文档内容
微拓展 1 极化恒等式和等和线定理
[考情分析] 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以
三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；
用向量共线定理求解则更加简洁.
考点一 极化恒等式
1
极化恒等式：a·b= [(a+b)2-(a-b)2].
4
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平
1
方差的 .
4
(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则：
1
①⃗PM·⃗PN= (|⃗PQ|2-|⃗NM|2)(平行四边形模式)；
4
1
②⃗PM·⃗PN=|⃗PO|2- |⃗NM|2(三角形模式).
4
例1 (1)(2024·咸阳模拟)已知在边长为1的菱形ABCD中，若点E为线段CD的中点，则⃗AE·⃗EB等于(
)
√3 3
A. B.
2 4
3 3
C.- D.-
4 2
答案 C
解析 设F是AB的中点，则EF=1，根据极化恒等式⃗AE·⃗EB=-⃗EA·⃗EB=- ( |⃗EF|2- 1 |⃗AB|2) =- ( 1- 1) =-
4 4
3
.
4
(2)(2024·泰安模拟)在同一平面内，M，N是两个定点，P是动点，若⃗MP·⃗NP=4，则点P的轨迹为(
)
A.椭圆 B.抛物线
C.直线 D.圆
答案 D1
解析 设M，N的中点为A，由极化恒等式可得⃗MP·⃗NP=|⃗PA|2- |⃗MN|2 =4，因为M，N是两个定点，
4
从而|PA|为定值，所以点P的轨迹为圆.
(3)如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则⃗PC·⃗PD的取
值范围是 .
答案 [0，4]
解析 如图，∵PA⊥PB，
∴点P在以AB为直径的半圆上，取CD的中点O，连接PO，
由向量极化恒等式知⃗PC·⃗PD=|⃗PO|2-|⃗OC|2=|⃗PO|2-1，
当点P在A(或B)处时，|⃗PO| =√5，
max
当点P在A´B的中点时，|⃗PO| =1，
min
∴|⃗PO|∈[1，√5]，
∴⃗PC·⃗PD的取值范围是[0，4].
[规律方法] 在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.
注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.
跟踪演练1 (1)如图，在四边形ABCD中，|⃗AC|=4，⃗BA·⃗BC=12，E为AC的中点.⃗BE=2⃗ED，则⃗AD·
⃗CD的值为( )
A.0 B.12
C.2 D.6
答案 A解析 ∵|⃗AC|=4，E为AC的中点，
∴|⃗AE|=|⃗CE|=2，
根据极化恒等式可得⃗BA·⃗BC=|⃗BE|2-|⃗EA|2=|⃗BE|2-4=12，
∴|⃗BE|=4，
1
∴|⃗DE|= |⃗BE|=2，
2
∴⃗AD·⃗CD=⃗DA·⃗DC=|⃗DE|2-|⃗EA|2=4-4=0.
x2 y2
(2)(2024·贵州省名校协作体联考)已知椭圆C： + =1的左、右焦点分别为F ，F ，点M在直线l：
9 8 1 2
x+y-4=0上运动，则⃗MF ·⃗MF 的最小值为( )
1 2
A.7 B.9
C.13 D.15
答案 A
x2 y2
解析 由椭圆C： + =1可得F (-1，0)，F (1，0)，
9 8 1 2
设原点为O，根据极化恒等式可得
1
⃗MF ·⃗MF =|⃗MO|2- |⃗F F |2=|⃗MO|2-1，
1 2 4 1 2
4
点M在直线l：x+y-4=0上运动，根据点到直线的距离公式，可得|MO| = =2√2，故⃗MF ·⃗MF 的最小值
min √2 1 2
为7.
(3)已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为AD，BC的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD
的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得⃗PE·⃗PF=λ成立，那么λ的取值范围是( )
A.(0，2] B.(0，2)
C.(0，4] D.(0，4)
答案 D
解析 如图所示，设EF的中点为O，则根据极化恒等式可得⃗PE·⃗PF=|⃗PO|2-4=λ即|⃗PO|2=λ+4，所以|
⃗PO|=√λ+4，由对称性可知每个边上存在两个点P，所以点P在边的中点和顶点之间，故2<√λ+4<2
√2，解得0<λ<4.
考点二 等和线
平面向量等和线定理平面内一组基底{⃗OA，⃗OB}及任一向量⃗OP，且⃗OP=λ⃗OA+μ⃗OB(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行
|OP| |OB | |O A |
于AB的直线上，且k= = 1 = 1 ，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直
|OF| |OB| |OA|
线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
(4)当等和线过O点时，k=0；
(5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
例2 (1)(2024·包头模拟)如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的点，⃗BE=3⃗EA，⃗BF=3⃗FC.
1
若线段EF上存在一点M，使得⃗DM= ⃗DC+x⃗DA(x∈R)，则x等于( )
2
3 3
A. B.
4 2
2 4
C. D.
3 3
答案 A
解析 由图可知，直线AC是以{⃗DC，⃗DA}为基底，值为1的等和线.
1
设DM与AC交于点N， +x=k，
2
DM 5
又因为AC∥EF，则 = ，
DN 4
|DM|
根据等和线定理可得k= ，
|DN|
1 5 3
所以 +x= ，解得x= .
2 4 42π
(2)如图所示，半径为1的扇形AOB，∠AOB= ，若点C为弧AB上任意一点，且⃗OC=x⃗OA+y⃗OB(x，
3
y∈R)，则x+y的最大值是 .
答案 2
解析 如图所示，设x+y=k，则直线AB为以{⃗OB，⃗OA}为基底，k =1的等和线，所有与直线AB平行且与
1
弧AB有公共点的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，设切点为D，连接OD，与AB交于
点E，易知OE⊥AB.
2π
因为OA=1，∠AOB= ，
3
1
1 |DO|
所以OE= ，则k= =1=2，
2 |OE|
2
即x+y的最大值为2.
[规律方法] 用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移该线，作出满足条件的等和线；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.
跟踪演练2 (1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若⃗BE=λ⃗BA
+μ⃗BD(λ，μ∈R)，则λ+μ等于( )
3
A.1 B.
4
2 1
C. D.
3 2
答案 B
解析 如图，AD为以{⃗BA，⃗BD}为基底，值是1的等和线，延长BE交AD于点F，
过E作AD的平行线，
|BE|
设λ+μ=k，则k= .
|BF|
|BE| 3
由图易知， = ，
|BF| 4
3
所以λ+μ= .
4
(2)如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，且⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC，则
λ+μ的取值范围为( )
A.[2，3] B.[1，2]
C.[1，3] D.[1，4]
答案 C
解析 如图，当点P位于线段BC上时，
(λ+μ) =1，
min
当点P位于点D时，
(λ+μ) =3.
max
故1≤λ+μ≤3.
1.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则⃗EC·⃗ED等于( )
A.√5 B.3
C.2√5 D.5
答案 B1
解析 设CD的中点为O，由极化恒等式可得⃗EC·⃗ED=|⃗EO|2- |⃗DC|2=3.
4
2.(2024·玉溪模拟)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设⃗AB=a
，⃗AC=b，向量⃗AO=λa+μb，则λ+μ的值为( )
3
A.1 B.
4
2 1
C. D.
3 2
答案 C
解析 如图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，延长AO交BC于点M，设λ+μ=k，则k=
|AO|
.
|AM|
|AO| 2
由题易知O为△ABC的重心， = ，
|AM| 3
2
所以λ+μ= .
3
3.(2024·九江模拟)如图，正六边形的边长为2√2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正
六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则⃗MA·⃗MB的取值范围为( )
A.[4，5] B.[5，7]
C.[4，6] D.[5，8]
答案 B
解析 由极化恒等式可得，⃗MA·⃗MB=|⃗MO|2-|⃗OA|2=|⃗MO|2-1，
当OM与正六边形的边垂直时，|⃗MO| =√6，
min
当点M运动到正六边形的顶点时，|⃗MO| =2√2，
max
所以|⃗MO|∈[√6，2√2]，
则|⃗MO|2∈[6，8]，
即⃗MA·⃗MB=(|⃗MO|2-1)的取值范围为[5，7].x2 y2
4.若AB为双曲线 - =1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2+(y-2)2=1上的一个动点，则⃗MA·⃗MB的最
16 4
大值为( )
15
A. B.7
4
C.-7 D.-16
答案 C
解析 如图，O为AB的中点，连接MO，
1
⃗MA·⃗MB=|⃗MO|2- |⃗BA|2，
4
而|MO| =|OC|+1=3，|AB| =2a=8，
max min
1
所以(⃗MA·⃗MB) =9- ×64=-7.
max 4
5.如图，边长为2的等边△ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任意一点，若⃗AP=x⃗AB+y⃗AC，则2x+2y的最
大值为( )
8
A. B.2
3
4
C. D.1
3
答案 A
解析 作BC的平行线与圆O相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
AE AF
∵BC∥EF，设 = =k，
AB AC
[ 4]
则k∈ 0， ，
3
由等和线定理得x+y=k，8
∴2x+2y=2k≤ .
3
6.如图，△AOB为直角三角形，OA=1，OB=2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则⃗AP·⃗OP=
.
1
答案
16
5 1 1
解析 取AO的中点Q，连接PQ(图略)，⃗AP·⃗OP=⃗PA·⃗PO=|⃗PQ|2-|⃗AQ|2= - = .
16 4 16
7.在△ABC中，AC=2BC=6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN=2，若⃗CM·⃗CN的最小
值为3，则cos∠ACB= .
2-2√10
答案
9
1
解析 取线段MN的中点P，连接CP，过C作CO⊥AB于O，如图，PM= MN=1，
2
依题意，⃗CM·⃗CN=|⃗CP|2-|⃗PM|2=|⃗CP|2-1，
因为⃗CM·⃗CN的最小值为3，
则|⃗CP|的最小值为2，因此CO=2，
CO 1
在Rt△AOC中，cos∠OCA= = ，
CA 3
2√2
sin∠OCA= ，
3
CO 2
在Rt△BOC中，cos∠OCB= = ，
CB 3
√5 2-2√10
sin∠OCB= ，所以cos∠ACB=cos(∠OCA+∠OCB)=cos∠OCAcos∠OCB-sin∠OCAsin∠OCB= .
3 9
8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，且与直线
BD相切的圆内(不含边界)运动，设⃗AP=α⃗AD+β⃗AB(α，β∈R)，则α+β的取值范围是 .
( 5)
答案 1，
3解析 如图，设圆C与直线BD相切于点E，过A作AG⊥BD于G，作直线l∥DB，且直线l与圆C相切与
F，连接EF，则EF过圆心，且EF⊥BD.由图可知，对圆C内(不含边界)任意一点P，AP在直线AG上的射
影长度d满足|AG|
