专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置 2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示. 新课程考试要求 3．掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算. 4．掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量夹角，并会解决简单的立体 几何问题. 核心素养 本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象等. （1）空间向量的线性运算及其坐标表示. （2）运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 考向预测 （3）应用空间向量解决立体几何问题. （4）一般不独立命题．预测2022年高考会以简单几何体为载体，利用空间向量解决 与平行、垂直有关的证明及空间角的计算问题．解题时要求有较强的运算能力. 【知识清单】 知识点1．空间向量的线性运算 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度． (2)几种常用特殊向量 ①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量． ③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量． ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量． 2.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广． (cid:2) (cid:2) (cid:2)  (cid:2) (cid:2)  (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)  OA AC a,ABb OBOA ABab 设a，b是空间任意两向量，若 ，P∈OC，则 ， (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)  (cid:2) (cid:2)  BC  ACAB ab OPa(R) ， . （2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律①加法交换律：a＋b＝b + a . ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）． ③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb. ④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)． 知识点2．共线向量定理、共面向量定理的应用 (1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对 (cid:2) (cid:2) (cid:2) p xa yb x、y，使 . (3)空间向量基本定理 如(cid:2) 果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使 (cid:2) (cid:2) (cid:2) p xa ybzc .把{a，b，c}叫做空间的一个基底． 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z， (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) OP xOA yOBzOC 使 .其中x＋y＋z＝1. 知识点3．空间向量的数量积及其应用 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)； (3)|a|2＝⇔a2，|a|＝. 2．向量的坐标运算 a＝(a，a，a)，b＝(b，b，b) 1 2 3 1 2 3 向量和 a＋b＝(a＋b，a＋b，a＋b) 1 1 2 2 3 3 向量差 a－b＝(a－b，a－b，a－b) 1 1 2 2 3 3 数量积 a·b＝ab＋ab＋ab 1 1 2 2 3 3 共线 a∥b a＝λb，a＝λb，a＝λb(λ∈R) 1 1 2 2 3 3 垂直 a⊥b ab＋ab＋ab＝0 ⇒ 1 1 2 2 3 3 夹角 ⇔ 公式 cos〈a，b〉＝ 知识点4．空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一 个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平 面叫做坐标平面． (2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正 方向． (3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 2．空间两点间的距离公式 (cid:2) | AB| 设点A(x，y，z)，B(x，y，z)，则 ＝. 1 1 1 2 2 2 【考点分类剖析】 考点一 ：空间向量的线性运算 【典例1】（2020·全国）如图，在长方体 中， ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 在长方体 中， 故选D. (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 【典例2】如图，在空间四边形 OABC 中， OAa ， OBb ， OC c ．点M 在 OA 上，且 (cid:3) OM 2MA N BC MN ， 是 的中点，则 =( ) 1 (cid:3)(cid:3) 2 (cid:3) 1 2 (cid:3)(cid:3) 1 (cid:3) 1 a b  c  a b  c A. 2 3 2 B. 3 2 2 1 (cid:3)(cid:3) 1 (cid:3) 2 2 (cid:3)(cid:3) 2 (cid:3) 1 a b  c a b  c C. 2 2 3 D. 3 3 2 【答案】B(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 【解析】由题，在空间四边形 OAB ， OAa ， OBb ， OC c ．点M 在 OA 上，且 OM 2MA ， (cid:3) 1 (cid:3) 1 (cid:3) ON  c b N 是 BC 的中点，则 2 2 ． (cid:3) (cid:3) (cid:3) 2 (cid:3)(cid:3) 1 (cid:3) 1 MN ON MO a b c 所以 3 2 2 故选B． 【规律方法】 用已知向量表示某一向量的方法 (1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始 点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则． (3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 【变式探究】 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1．如图，在平行六面体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1中，M 为 AC与BD 的交点．若 A 1 B 1 =a A 1 D 1 b ， (cid:2) (cid:2) AAc B M 1 ，则下列向量中与 1 相等的向量是（ ） 1 (cid:2)(cid:2)(cid:2)1 1 (cid:2)(cid:2)(cid:2)1 - a bc a bc A． 2 2 B．2 2 1 (cid:2)(cid:2)(cid:2)1 1 (cid:2)(cid:2)(cid:2)1 a bc - a bc C．2 2 D． 2 2 【答案】A uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur 1uuur BM  B A  AA AM  B A  AA AC 【解析】由题意知， 1 1 1 1 1 1 1 2r r 1 r  1 r 1 r ac (ab) a bc 2 2 2 ，故应选A． (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ABa,ADb,AA c 2．在平行六面体ABCD-ABCD中，设 1 ，E，F分别是AD，BD的中点． 1 1 1 1 1 (cid:2)(cid:2)(cid:2) (cid:2) (cid:2) a,b,c DB,EF （1）用向量 (cid:2) (cid:2) 表示 1 ，； (cid:2) (cid:2) DF  xa ybzc （2）若 1 ，求实数x，y，z的值． (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)  (cid:2) 1 (a (cid:2)(cid:2) c) x 1 ,y  1 ,z 1 DBabc 【答案】（1） 1 ，EF  2 ；（2） 2 2 . (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)  (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1(cid:2) 1(cid:2) EF  EA AF  D A AC 【解析】（1） D 1 B D 1 DDBAA 1  ABADabc ， 2 1 2 (cid:2) (cid:2) 1 (cid:2) (cid:2) 1 (cid:2) (cid:2) 1  (AA  AD) (AB AD) (ac) 2 1 2 2 . (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1 (cid:2) (cid:2) 1 1 1 1 1 1 DF  (DDDB) c (abc) a bc x ,y  ,z 1 （2） 1 2 1 1 2 2 2 2 ，所以 2 2 . 【总结提升】 1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本 要求.解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量. 2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和， 可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决. 考点二 ： 共线向量定理、共面向量定理的应用 【典例3】（2020·全国）如图所示，已知斜三棱柱 ，点 ， 分别在 和 上，且满足 ， ，判断向量 是否与向量 ， 共面．【答案】向量 与向量 ， 共面． 【解析】 由 ，再分别将 ， 表示为 ， ，最后用共面向量定 理可判断. 【详解】 ． ， ， 由共面向量定理知向量 与向量 ， 共面． 【典例4】（2021·全国）如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. （1）求证：E，F，G，H四点共面； （2）求证： 平面EFGH； （3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有 .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 （1）根据题意得出 可证； （2）通过证明 可得； （3）可得四边形EFGH为平行四边形， 为EG中点，即可证明. 【详解】 （1） E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ， ， ， 又E，F，G，H四点不共线，故E，F，G，H四点共面； （2） E，H分别是AB，AD的中点， ， ， ， 平面EFGH， 平面EFGH， 平面EFGH； （3）由（1）知四边形EFGH为平行四边形， 为EG中点， E，G分别是AB，CD的中点， . 【规律方法】 1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示． (cid:2) 1 (cid:2) (cid:2) OM  (OAOB) 2.中点向量公式 2 ，在解题时可以直接使用． 3．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线. (cid:2) (cid:2) PAPB (1) ； (cid:2) (cid:2) (cid:2) OPOAtAB (2)对空间任一点O， ； (cid:2) (cid:2) (cid:2) OP xOA yOB(x y 1) (3)对空间任一点O， ． 4．证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 (cid:2) (cid:2) (cid:2) MP xMA yMB (1) ； (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) OPOM xMA yMB (2)对空间任一点O， ；(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) OP xOM  yOAzOB(x yz 1) (3)对空间任一点O， ； (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (4)PM ∥AB(或PA∥MB或PB∥AM )． 【变式探究】 (cid:2) 3(cid:2) 1(cid:2) 1(cid:2) OP  OA OB OC 1．若A，B， C 不共线，对于空间任意一点 O 都有 4 8 8 ，则P，A，B， C 四 点（ ） A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线 【答案】B (cid:2) (cid:3) 1(cid:2) 1(cid:2) 1(cid:2) (cid:2) (cid:3) 1(cid:2) 1(cid:2) 1(cid:2) 1(cid:2) OPOA  OA OB OC OPOA  OA OB OC  OA 【解析】由已知可得 4 8 8 ，即 8 8 8 8 ， (cid:2) 1 (cid:2) (cid:2) 1 (cid:2) (cid:2) 1(cid:2) 1(cid:2) 1 (cid:2) (cid:2) AP   (OAOB) (OC OA)   BA AC  (AC  AB) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 可得 8 8 8 8 8 ,所以AP， AC ，AB共面 但不共线，故P，A，B， C 四点共面． 2．（2021·全国）已知 ， ， 三点不共线，对平面 外的任一点 ，若点 满足 . （1）判断 ， ， 三个向量是否共面； （2）判断点 是否在平面 内. 【答案】（1） 共面；（2）点 在平面 内. 【解析】 （1）由向量的线性关系可得 ，由向量减法有 ，由空间 向量共面定理，知 共面. （2）由（1）结论，有四点共面，即可知 在平面 内. 【详解】 （1）由题意，知： ， ∴ ，即 ，故 共面得证. （2）由（1）知： 共面且过同一点 . 所以 四点共面，从而点 在平面 内. 考点三 ： 空间向量的数量积及其应用 【典例5】（2021·全国高一课时练习）在棱长为1的正四面体 中，点 满足 ，点 满足 ，当 最短时， （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题知 平面 ， 直线 ，故当 、 最短时， 平面 ， ，再根据向量 的关系计算即可得答案. 【详解】 ， ， ∴ ， ， 即: ， ； 平面 ， 直线 ， 所以当 、 最短时， 平面 ， ， 为 的中心， 为线段 的中点， 如图：又正四面体的棱长为1， ， 平面 ， ， ． 故选：A． 【典例6】【多选题】（2021·江苏省板浦高级中学高二期末）如图，在平行六面体 中， 以顶点 为端点的三条棱长都是 ，且它们彼此的夹角都是 ， 为 与 的交点.若 ， ， .则下列正确的是（ ）A． B． C． 的长为 D． 【答案】BD 【解析】 由空间向量的线性运算用 表示出其他向量，判断AB，用向量法求出线段长和异面直线的夹角余弦判 断CD． 【详解】 由空间向量的加法法则得 ，B正确， ，A错误； 由已知 ， ，C错； ，D正确． 故选：BD． 【总结提升】 1.空间向量数量积计算的两种方法 (1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)坐标法：设a＝(x，y，z)，b＝(x，y，z)，则a·b＝xx＋yy＋zz. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2．空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度(距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题 利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 【变式探究】 ⇔ a (cid:2) 1,1,0 b (cid:3) 1,2,2 (cid:3) (cid:3) (cid:3) ka ab k 1．已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则 的值为（ ） A. 2 B. 0 C. -1 D. 1 【答案】B (cid:3)(cid:3) a (cid:3)(cid:3)  (cid:3) 1,1,0,b 1,2,2,ka k,k,0,ab 2,1,2 (cid:3) (cid:3) (cid:3)  ka ab 【解析】因为向量 ， 与 互相垂直， (cid:3) ka (cid:3)  (cid:3)   ab  2kk 0 k 0 ，解得 ，故选B. 2．【多选题】（2021·福建高二期末）已知四棱柱 为正方体.则下列结论正确的是 （ ） A． B． C．向量 与向量 的夹角是 D． 【答案】ABD 【解析】 先设正方体的棱长为1，再以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系.选项 A利用 ，说明两向量平行；选项B为数量积的坐标运算；选项C为坐标法求向量的夹角；选 项D为向量的加法法则与向量模长的计算. 【详解】 不妨设正方体 的棱长为1，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系.则 ， ， ， ， ， ， ， .选项A： ， ， 因为 ，所以 ，故选项A正确； 选项B： ， ， 有 ，故选项B正确； 选项C： ， 有 ， ， ， 记向量 与向量 的夹角为 ， ， 则 ，又 ，所以 ，故选项C错误； 选项D：因为 ，又 ， 所以 又 ，所以 ，有 ，故选项D正确； 故选：ABD. 【总结提升】 1. 当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；  2. 当异面直线所成的角为 时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是(cid:2)(cid:2)  |ab| (0, ] cos|cos| (cid:2)(cid:2) 2 ， [0,] ，所以 |a||b| 3. 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝转化为向量求解． 考点四 ： 空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 【典例7】（2020·福建厦门一中高二期中）已知 ，1， ， ，3， ， ，7， ，点 ， ， 在平面 内，则 的值为（ ） A． B．1 C．10 D．11 【答案】D 【解析】 由已知可知 四点共面，所以利用空间向量共面定理列方程求解即可 【详解】 解： 点 ， ， 在平面 内， 存在实数 ， 使得等式 成立， ， ， ，2， ，6， ， ，消去 ， 解得 ． 故选：D． 【典例8】（2021·全国）正方体 的棱长为1， ､ 分别在线段 与 上， 的最 小值为______.【答案】1 【解析】 方法一，该题可以结合正方体的结构特征，将其转化为两异面直线的距离来求； 方法二，可设出变量，构建相应的函数，利用函数的最值求解； 方法三，建立空间直角坐标系，利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数，然后利用函数方法求解最值. 【详解】 方法一(定义转化法)：因为直线 与 是异面直线，所以当 是两直线的共垂线段时， 取得最小 值.取 的中点 ， 的中点 .则线段 就是两异面直线 与 的共垂线段. 下证明之. 在矩形 中， 为中位线，所以 ， 又因为 平面 ，所以 平面 又因为 平面 ， 所以 .同理可证 ， 而 ， ， 所以线段 就是两异面直线 与 的共垂线段，且 . 由异面直线公垂线段的定义可得 ，故 的最小值为1. 方法二：(参数法)如图，取 的中点 ， 的中点 .则线段 就是两异面直线 与 的共垂线段. 由正方体的棱长为1可得 . 连结 ，则 ，所以 为两异面直线 与 所成角. 在正方形 中， ，所以 . 过点 作 ，垂足为 ，连结 ，则 ，且 . 设 ， ，则 . 在 中， ， 在 中， . 显然，当 时， 取得最小值1，即 的最小值为1. 方法三：(向量法)如图，以 为坐标原点，分别以射线 ､ ､ 为 ､ ､ 轴建立空间直角坐标系.设 ， .则 ，即 ； ，即 . 所以 ， 故当 时， 取得最小值1，即 的最小值为1. 故答案为：1. 【规律方法】 空间向量的坐标运算 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) OP xi yjzk (x,y,z) （1）设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果 ，则 叫做向量的坐标． （2）设a＝(x，y，z)，b＝(x，y，z)，那么 1 1 1 2 2 2 (x x ,y  y ,z z ) ①a±b＝ 1 2 1 2 1 2 ． x x  y y z z ②a·b＝ 1 2 1 2 1 2， x x  y y z z 1 2 1 2 1 2 x2  y2 z2  x 2  y 2 z 2 ③cos〈a，b〉＝ 1 1 1 2 2 2 ， x2  y2 z2 ④|a|＝＝ 1 1 1 ， (x ,y ,z ) ⑤λa＝ 1 1 1 ，x x ,y y ,z z ⑥a∥b 1 2 1 2 1 2(λ∈R)， x x  y y z z 0 ⑦a⊥b⇔ 1 2 1 2 1 2 . （3）设点M(x，y，z)、M(x，y，z)， ⇔ 1 1 1 1 2 2 2 2 (cid:2) |M M | (x x )2 (y  y )2 (z z )2 则 1 2 2 1 2 1 2 1 【变式探究】 1．点 是棱长为1的正方体 的底面 上一点，则 的取值范围是 P ABCD−A B C D ABCD (cid:3)PA⋅(cid:3)PC 1 1 1 1 1 （ ） 1 1 1 1 A． [−1,− ] B． [− ,− ] C． [−1,0] D． [− ,0] 4 2 4 2 【答案】D 【解析】以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD 所在的直线为z轴， 1 建立空间直角坐标系，如图所示； 则点A（1，0，0），C （0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得 1 0≤x≤1，0≤ y≤1，z=1，∴(cid:3)PA=（1−x，−y，−1），(cid:3)PC =（−x，1−y，0）， 1 1 2 1 2 1 ∴P´A⋅P´C =−x（1−x）−y（1−y）+0=x2−x+ y2−y=(x− ) +(y− ) − ， 由二次函数 1 2 2 2 1 1 的性质可得，当x= y= 时(cid:3)PA⋅(cid:3)PC 取得最小值为− ； 2 1 2 当 或1，且 或1时， 取得最大值为0， x=0 y=0 (cid:3)PA⋅(cid:3)PC 11 则(cid:3)PA⋅(cid:3)PC 的取值范围是[− ,0] 1 2 故选D． 2．（浙江省丽水市高中发展共同体2020-2021学年高二下学期期中联考）已知在 ， ， ，若 平面 ，则 的最小值为___________. 【答案】 【解析】 由 平面 ，得 ，从而利用空间向量垂直的坐标表示可得y，x，z之间的关系，最后根 据空间向量模的坐标表示即可求解最值． 【详解】 解：因为 平面 ，所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 的最小值为 . 故答案为： . 【总结提升】 1.求向量的数量积的方法：①设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ； ②若a＝(x，y，z)，b＝(x，y，z)，则a·b＝xx＋yy＋zz. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算． 2.求向量模的方法： ①|a|＝； ②若a＝(x，y，z)，则|a|＝.