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微拓展 2 奔驰定理和四心问题
[考情分析] 奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关
的问题，有着决定性的基石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强.
一般难度较大.
考点一 奔驰定理
奔驰定理：
如图，已知P为△ABC内一点，则有S ·⃗PA+S ·⃗PB+S ·⃗PC=0.
△PBC △PAC △PAB
1
例1 (1)(2024·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足⃗DA+⃗DB+ ⃗DC=0，则△ABC的面积是
2
△ABD的面积的( )
A.5倍 B.4倍
C.3倍 D.2倍
答案 A
1
解析 因为⃗DA+⃗DB+ ⃗DC=0，
2
即2⃗DA+2⃗DB+⃗DC=0，
所以S ∶S ∶S =2∶2∶1，所以△ABC的面积是△ABD的面积的5倍.
△BCD △ACD △ABD
(2)已知点O为△ABC内一点，若S ∶S ∶S =4∶3∶2，设⃗AO=λ⃗AB+μ⃗AC，则实数λ和μ的
△AOB △BOC △AOC
值分别为( )
2 4 4 2
A. ， B. ，
9 9 9 9
1 2 2 1
C. ， D. ，
9 9 9 9
答案 A
解析 根据奔驰定理，得3⃗OA+2⃗OB+4⃗OC=0，
即3⃗OA+2(⃗OA+⃗AB)+4(⃗OA+⃗AC)=0，2 4
整理得⃗AO= ⃗AB+ ⃗AC，
9 9
2 4
故λ= ，μ= .
9 9
[规律方法] 已知P为△ABC内一点，且x⃗PA+y⃗PB+z⃗PC=0(x，y，z∈R，xyz≠0，x+y+z≠0)，则有
(1)S ∶S ∶S =|x|∶|y|∶|z|；
△PBC △PAC △PAB
S |x| S |y| S |z|
(2) △PBC = ， △PAC = ， △PAB = .
S |x|+|y|+|z| S |x|+|y|+|z| S |x|+|y|+|z|
△ABC △ABC △ABC
S 4
跟踪演练1 (1)已知O是△ABC内部一点，满足⃗OA+2⃗OB+m⃗OC=0，且 △AOB = ，则实数m等于(
S 7
△ABC
)
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 C
解析 由奔驰定理得
S ·⃗OA+S ·⃗OB+S ·⃗OC=0，
△BOC △AOC △AOB
又⃗OA+2⃗OB+m⃗OC=0，
∴S ∶S ∶S =1∶2∶m.
△BOC △AOC △AOB
S m 4
∴ △AOB = = ，
S 1+2+m 7
△ABC
解得m=4.
|⃗PQ|
(2)已知点P，Q在△ABC内，⃗PA+2⃗PB+3⃗PC=2⃗QA+3⃗QB+5⃗QC=0，则 = .
|⃗AB|
1
答案
30
解析 根据奔驰定理得S ∶S ∶S =1∶2∶3，S ∶S ∶S =2∶3∶5，
△PBC △PAC △PAB △QBC △QAC △QAB
1
∴S =S = S ，∴PQ∥AB，
△PAB △QAB 2 △ABC
1 1
又∵S = S ，S = S ，
△PBC 6 △ABC △QBC 5 △ABC
|⃗PQ| S -S 1 1 1
△QBC △PBC
∴ = = - = .
|⃗AB| S 5 6 30
△ABC
考点二 奔驰定理与三角形四心
已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：
①若O为△ABC的重心，则⃗OA+⃗OB+⃗OC=0 S ∶S ∶S =1∶1∶1；
△AOB △BOC △AOC
②若O为△ABC的外心，则sin 2A·⃗OA+sin 2B·⃗OB+sin 2C·⃗OC=0，且|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|；
⇔③若O为△ABC的内心，则a·⃗OA+b·⃗OB+c·⃗OC=0，或sin A·⃗OA+sin B·⃗OB+sin C·⃗OC=0(a，b，c分别为角
A，B，C的对边)；
④若O为△ABC的垂心，则tan A·⃗OA+tan B·⃗OB+tan C·⃗OC=0，且⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC=⃗OC·⃗OA.
考向1 奔驰定理与重心
例2 已知O是△ABC的重心，⃗AB·⃗AC=2，且∠BAC=60°，则△OBC的面积为( )
√3
A. B.√3
3
√3 2
C. D.
2 3
答案 A
解析 ∵O是△ABC的重心，
∴⃗OA+⃗OB+⃗OC=0，
由奔驰定理知S ∶S ∶S =1∶1∶1，
△OAB △OBC △OAC
1
∴S = S .
△OBC 3 △ABC
∵⃗AB·⃗AC=2，∴|⃗AB||⃗AC|cos∠BAC=2，
∵∠BAC=60°，∴|⃗AB||⃗AC|=4，
1
又S = |⃗AB||⃗AC|sin∠BAC=√3，
△ABC 2
√3
∴△OBC的面积为 .
3
考向2 奔驰定理与外心
5π
例3 已知点P是△ABC的外心，且⃗PA+⃗PB+λ⃗PC=0，C= ，则λ= .
12
√6-√2
答案
2
解析 依题意得，sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=1∶1∶λ，
∴sin 2A=sin 2B，
∴2A=2B或2A+2B=π(舍)，
5π
∴A=B，又C= ，
12
7π
∴A=B= ，
24
sin2B 1
又 = ，
sin2C λ5π 1
sin
sin2C 6 2 √6-√2
∴λ= = = = .
sin2B 7π √6+√2 2
sin
12 4
考向3 奔驰定理与内心
例4 已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，且S =14，2⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0，则△ABC的外接
△ABC
圆面积为 .
64π
答案
7
解析 ∵2⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0，且O为内心，
∴△ABC的三边长之比为a∶b∶c=2∶2∶3，
令a=2k，则b=2k，c=3k，
设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，
1
又S = (a+b+c)·r，
△ABC 2
1
即 ×7k×2=14，得k=2，
2
∴a=4，b=4，c=6，
1 3√7
∴cos C=- ，sin C= ，
8 8
6
c ， 8 8√7
又2R= =3√7 解得R= = ，
sinC √7 7
8
64π
∴△ABC的外接圆面积S=πR2= .
7
考向4 奔驰定理与垂心
例5 已知H在△ABC内，且是△ABC的垂心，若⃗HA+2⃗HB+3⃗HC=0，则A= .
π
答案
4
解析 依题意，可得tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3，因为tan A=-tan(B+C)
tanB+tanC
=- ，
1-tanBtanC
整理得tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C，
可得6tan A=6tan3A，
因为tan A≠0，所以tan A=±1.
又因为tan A<tan B<tan C，
π
所以tan A=1，所以A= .
4[易错提醒] 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外
部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.
跟踪演练2 (多选)(2024·通化模拟)奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非
常优美的结论，它与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.具体内容是：已知M是
△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为S ，S ，S ，则S ·⃗MA+S ·⃗MB+S ·⃗MC=0.以下
A B C A B C
命题正确的有( )
A.若S ∶S ∶S =1∶1∶1，则M为△ABC的重心
A B C
B.若M为△ABC的内心，则BC·⃗MA+AC·⃗MB+AB·⃗MC=0
C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则S ∶S ∶S =2∶√3∶1
A B C
√6
D.若M为△ABC的垂心，3⃗MA+4⃗MB+5⃗MC=0，则cos∠AMB=
6
答案 ABC
解析 对于A，如图，
取BC边的中点D，连接MD，
由S ∶S ∶S =1∶1∶1，
A B C
得⃗MA+⃗MB+⃗MC=0，
所以2⃗MD+⃗MA=0，所以A，M，D三点共线，且MA=2MD，所以M为△ABC的重心，故A正确；
对于B，如图，
1 1 1
因为点M为△ABC的内心，可设内切圆半径为r，则有S = BC·r，S = AC·r，S= AB·r，
A 2 B 2 c 2
1 1 1
所以 BC·r·⃗MA+ AC·r·⃗MB+ AB·r·⃗MC=0，
2 2 2
所以BC·⃗MA+AC·⃗MB+AB·⃗MC=0，故B正确；
对于C，如图，因为M为△ABC的外心，设外接圆半径为R，
因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，
所以∠BMC=90°，∠AMC=120°，
故∠AMB=360°-120°-90°=150°，
1 1 1
所以S ∶S ∶S = R2sin 90°∶ R2sin 120°∶ R2sin 150°=sin 90°∶sin 120°∶sin 150°
A B C 2 2 2
√3 1
=1∶ ∶ =2∶√3∶1，
2 2
故C正确；
对于D，由M为△ABC的垂心，3⃗MA+4⃗MB+5⃗MC=0，所以S ∶S ∶S =3∶4∶5，如图，
A B C
S S
则 △ABC =4， △ABC =3.
S S
A B
延长AM，BM，CM，分别交BC，AC，AB于点D，F，E，
设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，
x y
所以cos∠BMD= =cos∠AMF= ，得3x2=2y2，
2y 3x
√6
所以cos∠BMD= ，
6
√6
则cos∠AMB=- ，故D错误.
6
1.(2024·安庆模拟)设O点在△ABC内部，且有3⃗OA+2⃗OB+⃗OC=0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比
值为( )
A.2 B.√3
C.√2 D.3
答案 A2
解析 根据奔驰定理△AOC的面积与△AOB的面积的比值为 =2.
1
2.设I为△ABC的内心，且2⃗IA+3⃗IB+√7⃗IC=0，则角C为( )
π π
A. B.
6 3
2π 3π
C. D.
3 4
答案 B
解析 由2⃗IA+3⃗IB+√7⃗IC=0，
可得a∶b∶c=2∶3∶√7，
令a=2k，则b=3k，c=√7k，
4k2+9k2-7k2 1
则cos C= = ，
2·2k·3k 2
π
又C∈(0，π)，所以C= .
3
3.已知△ABC的重心为G，AB=6，AC=8，BC=2√13，则△BGC的面积为( )
A.12√3 B.8√3
C.4√3 D.4
答案 C
AB2+AC2-BC2 36+64-52 1
解析 cos A= = = ，
2AB·AC 2×6×8 2
π
又A∈(0，π)，∴A= ，
3
1 π
∴S = ×6×8×sin =12√3，
△ABC 2 3
又G为△ABC的重心，
∴⃗GA+⃗GB+⃗GC=0，
即S ∶S ∶S =1∶1∶1，
△AGB △AGC △BGC
1
∴S = S =4√3.
△BGC 3 △ABC
4.在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O为△ABC的内心，若⃗AO=λ⃗AB+μ⃗BC，则3λ+6μ的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.7
答案 C
解析 ⃗AO=λ⃗AB+μ⃗BC可化为⃗OA+λ⃗OB-λ⃗OA+μ⃗OC-μ⃗OB=0，
整理得(1-λ)⃗OA+(λ-μ)⃗OB+μ⃗OC=0，
所以(1-λ)∶(λ-μ)∶μ=4∶3∶2，5 2
解得λ= ，μ= ，
9 9
5 2
所以3λ+6μ=3× +6× =3.
9 9
1 1 1
5.已知点A，B，C，P在同一平面内，⃗PQ= ⃗PA，⃗QR= ⃗QB，⃗RP= ⃗RC，则S ∶S 等于( )
3 3 3 △ABC △PBC
19 3
A. B.
6 2
5 19
C. D.
3 4
答案 D
1
解析 由⃗QR= ⃗QB，
3
1
得⃗PR-⃗PQ= (⃗PB-⃗PQ)，
3
1 2 1 2
整理得⃗PR= ⃗PB+ ⃗PQ= ⃗PB+ ⃗PA，
3 3 3 9
1 1
由⃗RP= ⃗RC，得⃗RP= (⃗PC-⃗PR)，
3 3
1
整理得⃗PR=- ⃗PC，
2
1 1 2
∴- ⃗PC= ⃗PB+ ⃗PA，
2 3 9
整理得4⃗PA+6⃗PB+9⃗PC=0，
∴S ∶S =(4+6+9)∶4=19∶4.
△ABC △PBC
6.奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S ，S ，S ，则S ·
1 2 3 1
⃗OA+S ·⃗OB+S ·⃗OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔
2 3
驰”轿车的标志很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且⃗OA+2⃗OB+3⃗OC
=0，则cos C等于( )
3√10 √10
A. B.
10 102√5 √5
C. D.
5 5
答案 B
解析 延长CO交AB于点P，
∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，
(1 ) (1 )
∴S ∶S = ·OC·BP ∶ ·OC·AP
1 2 2 2
=BP∶AP=(OPtan∠POB)∶(OPtan∠POA)
=tan∠COB∶tan∠COA
=tan(π-A)∶tan(π-B)
=tan A∶tan B.
同理可得S ∶S =tan A∶tan C，
1 3
∴S ∶S ∶S =tan A∶tan B∶tan C.
1 2 3
又S ·⃗OA+S ·⃗OB+S ·⃗OC=0，
1 2 3
∴tan A·⃗OA+tan B·⃗OB+tan C·⃗OC=0.
又⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0，
∴tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3.
不妨设tan A=k，tan B=2k，tan C=3k，其中k≠0.
tanB+tanC
∵tan A=-tan(B+C)=- ，
1-tanBtanC
2k+3k
∴k=- ，解得k=±1.
1-2k·3k
当k=-1时，此时tan A<0，tan B<0，tan C<0，
则A，B，C都是钝角，不符合题意，舍去.
故k=1，则tan C=3>0，故C为锐角，
{ sinC
=3, √10
∴ cosC 解得cos C= .
10
sin2C+cos2C=1,
7.(多选)(2024·保定模拟)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，
△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S ，S ，S ，则S ·⃗OA+S ·⃗OB+S ·⃗OC=0.设O是△ABC内一点，
A B C A B C△ABC的三个内角分别为A，B，C，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S ，S ，S ，若3⃗OA+4⃗OB+5
A B C
⃗OC=0，则以下命题正确的有( )
A.S ∶S ∶S =3∶4∶5
A B C
B.O有可能是△ABC的重心
C.若O为△ABC的外心，则sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5
D.若O为△ABC的内心，则△ABC为直角三角形
答案 AD
解析 对于A，由奔驰定理可得，3⃗OA+4⃗OB+5⃗OC=S ·⃗OA+S ·⃗OB+S ·⃗OC=0，
A B C
因为⃗OA，⃗OB，⃗OC不共线，
所以S ∶S ∶S =3∶4∶5，故A正确；
A B C
对于B，若O是△ABC的重心，
则⃗OA+⃗OB+⃗OC=0，
因为3⃗OA+4⃗OB+5⃗OC=0，所以⃗OB=2⃗CO，即O，B，C三点共线，故B错误；
对于C，当O为△ABC的外心时，|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|，
所以S ∶S ∶S =sin∠BOC∶sin∠AOC∶sin∠AOB=3∶4∶5，
A B C
即sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=3∶4∶5，故C错误；
对于D，当O为△ABC的内心时，
1 1 1
S ∶S ∶S = ar∶ br∶ cr
A B C 2 2 2
=a∶b∶c=3∶4∶5(r为内切圆半径，a，b，c分别为角A，B，C的对边)，
π
所以a2+b2=c2，所以C= ，故D正确.
2
8.(多选)(2024·重庆模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A.若|⃗BC|⃗OA+|⃗AC|⃗OB+|⃗AB|⃗OC=0，则点O是△ABC的重心
( ⃗AC ⃗AB ) ( ⃗BC ⃗BA )
B.若⃗OA· - =⃗OB· - =0，则点O是△ABC的内心
|⃗AC| |⃗AB| |⃗BC| |⃗BA|
C.若(⃗OA+⃗OB)·⃗AB=(⃗OB+⃗OC)·⃗BC=0，则点O是△ABC的外心
D.若O为△ABC的外心，且2⃗BO=⃗BA+⃗BC，则B为△ABC的垂心
答案 BCD⃗AB
解析 对于A，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，在AB，AC上分别取点D，E，使得⃗AD= ，⃗AE
c
⃗AC
= ，
b
则|⃗AD|=|⃗AE|=1，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图所示，
⃗AB ⃗AC
则四边形ADFE是菱形，且⃗AF=⃗AD+⃗AE= + ，所以AF平分∠BAC，
c b
因为|⃗BC|⃗OA+|⃗AC|⃗OB+|⃗AB|⃗OC=0，
即a⃗OA+b⃗OB+c⃗OC=0，
所以a·⃗OA+b·(⃗OA+⃗AB)+c·(⃗OA+⃗AC)=0，
即(a+b+c)⃗OA+b⃗AB+⃗cAC=0，
b c
所以⃗AO= ⃗AB+ ⃗AC
a+b+c a+b+c
bc (⃗AB ⃗AC) bc
= + = ⃗AF，
a+b+c c b a+b+c
所以A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上，
同理可得O在其他两角的平分线上，所以O为△ABC的内心，故A错误；
⃗AC ⃗AB
对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得⃗AE= ，⃗AD= ，如图，
|⃗AC| |⃗AB|
⃗AC ⃗AB
则|⃗AD|=|⃗AE|=1，且 - =⃗DE，
|⃗AC| |⃗AB|
( ⃗AC ⃗AB )
因为⃗OA· - =0，
|⃗AC| |⃗AB|
即⃗OA⊥⃗DE，又|⃗AD|=|⃗AE|=1知，AO平分∠BAC，
同理，可得BO平分∠ABC，故O为△ABC的内心，故B正确；
对于C，取AB，BC的中点分别为M，N，如图，因为(⃗OA+⃗OB)·⃗AB=(⃗OB+⃗OC)·⃗BC=0，
所以2⃗OM·⃗AB=2⃗ON·⃗BC=0，
即OM⊥AB，ON⊥BC，所以O是△ABC的外心，故C正确；
对于D，因为2⃗BO=⃗BA+⃗BC，
所以⃗OA=-⃗OC，即O为AC的中点，
又O为△ABC的外心，
所以∠B=90°，则B为△ABC的垂心，故D正确.
9.已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56a⃗GA+40b⃗GB+35c⃗GC=0，则
B= .
π
答案
3
解析 依题意，可得56a=40b=35c，
7 8
所以b= a，c= a，
5 5
a2+ (8 a ) 2 - (7 a ) 2
5 5 1
所以cos B= = ，
8 2
2a× a
5
π
因为0<B<π，所以B= .
3
π
10.设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC= ，如图.若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为
6
1
，x，y，则x+y的最大值是 .
2
√3
答案
3
1
解析 方法一 据奔驰定理得， ⃗PA+x⃗PB+y⃗PC=0，即⃗AP=2x⃗PB+2y⃗PC，x>0，y>0，
2
平方得⃗AP2=4x2⃗PB2+4y2⃗PC2+8xy|⃗PB|·|⃗PC|·cos∠BPC，π
又因为点P是△ABC的外心，∠BAC= ，
6
所以|⃗PA|=|⃗PB|=|⃗PC|，
π
且∠BPC=2∠BAC= ，
3
1
所以x2+y2+xy= ，
4
1 1 (x+ y) 2
(x+y)2= +xy≤ + ，
4 4 2
√3 √3
解得x+y≤ ，当且仅当x=y= 时取等号，
3 6
√3
所以(x+y) = .
max 3
方法二 因为点P是△ABC的外心，所以
1
S ∶S ∶S =sin 2A∶sin 2B∶sin 2C= ∶x∶y，x>0，y>0，
△PBC △PCA △PAB 2
π √3
又∠BAC= ，∴sin 2A= ，
6 2
√3 √3
∴x= sin 2B，y= sin 2C，
3 3
√3
∴x+y= (sin 2B+sin 2C)
3
√3[ (5π )]
= sin2B+sin -2B
3 3
√3 ( π)
= sin 2B- ，
3 3
( 5π)
又∵B∈ 0， ，
6
π ( π 4π)
∴2B- ∈ - ， ，
3 3 3
( π) ( √3 ]
∴sin 2B- ∈ - ，1 ，
3 2
( √3]
∴x+y∈ 0， ，
3
√3
∴(x+y) = .
max 3
