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微重点 2 平面向量数量积的最值与范围问题
[考情分析] 平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、
夹角及向量的系数等的最值、范围.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域
解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围
问题的重要方法.
考点一 求向量数量积的最值(范围)
例1 (1)(2024·重庆模拟)如图，边长为1的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC(包括端点)上一点，则
⃗AP·⃗AB的取值范围是 ( )
[ 4+√2] [ 2+√2]
A. 1， B. 1，
4 2
[ 1+√2] [√2 ]
C. 1， D. ，1
2 4
(2)已知在菱形ABCD中，AB=BD=6，若点M在线段AD上运动，则⃗BC·⃗BM的取值范围为 .
[规律方法] 向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征
直接进行判断.
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等
问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.
跟踪演练1 (1)(2024·渭南模拟)已知菱形ABCD的边长为1，cos∠BAD=
1
，O为菱形的中心，E是线段AB上的动点，则⃗DE·⃗DO的最小值为 ( )
3
1 2
A. B.
3 3
1 1
C. D.
2 6
(2)已知平面向量a，b满足|a|=1，|2a-b|=2，则(a+b)·b的最大值为 .
考点二 求向量模、夹角的最值(范围)
例2 (1)(2024·咸阳模拟)已知a，b是两个单位向量，且|a+b|=|a-b|，若向量c满足|c-a-b|=2，则|c|
的最大值为 ( )
A.2-√2 B.2+√2C.√2 D.2√2
⃗AB 3⃗AD λ⃗AC
(2)(2024·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中， + = ，λ∈[√7，3]，则cos∠BAD
|⃗AB| |⃗AD| |⃗AC|
的取值范围是 ( )
[ 1 1] [ 1 1]
A. - ，- B. - ，
2 6 2 3
[ 2 1] [ 2 1]
C. - ， D. - ，-
3 3 3 6
[规律方法] (1)求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过|a|2=a2转化为实数问题；数形结合；坐标法.
(2)求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最
值问题，要注意变量之间的关系.
跟踪演练2 (1)设向量⃗OA=(1，log2x)，⃗OB=(-1，1)，当x>4时，cos〈⃗OA，⃗OB〉的取值范
围是 ( )
(√10 √2) (√10 ]
A. ， B. ，1
10 2 10
( √10) (√2 √3)
C. 0， D. ，
10 2 2
3
(2)(2024·六安模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|=1，|b|=√3，a·b=- ，〈a-c，b-c〉=30°，则|c|的最
2
大值为 .
考点三 求参数的最值(范围)
例3 (1)(2024·哈尔滨模拟)在△ABC中，
2 x+ y
⃗BD= ⃗BC，P是线段AD上的动点(与端点不重合)，设⃗CP=x⃗CA+ y⃗CB，则 的最小值是
3 xy
.
(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|=2|b|=2，且不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取
值范围为 ( )
A.[-1，3] B.[-1，5]
C.[-7，3] D.[5，7]
[规律方法] 利用共线向量定理及推论
(1)a∥b a=λb(b≠0).
(2)⃗OA=
⇔
λ⃗OB+μ⃗OC(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ+μ=1.
跟踪演练3 (2024·常德模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE=2CD.
动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AE，则λ+μ的取值
范围为 .答案精析
例1 (1)C
(2)[-18，18]
解析 ⃗BC·⃗BM=|⃗BC||⃗BM|cos∠MBC，
如图所示，当M在线段AD上运动时可得
-|⃗A B|≤|⃗BM|cos∠MBC≤|⃗BD |，
1 1
即-3≤|⃗BM|cos∠MBC≤3，
又|⃗BC|=6，
所以-18≤⃗BC·⃗BM≤18.
跟踪演练1 (1)A (2)20
例2 (1)B [已知a，b是两个单位向量，且|a+b|=|a-b|，
则a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2，则a·b=0，则a⊥b，
设a，b分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，
则a=(1，0)，
b=(0，1)，
a+b=(1，1)，
设c=(x，y)，则c-a-b=(x-1，y-1)，
因为|c-a-b|=
√(x-1) 2+(y-1) 2=2，
所以(x-1)2+(y-1)2=4，
故c=⃗OC，点C的轨迹是以(1，1)为圆心，2为半径的圆，
圆心M(1，1)到原点的距离为
|OM|=√12+12=√2，
|c| =|OM|+r=√2+2.]
max⃗AB ⃗AD
(2)A [设与⃗AB同方向的单位向量 =e ，与⃗AD同方向的单位向量 =e ，与⃗AC同方向的单位向量
|⃗AB| 1 |⃗AD| 2
⃗AC
=e ，由题意，e +3e =λe ，
|⃗AC| 3 1 2 3
所以(e +3e
)2=λ2e2
，
1 2 3
即e2
+6e ·e
+9e2 =λ2e2
，
1 1 2 2 3
所以1+6×1×1×cos∠BAD+9=λ2，
λ2-10
所以cos∠BAD= ，
6
因为λ∈[√7，3]，所以λ2∈[7，9]，
λ2-10 [ 1 1]
所以 ∈ - ，- ，
6 2 6
[ 1 1]
即cos∠BAD的取值范围是 - ，- .]
2 6
跟踪演练2 (1)A (2)2√7
例3 (1)2√3+4
(2)A [∵非零向量a，b的夹角为θ，|a|=2|b|=2，
∴|a|=2，|b|=1，
a·b=2×1×cos θ=2cos θ，
∵不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立，
∴(2a+b)2≥(a+λb)2，
∴4a2+4a·b+b2≥a2+2λa·b+λ2b2，
整理可得(13-λ2)+(8-4λ)cos θ≥0恒成立，∵cos θ∈[-1，1]，
{13-λ2+8-4λ≥0,
∴
13-λ2-8+4λ≥0,
解得-1≤λ≤3.]
跟踪演练3 [0，4]
