文档内容
微重点 1 三角函数中 ω，φ 的范围问题
[考情分析] 三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单
调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上.
考点一 三角函数的单调性与ω，φ的取值范围
例1 (2024·鄂州模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ∈(0，2π))的一条对称轴为直线x=-
π ( 4π)
，且f(x)在 π， 上单调，则ω的最大值为 ( )
6 3
5
A. B.2
3
8 10
C. D.
3 3
[规律方法] 若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合
的包含关系即可求解.
( π) ( π) (π )
跟踪演练1 已知函数f(x)=√3cos ωx+ +cos ωx- (ω>0)在 ，π 上单调递增，则ω的取值
3 6 2
范围是 ( )
[4 5] [5 11]
A. ， B. ，
3 3 6 6
[5 11] [7 ]
C. ， D. ，2
3 6 6
考点二 三角函数的对称性与ω，φ的取值范围
( π) ( π)
例2 (2024·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)=sin ωx+ 在 0， 上有三条对称轴和两个极小值，则
3 2
( )
13 19 7 13
A. <ω≤ B. <ω≤
3 3 3 3
23 17 17 11
C.- ≤ω<- D.- ≤ω<-
3 3 3 3
[规律方法] 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为
T
，相邻的对称轴和对
2
T
称中心之间的“水平间隔”为 ，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问
4
题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围.1 ( π)
跟踪演练2 (2024·衡水模拟)已知直线x= 是函数f(x)=sin(3πx+φ) 0<φ< 的一条对称轴，f(x)
12 2
在区间(-t，t)(t>0)内恰好存在3个对称中心，则t的取值范围为 .
考点三 三角函数的零点与ω，φ的取值范围
( π) ( 5π)
例3 (2024·武汉模拟)设ω>0，已知函数f(x)=sin 3ωx- sin 2ωx+ 在(0，π)上恰有6个零点，则
4 6
ω的取值范围为 ( )
(19 7] (17 19]
A. ， B. ，
12 4 12 12
(13 17] (3 13]
C. ， D. ，
12 12 4 12
[规律方法] 已知函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直
接求函数的零点，进而得所求的取值范围.
跟踪演练3 (2024·渭南模拟)若函数f(x)=sin
( π) √3
ωx- -cos ωx(ω>0)在(0，π)内恰好存在8个x0，使得|f(x0)|= ，则ω的取值范围为
6 2
( )
[19 7) (19 7]
A. ， B. ，
6 2 6 2
[7 25) (7 25]
C. ， D. ，
2 6 2 6
考点四 三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围
例4 (2024·安庆模拟)已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω>0)的图象关于点
(π ) ( π)
，0 对称，且f(x)在 0， 上没有最小值，则ω的值为 ( )
4 3
1 3
A. B.
2 2
5 7
C. D.
2 2
[规律方法] 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注
意自变量的范围.
( π)
跟踪演练4 (2024·安康模拟)已知函数f(x)=2cos 2x+ 在区间[0，a]上的值域为[-2，√3]，则a
6
的取值范围为 ( )
[5π 5π] [5π 11π]
A. ， B. ，
12 6 12 12[2π 5π] [5π ]
C. ， D. ，π
5 12 12答案精析
π 2π
例1 C [函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ∈(0，2π))的一条对称轴为直线x=- ，最小正周期T= ，
6 ω
kπ π
则y=sin(ωx+φ)的对称轴方程可以表示为x= - (k∈Z)，
ω 6
( 4π)
又∵f(x)在 π， 上单调，
3
kπ π
{ - ≤π,
ω 6
则∃k∈Z，使得
(k+1)π π 4π
- ≥ ,
ω 6 3
6 2
解得 k≤ω≤ (k+1)，
7 3
6 2 7
由 k≤ (k+1)，得k≤ ，
7 3 2
∵k∈Z，
8
∴当k=3时，ω取得最大值为 .]
3
跟踪演练1 C
( π)
例2 C [∵x∈ 0， ，
2
①当ω>0时，
π (π πω π)
ωx+ ∈ ， + ，
3 3 2 3
( π)
若f(x)在 0， 上有两个极小值，则f(x)至少有4条对称轴，不满足题意；
2
②当ω<0时，
π (πω π π)
ωx+ ∈ + ， ，
3 2 3 3
( π) ( π)
又函数f(x)=sin ωx+ 在 0， 上有三条对称轴和两个极小值，
3 2
7π πω π 5π
∴- ≤ + <- ，
2 2 3 2
23 17
解得- ≤ω<- ，
3 3
23 17
综上，- ≤ω<- .]
3 3( 5 7 ]
跟踪演练2 ，
12 12
例3 B [由题意可知，
( π)
令f(x)=sin 3ωx- ·
4
( 5π)
sin 2ωx+ =0，
6
( π)
即sin 3ωx- =0或
4
( 5π)
sin 2ωx+ =0，
6
(4k +1)π (6k -5)π
即x= 1 或x= 2 ，k ，k ∈Z，
12ω 12ω 1 2
π 5π 7π 9π 13π 17π 19π
则当x>0，ω>0时，零点从小到大依次为x= ， ， ， ， ， ， ，…，
12ω 12ω 12ω 12ω 12ω 12ω 12ω
17π 19π
因此有 <π≤ ，
12ω 12ω
(17 19]
即ω的取值范围为 ， .]
12 12
跟踪演练3 D
例4 B [f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1
=cos 2ωx+sin 2ωx
( π)
=√2sin 2ωx+ ，
4
(π )
因为f(x)的图象关于点 ，0 对称，
4
(π) (ωπ π)
所以f =√2sin + =0，
4 2 4
ωπ π
故 + =kπ，k∈Z，
2 4
1
即ω=2k- ，k∈Z，
2
π π 3π k'π
当2ωx+ =- +2k'π，即x=- + ，k'∈Z时，函数f(x)取得最小值，
4 2 8ω ω
( π)
因为f(x)在 0， 上没有最小值，
3
5π π 15
所以 ≥ ，即ω≤ ，
8ω 3 81 15 19
由ω=2k- ≤ ，解得k≤ ，
2 8 16
3
又ω>0，故k=1，得ω= .]
2
跟踪演练4 A
