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期末难点特训一（和相似综合有关的压轴题）
1．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是线段BC上的动点，以AE为直角边在直线BC
的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，设
BE＝m．
(1)如图，当m 时，求线段CF的长；
(2)当点E在BC线段上（不含B、C）运动时，∠QEF与∠CEF是否相等？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，请你求出点P到QE的距离h，用含m的代数式表示h，并求h的最大值．
2．【探究发现】
(1)如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点
D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E．
①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮
他补充完整．
证明：延长BE交DF于点G．
②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝ °．
【类比迁移】
(2)如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，
DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求
CD'的长；
【拓展应用】(3)如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝ ，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD
绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝
EF，请直接写出此时OF的长．
3．（1）基础巩固：如图1，已知正方形 中，E是边 的延长线上一点，过点C作
，交 于点F．求证： ．
（2）尝试应用：如图2，已知正方形 的边长为1，M是边 所在直线上一点，N是边
所在直线上一点，且 ．记 ， ．请直接写出y与x之间的函数关系式．
（3）应用拓广：如图3，已知菱形 是一个菱长为 的森林生态保护区， ，沿保
护区的边缘 、 已修建好道路 和 ，现要从保护区外新修建一条道路 ，将道路 、
连通．已知 ，求道路 的最短路程．
4．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点
O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．
①填空：DQ AE（填“＞”“＜”或“＝”）；
②推断 的值为 ；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中， ＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使
点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF
与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝ 时，若 ＝ ，GF＝2 ，求CP的长．5．如图①，在 ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为 ACD 的中位线，
四边形EFGH为△ ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在 ACD的边上）． △
（1）计算矩形E△FGH的面积； △
（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与 CBD重
△
叠部分的面积为 时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形 ，将矩形 绕 点
按顺时针方向旋转，当 落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形 ，设旋转角为
，求 的值．
6．（1）如图1，在 ABC中，AB＞AC，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，
△
AE＝ ，则 的值是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，将 ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE和BD，
△
的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；（3）如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝ ，当CD＝
6，AD＝3时，请直接写出线段BD的长度．
7．在 中， ， ， ．
（1）如图1，折叠 使点 落在 边上的点 处，折痕交 、 分别于点 、 ，若
，则 ________．
（2）如图2，折叠 使点 落在 边上的点 处，折痕交 、 分别于点 、 ．若
，求证：四边形 是菱形；
（3）在（1）（2）的条件下，线段 上是否存在点 ，使得 和 相似？若存在，求
出 的长；若不存在，请说明理由．8．已知，如图1，在 中，点 是 中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，点 是边 上任意一点（点 不与点 、 重合），接 交 于点 ，连接 ，
过点 作 ，交 于点 ．
①求证： ；
②当点 是边 中点时，恰有 （ 为正整数数），求 的值．
9．如图所示，已知边长为13的正方形OEFG，其顶点O为边长为10的正方形ABCD的对角线
AC，BD的交点，连接CE，DG．
(1)求证： ；
(2)当点D在正方形OEFG内部时，设AD与OG相交于点M，OE与DC相交于点N．求证：
；
(3)将正方形OEFG绕点O旋转一周，当点G，D，C三点在同一直线上时，请直接写出EC的长．
10．如图， 是菱形 的对角线，将线段 绕点B逆时针旋转得线段 ， 的平分
线与边 交点为E．
(1)如图1，点F在 的延长线上，求证： 平分 ；(2)如图2，点P在 上，若 ，求 的值；
(3)如图3，若 与 交于点G，延长 、 交于点M，延长 、 交于点H，已
知 ，求 的值．
11．如图，BD是菱形ABCD的对角线，将线段BC绕点B逆时针旋转得线段BF，∠FBC的平分线
与边CD的交点为E．
(1)如图1，若点F在AD的延长线上，求证：∠A＝∠BFE；
(2)如图2，若点F在对角线BD上，且 ，求 的值；
(3)如图3，若BE＝BC，EF与AD交于点G，延长EF、BA交点为M，延长BE、AD交点为H，且
，求 的值．
12．如图，四边形ABCD和四边形AEFG是矩形且 ，点E线段BD上．
(1)连接DG，求证：∠BDG＝90°；
(2)连接DF，当AB＝AE时，求证：DF＝FG；
(3)在（2）的条件下，连接EG，若∠DGE＝45°，AB＝2，求AD的长．
13．如图，已知矩形ABCD，点E在边CD上，连接BE，过C作CM⊥BE于点M，连接AM，过M作MN⊥AM，交BC于点N．
(1)求证：△MAB∽△MNC；
(2)若AB＝4，BC＝6，且点E为CD的中点，求BN的长；
(3)若 ，且MB平分∠AMN，求 的值．
14．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD BC，将线段DB绕点D顺时针旋
转α至DE，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．
(1)如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
(2)当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当BC＝10，且点B，E，F三点共线时，求线段AF的长．
15．已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD交于点E，F是CD延长线上一点，连接AF，
G是线段AF上一点，连接BG，DG．(1)如图1，若CF＝CA，G是AF的中点；
①求∠FAD的度数；
②求证：BG⊥DG；
(2)如图2，若FG＝2AG，BG⊥DG，求FD的长度．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）
（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点
D，已知△ABO≌△DAC，直线BD交x轴于点E．
(1)求直线AD的解析式；
(2)直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；
(3)如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG
是菱形，求出G点的坐标．
17．如图，四边形ABCD是矩形．
(1)如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．
①求证： ＝ ．
②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝ ；(2)如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN
于点P，Q是RS的中点．若AB=2，BC=3，求PS+PQ的最小值．
18．问题提出：
如图①所示，在矩形 和矩形 中， ，点A，O，D不在同一直线上，连接
． 是 的中线，那么 之间存在怎样的关系？
(1)问题探究：先将问题特殊化，如图②所示，当 且 时， 的数量关系是
________，位置关系是________．
(2)问题拓展：再探究一般情形如图③所示，当 ， 时，证明（1）中的结论仍然成
立．
(3)问题解决：回归图①所示，探究 之间存在怎样的关系（数量关系用k表示）？
19．如图所示，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在AB边上的点G处，点C
落在点H处，GH交BC于点K，连接DG交EF于点O，DG＝2EF．
（1）求证DE•DA＝DO•DG；
（2）探索AB与BC的数量关系，并说明理由；
（3）连接BH，sin∠BFH＝ ，EF＝ ，求△BFH的周长．
