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微专题 2 数列求和及其综合应用
[考情分析] 1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法.2.数列的综合问题，一般
以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等.3.主要以选择
题、填空题及解答题的形式出现，难度中等.
考点一 数列求和
1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的
1 1(1 1 )
是相邻项抵消，有的是间隔项抵消.常见的裂项方式有： = - ；
n(n+k) k n n+k
1 1( 1 1 )
= - .
4n2-1 2 2n-1 2n+1
2.错位相减法求和，主要用于求{a b }的前n项和，其中{a }，{b }分别为等差数列和等比数列.
n n n n
考向1 分组转化法
例1 (2024·西安模拟)已知在正项数列{a }中，a =4，a a =32，且ln a ，ln a ，ln a 成等差数列.
n 3 2 5 n n+1 n+2
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若数列{b }满足b =a +(-1)nlog a ，求数列{b }的前n项和T .
n n n 2 n+1 n n
考向2 裂项相消法
例2 (2024·茂名模拟)已知等差数列{a }的前n项和为S ，且S =S +S ，2a -3a =1，n∈N*.
n n 5 4 3 3n 2n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
{ a }
(2)求数列
n+1
的前n项和T .
S S n
n n+1
考向3 错位相减法
例3 (2024·全国甲卷)记S 为数列{a }的前n项和，已知4S =3a +4.
n n n n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)设b =(-1)n-1na ，求数列{b }的前n项和T .
n n n n
[规律方法] (1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差.
(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项.(3)用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“S ”和“qS ”的表达式时
n n
应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确地写出“S -qS ”的表达式.
n n
n(n+1)
跟踪演练1 (1)(2024·岳阳模拟)已知数列{√a }的前n项和为 .
n 2
①求数列{a }的通项公式；
n
3 3
②证明： a2 -a2=3a
n
+3n+1，并求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
n+1 n
(2)(2024·秦皇岛模拟)已知等比数列{a }的前n项和为S ，且数列{S +2}是公比为2的等比数列.
n n n
①求{a }的通项公式；
n
n+2 1
②若b = ，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn< .
n n(n+1)a 2
n+1
考点二 数列的综合问题
数列与函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、
数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新
数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解.
例4 (1)已知函数f(x)=x5+2x3+3x，数列{a }的首项为1，且满足a =a (n∈N*).若f(a )+f(a +a
n n+3 n 2 023 2 024 2
)=0，则数列{a }的前2 026项和为 ( )
025 n
A.0 B.1
C.675 D.2 023
(2)(2024·襄阳模拟)蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为某校数学
社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形
ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C
为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆
弧……依此类推，当得到的“蚊香”(不含△ABC)恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .
[规律方法] 数列的“新定义问题”，主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算等，关键
是将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系，主要考查的还是数列的基础知识.跟踪演练2 (1)(2024·南昌模拟)若数列{a }相邻两项的和依次构成等差数列，则称{a }是“邻和等差数
n n
列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列{a }是“邻和等差数列”，S 是
n n
其前n项和，且a =0，a =1，a =4，则S 等于( )
1 2 3 200
A.39 700 B.39 800
C.39 900 D.40 000
(2)(2024·昆明模拟)第七届国际数学教育大会的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作
Rt△AOB，OA=1，∠AOB=30°，再依次作相似三角形△BOC，△COD，△DOE，…，直至最后一个三
角形的斜边OM与OA第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为 ( )
√3[ (2√3) 11 ] √3[ (4) 11 ]
A. -1 B. -1
2 3 2 3
√3[ (2√3) 12 ] √3[ (4) 12 ]
C. -1 D. -1
2 3 2 3答案精析
例1 解 (1)∵ln a ，ln a ，ln a 成等差数列，
n n+1 n+2
∴2ln a =ln a +ln a ，
n+1 n n+2
即a2 =a a ，而a ≠0，
n+1 n n+2 n
∴{a }为等比数列，设其公比为q，
n
{ a =a q2=4,
3 1
又
a a =a2q5=32,
2 5 1
{a =1,
得 1 ∴a =2n-1.
q=2, n
(2)b =2n-1+(-1)nlog 2n
n 2
=2n-1+(-1)nn，
当n为偶数时，
T =(1+2+22+…+2n-1)+[-1+2-3+4-…-(n-1)+n]
n
1-2n n n-2
= + =2n+ ；
1-2 2 2
当n为奇数时，
T =(1+2+22+…+2n-1)+[-1+2-3+4-…+(n-1)-n]
n
1-2n n-1
= + -n
1-2 2
n+3
=2n- ，
2
n-2
{2n+ ,n为偶数,
2
∴T =
n n+3
2n- ,n为奇数.
2
例2 解 (1)∵数列{a }是等差数列，记其公差为d，由题意知
n
5×4 4×3
{5a + d=4a + d+3a
1 2 1 2 1
3×2
+ d,
2
2[a +(3n-1)d]-3[a +(2n
1 1
-1)d]=1
{ 2a =d,
1
⇒
-a +d=1
1{a =1,
1
⇒
d=2.
∴a =1+(n-1)·2=2n-1.
n
a S -S
(2)∵ n+1 = n+1 n
S S S S
n n+1 n n+1
1 1
= - ，
S S
n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1
∴T = - + - +…+ - = - .
n S S S S S S S S
1 2 2 3 n n+1 1 n+1
(1+2n-1)n
∵S = =n2，
n 2
1
∴T =1- .
n (n+1) 2
例3 解 (1)当n=1时，
4S =4a =3a +4，解得a =4.
1 1 1 1
当n≥2时，4S =3a +4，
n-1 n-1
所以4S -4S =4a =3a -3a ，
n n-1 n n n-1
即a =-3a ，
n n-1
而a =4≠0，故a ≠0，
1 n
a
n
故 =-3(n≥2)，
a
n-1
所以数列{a }是以4为首项，-3为公比的等比数列，
n
所以a =4(-3)n-1.
n
(2)b =(-1)n-1·n·4·(-3)n-1=4n·3n-1，
n
所以T =b +b +b +…+b
n 1 2 3 n
=4·30+8·31+12·32+…+4n·3n-1，
故3T =4·31+8·32+12·33+…+4n·3n，
n
所以-2T =4·30+4·31+4·32+…+4·3n-1-4n·3n
n
1-3n
=4· -4n·3n
1-3
=2(3n-1)-4n·3n
=(2-4n)·3n-2，
所以T =(2n-1)3n+1.
n
跟踪演练1 (1)解 ①当n=1时，√a =1，∴a =1；
1 1
当n≥2时，n(n+1) n(n-1)
√a = - =n，
n 2 2
∴a =n2，当n=1时，a =1适合上式，
n 1
∴a =n2(n∈N*).
n
3 3
② a2 -a2=(n+1)3-n3
n+1 n
=3n2+3n+1，
3 3
∴ a2 -a2=3a
n
+3n+1成立，
n+1 n
∴(n+1)3-n3=3a +3n+1，
n
n3-(n-1)3=3a +3(n-1)+1，
n-1
…
23-13=3a +3×1+1，
1
累加得(n+1)3-13=3(a +a +…+a )+3(1+2+…+n)+n，
1 2 n
即n3+3n2+3n
3n(n+1)
=3S + +n，
n 2
n(n+1)(2n+1)
∴S = .
n 6
(2)①解 因为数列{S +2}是公比为2的等比数列，
n
又S +2=a +2，
1 1
所以S +2=(a +2)·2n-1.
n 1
当n≥2时，由S +2=(a +2)·2n-1，得S +2=(a +2)·2n-2，
n 1 n-1 1
两式相减得
a =(a +2)·2n-2(n≥2)，
n 1
a a
2 3
又{a }是等比数列，所以 = =2，
n a a
1 2
a +2
1
所以 =2，解得a =2，
a 1
1
所以a =2n(n≥2)，
n
当n=1时上式成立，所以a =2n.
n
②证明 由①知
n+2 n+2
b = =
n n(n+1)a n(n+1)·2n+1
n+1
1 1
= - ，
n·2n (n+1)·2n+1所以T =b +b +b +…+b
n 1 2 3 n
1 1 1 1 1 1
= - + - +…+ -
1×2 2×22 2×22 3×23 n·2n (n+1)·2n+1
1 1
= - ，
2 (n+1)·2n+1
1 1
又 >0，所以T < .
(n+1)·2n+1 n 2
例4 (1)B (2)80π
跟踪演练2 (1)A (2)D
