文档内容
微重点 2 子数列与增减项问题
[考情分析] 子数列问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及分段数列)与数列的增减项问题是近几
年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.
考点一 奇数项、偶数项
例1 (2024·长沙模拟)若各项均为正数的数列{c }满足c c -c2 =kc c (n∈N*，k为常数)，则称{c }为
n n n+2 n+1 n n+1 n
5 15
“比差等数列”.已知数列{a }为“比差等数列”，且a = ，a = ，3a =2a .
n 1 8 2 16 4 5
(1)求数列{a }的通项公式；
n
{ a ,n为奇数,
(2)设b = n 求数列{b }的前n项和S .
n b +1,n为偶数, n n
n-1
解 (1)由数列{a }为“比差等数列”，
n
得a a
-a2
=ka a ，
n n+2 n+1 n n+1
a a
n+2 n+1
从而 - =k.
a a
n+1 n
a
n+1
设d = ，则d -d =k，
n a n+1 n
n
所以数列{d }为等差数列.
n
a 3 a 3
2 5
因为d = = ，d = = ，
1 a 2 4 a 2
1 4
所以{d }为常数列，
n
3 a 3
n+1
因此d =d = ，即 = ，
n 1 2 a 2
n
5 3
所以{a }是首项为 ，公比为 的等比数列，
n 8 2
5 (3) n-1
因此a = × .
n 8 2
n
(2)当n为偶数时，S =b +b +…+b =2(b +b +…+b )+
n 1 2 n 1 3 n-1 2
n
=2(a +a +…+a )+
1 3 n-1 2
5[ (9) n]
1- 2
8 4 n
=2× +
2
9
1-
4
(9) n n (3) n n
= 2+ -1= + -1；
4 2 2 2当n为奇数时，S =S -b
n n+1 n+1
(3) n+1 n+1
= + -1-(b +1)
2 2 n
(3) n+1 n+1 5 (3) n-1
= + -1- × -1
2 2 8 2
13 (3) n n-3
= × + .
12 2 2
{13 (3) n n-3
× + ,n为奇数,
12 2 2
综上，S =
n (3) n n
+ -1,n为偶数.
2 2
[规律方法] (1)数列中的奇数项、偶数项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(a +a =f(n)或a ·a =f(n))；
n n+1 n n+1
②含有(-1)n的类型；
③含有{a }，{a }的类型.
2n 2n-1
(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{a }求S 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把
n n
a +a 看作一项，求出S ，再求S =S -a .
2k-1 2k 2k 2k-1 2k 2k
1 a a
跟踪演练1 (2024·运城模拟)已知数列{a }各项均不为零，前n项和为S ，满足a = ，S = n n+1
n n 1 2 n 2
(n∈N*).
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)求S .
2n-1
a a
解 (1)由题意知，当n=1时，a =S = 1 2 ，
1 1 2
可得a =2；
2
a a a a
当n≥2时，由S = n n+1 ，得S = n n-1 ，
n 2 n-1 2
a (a -a )
所以S -S =a = n n+1 n-1 ，
n n-1 n 2
又a ≠0，整理可得a -a =2，
n n+1 n-1
1
所以数列{a }中的奇数项是以 为首项，2为公差的等差数列，
n 2
数列{a }中的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，
n
(n+1 ) 1
当n为奇数时，a =a + -1 ×2=n- ；
n 1 2 2(n )
当n为偶数时，a =a + -1 ×2=n.
n 2 2
{ 1
n- ,n为奇数,
综上所述，a = 2
n
n,n为偶数.
(2)S =a +a +…+a +a
2n-1 1 2 2n-2 2n-1
=(a +a +…+a )+(a +a +…+a )
1 3 2n-1 2 4 2n-2
[ 1 ]
= 1+3+…+(2n-1)- n +[2+4+…+(2n-2)]
2
n(1+2n-1) 1 (n-1)(2+2n-2)
= - n+
2 2 2
1
=n2- n+n2-n
2
3
=2n2- n.
2
考点二 两数列的公共项
3n2+n
例2 已知数列{a }的前n项和S = ，数列{b }为等比数列，公比为2，且b ，b +1，b 为等差数
n n 2 n 1 2 3
列.
(1)求数列{a }与{b }的通项公式；
n n
(2)把数列{a }和{b }的公共项由小到大排成的数列记为{c }，求数列{c }的前n项和T .
n n n n n
3n2+n
解 (1)由S = ，
n 2
得当n=1时，a =S =2，
1 1
当n≥2时，a =S -S =3n-1，
n n n-1
当n=1时，上式也成立，
所以a =3n-1.
n
依题意，b +b =2(b +1)，
1 3 2
即b +b ·22=2(b ·2+1)，
1 1 1
解得b =2，所以b =2n.
1 n
(2)数列{a }和{b }的公共项从小到大依次为21，23，25，27，…，
n n
2(1-4n
)
所以21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，所以c =2×4n-1，则T =c +c +…+c =
n n 1 2 n 1-4
2
= (4n-1).
3
[规律方法] 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列
的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.跟踪演练2 (2024·郑州模拟)已知数列{a }和数列{b }的通项公式分别为a =3n+1和b =5n+1，若它们的
n n n n
公共项从小到大依次排列构成新数列{c }，则满足不等式c ≤2 024的最大的整数n等于( )
n n
A.134 B.135
C.136 D.137
答案 A
解析 依题意，令a=b ，k，m∈N*，
k m
3
则3k+1=5m+1，即有m= k，显然k是5的正整数倍，
5
令k=5n，n∈N*，
因此c =a =15n+1，由15n+1≤2 024，
n 5n
13
解得n≤134 ，
15
所以最大的整数n=134.
考点三 数列有关增减项问题
例3 (2024·滨州模拟)已知等差数列{a }的前n项和为S ，且a =7，S =25.
n n 4 5
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)保持数列{a }中各项先后顺序不变，在a 与a (k=1，2，…)之间插入2k-1个3，使它们和原数列的项
n k k+1
构成一个新的数列{b }，求{b }的前150项和T .
n n 150
解 (1)因为{a }为等差数列，则S =5a =25，即a =5，设{a }的公差为d，
n 5 3 3 n
可得d=a -a =2，a =a -2d=1，
4 3 1 3
所以a =1+2(n-1)=2n-1.
n
(2)因为在a 与a (k=1，2，…)之间插入2k-1个3，
k k+1
可知a(k≥2)在数列{b }中对应的项数为
k n
1-2k-1
n=k+20+21+…+2k-2=k+ =2k-1+k-1，
1-2
当k=8时，则n=27+7=135，即a =b ；
8 135
当k=9时，则n=28+8=264，即a =b ，
9 264
由题意可知b =b =…=b =3，
136 137 150
8×(1+15)
所以T =S +3×(150-8)= +426=490.
150 8 2
[规律方法] 解决此类问题的关键是理解题意，要弄清楚增加了(减少了)多少项，增加(减少)的项有什么特
征，在求新数列的和时，一般采用分组求和法，即把原数列部分和增加(减少)部分分别求和，再相加(相减)
即可.
跟踪演练3 已知数列{b }的前n项和为S ，且S =n2+n，在等比数列{a }中，a =b ，a =b .
n n n n 1 1 4 8
(1)求数列{b }与{a }的通项公式；
n n(2)若{b }中去掉{a }的项后余下的项按原顺序组成数列{c }，求{c }的前20项和.
n n n n
解 (1)∵S =n2+n，
n
∴当n≥2时，b =S -S =2n.
n n n-1
又b =S =2也符合上式，∴b =2n.
1 1 n
∵a =b =2，a =b =16，
1 1 4 8
∴等比数列{a }的公比为2，∴a =2n.
n n
(2)∵a =2，a =4，a =8，
1 2 3
a =16，a =32，b =50，
4 5 25
∴c +c +…+c
1 2 20
=(b +b +…+b )-(a +a +…+a )
1 2 25 1 2 5
=S -(21+22+…+25)
25
2(1-25
)
=252+25- =650-62=588.
1-2
专题强化练
(分值：50分)
1
1.(12分)(2024·保定模拟)已知数列{a }的前n项和为S ，且S = n(n+1).
n n n 2
(1)求{a }的通项公式；(4分)
n
{ 1
,n为奇数,
(2)若数列{b }满足b = a a 求{b }的前2n项和T .(8分)
n n n n+2 n 2n
2a n,n为偶数,
解 (1)当n=1时，a =S =1，
1 1
1 1
当n≥2时，a =S -S = n(n+1)- n(n-1)=n，
n n n-1 2 2
当n=1时，也符合a =n.
n
综上，a =n.
n
{ 1
,n为奇数,
(2)由b
n
= a
n
a
n+2
2a n,n为偶数
{1(1 1 )
- ,n为奇数,
b = 2 n n+2
n
2n,n为偶数,
⇒
则T =(b +b +…+b )+(b +b +…+b )
2n 1 3 2n-1 2 4 2n
1[( 1) (1 1) (1 1)
= 1- + - + - +…
2 3 3 5 5 7( 1 1 )]
+ - +(22+24+…+22n)
2n-1 2n+1
1( 1 ) 4(1-4n )
= 1- +
2 2n+1 1-4
n 4n+1-4
= + ，
2n+1 3
n 4n+1-4
故{b }的前2n项和T = + .
n 2n 2n+1 3
2.(12分)已知正项数列{a }的前n项和为S ，且4S =a2 +2a -3(n∈N*).
n n n n n
(1)求数列{a }的通项公式；(6分)
n
(2)将数列{a }和数列{2n}中所有的项按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{b }，求{b }的前100项和.(6
n n n
分)
解 (1)依题意a >0，当n=1时，
n
4S =4a =a2+2a -3，
1 1 1 1
解得a =3，
1
由4S =a2 +2a -3， ①
n n n
得当n≥2时，有4S =a2 +2a -3， ②
n-1 n-1 n-1
①-②得，4a =a2 -a2 +2a -2a ，
n n n-1 n n-1
∴(a +a )(a -a -2)=0(n≥2)，
n n-1 n n-1
∵a +a >0，∴a -a =2(n≥2)，
n n-1 n n-1
∴数列{a }是首项为3，公差为2的等差数列，
n
∴a =2n+1，n∈N*.
n
(2)由(1)得，a =201，
100
又27<201<28，同时a =187>27，∴b =a ，
93 100 93
93×(3+187) 2×(1-27 )
∴b +b +…+b =(a +a +…+a )+(21+22+…+27)= + =9 089.
1 2 100 1 2 93 2 1-2
∴{b }的前100项和为9 089.
n
n(a +a )
3.(13分)(2024·重庆模拟)已知数列{a }的前n项和为S ，满足S = 1 n ，n∈N*.
n n n 2
(1)证明：数列{a }是等差数列；(6分)
n
(2)若数列{a }的公差不为0，数列{a }中的部分项组成等比数列a ，a ，a ，…，a ，其中k =1，k =4，
n n k k k k 1 2
1 2 3 n
k =10，求数列{k }的通项公式.(7分)
3 n
n(a +a )
(1)证明 由S = 1 n ，
n 2得2S =n(a +a )，
n 1 n
所以2a =2S -2S =(n+1)(a +a )-n(a +a )，
n+1 n+1 n 1 n+1 1 n
即(n-1)a =na -a ，
n+1 n 1
所以na =(n+1)a -a ，
n+2 n+1 1
两式相减得na +na =2na ，
n+2 n n+1
所以a +a =2a ，
n+2 n n+1
所以数列{a }是等差数列.
n
(2)解 等差数列{a }的公差d≠0，其子数列{a }为等比数列，
n k
n
其中k =1，k =4，k =10，
1 2 3
可得a =a ，a =a ，a =a ，
k 1 k 4 k 10
1 2 3
且有a2 =a a ，即(a +3d)2=a (a +9d)，
4 1 10 1 1 1
解得a =3d，则a =a +(n-1)d=(n+2)d，
1 n 1
a
子数列{a }是首项为3d，公比为 4 =2的等比数列，则a =3d·2n-1=(k +2)d，
k n a k n n
1
可得k =3·2n-1-2.
n
4.(13分)设数列{a }的前n项和为S =(n-1)2n+1+2，n∈N*.
n n
(1)求{a }的通项公式；(5分)
n
a
(2)若b = n，抽去数列{b }中的第1项，第4项，第7项，…，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个
n n n
新数列{c }，求{c }的前2 025项和T .(8分)
n n 2 025
解 (1)由S =(n-1)2n+1+2，得a =2，
n 1
S =(n-2)2n+2(n≥2)，
n-1
两式相减得a =n·2n，
n
当n=1时，a =2，满足上式，
1
所以a =n·2n(n∈N*).
n
a
(2)由题知，b = n=2n，
n n
所以数列{c }为22，23，25，26，28，29，…，
n
它的奇数项组成以4为首项，8为公比的等比数列，
偶数项组成以8为首项，8为公比的等比数列，
4(1-81 013
)
8(1-81 012
)
所以T =(c +c +c +…+c )+(c +c +c +…+c )= +
2 025 1 3 5 2 025 2 4 6 2 024 1-8 1-8
4×81 013-4 81 013-8
= +
7 75×81 013-12
= .
7
