，y，z)，则a·b＝xx＋yy＋zz. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2．空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度(距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 【变式探究】 ⇔ a (cid:2) 1,1,0 b (cid:3) 1,2,2 (cid:3) (cid:3) (cid:3) ka ab k 1．已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则 的值为（ ） A. 2 B. 0 C. -1 D. 1 2．【多选题】（2021·福建高二期末）已知四棱柱 为正方体.则下列结论正确的是 （ ） A． B． C．向量 与向量 的夹角是 D． 【总结提升】 1. 当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；  2. 当异面直线所成的角为 时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是(cid:2)(cid:2)  |ab| (0, ] cos|cos| (cid:2)(cid:2) 2 ， [0,] ，所以 |a||b| 3. 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝转化为向量求解． 考点四 ： 空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 【典例7】（2020·福建厦门一中高二期中）已知 ，1， ， ，3， ， ，7， ，点 ， ， 在平面 内，则 的值为（ ） A． B．1 C．10 D．11 【典例8】（2021·全国）正方体 的棱长为1， ､ 分别在线段 与 上， 的最 小值为______. 【规律方法】 空间向量的坐标运算 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) OP xi yjzk (x,y,z) （1）设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果 ，则 叫做向量的坐标． （2）设a＝(x，y，z)，b＝(x，y，z)，那么 1 1 1 2 2 2 (x x ,y  y ,z z ) ①a±b＝ 1 2 1 2 1 2 ． x x  y y z z ②a·b＝ 1 2 1 2 1 2， x x  y y z z 1 2 1 2 1 2 x2  y2 z2  x 2  y 2 z 2 ③cos〈a，b〉＝ 1 1 1 2 2 2 ， x2  y2 z2 ④|a|＝＝ 1 1 1 ， (x ,y ,z ) ⑤λa＝ 1 1 1 ， x x ,y y ,z z ⑥a∥b 1 2 1 2 1 2(λ∈R)， ⇔x x  y y z z 0 ⑦a⊥b 1 2 1 2 1 2 . （3）设点M(x，y，z)、M(x，y，z)， ⇔ 1 1 1 1 2 2 2 2 (cid:2) |M M | (x x )2 (y  y )2 (z z )2 则 1 2 2 1 2 1 2 1 【变式探究】 1．点 是棱长为1的正方体 的底面 上一点，则 的取值范围是 P ABCD−A B C D ABCD (cid:3)PA⋅(cid:3)PC 1 1 1 1 1 （ ） 1 1 1 1 A． [−1,− ] B． [− ,− ] C． [−1,0] D． [− ,0] 4 2 4 2 2．（浙江省丽水市高中发展共同体2020-2021学年高二下学期期中联考）已知在 ， ， ，若 平面 ，则 的最小值为___________. 【总结提升】 1.求向量的数量积的方法： ①设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ； ②若a＝(x，y，z)，b＝(x，y，z)，则a·b＝xx＋yy＋zz. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算． 2.求向量模的方法： ①|a|＝； ②若a＝(x，y，z)，则|a|＝.