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2.3 公式法解一元二次方程教学设计
课题 2.3公式法解一元二次方程 单元 2 学科 数学 年级 九
《用公式法解一元二次方程》是北师大版九年级上册第二章内容，是在学生已经学习直接
开平方法、因式分解法和配方法解一元二次方程后的进一步学习。对于系数不特殊的一元
教 材 二次方程用前面的几种方法解起来不方便。而用求根公式解较复杂的一元二次方程显得就
分析 很方便了。因此，公式法是所有一元二次方程通用的解法，它为进一步学习一元二次方程
的简单应用起到铺垫作用，同时也为后边学习二次函数奠定了基础。
一元二次方程是方程模型中的一个重要的组成部分,是课程标准中第三学段数与代数中
的重要内容，让学生经历探索求根公式的过程，进一步发展学生演绎推理能力；进一步认
核 心
识特殊与一般的关系，体会类比、分类与转化的思想，发展学生主动探究、合作交流的能
素养
力.
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程；
2、会用公式法解一元二次方程；
学习
3、经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力
目标
重点 用公式法解一元二次方程.
难点 一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力.教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师课件出示问题 通过复习回顾所
用配方法解方程： 2x2 +7x +6 = 0. 思考回答 学知识，为本节
课的学习做准备.
讲授新课 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 学生在演算纸
ax2+bx+c=0 能否也用配方法得出它的解呢？ 上自主推导、
ax2+bx+c=0 (a≠0). 并针对自己推
解：移项，得ax2+bx=−c 导过程中预见
的问题在小范 由学生亲身经历
b c
方程两边都除以a ,x2+ x=−
a a 围内自由研 公 式 的 推 导 过
讨。最后由师 程,只有学生经
b b 2 c b 2
配方，得x2+ x+( ) =− +( )
生共同归纳、 历了这一过程,
a 2a a 2a
总结,得出求 他们才能发现问
b 2 b2−4ac
即(x+ ) =
2a 4a2 根公式. 题、汲取教训、
总结经验,形成
满足什么条件方程才有解？
自己的认识,在
因为a≠0，所以4a2>0
集 体 交 流 的 时
候,才能有感而
当b2-4ac≥0时， 是一个非负数，此时两
发。
边开平方，得
即
，
这 就 是 说 ， 对 于 一 元 二 次 方 程
ax2+bx+c=0(a≠0)，
b2
当 -4ac≥0，方程的两个根为
这个公式叫做一元二次方程的
求根公式.
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方
程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0
(a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子
学生利用公式注意：用公式法解一元二次方程的前提是: 法解方程
1. 必 需 是 一 般 形 式 的 一 元 二 次 方 程 :
ax2+bx+c=0(a≠0);
发挥学生的主体
2.b2-4ac≥0.
学生根据上面 作用,引导学生
例1： 解方程：
的例题，小组 探究利用公式法
(1)x2－7x－18＝0；
讨论用公式法 解一元二次方程
(2)4x2＋1＝4x.
解一元二次方 的一般方法,进
程的一般步 一步理解求根公
骤。 式。并引导学生
公式法解一元二次方程的步骤
总结步骤。在学
1.变形: 化已知方程为一般形式;
生 归 纳 的 基 础
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
上,老师完善过
3.计算: b2-4ac的值;
程。
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
通过分析发现
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a
议一议 ≠0)和b2-4ac
(1)用公式法解方程: x2-2x+3=0.
的关系。
(2)对于一元二次方程，当b2 -4ac<0时，它的根的
情况是怎样的？
对于一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0),如何来 学生独立利用公
判断根的情况？ 式 法 解 上 述 方
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) 程,然后观察方
• b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数
程的解的情况,
观察解题过程,
根.
总结一元二次方
• b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.
程 根 的 规 律 和
• b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
b2-4ac 的关系,
经过讨论得出结
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的
论。
判别式，通常用符号“∆”表示，即∆= b2-4ac.
思考并尝试设
计
引导学生试着将
已学的配方法和
公式法求解一些
问题：在一块长16m、宽12m的矩形荒地上,要建 一元二次方程，
造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半. 把这些技能寓于
实际问题的解决
过程中，让学生深刻体会学有所
用.
想一想，你会怎么设计这片荒地？
小明设计：如右图所示.其中花园四周小路的宽度
都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.
给出了三种设计
方案，让学生学
解：设小路的宽为 xm, 根据题意得： 会利用已学的基
16×12 独立解答，交 本技能验证方案
(16−2x)(12−2x)=
2 流讨论 的合理性.
即 x2 - 14x + 24 = 0.
解方程得 x = 2 , x = 12.
1 2
将x =12 代入方程中不符合题意舍去.
答：小路的宽为2m.
小亮设计：如右图所示.其中花园每个角上的扇形
都相同.
解：设扇形半径为 xm, 根据题意得：
16×12
πx2=
2
即πx2 = 96.
√96 √96
解方程得 x = ≈5.5 , x =- (舍去),
1 2
π π
答：扇形半径约为5.5m.
你还有其他设计方案吗？
如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它
的宽度都相等.
课堂练习 1.方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值
分别为( )
A．3、1、4 B．3、－1、－4 这个环节是巩固
C．3、－4、－1 D．－1、3、－4 本课知识点，通2.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 过设置一组由浅
的实根，则k的取值范围是 （ ） 由学生自己独 入深的练习，来
A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0 立思考完成， 检测学生的掌握
C. k<1 D. k<1 且k≠0 并找出做的好 情况，在这部分
若关于 的一元二次方程mx2−2x+1=0有两个 的同学谈谈自 的设计中，主要
己的思路和见 是发挥学生作为
不相等的实数根，则 的取值范围是
3. x
解。 教学主体的主动
．
m ______
性，让学生感受
x
2(x2−1)
已 知 方 程 − =3,如 果 设
学习的乐趣和成
x2−1 x
4. 功的喜悦。
x
= y那么原方程可以变形为关于 的整式方
x2−1
程是 y ．
解一元二次方程：
x2−2x−24=0
5.
(1)
不解方程，判别关于 的方程x2+2√2kx+k2=0
(2)3x(x-1)=2(x-1)
的根的情况
6. x
如图，圆柱的高为 ，全面积 也称表面
.
积 为 ，那么圆柱底面半径为多少
7. 15 cm (
2
) 200 π cm
课堂小结 谈一谈这节课有什么收获？
板书 课题：2.3 公式法解二元一次方程
一、公式法定义
二、一元二次方程的求根公式
−b±√b2−4ac
x=
2a
三、根的判别式
