专题三　微创新　数列与其他知识的综合问题_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_2025年高考数学大二轮_2025数学二轮专题复习学生用书Word版文档_专题复习_专题三　数列

微创新 数列与其他知识的综合问题 [考情分析] 新高考下数列与其他知识的综合问题是高考的热点，也是各地模拟考试热点，经常以压轴大 题的形式出现，一般难度较大，考查的范围较广.数列常与概率、函数、解析几何相结合，也可以与集合、 解三角形、立体几何相结合.在学习过程中，对综合运用各种知识技能解题的灵活性要求有所加强，应予以 重视. 考点一 数列与概率统计结合 例1 [数列收敛]龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两 个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况. 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.4 2.7 销售量y (千张) 1.9 1.98 2.2 2.36 2.592.68 2.7 0.4 3 6 10 10 10 1 经计算可得y= Σ y=2.2， Σ ty=118.73， Σ t2 =385. 10 i i i i i=1 i=1 i=1 (1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少， 已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程(结果中的数值用分 数表示)； 1 3 (2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 ，并且A套餐只可使用一张 4 4 优惠券，B套餐只可使用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n(n∈N*)张的概率为P ，求P ； n n (3)记(2)中所得概率P 的值构成数列{P }(n∈N*). n n ①求数列{P }的最值； n ②数列收敛的定义：已知数列{a }，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n>N 时，|a - n 0 0 n a|<ε(a是一个确定的实数)，则称数列{a }收敛于a.根据数列收敛的定义，证明数列{P }收敛. n n n n Σ (x -x)(y - y) Σ x y -nx y i i i i ^ i=1 i=1 ^ ^ 参考公式：b= = ，a=y-bx. n n Σ (x -x) 2 Σ x2-nx2 i i i=1 i=1[规律方法] 数列与概率相结合出现的频率较高，一般是根据题干得到数列的递推关系式，结合数列的相 关知识进行求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程中灵活运用数列的性质， 准确应用相关的数列知识. 跟踪演练1 (2024·苏州模拟)现有甲、乙两个盒子中都有大小、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个 盒子中各任取一个球交换，记为一次操作.重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为X ，甲 n 盒中恰有1个黑球的概率为a ，恰有2个黑球的概率为b . n n (1)求随机变量X 的分布列； 1 (2)求数列{a }的通项公式； n n 6-10a 9 i (3)求证： Σ < (n∈N*). 9a a 5 i=1 i i+1 考点二 数列与其他知识的结合问题 例2 (2024·苏州模拟)点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列.过曲线C：y=x3上的点P (x ，y ) 1 1 1 作曲线C的切线l 与曲线C交于P (x ，y )，过点P 作曲线C的切线l 与曲线C交于点P (x ，y )，依此 1 2 2 2 2 2 3 3 3 类推，可得到点列：P (x ，y )，P (x ，y )，P (x ，y )，…，P (x ，y )，…，n∈N*，已知x =1. 1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n 1 (1)求数列{x }，{y }的通项公式； n n 1 1 1 4 (2)记点P 到直线l (即直线P P )的距离为d .求证： + +…+ > . n n+1 n+1 n+2 n d d d 9 1 2 n [规律方法] 数列与函数、解析几何等的结合，通常与函数、圆锥曲线的切线相结合，利用切点或交点的 变化构造递推关系，构造等差或等比数列解决问题. x2 y2 √2 跟踪演练2 (2024·长沙市长郡中学模拟)已知椭圆E： + =1(a>b>0)的离心率e= . a2 b2 2 (1)若椭圆E过点(2，√2)，求椭圆E的标准方程； (2)若直线l ，l 均过点P(p ，0)(0

单调递减， n 7 7 4 7 13 最大值为P = ； 2 16 4 3(3) n 4 1 当n 为奇数时，P = - < 单调递增，最小值为P = . n 7 7 4 7 1 4 13 1 综上，数列{P }的最大值为 ，最小值为 . n 16 4 [ 7ε] ②证明 对任意ε>0，总存在正整数N 0 = log 3 3 +1(其中[x]表示取整数)， 4 使得当n>N 时， 0 | 4| |3( 3) n| P - = - n 7 7 4 = |3(3) n| < 3(3)log 3 4 7 3 ε =ε， 7 4 7 4 所以数列{P }收敛. n 跟踪演练1 (1)解 由题可知X 的可能取值为0，1，2， 1 根据题意得，X =0即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换，X =1即为甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交换或甲盒 1 1 1 2 2 中拿红球乙盒中拿红球交换，X =2即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则P(X =0)= × = ， 1 1 3 3 9 1 1 2 2 5 P(X =1)= × + × = ， 1 3 3 3 3 9 2 1 2 P(X =2)= × = ， 1 3 3 9X 的分布列为 1 X 0 1 2 1 2 5 2 P 9 9 9 (2)解 由全概率公式可知 P(X =1)=P(X =1)P(X =1|X =1)+P(X =2)P(X =1|X =2)+P(X =0)P(X =1|X =0) n+1 n n+1 n n n+1 n n n+1 n (1 1 2 2) (2 ) ( 2) = × + × P(X =1)+ ×1 P(X =2)+ 1× P(X =0) 3 3 3 3 n 3 n 3 n 5 2 = P(X =1)+ P(X =2)+ 9 n 3 n 2 P(X =0)， 3 n 5 2 2 即a = a + b + (1-a -b )， n+1 9 n 3 n 3 n n 1 2 即a =- a + ， n+1 9 n 3 3 1( 3) a - =- a - ， n+1 5 9 n 5 5 又a =P(X =1)= ， 1 1 9 { 3} 3 2 所以数列 a - 是以a - =- 为首项， n 5 1 5 45 1 - 为公比的等比数列， 9 3 ( 2 ) ( 1) n-1 a - = - × - n 5 45 9 2( 1) n = - ，即{a }的通项公式为 5 9 n 3 2( 1) n a = + - . n 5 5 9 6-10a i (3)证明 因为 = 9a a i i+1 [3 2( 1) i] 6-10 + - 5 5 9 [3 2( 1) i][3 2( 1) i+1] 9 + - + - 5 5 9 5 5 9( 1) i -4 - 9 = [3 2( 1) i][3 2( 1) i+1] 9 + - + - 5 5 9 5 5 9 1 1 =3 2( 1) i-3 2( 1) i+1 ， + - + - 5 5 9 5 5 9 n 6-10a i 所以 Σ 9a a i=1 i i+1 1 1 =3 2( 1) 1-3 2( 1) 2 + - + - 5 5 9 5 5 9 1 1 +3 2( 1) 2-3 2( 1) 3 + - + - 5 5 9 5 5 9 1 +…+3 2( 1) n - + - 5 5 9 1 3 2( 1) n+1 + - 5 5 9 1 9 = -3 2( 1) n+1 5 + - 5 5 9 9 < (n∈N*)，得证. 5 例2 (1)解 曲线C上点P n (x n ，y n )处的切线l n 的斜率为k n =y' x=x n =3x2 n ，故得到切线方程为y-y n =3x2 n (x-x n )， { y=x3, 联立 y- y =3x2 (x-x ), n n n y =x3, n n 消去y得x3-3x2 x+2x3 =0， n n 化简得(x-x )2(x+2x )=0， n n 所以x=x 或x=-2x ， n n 由x=x 得到点P 的坐标(x ，y )， n n n n 由x=-2x 就得到点P 的坐标(-2x ，(-2x )3)， n n+1 n n 所以x =-2x ， n+1 n 故数列{x }是首项为1，公比为-2的等比数列， n所以x =(-2)n-1，y =(-8)n-1. n n (2)证明 由(1)知P ((-2)n， n+1 (-8)n)，P ((-2)n+1，(-8)n+1)， n+2 所以直线l 的方程为 n+1 (-8) n-(-8) n+1 y-(-8)n= [x-(-2)n]， (-2) n-(-2) n+1 化简得3·4nx-y-2(-8)n=0， 因为d = n |3·4n (-2) n-1-(-8) n-1-2(-8) n| √(3·4n ) 2+(-1) 2 27·8n-1 27·8n-1 = < √9·42n+1 3·22n =9·2n-3， 1 1(1) n-3 所以 > ， d 9 2 n [ (1) n] 4 1- 1 1 1 1 2 8( 1 ) 所以 + +…+ > × = 1- d 1 d 2 d n 9 1 9 2n 1- 2 8( 1) 4 ≥ 1- = ， 9 2 9 1 1 1 4 即 + +…+ > . d d d 9 1 2 n c √2 跟踪演练2 解 (1)因为e= = ，a2=b2+c2，所以a2=2b2， a 2 x2 y2 所以椭圆E的方程为 + =1， 2b2 b2 因为椭圆E过点(2，√2)， 4 2 所以 + =1，解得b2=4， 2b2 b2 x2 y2 所以椭圆E的方程为 + =1. 8 4 (2)①当直线l ，l 中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线MN与x轴重合，不符合题意. 1 2故直线l ，l 的斜率均存在且不为0. 1 2 设直线l 的方程为y=k(x-p )(k≠0)，A(x ，y )，B(x ，y )，M(x ，y )，N(x ，y )， 1 n 1 1 2 2 M M N N { x2 y2 + =1, 联立 2b2 b2 y=k(x-p ), n 消去y并整理得(1+2k2)x2-4k2p x+2k2p2 -2b2=0， n n 因为直线与椭圆相交于两个不同的点，所以Δ>0， 4 p k2 x +x = n ， 1 2 1+2k2 2k2p2-2b2 x x = n ， 1 2 1+2k2 { 2p k2 x = n , M 1+2k2 则 -p k y = n , M 1+2k2 2p { x = n , N k2+2 同理可得 p k y = n , N k2+2 因为M，N，Q三点共线，所以y (x -x )=(y -y )(x -t )， N N M N M N n 易知y -y ≠0， N M x y -x y M N N M 则t = n y - y N M 2p k2 p k 2p -p k n · n - n · n 1+2k2 k2+2 k2+2 1+2k2 2p = = n ， p k -p k 3 n - n k2+2 1+2k2 1 2 因为p = ，所以t = . n 3n n 3n+1 |1 2 | 1 ②结合①可知a =|PQ|=|p -t |= - = ， n n n 3n 3n+1 3n+1 1 所以 =3n+1， a n {1 } 所以数列 是首项为9，公比为3的等比数列， a n{1 } 9(1-3n ) 9 所以数列 的前n项和S = = (3n-1). a n 1-3 2 n