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专题三 微重点 2 子数列与增减项问题
(分值：50分)
1
1.(12分)(2024·保定模拟)已知数列{a }的前n项和为S ，且S = n(n+1).
n n n 2
(1)求{a }的通项公式；(4分)
n
{ 1
,n为奇数,
(2)若数列{b }满足b = a a 求{b }的前2n项和T .(8分)
n n n n+2 n 2n
2a n,n为偶数,
2.(12分)已知正项数列{a }的前n项和为S ，且4S =a2 +2a -3(n∈N*).
n n n n n
(1)求数列{a }的通项公式；(6分)
n
(2)将数列{a }和数列{2n}中所有的项按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{b }，求{b }的前100项和.(6
n n n
分)
n(a +a )
3.(13分)(2024·重庆模拟)已知数列{a }的前n项和为S ，满足S = 1 n ，n∈N*.
n n n 2
(1)证明：数列{a }是等差数列；(6分)
n
(2)若数列{a }的公差不为0，数列{a }中的部分项组成等比数列a ，a ，a ，…，a ，其中k =1，k =4，
n n k k k k 1 2
1 2 3 n
k =10，求数列{k }的通项公式.(7分)
3 n
4.(13分)设数列{a }的前n项和为S =(n-1)2n+1+2，n∈N*.
n n
(1)求{a }的通项公式；(5分)
n
a
(2)若b = n，抽去数列{b }中的第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个
n n n
新数列{c }，求{c }的前2 025项和T .(8分)
n n 2 025答案精析
1.解 (1)当n=1时，a =S =1，
1 1
1 1
当n≥2时，a =S -S = n(n+1)- n(n-1)=n，
n n n-1 2 2
当n=1时，也符合a =n.
n
综上，a =n.
n
{ 1
,n为奇数,
(2)由b
n
= a
n
a
n+2
2a n,n为偶数
{1(1 1 )
- ,n为奇数,
b = 2 n n+2
n
2n,n为偶数,
⇒
1[( 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 )]
则T =(b +b +…+b )+(b +b +…+b )= 1- + - + - +…+ - +(22+24+…
2n 1 3 2n-1 2 4 2n 2 3 3 5 5 7 2n-1 2n+1
+22n)
1( 1 ) 4(1-4n )
= 1- +
2 2n+1 1-4
n 4n+1-4
= + ，
2n+1 3
故{b }的前2n项和
n
n 4n+1-4
T = + .
2n 2n+1 3
2.解 (1)依题意a >0，当n=1时，
n
4S =4a =a2+2a -3，
1 1 1 1
解得a =3，
1
由4S =a2 +2a -3， ①
n n n
得当n≥2时，
有4S =a2 +2a -3， ②
n-1 n-1 n-1
①-②得，
4a =a2-a2 +2a -2a ，
n n n-1 n n-1
∴(a +a )(a -a -2)
n n-1 n n-1
=0(n≥2)，
∵a +a >0，
n n-1∴a -a =2(n≥2)，
n n-1
∴数列{a }是首项为3，公差为2的等差数列，∴a =2n+1，n∈N*.
n n
(2)由(1)得，a =201，
100
又27<201<28，同时a =187>27，∴b =a ，
93 100 93
93×(3+187) 2×(1-27 )
∴b +b +…+b =(a +a +…+a )+(21+22+…+27)= + =9 089.
1 2 100 1 2 93 2 1-2
∴{b }的前100项和为9 089.
n
n(a +a )
3.(1)证明 由S = 1 n ，
n 2
得2S =n(a +a )，
n 1 n
所以2a =2S -2S =(n+1)(a +a )-n(a +a )，
n+1 n+1 n 1 n+1 1 n
即(n-1)a =na -a ，
n+1 n 1
所以na =(n+1)a -a ，
n+2 n+1 1
两式相减得na +na =2na ，
n+2 n n+1
所以a +a =2a ，
n+2 n n+1
所以数列{a }是等差数列.
n
(2)解 等差数列{a }的公差d≠0，其子数列{a }为等比数列，
n k
n
其中k =1，k =4，k =10，
1 2 3
可得a =a ，a =a ，a =a ，
k 1 k 4 k 10
1 2 3
且有a2
=a a ，
4 1 10
即(a +3d)2=a (a +9d)，
1 1 1
解得a =3d，
1
则a =a +(n-1)d=(n+2)d，
n 1
a
子数列{a }是首项为3d，公比为 4 =2的等比数列，
k n a
1
则a =3d·2n-1=(k +2)d，
k n
n
可得k =3·2n-1-2.
n
4.解 (1)由S =(n-1)2n+1+2，
n
得a =2，
1
S =(n-2)2n+2(n≥2)，
n-1
两式相减得a =n·2n，
n
当n=1时，a =2，满足上式，
1
所以a =n·2n(n∈N*).
na
(2)由题知，b = n=2n，所以数列{c }为22，23，25，26，28，29，…，
n n n
它的奇数项组成以4为首项，8为公比的等比数列，
偶数项组成以8为首项，8为公比的等比数列，
所以T =(c +c +c +…+c )+(c +c +c +…+c )
2 025 1 3 5 2 025 2 4 6 2 024
4(1-81 013
)
8(1-81 012
)
= +
1-8 1-8
4×81 013-4 81 013-8
= +
7 7
5×81 013-12
= .
7
