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微创新 数列与其他知识的综合问题
[考情分析] 新高考下数列与其他知识的综合问题是高考的热点，也是各地模拟考试热点，经常以压轴大
题的形式出现，一般难度较大，考查的范围较广.数列常与概率、函数、解析几何相结合，也可以与集合、
解三角形、立体几何相结合.在学习过程中，对综合运用各种知识技能解题的灵活性要求有所加强，应予以
重视.
考点一 数列与概率统计结合
例1 [数列收敛]龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两
个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况.
日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.4 2.7
销售量y (千张) 1.9 1.98 2.2 2.36 2.592.68 2.7 0.4
3 6
10 10 10
1
经计算可得y= Σ y=2.2， Σ ty=118.73， Σ
t2
=385.
10 i i i i
i=1 i=1 i=1
(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，
已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程(结果中的数值用分
数表示)；
1 3
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 ，并且A套餐只可使用一张
4 4
优惠券，B套餐只可使用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n(n∈N*)张的概率为P ，求P ；
n n
(3)记(2)中所得概率P 的值构成数列{P }(n∈N*).
n n
①求数列{P }的最值；
n
②数列收敛的定义：已知数列{a }，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n>N 时，|a -
n 0 0 n
a|<ε(a是一个确定的实数)，则称数列{a }收敛于a.根据数列收敛的定义，证明数列{P }收敛.
n n
n n
Σ (x -x)(y - y) Σ x y -nx y
i i i i
^
i=1 i=1
^ ^
参考公式：b= = ，a=y-bx.
n n
Σ (x -x) 2 Σ x2-nx2
i i
i=1 i=1[规律方法] 数列与概率相结合出现的频率较高，一般是根据题干得到数列的递推关系式，结合数列的相
关知识进行求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程中灵活运用数列的性质，
准确应用相关的数列知识.
跟踪演练1 (2024·苏州模拟)现有甲、乙两个盒子中都有大小、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个
盒子中各任取一个球交换，记为一次操作.重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为X ，甲
n
盒中恰有1个黑球的概率为a ，恰有2个黑球的概率为b .
n n
(1)求随机变量X 的分布列；
1
(2)求数列{a }的通项公式；
n
n
6-10a
9
i
(3)求证： Σ < (n∈N*).
9a a 5
i=1 i i+1
考点二 数列与其他知识的结合问题
例2 (2024·苏州模拟)点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列.过曲线C：y=x3上的点P (x ，y )
1 1 1
作曲线C的切线l 与曲线C交于P (x ，y )，过点P 作曲线C的切线l 与曲线C交于点P (x ，y )，依此
1 2 2 2 2 2 3 3 3
类推，可得到点列：P (x ，y )，P (x ，y )，P (x ，y )，…，P (x ，y )，…，n∈N*，已知x =1.
1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n 1
(1)求数列{x }，{y }的通项公式；
n n
1 1 1 4
(2)记点P 到直线l (即直线P P )的距离为d .求证： + +…+ > .
n n+1 n+1 n+2 n d d d 9
1 2 n
[规律方法] 数列与函数、解析几何等的结合，通常与函数、圆锥曲线的切线相结合，利用切点或交点的
变化构造递推关系，构造等差或等比数列解决问题.
x2 y2 √2
跟踪演练2 (2024·长沙市长郡中学模拟)已知椭圆E： + =1(a>b>0)的离心率e= .
a2 b2 2
(1)若椭圆E过点(2，√2)，求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l ，l 均过点P(p ，0)(0<p <a，n∈N*)且互相垂直，直线l 交椭圆E于A，B两点，直线l 交椭
1 2 n n 1 2
1
圆E于C，D两点，M，N分别为弦AB和CD的中点，直线MN与x轴交于点Q(t ，0)，设p = .
n n 3n
①求t ；
n
{1 }
②记a =|PQ|，求数列 的前n项和S .
n a n
n答案精析
例1 (1)解 剔除第10天的数据，
2.2×10-0.4
可得y = =2.4，
新 9
1+2+3+4+5+6+7+8+9
t =
新 9
=5，
9
则( Σ ty) =118.73-10×0.4=114.73，
i i 新
i=1
9
( Σ
t2
) =385-102=285，
i 新
i=1
9
( Σ t y ) -9t y
i i 新 新 新
^
i=1
所以b=
9
( Σ
t2
)
-9t2
i 新 新
i=1
114.73-9×5×2.4 673
= = ，
285-9×52 6 000
^ 673 2 207
可得a=2.4-
6 000
×5=
1 200
，
^ 673 2 207
所以y=
6 000
t+
1 200
.
1
(2)解 由题意知P = P +
n 4 n-1
3 1
P (n≥3)，其中P = ，
4 n-2 1 4
1 1 3 13
P = × + = ，
2 4 4 4 16
3 3
所以P + P =P + P (n≥3)，
n 4 n-1 n-1 4 n-2
3 13 3 1
又由P + P = + × =1，
2 4 1 16 4 4
{ 3 }
所以 P + P 是首项为1的常数列，
n 4 n-1
3
所以P + P =1(n≥2)，
n 4 n-14
所以P - =
n 7
3( 4)
- P - (n≥2)，
4 n-1 7
4 1 4 9
又因为P - = - =- ，
1 7 4 7 28
{ 4} 9 3
所以数列 P - 是首项为- ，公比为- 的等比数列，
n 7 28 4
4 9 ( 3) n-1
故P - =- - ，
n 7 28 4
9 ( 3) n-1 4 4 3( 3) n
所以P =- - + = + - .
n 28 4 7 7 7 4
(3)①解 当n为偶数时，
4 3(3) n 4
P = + > 单调递减，
n 7 7 4 7
13
最大值为P = ；
2 16
4 3(3) n 4 1
当n 为奇数时，P = - < 单调递增，最小值为P = .
n 7 7 4 7 1 4
13 1
综上，数列{P }的最大值为 ，最小值为 .
n 16 4
[ 7ε]
②证明 对任意ε>0，总存在正整数N
0
= log
3 3
+1(其中[x]表示取整数)，
4
使得当n>N 时，
0
| 4| |3( 3) n|
P - = -
n 7 7 4
=
|3(3) n|
<
3(3)log
3 4
7
3
ε
=ε，
7 4 7 4
所以数列{P }收敛.
n
跟踪演练1 (1)解 由题可知X 的可能取值为0，1，2，
1
根据题意得，X =0即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换，X =1即为甲盒中拿黑球乙盒中拿黑球交换或甲盒
1 1
1 2 2
中拿红球乙盒中拿红球交换，X =2即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则P(X =0)= × = ，
1 1 3 3 9
1 1 2 2 5
P(X =1)= × + × = ，
1 3 3 3 3 9
2 1 2
P(X =2)= × = ，
1 3 3 9X 的分布列为
1
X 0 1 2
1
2 5 2
P
9 9 9
(2)解 由全概率公式可知
P(X =1)=P(X =1)P(X =1|X =1)+P(X =2)P(X =1|X =2)+P(X =0)P(X =1|X =0)
n+1 n n+1 n n n+1 n n n+1 n
(1 1 2 2) (2 ) ( 2)
= × + × P(X =1)+ ×1 P(X =2)+ 1× P(X =0)
3 3 3 3 n 3 n 3 n
5 2
= P(X =1)+ P(X =2)+
9 n 3 n
2
P(X =0)，
3 n
5 2 2
即a = a + b + (1-a -b )，
n+1 9 n 3 n 3 n n
1 2
即a =- a + ，
n+1 9 n 3
3 1( 3)
a - =- a - ，
n+1 5 9 n 5
5
又a =P(X =1)= ，
1 1 9
{ 3} 3 2
所以数列 a - 是以a - =- 为首项，
n 5 1 5 45
1
- 为公比的等比数列，
9
3 ( 2 ) ( 1) n-1
a - = - × -
n 5 45 9
2( 1) n
= - ，即{a }的通项公式为
5 9 n
3 2( 1) n
a = + - .
n 5 5 9
6-10a
i
(3)证明 因为 =
9a a
i i+1
[3 2( 1) i]
6-10 + -
5 5 9
[3 2( 1) i][3 2( 1) i+1]
9 + - + -
5 5 9 5 5 9( 1) i
-4 -
9
=
[3 2( 1) i][3 2( 1) i+1]
9 + - + -
5 5 9 5 5 9
1 1
=3 2( 1) i-3 2( 1) i+1 ，
+ - + -
5 5 9 5 5 9
n
6-10a
i
所以 Σ
9a a
i=1 i i+1
1 1
=3 2( 1) 1-3 2( 1) 2
+ - + -
5 5 9 5 5 9
1 1
+3 2( 1) 2-3 2( 1) 3
+ - + -
5 5 9 5 5 9
1
+…+3 2( 1) n -
+ -
5 5 9
1
3 2( 1) n+1
+ -
5 5 9
1
9
= -3 2( 1) n+1
5 + -
5 5 9
9
< (n∈N*)，得证.
5
例2 (1)解 曲线C上点P
n
(x
n
，y
n
)处的切线l
n
的斜率为k
n
=y'
x=x n
=3x2
n
，故得到切线方程为y-y
n
=3x2
n
(x-x
n
)，
{
y=x3,
联立 y- y =3x2 (x-x ),
n n n
y =x3,
n n
消去y得x3-3x2 x+2x3
=0，
n n
化简得(x-x )2(x+2x )=0，
n n
所以x=x 或x=-2x ，
n n
由x=x 得到点P 的坐标(x ，y )，
n n n n
由x=-2x 就得到点P 的坐标(-2x ，(-2x )3)，
n n+1 n n
所以x =-2x ，
n+1 n
故数列{x }是首项为1，公比为-2的等比数列，
n所以x =(-2)n-1，y =(-8)n-1.
n n
(2)证明 由(1)知P ((-2)n，
n+1
(-8)n)，P ((-2)n+1，(-8)n+1)，
n+2
所以直线l 的方程为
n+1
(-8) n-(-8) n+1
y-(-8)n= [x-(-2)n]，
(-2) n-(-2) n+1
化简得3·4nx-y-2(-8)n=0，
因为d =
n
|3·4n (-2) n-1-(-8) n-1-2(-8) n|
√(3·4n
)
2+(-1) 2
27·8n-1 27·8n-1
= <
√9·42n+1 3·22n
=9·2n-3，
1 1(1) n-3
所以 > ，
d 9 2
n
[ (1) n]
4 1-
1 1 1 1 2 8( 1 )
所以 + +…+ > × = 1-
d
1
d
2
d
n
9
1
9 2n
1-
2
8( 1) 4
≥ 1- = ，
9 2 9
1 1 1 4
即 + +…+ > .
d d d 9
1 2 n
c √2
跟踪演练2 解 (1)因为e= = ，a2=b2+c2，所以a2=2b2，
a 2
x2 y2
所以椭圆E的方程为 + =1，
2b2 b2
因为椭圆E过点(2，√2)，
4 2
所以 + =1，解得b2=4，
2b2 b2
x2 y2
所以椭圆E的方程为 + =1.
8 4
(2)①当直线l ，l 中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线MN与x轴重合，不符合题意.
1 2故直线l ，l 的斜率均存在且不为0.
1 2
设直线l 的方程为y=k(x-p )(k≠0)，A(x ，y )，B(x ，y )，M(x ，y )，N(x ，y )，
1 n 1 1 2 2 M M N N
{
x2 y2
+ =1,
联立 2b2 b2
y=k(x-p ),
n
消去y并整理得(1+2k2)x2-4k2p x+2k2p2 -2b2=0，
n n
因为直线与椭圆相交于两个不同的点，所以Δ>0，
4 p k2
x +x = n ，
1 2 1+2k2
2k2p2-2b2
x x = n ，
1 2 1+2k2
{ 2p k2
x = n ,
M 1+2k2
则
-p k
y = n ,
M 1+2k2
2p
{ x = n ,
N k2+2
同理可得
p k
y = n ,
N k2+2
因为M，N，Q三点共线，所以y (x -x )=(y -y )(x -t )，
N N M N M N n
易知y -y ≠0，
N M
x y -x y
M N N M
则t =
n y - y
N M
2p k2 p k 2p -p k
n · n - n · n
1+2k2 k2+2 k2+2 1+2k2 2p
= = n ，
p k -p k 3
n - n
k2+2 1+2k2
1 2
因为p = ，所以t = .
n 3n n 3n+1
|1 2 | 1
②结合①可知a =|PQ|=|p -t |= - = ，
n n n 3n 3n+1 3n+1
1
所以 =3n+1，
a
n
{1 }
所以数列 是首项为9，公比为3的等比数列，
a
n{1 } 9(1-3n ) 9
所以数列 的前n项和S = = (3n-1).
a n 1-3 2
n
