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微拓展 3 平面向量中的新定义
[考情分析] 平面向量作为数学工具，是代数与几何的纽带，是数学知识网络中的一个交汇点，成为联系
多项内容的媒介.平面向量的新定义把向量与其他知识联系起来，通过规则、运算等，更好的展示了向量
“数”与“形”的双重身份，是高考改革创新的热点.
考点一 平面向量的外积
定义
向量a与b的外积是一个向量，记为a×b，它的长度|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉，它的方向垂直于a，b，且
⃗ {a，b，a×b}构成右手系的基.
外积是一个向量，所以又叫向量积，也叫叉积，a×b读作“a叉b”.
特别地，当a=0或b=0时，a×b=0.
例1 (多选)[平面向量的外积]
在空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且⃗ {a，b，a×b}构成右手系的基(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食
指、中指的指向一致，如图所示)；
②a×b的模|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉(〈a，b〉表示向量a，b的夹角).
在正方体ABCD-A B C D 中，有以下四个结论，正确的是 ( )
1 1 1 1
A.|⃗AB ×⃗AC|=|⃗AD ×⃗DB|
1 1
B.⃗A C ×⃗A D与⃗BD 共线
1 1 1 1
C.⃗AB×⃗AD=⃗AD×⃗AB
D.V =-(⃗AB×⃗AD)·⃗CC
ABCD-A B C D 1
1 1 1 1
[规律方法] (1)外积的几何意义
S =|a|·(|b|sin θ)=|a×b|.
▱ABCD
结论：|a×b|表示的是a与b构成的平行四边形的面积.(2)外积的性质
①a×a=0；
②a×b=0 a∥b；
③a×b=-(⇔b×a)(交换律不成立)；
④(a+b)×c=a×c+b×c(分配律)；
⑤(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b).
跟踪演练1 (多选)(2024·昭通统考)已知向量a，b的数量积(又称向量的点积或内积)：a·b=|a|·|b|cos
〈a，b〉，其中〈a，b〉表示向量a，b的夹角；定义向量a，b的向量积(又称向量的叉积或外积)：|
a×b|=|a|·|b|sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示向量a，b的夹角，则下列说法正确的是 ( )
π
A.若a，b为非零向量，且|a×b|=|a·b|，则〈a，b〉=
4
B.若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于|⃗AB×⃗AD|
C.已知点A(2，0)，B(-1，√3)，O为坐标原点，则|⃗OA×⃗OB|=2√3
√3
D.若|a×b|= a·b=√3，则|a+2b|的最小值为2√3+2√3
3
考点二 与线性运算有关的新定义
例2 我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图所示，
e ，e 分别为Ox，Oy正方向上的单位向量.若向量⃗OP=xe +ye ，则把实数对{x，y}叫做向量
1 2 1 2
⃗OP的“@未来坐标”，记⃗OP={x，y}，已知{x ，y }，{x ，y }分别为向量a，b的“@未来坐标”.
1 1 2 2
1
(1)证明：{x ，y }·{x ，y }=x x +y y + (x y +x y )；
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1
(2)若向量a，b的“@未来坐标”分别为{sin x，1}，{cos x，1}，已知f(x)=a·b，x∈R，求函数f(x)的最
值.
[规律方法] 解决此类问题，关键是对新定义中的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算法则，
直接按照法则计算即可；若是新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特殊
值排除.
跟踪演练2 (多选)定义平面向量之间的一种运算“☉”如下：对任意的a=(m，n)，b=(p，q)，令
a☉b=mq-np，则下列说法正确的是 ( )
A.若a与b共线，则a☉b=0
B.a☉b=b☉aC.对任意的λ∈R，有(λa)☉b=λ(a☉b)
D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2
考点三 平面向量的新定义与新运算
{x =α ·α ,
例3 设非零向量α=(x，y)，β=(y，-x)(k∈N*)，并定义 k+2 k+1 k
k k k k k k y =β ·α .
k+2 k+1 k
(1)若α =(1，2)，α =(3，-2)，求|α |，|α |，|α |；
1 2 1 2 3
(2)写出|α|，|α |，|α |(k∈N*)之间的等量关系，并证明；
k k+1 k+2
(3)若|α |=|α |=1，求证：集合{α|k∈N*}是有限集.
1 2 k
[规律方法] 与定义新运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的运算规则，并按照此运
算规则和要求，结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的.
跟踪演练3 (1)已知对任意平面向量
⃗AB=(x，y)，把⃗AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量⃗AP=(xcos θ- ysin θ，xsin θ+ ycos θ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知平面内点
π
A(1，2)，点B(1+√3，4)，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 后得到点P，则点P的坐标为 (
3
)
(3√3 3) ( 3√3 3)
A. +1， B. - +1，
2 2 2 2
(5 3√3) (5 1)
C. ， D. ，
2 2 2 2
α·β (π π)
(2)对于非零向量α，β，定义一种运算：α∘β= ，已知非零向量a，b的夹角θ∈ ， ，且
β·β 4 2
{n| }
ab，ba都在集合 n∈N 中，则a∘b等于 ( )
2
5 3 1 3
A. 或 B. 或
2 2 2 2
1
C.1 D.
2
1.对于非零向量a，b，定义a b=a·b·tan〈a，b〉.若a b=|a+b|=√3|a-b|=√3，则tan〈a，b〉等于 ( )
2√3
⊕ ⊕
A. B.√2
3
C.2√3 D.3√22.若向量a=(x ，y )，b=(x ，y )，则a，b构成的平行四边形的面积S可以用a，b的外积a×b表示出来，即
1 1 2 2
S=|a×b|=|x y -x y |.已知在平面直角坐标系Oxy中，点A(cos α，
1 2 2 1
[ π]
√3)，B(sin 2α，2cos α)，α∈ 0， ，则△OAB面积的最大值为 ( )
2
A.1 B.√2
C.2 D.3
( π)
3.(多选)如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ θ≠ 角的两条数轴，e ，e 分别是与x，y轴正方向同向
2 1 2
的单位向量，则称平面坐标系Oxy为θ反射坐标系，若⃗OM=xe +ye ，则把有序数对(x，y)叫做向量
1 2
2π
⃗OM的反射坐标，记为⃗OM=(x，y)，在θ= 的反射坐标系中，a=(1，2)，b=(2，-1)，则下列结论
3
中，正确的是 ( )
A.a-b=(-1，3)
B.|a|=√5
C.a⊥b
3√7
D.a在b上的投影向量的长度为-
14
4.(多选)现在给出一个向量的新运算a×b，叫作向量a与b的外积，它是一个满足如下两个条件的向量：
①a·(a×b)=0，b·(a×b)=0，且⃗ {a，b，a×b}构成右手系的基(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、
中指的指向一致，如图1所示)；②向量a×b的模|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉.如图2，在棱长为2的正四面体
ABCD中，下列说法正确的是 ( )
A.⃗AB×⃗AC=⃗AC×⃗AB
B.4|⃗BC×⃗AC|与正四面体的表面积相等
C.(⃗AC×⃗AB)·⃗AD=4√2
D.|(⃗AC×⃗AB)×⃗AD|=|⃗AC×(⃗AB×⃗AD)|
5.给出定义：对于向量b=(sin x，cos x)，若函数f(x)=a·b，则称向量a为函数f(x)的伴随向量，同时称函数
f(x)为向量a的伴随函数.( 3)
已知A -1， ，B(1，3)，函数h(x)的伴随向量为n=(0，1)，点P为函数h(x)的图象上一点，满足
2
|⃗AP+⃗BP|=|⃗AB|，则点P的坐标为 .
a·b a·b
6.(2024·邯郸模拟)对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a b= ，a☉b= .若平面向量a，
|a|2+|b|2 |b|2
⊕
{n| }
b满足|a|>|b|>0，且a b和a☉b都在集合 n∈Z，0|b|>0，
所以|a|2+|b|2>2|a||b|，
a·b |a||b|cosθ |a||b|cosθ
得到a b= = <
|a|2+|b|2 |a|2+|b|2 2|a||b|
⊕
cosθ
= ，
2cosθ 1
又θ∈[0，π]，所以 ≤ ，
2 2
1 {n| }
所以a b< ，又a b在集合 n∈Z，0 ，即cos θ> ；
2 4 2
a·b |a||b|cosθ |a| 1
又因为a☉b= = = cos θ>cos θ> ，
|b|2 |b|2 |b| 2
3
所以a☉b= 或1，
4
5
所以a b+a☉b=1或 .
4
⊕
7.解 (1)由题意|a |≥|a +a |，
3 1 2
而a =(1，x+1)，a =(2，x+2)，
1 2
a =(3，x+3)，
3
a +a =(3，2x+3)，
1 2
所以√9+(x+3) 2≥√9+(2x+3) 2，
解得-2≤x≤0，
所以x的取值范围是[-2，0].
(2)a ，a ，a 的等量关系是a +a +a =0，证明如下：
1 2 3 1 2 3
由题意a 是向量组a ，a ，a 的“好向量”，所以|a |≥|a +a |，
1 1 2 3 1 2 3
则|a |2≥|a +a |2 ，
1 2 3
即a2≥(a +a ) 2 ，
1 2 3
所以a2≥a2
+2a ·a
+a2
，
1 2 2 3 3
同理a2≥a2
+2a ·a
+a2
，
2 1 1 3 3
a2≥a2+2a ·a +a2 ，
3 2 2 1 1
三式相加并整理得0≥a2 +a2 +a2
+2a ·a +2a ·a +2a ·a ，
1 2 3 1 2 2 3 1 3
所以(a +a +a ) 2≤0，
1 2 3
|a +a +a |≤0，
1 2 3
所以a +a +a =0.
1 2 3
8.(1)解 设x=(m，n)，由x·a=x·b得-m+3n=2m-6n，
即m=3n，不妨令n取1，2，3，则m取3，6，9，
故V(a，b)中的三个元素为(3，1)，(6，2)，(9，3).
(2)证明 先证明V(a，b)中的向量都是共线向量，
不妨设a=(a ，a )，b=(b ，b )，
1 2 1 2
因为a≠b，所以a -b ，a -b 中至少有一个不为0，
1 1 2 2
a -b
( )
若a -b ≠0，记e = 1，- 1 1 ，
2 2 1 a -b
2 2
显然e ·(a-b)=0，
1
即e ·a=e ·b，
1 1
故e ∈V(a，b)，
1
任取v=(x，y)∈V(a，b)，
因为v·a=v·b，
所以v·(a-b)=0，
a -b
1 1
故x(a -b )+y(a -b )=0，则y=- x，
1 1 2 2 a -b
2 2
故v=(x，y)=xe ，
1
则V(a，b)={v|v=λe ，λ∈R}，则问题得证；
1
若a -b =0，a -b ≠0，同理可证明V(a，b)={v|v=λe ，λ∈R}，
2 2 1 1 2
a -b
( )
其中e = - 2 2，1 ；
2 a -b
1 1
综上，V(a，b)中的向量都是共线向量.
因为V(a，b)=V(a，c)，
所以不妨设v ，v ∈V(a，b)，v ≠v ，
1 2 1 2
则由V(a，b)定义知v ·a=v ·b，
1 1
即v ·(a-b)=0，
1
同理v ·(a-b)=0，
2
故v ·(a-b)=v ·(a-b)，
1 2
则(a-b)∈V(v ，v )，
1 2
同理可得(a-c)∈V(v ，v )，
1 2
故a-b，a-c为共线向量，
即存在实数λ，使(a-c)=λ(a-b)，
即(1-λ)a=-λb+c，
因为b≠c，所以λ≠1，λ 1
所以a=- b+ c，
1-λ 1-λ
λ 1
记λ =- ，λ = ，
1 1-λ 2 1-λ
则λ +λ =1，
1 2
即一定存在实数λ ，λ ，
1 2
且λ +λ =1，使得a=λ b+λ c.
1 2 1 2
