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专题二 微重点 2 平面向量数量积的最值与范围问题
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
π
1.已知非零向量a，b的夹角为 ，|a|=2，λ∈R，则|a+λb|的最小值为( )
6
A.2 B.√3
1
C.1 D.
2
2.(2024·北京朝阳区模拟)在△ABC中，AB=AC=2，BC=2√3，点P在线段BC上.则⃗PA·⃗PB的取值范围为(
)
[ 3 ) [ 3 ]
A. - ，6 B. - ，6
4 4
[ 3 7]
C.[0，6] D. - ，
4 4
3.(2024·银川模拟)在△ABC中，⃗BD=2⃗DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于点E，F，且⃗AE=m
⃗AB，⃗AF=n⃗AC，其中m>0，n>0，则m+2n的最小值为( )
A.2 B.√2
8
C.3 D.
3
3
4.(2024·双鸭山模拟)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2，a=4，cos B= ，动点M
4
位于线段BC上，则⃗MA·⃗MB的最小值为( )
9
A.0 B.
10
9 9
C.- D.-
16 10
5.已知向量a，b，单位向量e，若a·e=1，b·e=2，a·b=3，则|a+b|的最小值为( )
A.3 B.√10
C.√13 D.6
6.(2024·武汉模拟)已知△ABC是边长为4√3的正三角形，点P是△ABC所在平面内的一点，且满足|⃗AP+
⃗BP+⃗CP|=3，则|⃗AP|的取值范围是( )
A.[3，4] B.[2，6]
C.[3，5] D.(4-√2，4+√2]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·濮阳统考)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，则( )A.|a-b|的最大值是3
B.|a+b|的最小值是0
C. |a-b|+|a+b|的最大值是2√5
D. |a-b| +|a+b|的最小值是4
8.(2024·江苏省苏锡常镇四市模拟)在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别为边BC和CD上两个
动点(含端点)，且EF=5，设⃗BE=λ⃗BC，⃗DF=μ⃗DC，则( )
1 3
A. ≤λ≤1， ≤μ≤1
6 8
B.λ+μ为定值
C.⃗AE·⃗AF的最小值为50
D.|⃗AE+⃗AF|的最大值为√265
三、填空题(每小题5分，共10分)
4
9.(2024·安庆模拟)已知非零向量a，b的夹角为θ，|a+b|=2，且|a||b|≥ ，则夹角θ的取值范围为
3
.
10.(2024·长沙模拟)在平行四边形ABCD中，AC=2BD=4，点P为该平行四边形所在平面内的任意一点，则|
⃗PA|2+|⃗PB|2+|⃗PC|2+|⃗PD|2的最小值为 .答案精析
1.C 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C
7.ACD 8.AC
[π ]
9. ，π
3
解析 由|a+b| 2 =4得
|a| 2+|b| 2+2|a||b|cos θ=4，
即4≥2|a||b|(1+cos θ)
8 1 π
≥ (1+cos θ)，前一个等号成立条件为|a|=|b|，整理得cos θ≤ .由于θ∈[0，π]，所以 ≤θ≤π.
3 2 3
10.10
解析 设AC与BD的交点为O，由⃗PA=⃗PO+⃗OA，
得|⃗PA|2=|⃗PO|2+|⃗OA|2+2⃗PO·⃗OA，
同理可得|⃗PB|2=|⃗PO|2+|⃗OB|2+2⃗PO·⃗OB，
|⃗PC|2=|⃗PO|2+|⃗OC|2+2⃗PO·⃗OC，
|⃗PD|2=|⃗PO|2+|⃗OD|2+2⃗PO·⃗OD，
所以|⃗PA|2+|⃗PB|2+|⃗PC|2+|⃗PD|2
=4|⃗PO|2+|⃗OA|2+|⃗OB|2+|⃗OC|2+|⃗OD|2+2⃗PO·(⃗OA+⃗OB+⃗OC+⃗OD)=4|⃗PO|2+10≥10，当且仅当点P与点O重合
时，等号成立.
故|⃗PA|2+|⃗PB|2+|⃗PC|2+|⃗PD|2的最小值为10.
