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微重点 1 三角函数中 ω，φ 的范围问题
[考情分析] 三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单
调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上.
考点一 三角函数的单调性与ω，φ的取值范围
π
例1 (2024·鄂州模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ∈(0，2π))的一条对称轴为直线x=- ，且f(x)在
6
( 4π)
π， 上单调，则ω的最大值为( )
3
5
A. B.2
3
8 10
C. D.
3 3
答案 C
π
解析 函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ∈(0，2π))的一条对称轴为直线x=- ，
6
2π kπ π
最小正周期T= ，则y=sin(ωx+φ)的对称轴方程可以表示为x= - (k∈Z)，
ω ω 6
( 4π)
又∵f(x)在 π， 上单调，
3
kπ π
{ - ≤π,
ω 6
则∃k∈Z，使得
(k+1)π π 4π
- ≥ ,
ω 6 3
6 2
解得 k≤ω≤ (k+1)，
7 3
6 2 7
由 k≤ (k+1)，得k≤ ，
7 3 2
8
∵k∈Z，∴当k=3时，ω取得最大值为 .
3
[规律方法] 若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合
的包含关系即可求解.
( π) ( π) (π )
跟踪演练1 已知函数f(x)=√3cos ωx+ +cos ωx- (ω>0)在 ，π 上单调递增，则ω的取值范围
3 6 2
是( )
[4 5] [5 11]
A. ， B. ，
3 3 6 6[5 11] [7 ]
C. ， D. ，2
3 6 6
答案 C
( π) ( π) ( π) ( π)
解析 方法一 由题f(x)=√3cos ωx+ +cos ωx- =√3cos ωx+ +sin ωx+
3 6 3 3
( π π) ( π)
=2cos ωx+ - =2cos ωx+ ，
3 6 6
π
令π+2kπ≤ωx+ ≤2π+2kπ，k∈Z，
6
5π 11π
+2kπ +2kπ
因为ω>0，所以 6 ≤x≤ 6 k∈Z，
，
ω ω
(π )
因为f(x)在 ，π 上单调递增，
2
5π
{ +2kπ
6 π
≤ ,
ω 2
所以
11π
+2kπ
6
≥π,
ω
5 11
解得 +4k≤ω≤ +2k.
3 6
5 11 1
由 +4k≤ +2k，得k≤ ，
3 6 12
5 11
又k∈Z且ω>0，所以k=0，故 ≤ω≤ .
3 6
( π) ( π) ( π) ( π)
方法二 由题f(x)=√3cos ωx+ +cos ωx- =√3cos ωx+ +sin ωx+
3 6 3 3
( π π)
=2cos ωx+ -
3 6
( π)
=2cos ωx+ ，
6
π ωπ π π π
由 0时，ωx+ ∈ ， + ，
3 3 2 3
( π)
若f(x)在 0， 上有两个极小值，则f(x)至少有4条对称轴，不满足题意；
2
π (πω π π)
②当ω<0时，ωx+ ∈ + ， ，
3 2 3 3
( π) ( π)
又函数f(x)=sin ωx+ 在 0， 上有三条对称轴和两个极小值，
3 2
7π πω π 5π 23 17
∴- ≤ + <- ，解得- ≤ω<- ，
2 2 3 2 3 3
23 17
综上，- ≤ω<- .
3 3
T
[规律方法] 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为 ，相邻的对称轴和对
2
T
称中心之间的“水平间隔”为 ，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的
4
关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围.1 ( π)
跟踪演练2 (2024·衡水模拟)已知直线x= 是函数f(x)=sin(3πx+φ) 0<φ< 的一条对称轴，f(x)在区间
12 2
(-t，t)(t>0)内恰好存在3个对称中心，则t的取值范围为 .
( 5 7 ]
答案 ，
12 12
1 ( π)
解析 由题意知直线x= 是函数f(x)=sin(3πx+φ) 0<φ< 的一条对称轴，
12 2
3π π
故 +φ= +kπ(k∈Z)，
12 2
π
解得φ= +kπ(k∈Z)，
4
π π
因为0<φ< ，故φ= ，
2 4
( π)
故f(x)=sin 3πx+ ，
4
π
令3πx+ =k'π(k'∈Z)，
4
1 k'
解得x=- + ，
12 3
原点附近的6个对称中心分别为点
( 3 ) ( 5 ) ( 1 ) (1 ) ( 7 ) (11 )
- ，0 ， - ，0 ， - ，0 ， ，0 ， ，0 ， ，0 ，
4 12 12 4 12 12
( 1 ) (1 ) ( 7 )
若3个对称中心恰好是点 - ，0 ， ，0 ， ，0 ，
12 4 12
5 1
{- ≤-t<- ,
12 12
则 则t不存在，不符合题意；
7 11
0，已知函数f(x)=sin 3ωx- sin 2ωx+ 在(0，π)上恰有6个零点，则
4 6
ω的取值范围为( )
(19 7] (17 19]
A. ， B. ，
12 4 12 12
(13 17] (3 13]
C. ， D. ，
12 12 4 12
答案 B
解析 由题意可知，
( π) ( 5π)
令f(x)=sin 3ωx- sin 2ωx+ =0，
4 6
( π) ( 5π)
即sin 3ωx- =0或sin 2ωx+ =0，
4 6
(4k +1)π (6k -5)π
即x= 1 或x= 2 ，k ，k ∈Z，
12ω 12ω 1 2
π 5π 7π 9π 13π 17π 19π
则当x>0，ω>0时，零点从小到大依次为x= ， ， ， ， ， ， ，…，
12ω 12ω 12ω 12ω 12ω 12ω 12ω
17π 19π (17 19]
因此有 <π≤ ，即ω的取值范围为 ， .
12ω 12ω 12 12
[规律方法] 已知函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直
接求函数的零点，进而得所求的取值范围.
( π)
跟踪演练3 (2024·渭南模拟)若函数f(x)=sin ωx- -cos ωx(ω>0)在(0，π)内恰好存在8个x ，使得|
6 0
√3
f(x )|= ，则ω的取值范围为( )
0 2
[19 7) (19 7]
A. ， B. ，
6 2 6 2
[7 25) (7 25]
C. ， D. ，
2 6 2 6
答案 D
( π)
解析 由题意可得f(x)=sin ωx- -cos ωx
6
√3 1
= sin ωx- cos ωx-cos ωx
2 2
√3 3 ( π)
= sin ωx- cos ωx=√3sin ωx- ，
2 2 3√3 ( π) 1
由|f(x )|= 可得sin ωx - =± ，
0 2 0 3 2
因为x ∈(0，π)，ω>0，
0
π ( π π)
则ωx - ∈ - ，ωπ- ，
0 3 3 3
19π π 23π
由题意可得 <ωπ- ≤ ，
6 3 6
7 25
解得 <ω≤ ，
2 6
(7 25]
所以ω的取值范围为 ， .
2 6
考点四 三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围
(π )
例4 (2024·安庆模拟)已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω>0)的图象关于点 ，0 对称，且f(x)在
4
( π)
0， 上没有最小值，则ω的值为( )
3
1 3
A. B.
2 2
5 7
C. D.
2 2
答案 B
( π)
解析 f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1=cos 2ωx+sin 2ωx=√2sin 2ωx+ ，
4
(π )
因为f(x)的图象关于点 ，0 对称，
4
(π) (ωπ π)
所以f =√2sin + =0，
4 2 4
ωπ π 1
故 + =kπ，k∈Z，即ω=2k- ，k∈Z，
2 4 2
π π 3π k'π
当2ωx+ =- +2k'π，即x=- + ，k'∈Z时，函数f(x)取得最小值，
4 2 8ω ω
( π)
因为f(x)在 0， 上没有最小值，
3
5π π 15
所以 ≥ ，即ω≤ ，
8ω 3 8
1 15 19
由ω=2k- ≤ ，解得k≤ ，
2 8 163
又ω>0，故k=1，得ω= .
2
[规律方法] 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注
意自变量的范围.
( π)
跟踪演练4 (2024·安康模拟)已知函数f(x)=2cos 2x+ 在区间[0，a]上的值域为[-2，√3]，则a的取
6
值范围为( )
[5π 5π] [5π 11π]
A. ， B. ，
12 6 12 12
[2π 5π] [5π ]
C. ， D. ，π
5 12 12
答案 A
π [π π]
解析 当x∈[0，a]时，2x+ ∈ ，2a+ ，
6 6 6
( π)
由函数f(x)=2cos 2x+ 在区间[0，a]上的值域为[-2，√3]，
6
[π π] [ √3]
故函数y=cos x在区间 ，2a+ 上的值域为 -1， ，
6 6 2
π [ 11π]
则有2a+ ∈ π， ，
6 6
[5π 5π]
即a的取值范围为 ， .
12 6
专题强化练
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·桂林模拟)已知函数f(x)=cos ωx-2sin 2ωxsin ωx(ω>0)在(0，2π)上有最小值没有最大值，则ω的取值
范围是( )
(1 1] [1 1)
A. ， B. ，
4 2 4 2
[1 1) (1 1]
C. ， D. ，
6 3 6 3
答案 D
解析 依题意，f(x)=cos(2ωx-ωx)-2sin 2ωxsin ωx=cos(2ωx+ωx)=cos 3ωx，
当x∈(0，2π)时，3ωx∈(0，6ωπ)，若f(x)在(0，2π)上有最小值没有最大值，1 1
则π<6ωπ≤2π，所以 <ω≤ .
6 3
[ π ]
2.(2024·张家口统考)已知函数f(x)=sin xcos x-√3cos2x，若f(x)在区间 - ，θ 上是单调函数，则实数θ的取
3
值范围是( )
[π π) [ π π)
A. ， B. - ，
6 3 6 3
( π π ] ( π π ]
C. - ，- D. - ，
3 12 3 12
答案 C
解析 f(x)=sin xcos x-√3cos2x
1 1+cos2x
= sin 2x-√3·
2 2
1 √3 √3
= sin 2x- cos 2x-
2 2 2
( π) √3
=sin 2x- - ，
3 2
π
令t=2x- ，
3
√3
则y=sin t- ，
2
[ π ]
因为x∈ - ，θ ，
3
[ π]
所以t∈ -π，2θ- ，
3
[ π ]
又因为f(x)在区间 - ，θ 上是单调函数，
3
√3 [ π]
则y=sin t- 在区间 -π，2θ- 上是单调函数，
2 3
π π
所以-π<2θ- ≤- ，
3 2
π π
解得- <θ≤- .
3 12
( π) 1 ( π)
3.(2024·沧州统考)已知函数y=sin2 ωx- - (ω>0)在区间 0， 上有且仅有3个零点，则实数ω的取值
6 4 2
范围是( )
(8 )
A.(2，4) B. ，4
3(8 ]
C. ，4 D.(2，4]
3
答案 C
( π) 1
解析 y=sin2 ωx- -
6 4
1 ( π) 1
=- cos 2ωx- + ，
2 3 4
1 ( π) 1
令- cos 2ωx- + =0，
2 3 4
( π) 1
则cos 2ωx- = ，
3 2
π π
所以2ωx- =± +2kπ，k∈Z，
3 3
(3k+1)π kπ
所以x= 或x= ，k∈Z，
3ω ω
π 3π 4π 6π 7π
又ω>0，故函数的正零点从小到大排列为 ， ， ， ， ，…，
3ω 3ω 3ω 3ω 3ω
( π)
要使在区间 0， 上有且仅有3个零点，
2
4π π
{ < ,
3ω 2 8
需要满足 解得 <ω≤4.
6π π 3
≥ ,
3ω 2
[π ]
4.(2024·郑州模拟)已知函数f(x)=√3sin ωx+cos ωx(ω>0)，若存在x ，x ∈ ，π ，使得f(x )f(x )=-4，则ω
1 2 2 1 2
的最小值为( )
A.1 B.2
7 8
C. D.
3 3
答案 C
( π)
解析 由题意知f(x)=2sin ωx+ ，
6
由于f(x )f(x )=-4，
1 2
[π ]
则在 ，π 上至少有两个相邻的对称轴，
2π πω π π
{ < + ≤ +kπ,
6 2 6 2
令 k∈N，
π 3π
ωπ+ ≥ +kπ,
6 2
2
{0<ω≤ +2k,
3
则 k∈N，
4
ω≥ +k,
3
[7 8] 7
当k=0时，不等式组无解，当k=1时，解集为 ， ，因此ω的最小值为 .
3 3 3
[π π]
5.(2024·葫芦岛模拟)已知f(x)=sin ωx+√3cos ωx(ω>0)在区间 ， 上单调递增，则ω的取值范围为( )
6 4
( 2] (2 )
A. 0， B. ，7
3 3
[ 26] ( 2] [ 26]
C. 7， D. 0， ∪ 7，
3 3 3
答案 D
( π)
解析 f(x)=sin ωx+√3cos ωx=2sin ωx+ ，
3
[π π]
当x∈ ， 时，
6 4
π [π π π π]
由ω>0，则ωx+ ∈ ω+ ， ω+ ，
3 6 3 4 3
[π π]
因为f(x)在 ， 上单调递增，
6 4
π π π
{- +2kπ≤ ω+ ,
2 6 3
则有 k∈N，
π π π
+2kπ≥ ω+ ,
2 4 3
{ω≥-5+12k,
解得 2 k∈N，
ω≤ +8k,
3
2
即-5+12k≤ω≤ +8k，k∈N，
3
2
有-5+12k≤ +8k，k∈N，
3
17
即k≤ ，即k=0或k=1，
122 26
当k=0时，有0<ω≤ ，当k=1时，有7≤ω≤ ，
3 3
( 2] [ 26]
故ω的取值范围为 0， ∪ 7， .
3 3
(π)
6.已知函数f(x)=cos(ωx-φ)(ω>0).若∀x∈R，f(x)≥f ，且f(x)在(0，2π)上恰有3个极值点，则实数ω的取
6
值范围为( )
( 6 ]
A. 0， B.(0，3]
11
(12 18]
C. ， D.(0，6]
11 11
答案 C
(π) (π ) π
解析 令f =cos ω-φ =-1，得 ω-φ=2kπ+π，k∈Z，
6 6 6
π
即φ=-2kπ+ ω-π，k∈Z，
6
( π )
所以f(x)=cos(ωx-φ)=cos ωx+π+2kπ- ω
6
( π )
=-cos ωx- ω .
6
π π 11π
因为ω>0，00,
{
π
-π≤- ω<0, 12 18
又f(x)在(0，2π)上恰有3个极值点，所以 6 解得 <ω≤ ；
11 11
11π
2π< ω≤3π,
6
ω>0,
{
π
-2π≤- ω<-π,
或 6 (无解)；
11π
π< ω≤2π
6
ω>0,
{
π
-3π≤- ω<-2π,
或 6 (无解).
11π
0< ω≤π
6
(12 18]
综上，实数ω的取值范围为 ， .
11 11二、多项选择题(每小题6分，共12分)
( π) ( √3)
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ω>0，|φ|< 的图象经过点 0， ，若函数f(x)在区间[0，π]上有3条对
2 2
称轴，下列说法正确的是( )
A.f(x)在区间[0，π]上有2个极大值点
B.f(x)在区间[0，π]上有2个零点
C.f(x)在区间[0，π]上零点个数不确定
[13 19)
D.ω的取值范围为 ，
6 6
答案 ACD
( π) ( √3)
解析 因为函数f(x)=sin(ωx+φ) ω>0，|φ|< 的图象经过点 0， ，
2 2
√3 π π
所以sin φ= ，又|φ|< ，所以φ= .
2 2 3
π [π π]
因为x∈[0，π]，所以ωx+ ∈ ，ωπ+ ，
3 3 3
结合y=sin x的图象可知，f(x)在区间[0，π]上有2个极大值点和1个极小值点，
所以f(x)在区间[0，π]上可能有3个零点，也可能有2个零点，故A，C正确，B错误；
因为函数f(x)在区间[0，π]上有3条对称轴，
5π π 7π 13 19
所以 ≤ωπ+ < ，解得 ≤ω< ，故D正确.
2 3 2 6 6
( π )
8.(2024·莆田模拟)已知函数f(x)=3cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象既关于点 - ，0 中心对称，也关于直线
2
3π [π 2π]
x= 轴对称，且f(x)在 ， 上单调，则ω的值可能是( )
4 6 3
2 6
A. B.
5 5
14
C.2 D.
5
答案 AB
πω π
{- +φ=k π+ ,k ∈Z,
2 1 2 1
解析 由题意可得
3πω
+φ=k π,k ∈Z,
4 2 2
4[ 1]
则ω= (k -k )- ，k ，k ∈Z，
5 2 1 2 1 24( 1)
即ω= k- ，k∈Z.
5 2
[π 2π]
因为f(x)在 ， 上单调，
6 3
T 2π π π 2π
所以 ≥ - = ，所以T≥π，即 ≥π，
2 3 6 2 ω
4( 1)
所以0<ω≤2，即0< k- ≤2，
5 2
1
解得 0)的图象在 0， 内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，
3
则实数ω的取值范围是 .
(15 21]
答案 ，
4 4
( π)
解析 方法一 由题意，得f(x)=sin ωx+cos ωx=√2sin ωx+ ，
4
π π
令ωx+ =kπ+ (k∈Z)，
4 2
π
kπ+
解得x= 4 (k∈Z)，
ω
π 5π 9π
令k=0，1，2，得x= ， ， ；
4ω 4ω 4ω
π
令ωx+ =mπ(m∈Z)，
4π
mπ-
解得x= 4 (m∈Z)，
ω
3π 7π
令m=1，2，得x= ， .
4ω 4ω
5π π
{ < ,
4ω 3
9π π
≥ ,
4ω 3
根据题意，得
3π π
< ,
4ω 3
7π π
≥ ,
4ω 3
15 21
解得 <ω≤ .
4 4
(15 21]
故ω的取值范围为 ， .
4 4
( π)
方法二 由题意得f(x)=sin ωx+cos ωx=√2sin ωx+ ，
4
( π)
∵x∈ 0， ，
3
π (π π π)
∴ωx+ ∈ ， ω+ ，
4 4 3 4
( π)
又∵f(x)的图象在 0， 内有且仅有两条对称轴和一个对称中心，
3
3π π π
∴ < ω+ ≤2π，
2 3 4
15 21
解得 <ω≤ ，
4 4
(15 21]
故ω的取值范围为 ， .
4 4
( π)
10.(2024·信阳模拟)已知f(x)=Asin ωx- +B(A>0，ω>0，B为常数)，f(x) =f(x )=3，f(x) =f(x )=-1，且|x -
3 max 1 min 2 1
π
x |的最小值为 ，若f(x)在区间[a，b]上恰有8个零点，则b-a的最小值为 .
2 2
10π
答案
3
{ A+B=3, {A=2,
解析 由题意得 解得
-A+B=-1, B=1,1 π
设f(x)的最小正周期为T，故 T= ，
2 2
2π
解得T=π，因为ω>0，所以ω= =2，
T
( π)
故f(x)=2sin 2x- +1，
3
π [ π π]
当x∈[a，b]时，2x- ∈ 2a- ，2b- ，
3 3 3
( π) 1
令f(x)=0，得sin 2x- =- ，
3 2
画出y=sin z的图象，如图，
要想在区间[a，b]上恰有8个零点，且b-a取得最小值，
( π) 1
故sin 2a- =- ，
3 2
( π) 1
sin 2b- =- ，
3 2
π 17π
{2a- =- +2kπ,k∈Z,
3 6
且
π 23π
2b- = +2kπ,k∈Z,
3 6
20π 10π
两式相减得2(b-a)= ，b-a= .
3 3
10π
所以b-a的最小值为 .
3
