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微拓展 1 极化恒等式和等和线定理
[考情分析] 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以
三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；
用向量共线定理求解则更加简洁.
考点一 极化恒等式
1
极化恒等式：a·b= [(a+b)2-(a-b)2].
4
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平
1
方差的 .
4
(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则：
1
①⃗PM·⃗PN= (|⃗PQ|2-|⃗NM|2)(平行四边形模式)；
4
1
②⃗PM·⃗PN=|⃗PO|2- |⃗NM|2(三角形模式).
4
例1 (1)(2024·咸阳模拟)已知在边长为1的菱形ABCD中，若点E为线段CD的中点，则⃗AE·⃗EB等于 (
)
√3 3
A. B.
2 4
3 3
C.- D.-
4 2
(2)(2024·泰安模拟)在同一平面内，M，N是两个定点，P是动点，若⃗MP·⃗NP=4，则点P的轨迹为 (
)
A.椭圆 B.抛物线
C.直线 D.圆
(3)如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则⃗PC·⃗PD的取
值范围是 .
[规律方法] 在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.
跟踪演练1 (1)如图，在四边形ABCD中，|
⃗AC|=4，⃗BA·⃗BC=12，E为AC的中点.⃗BE=2⃗ED，则⃗AD·⃗CD的值为 ( )
A.0 B.12 C.2 D.6
(2)(2024·贵州省名校协作体联考)已知椭圆C：
x2 y2
+ =1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在直线
9 8
l：x+ y-4=0上运动，则⃗MF ·⃗MF 的最小值为 ( )
1 2
A.7 B.9
C.13 D.15
(3)已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为AD，BC的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD
的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得⃗PE·⃗PF=λ成立，那么λ的取值范围是 ( )
A.(0，2] B.(0，2)
C.(0，4] D.(0，4)
考点二 等和线
平面向量等和线定理
平面内一组基底{⃗OA，⃗OB}及任一向量⃗OP，且⃗OP=λ⃗OA+μ⃗OB(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在
|OP| |OB | |O A |
平行于AB的直线上，且k= = 1 = 1 ，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及
|OF| |OB| |OA|
与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
(4)当等和线过O点时，k=0；
(5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.例2 (1)(2024·包头模拟)如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的点，
1
⃗BE=3⃗EA，⃗BF=3⃗FC.若线段EF上存在一点M，使得⃗DM= ⃗DC+x⃗DA(x∈R)，则x等于
( )
2
3 3
A. B.
4 2
2 4
C. D.
3 3
(2)如图所示，半径为1的扇形AOB，∠AOB=
2π
，若点C为弧AB上任意一点，且⃗OC=x⃗OA+ y⃗OB(x，y∈R)，则x+y的最大值是 .
3
[规律方法] 用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移该线，作出满足条件的等和线；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.
跟踪演练2 (1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若
⃗BE=λ⃗BA+μ⃗BD(λ，μ∈R)，则λ+μ等于 ( )
3
A.1 B.
4
2 1
C. D.
3 2
(2)如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，且⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC，
则λ+μ的取值范围为 ( )
A.[2，3] B.[1，2]
C.[1，3] D.[1，4]1.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则⃗EC·⃗ED等于 ( )
A.√5 B.3
C.2√5 D.5
2.(2024·玉溪模拟)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设⃗AB=a，
⃗AC=b，向量⃗AO=λa+μb，则λ+μ的值为 ( )
3
A.1 B.
4
2 1
C. D.
3 2
3.(2024·九江模拟)如图，正六边形的边长为2
√2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在
正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则⃗MA·⃗MB的取值范围为
( )
A.[4，5] B.[5，7]
C.[4，6] D.[5，8]
4.若AB为双曲线
x2 y2
- =1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2+(y-2)2=1上的一个动点，则⃗MA·⃗MB的最
16 4
大值为 ( )
15
A. B.7
4
C.-7 D.-16
5.如图，边长为2的等边△ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任意一点，若⃗AP=x⃗AB+ y⃗AC，则2x+2y的
最大值为 ( )8
A. B.2
3
4
C. D.1
3
6.如图，△AOB为直角三角形，OA=1，OB=2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则⃗AP·⃗OP=
.
7.在△ABC中，AC=2BC=6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN=2，若⃗CM·⃗CN的最小
值为3，则cos∠ACB= .
8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，且与直线
BD相切的圆内(不含边界)运动，设⃗AP=α⃗AD+β⃗AB(α，β∈R)，则α+β的取值范围是 .答案精析
例1 (1)C (2)D
(3)[0，4]
解析 如图，∵PA⊥PB，
∴点P在以AB为直径的半圆上，取CD的中点O，连接PO，
由向量极化恒等式知⃗PC·⃗PD=|⃗PO|2-|⃗OC|2=|⃗PO|2-1，
当点P在A(或B)处时，
|⃗PO| =√5，
max
当点P在A´B的中点时，|⃗PO| =1，
min
∴|⃗PO|∈[1，√5]，
∴⃗PC·⃗PD的取值范围是[0，4].
跟踪演练1 (1)A (2)A
(3)D [如图所示，设EF的中点为O，则根据极化恒等式可得⃗PE·⃗PF=|⃗PO|2-4=λ即|⃗PO|2=λ+4，
所以|⃗PO|=√λ+4，由对称性可知每个边上存在两个点P，所以点P在边的中点和顶点之间，故2<√λ+4<2
√2，解得0<λ<4.]
例2 (1)A [由图可知，直线AC是以{⃗DC，⃗DA}为基底，值为1的等和线.
1
设DM与AC交于点N， +x=k，
2
DM 5
又因为AC∥EF，则 = ，
DN 4
|DM|
根据等和线定理可得k= ，
|DN|
1 5 3
所以 +x= ，解得x= .]
2 4 4
(2)2解析 如图所示，设x+y=k，则直线AB为以{⃗OB，⃗OA}为基底，k =1的等和线，所有与直线AB平行且与
1
弧AB有公共点的直线中，切线离圆心O最远，
2π
即此时k取得最大值，设切点为D，连接OD，与AB交于点E，易知OE⊥AB.因为OA=1，∠AOB= ，
3
1
1 |DO|
所以OE= ，则k= =1=2，
2 |OE|
2
即x+y的最大值为2.
跟踪演练2 (1)B (2)C
思维提升 拓展练习
1.B 2.C 3.B
4.C [如图，O为AB的中点，连接MO，
1
⃗MA·⃗MB=|⃗MO|2- |⃗BA|2，
4
而|MO| =|OC|+1=3，
max
|AB| =2a=8，
min
所以(⃗MA·⃗MB)
max
1
=9- ×64=-7.]
4
5.A [作BC的平行线与圆O相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
∵BC∥EF，
AE AF [ 4]
设 = =k，则k∈ 0， ，
AB AC 3
由等和线定理得x+y=k，
8
∴2x+2y=2k≤ .]
3
1 2-2√10
6. 7.
16 9( 5)
8. 1，
3
解析
如图，设圆C与直线BD相切于点E，过A作AG⊥BD于G，作直线l∥DB，且直线l与圆C相切与F，连
接EF，
则EF过圆心，且EF⊥BD.由图可知，对圆C内(不含边界)任意一点P，AP在直线AG上的射影长度d满
足|AG|
