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专题三 微专题 2 数列求和及其综合应用
(分值：90分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
( π)
1.(2024·阳泉模拟)已知等差数列{a }中，a 是函数f(x)=sin 2x- 的一个极大值点，则tan(a +a )的值为(
n 7 6 5 9
)
√3
A. B.√3
3
C.±√3 D.-√3
1
2.已知函数f(x)=xα的图象过点(4，2)，令a = (n∈N*)，记数列{a }的前n项和为S ，则S
n f(n+1)+f(n) n n 2 024
等于( )
A.√2 024+1 B.√2 025-1
C.√2 024-1 D.√2 025+1
3.(2024·双鸭山模拟)在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a ·a ·a =8，且a =1，a =2，则a +a +a +…+a
n n+1 n+2 1 2 1 2 3 12
等于( )
A.28 B.20
C.24 D.10
1
4.(2024·绵阳模拟)已知数列{a }的各项均为正数，a =1，a -a = ，若[x]表示不超过x的最大整数，
n 1 n+1 n a +a
n+1 n
则[a ]+[a ]+…+[a ]等于( )
1 2 20
A.10 B.49
C.54 D.70
5.(2024·杭州模拟)设数列{a }，{b }满足a =b =1，a +b =2n，a +b =2n.设S 为数列{a +b }的前n项和，则
n n 1 1 n n+1 n+1 n n n n
S 等于( )
7
A.110 B.120
C.288 D.306
6.(2024·南充模拟)如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小
1 1 1
正方形的个数依次构成一个数列{a }的前4项. 记S= + +…+ ，则下列结论正确的为( )
n a a a
1 2 100
8 8
A.S> B.S=
7 78 8
C.S< D.S与 的大小关系不能确定
7 7
答案 C
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5
1 5
7.(2024·白山模拟)公差不为零的等差数列{a }满足|a |=a ， Σ = ，则( )
n 6 8 a a 96
k=1 k k+1
A.a =0 B.d=±4
7
C.a =24 D.S =60
1 15
8.(2024·郑州模拟)对于数列{a }，定义b 为a ，a ，…，a 中的最大值(k=1，2，…，n，n∈N*)，把数列
n k 1 2 k
{b }称为数列{a }的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则( )
n n
A.若数列{a }是递减数列，则{b }为常数列
n n
B.若数列{a }是递增数列，则有a =b
n n n
C.若a ∈N*，则满足{b }为2，3，3，5，5的所有数列{a }的个数为8
n n n
2
D.若a =(-2)n-1(n∈N*)，记S 为{b }的前n项和，则S = (2100-1)
n n n 100 3
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·沈阳模拟)已知公比q大于1的等比数列{a }满足a +a =5，a =2.设b =|2log a -7|，则数列{b }的前10
n 1 3 2 n 2 n n
项和S = .
10
10.设有四个数的数列a ，a ，a ，a ，前三个数构成一个等比数列，其和为k，后三个数构成一个等差数列，
1 2 3 4
其和为15，且公差非零.对于任意固定的实数k，若满足条件的数列只有一个，则k的值为 .
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2024·双鸭山模拟)记S 为数列{a }的前n项和，{√S -n}是首项与公差均为1的等差数列.
n n n
(1)求数列{a }的通项公式；(5分)
n
(-1) n (a +1)
(2)设b = n ，求数列{b }的前2 024项的和T .(8分)
n S n 2 024
n
1
12.(15分)(2024·桂林模拟)已知数列{a }的前n项和为S ，且4a -3S = .
n n 1 n 4n-1
(1)求数列{a }的通项公式；(5分)
n
16
(2)设b =na ，且数列{b }的前n项和为T ，若∀n∈N*都有不等式T ≤ +3λa 恒成立，求λ的取值范围.(10
n n n n n 9 n
分)每小题5分，共10分
13.(2024·佳木斯模拟)复数z=i+2i2+3i3+…+2 024i2 024的虚部是 .
14.(2024·沈阳模拟)设数列{a }的通项公式为a =n3-n，n∈N*，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺
n n
序排列构成数列{b }，则b 被7除所得的余数是 .
n 2 017答案精析
微专题2 数列求和及其综合应用
1.D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.C
7.AD 8.ABD
9.52
解析 由题意可得
{a +a =a +a q2=5,
1 3 1 1
a =a q=2,
2 1
{a =4,
{a =1, 1
解得 1 或 1
q=2 q= ,
2
{a =1,
又q>1，则 1 可得a =2n-1，
q=2, n
则b =|2log a -7|
n 2 n
=|2log 2n-1-7|
2
{9-2n,n≤4,
=|2n-9|=
2n-9,n≥5,
则S =b +…+b +b +…+b
10 1 5 6 10
=7+5+3+1+1+3+…+11=52.
15
10.
4
解析 因为后3个数成等差数列且和为15，故可依次设后3个数为5-d，5，5+d(d≠0且d≠5)，
又前3个数构成等比数列，
(5-d) 2
则第一个数为 ，
5
(5-d) 2
即 +5-d+5=k，
5
化简得d2-15d+75-5k=0，
因为满足条件的数列只有一个，即关于d的方程只有一解，
15
即Δ=0，解得k= .
4
11.解 (1)由{√S -n}是首项与公差均为1的等差数列，得√S -n=1+(n-1)×1=n，
n n
则S =n2+n，当n≥2时，
n
S =(n-1)2+(n-1)，
n-1两式相减得a =2n，
n
当n=1时，a =S =2，也满足上式，故数列{a }的通项公式为a =2n.
1 1 n n
(-1) n (a +1)
n
(2)由(1)得b =
n S
n
(-1) n (2n+1)
=
n(n+1)
(1 1 )
=(-1)n + ，
n n+1
所以数列{b }的前2 024项的和为
n
( 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 ) 1 2 024
T =- 1+ + + - + +…+ + =-1+ =- .
2 024 2 2 3 3 4 2 024 2 025 2 025 2 025
1
12.解 (1)因为4a -3S = ，
1 n 4n-1
当n=1时，得4a -3a =1，
1 1
1
即a =1≠0，3S =4- ， ①
1 n 4n-1
1
当n≥2时，3S =4- ， ②
n-1 4n-2
由①-②得
1 1 1
3a = - ，a = ，
n 4n-2 4n-1 n 4n-1
(1) n-1
又a =1也满足，所以a = .
1 n 4
(1) n-1
(2)因为b =na =n ，
n n 4
(1) 0 (1) 1 (1) 2 (1) n-1
所以T =1× +2× +3× +…+n× ，
n 4 4 4 4
1 (1) 1 (1) 2 (1) n-1 (1) n
T =1× +2× +…+(n-1)× +n× ，
4 n 4 4 4 4
3 (1) 0 (1) 1 (1) 2 (1) n-1 (1) n
两式相减得 T = + + +…+ -n×
4 n 4 4 4 4 4
(1) n
1-
4 (1) n
= -n
1 4
1-
4
4 ( 4)(1) n
= - n+ ，
3 3 416 4( 4)(1) n
故T = - n+ ，
n 9 3 3 4
16
由T ≤ +3λa ，
n 9 n
16 4( 4)(1) n
得 - n+
9 3 3 4
16 (1) n-1
≤ +3λ ，
9 4
n 4
即λ≥- - ，
9 27
n 4 n 4
依题意，∀n∈N*不等式λ≥- - 恒成立，因为y=- - 随着n的增大而减小，
9 27 9 27
7 [ 7 )
所以λ≥- ，即λ的取值范围为 - ，+∞ .
27 27
13.-1 012
解析 因为z=i+2i2+3i3+…+2 024i2 024，
z·i=i2+2i3+3i4+…+2 024i2 025，
i(1-i2 024
)
两式相减，得z·(1-i)=i+i2+i3+…+i2 024-2 024i2 025= -2 024i2 025， ①
1-i
因为i4=1，所以i2 024=i4×506=1，
i2 025=i4×506+1=i，
-2 024i -2 024i(1+i) -2 024i+2 024
所以化简①可得z= = =
1-i (1-i)(1+i) 2
=1 012-1 012i，
所以虚部为-1 012.
14.0
解析 因为a =n3-n=n(n-1)(n+1)，所以当n的个位数字为1，4，5，6，9，0时，
n
a 的个位数字为0，则在数列{a }中，每连续10项中就有6项的个位数字为0，
n n
而2 017=336×6+1，由此推断数列{b }中的第2 017项相当于数列{a }中的第3 361项，
n n
即b =a =3 3613-3 361，
2 017 3 361
而3 361=480×7+1，所以3 361除以7余数为1，
而(7k+1)3=(7k)3+3(7k)2+3·7k+1，k∈N*，
所以3 3613除以7余数也为1，
而它们的差3 3613-3 361一定能被7整除，所以b 被7除所得余数为0.
2 017
