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微重点 2 平面向量数量积的最值与范围问题
[考情分析] 平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、
夹角及向量的系数等的最值、范围.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域
解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围
问题的重要方法.
考点一 求向量数量积的最值(范围)
例1 (1)(2024·重庆模拟)如图，边长为1的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC(包括端点)上一点，则
⃗AP·⃗AB的取值范围是( )
[ 4+√2] [ 2+√2]
A. 1， B. 1，
4 2
[ 1+√2] [√2 ]
C. 1， D. ，1
2 4
答案 C
( 1 1) (1 1)
解析 如图建立平面直角坐标系，则A - ，- ，B ，- ，
2 2 2 2
√2
又圆O半径为r= ，
2
(√2 √2 )
设P cosθ， sinθ ，
2 2
∵点P在B´C(包括端点)上，
[ π π]
∴θ∈ - ， ，
4 4
(√2 1 √2 1)
∴⃗AP= cosθ+ ， sinθ+ ，⃗AB=(1，0)，
2 2 2 2
√2 1
∴⃗AP·⃗AB= cos θ+ ，
2 2[ π π]
∵θ∈ - ， ，
4 4
[√2 ]
∴cos θ∈ ，1 ，
2
[ 1+√2]
∴⃗AP·⃗AB的取值范围是 1， .
2
(2)已知在菱形ABCD中，AB=BD=6，若点M在线段AD上运动，则⃗BC·⃗BM的取值范围为 .
答案 [-18，18]
解析 ⃗BC·⃗BM=|⃗BC||⃗BM|cos∠MBC，
如图所示，当M在线段AD上运动时可得-|⃗A B|≤|⃗BM|cos∠MBC≤|⃗BD |，
1 1
即-3≤|⃗BM|cos∠MBC≤3，又|⃗BC|=6，
所以-18≤⃗BC·⃗BM≤18.
[规律方法] 向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征
直接进行判断.
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等
问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.
1
跟踪演练1 (1)(2024·渭南模拟)已知菱形ABCD的边长为1，cos∠BAD= ，O为菱形的中心，E是线
3
段AB上的动点，则⃗DE·⃗DO的最小值为( )
1 2
A. B.
3 3
1 1
C. D.
2 6
答案 A
解析 由题意点O为BD的中点，
设⃗AE=λ⃗AB，0≤λ≤1，
1 1 1
则⃗DE=⃗AE-⃗AD=λ⃗AB-⃗AD，⃗DO= ⃗DB= ⃗AB- ⃗AD，
2 2 2故⃗DE·⃗DO=(λ⃗AB-⃗AD)· (1 ⃗AB- 1 ⃗AD )
2 2
=
1
λ⃗AB2+
1
⃗AD2 -
(1
λ+
1)⃗AB·⃗AD
2 2 2 2
1 1 1(1 1)
= λ+ - λ+
2 2 3 2 2
1 1
= λ+ ，
3 3
1
当λ=0时，⃗DE·⃗DO取得最小值 .
3
(2)已知平面向量a，b满足|a|=1，|2a-b|=2，则(a+b)·b的最大值为 .
答案 20
解析 不妨设a=(1，0)，b=(x，y)，
则2a-b=(2-x，-y)，
则|2a-b|=√(2-x) 2+ y2=2，
即(x-2)2+y2=4，
( 1) 2 1
(a+b)·b=(1+x，y)·(x，y)=x(x+1)+y2=x2+x+y2= x+ +y2- ，
2 4
( 1 ) 5
取B(2，0)，C - ，0 ，|BC|= ，
2 2
( 1) 2
设点P(x，y)在圆(x-2)2+y2=4上， x+ +y2表示|PC|2，
2
( 1) 2 (5 ) 2 81
因此 x+ +y2的最大值为 +2 = ，
2 2 4
( 1) 2 1 81 1
从而 x+ +y2- 的最大值为 - =20.
2 4 4 4
考点二 求向量模、夹角的最值(范围)
例2 (1)(2024·咸阳模拟)已知a，b是两个单位向量，且|a+b|=|a-b|，若向量c满足|c-a-b|=2，则|c|的
最大值为( )
A.2-√2 B.2+√2
C.√2 D.2√2
答案 B
解析 已知a，b是两个单位向量，且|a+b|=|a-b|，
则a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2，则a·b=0，则a⊥b，设a，b分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，
则a=(1，0)，b=(0，1)，a+b=(1，1)，
设c=(x，y)，则c-a-b=(x-1，y-1)，
因为|c-a-b|=√(x-1) 2+(y-1) 2=2，所以(x-1)2+(y-1)2=4，
故c=⃗OC，点C的轨迹是以(1，1)为圆心，2为半径的圆，
圆心M(1，1)到原点的距离为|OM|=√12+12=√2，
|c| =|OM|+r=√2+2.
max
⃗AB 3⃗AD λ⃗AC
(2)(2024·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中， + = ，λ∈[√7，3]，则cos∠BAD的
|⃗AB| |⃗AD| |⃗AC|
取值范围是( )
[ 1 1] [ 1 1]
A. - ，- B. - ，
2 6 2 3
[ 2 1] [ 2 1]
C. - ， D. - ，-
3 3 3 6
答案 A
⃗AB ⃗AD
解析 设与⃗AB同方向的单位向量 =e ，与⃗AD同方向的单位向量 =e ，与⃗AC同方向的单位向量
|⃗AB| 1 |⃗AD| 2
⃗AC
=e ，
|⃗AC| 3
由题意，e +3e =λe ，
1 2 3
所以(e +3e
)2=λ2e2，
1 2 3
即e2
+6e ·e
+9e2 =λ2e2，
1 1 2 2 3
所以1+6×1×1×cos∠BAD+9=λ2，
λ2-10
所以cos∠BAD= ，
6
因为λ∈[√7，3]，所以λ2∈[7，9]，
λ2-10 [ 1 1]
所以 ∈ - ，- ，
6 2 6
[ 1 1]
即cos∠BAD的取值范围是 - ，- .
2 6
[规律方法] (1)求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过|a|2=a2转化为实数问题；数形结合；坐标法.(2)求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最
值问题，要注意变量之间的关系.
跟踪演练2 (1)设向量⃗OA=(1，log x)，⃗OB=(-1，1)，当x>4时，cos〈⃗OA，⃗OB〉的取值范围是( )
2
(√10 √2) (√10 ]
A. ， B. ，1
10 2 10
( √10) (√2 √3)
C. 0， D. ，
10 2 2
答案 A
⃗OA·⃗OB log x-1
解析 cos〈⃗OA，⃗OB〉= = 2 ，
|⃗OA||⃗OB| √2[1+(log x) 2 ]
2
令log x-1=t(t>1)，则log x=t+1，
2 2
t
所以cos〈⃗OA，⃗OB〉=
√2[1+(t+1) 2 ]
1
t ，
= √2(t2+2t+2) =√ 2 ( 1+ 2 + 2)
t t2
2 2 (1 1) 2 1
当t>1时，0< + =2 + - <4，
t t2 t 2 2
√ ( 2 2)
则√2< 2 1+ + <√10，
t t2
(√10 √2)
所以cos〈⃗OA，⃗OB〉的取值范围是 ， .
10 2
3
(2)(2024·六安模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|=1，|b|=√3，a·b=- ，〈a-c，b-c〉=30°，则|c|的最
2
大值为 .
答案 2√7
解析 设⃗OA=a，⃗OB=b，⃗OC=c，
3 √3
由|a|=1，|b|=√3，a·b=- ，则cos∠AOB=- ，
2 2
所以∠AOB=150°，又〈a-c，b-c〉=30°，所以∠ACB=30°，
即A，O，B，C四点共圆，要使|c|最大，即|⃗OC|为圆的直径，
在△AOB中，由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA×OB×cos∠AOB=7，即AB=√7，
AB
又由正弦定理可得2R= =2√7(R为△AOB外接圆的半径)，即|c|的最大值为2√7.
sin∠AOB
考点三 求参数的最值(范围)2
例3 (1)(2024·哈尔滨模拟)在△ABC中，⃗BD= ⃗BC，P是线段AD上的动点(与端点不重合)，设⃗CP=x
3
x+ y
⃗CA+y⃗CB，则 的最小值是 .
xy
答案 2√3+4
2
解析 因为在△ABC中，⃗BD= ⃗BC，
3
所以⃗CB=3⃗CD，
又因为⃗CP=x⃗CA+y⃗CB，则⃗CP=x⃗CA+3y⃗CD，
因为A，P，D三点共线，则x+3y=1，结合题意知x>0，y>0，
x+ y 1 1 (1 1)
所以 = + = + (x+3y)，
xy y x y x
x 3 y √ x 3 y
= + +4≥2 · +4=2√3+4，
y x y x
{ x 3 y
= ,
当且仅当 y x
x+3 y=1,
{ x=
√3-1
,
2
即 时，等号成立.
3-√3
y=
6
x+ y
故 的最小值是2√3+4.
xy
(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|=2|b|=2，且不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取
值范围为( )
A.[-1，3] B.[-1，5]
C.[-7，3] D.[5，7]
答案 A
解析 ∵非零向量a，b的夹角为θ，|a|=2|b|=2，
∴|a|=2，|b|=1，
a·b=2×1×cos θ=2cos θ，
∵不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立，
∴(2a+b)2≥(a+λb)2，
∴4a2+4a·b+b2≥a2+2λa·b+λ2b2，
整理可得(13-λ2)+(8-4λ)cos θ≥0恒成立，
∵cos θ∈[-1，1]，{13-λ2+8-4λ≥0,
∴ 解得-1≤λ≤3.
13-λ2-8+4λ≥0,
[规律方法] 利用共线向量定理及推论
(1)a∥b a=λb(b≠0).
(2)⃗OA=
⇔
λ⃗OB+μ⃗OC(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ+μ=1.
跟踪演练3 (2024·常德模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE=2CD.
动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AE，则λ+μ的取值范
围为 .
答案 [0，4]
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，E(-2，1)，
所以⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AE=(λ-2μ，μ)，
{0≤λ-2μ≤1,
当P∈AB时，有
μ=0,
{0≤λ≤1,
即 此时λ+μ的取值范围为[0，1]；
μ=0,
{λ-2μ=1,
当P∈BC时，有 即1≤λ+μ=(λ-2μ)+3μ=1+3μ≤4，此时λ+μ的取值范围为[1，4]；
0≤μ≤1,
{0≤λ-2μ≤1,
当P∈CD时，有 即3≤λ+μ=(λ-2μ)+3μ=(λ-2μ)+3≤4，此时λ+μ的取值范围为[3，4]；
μ=1,
{λ-2μ=0,
当P∈DA时，有 即0≤λ+μ=(λ-2μ)+3μ=3μ≤3，此时λ+μ的取值范围为[0，3].
0≤μ≤1,
综上所述，λ+μ的取值范围为[0，4].
专题强化练
(分值：52分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
π
1.已知非零向量a，b的夹角为 ，|a|=2，λ∈R，则|a+λb|的最小值为( )
6
A.2 B.√31
C.1 D.
2
答案 C
π
解析 因为a，b的夹角为 ，|a|=2，
6
所以a·b=√3|b|，
|a+λb|2=|b|2λ2+2√3|b|λ+4=(|b|λ+√3)2+1≥1.
故|a+λb|的最小值为1.
2.(2024·北京朝阳区模拟)在△ABC中，AB=AC=2，BC=2√3，点P在线段BC上.则⃗PA·⃗PB的取值范围为(
)
[ 3 ) [ 3 ]
A. - ，6 B. - ，6
4 4
[ 3 7]
C.[0，6] D. - ，
4 4
答案 B
解析 如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
由AB=AC=2，BC=2√3，则OA=√22-(√3) 2=1，
所以A(0，1)，B(-√3，0)，C(√3，0)，
设P(x，0)，-√3≤x≤√3，
则⃗PA=(-x，1)，⃗PB=(-√3-x，0)，
( √3) 2 3
则⃗PA·⃗PB=-x·(-√3-x)=x2+√3x= x+ - ，x∈[-√3，√3]，
2 4
[ 3 ]
所以⃗PA·⃗PB的取值范围为 - ，6 .
4
3.(2024·银川模拟)在△ABC中，⃗BD=2⃗DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于点E，F，且⃗AE=m
⃗AB，⃗AF=n⃗AC，其中m>0，n>0，则m+2n的最小值为( )
A.2 B.√2
8
C.3 D.
3
答案 C
2 2 1 2
解析 如图所示，因为⃗BD=2⃗DC，易知⃗AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB+ ⃗BC=⃗AB+ (⃗AC-⃗AB)= ⃗AB+ ⃗AC，
3 3 3 3又⃗AE=m⃗AB，⃗AF=n⃗AC，其中m>0，n>0，
1 2 1 2
所以⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC= ⃗AE+ ⃗AF，
3 3 3m 3n
1 2
易知E，F，D三点共线，利用共线定理可得 + =1，
3m 3n
又m>0，n>0，
( 1 2 ) 1 2m 2n 4 √2m 2n 5 2 5
所以m+2n=(m+2n) + = + + + ≥2 · + =2× + =3，
3m 3n 3 3n 3m 3 3n 3m 3 3 3
2m 2n
当且仅当 = ，即m=n=1时，等号成立，
3n 3m
所以m+2n的最小值为3.
3
4.(2024·双鸭山模拟)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2，a=4，cos B= ，动点M
4
位于线段BC上，则⃗MA·⃗MB的最小值为( )
9
A.0 B.
10
9 9
C.- D.-
16 10
答案 C
3
解析 由题知⃗MA·⃗MB=(⃗MB+⃗BA)·⃗MB=⃗MB2+⃗BA·⃗MB=⃗MB2+2|⃗MB|cos(π-B)=⃗MB2-2× |⃗MB| =
4
(|⃗MB|- 3) 2
-
9
，而0≤|⃗MB|≤4，
4 16
3 9
所以当|⃗MB|= 时，⃗MA·⃗MB取得最小值为- .
4 16
5.已知向量a，b，单位向量e，若a·e=1，b·e=2，a·b=3，则|a+b|的最小值为( )
A.3 B.√10
C.√13 D.6
答案 C
解析 设e=(1，0)，a=(x ，y )，b=(x ，y )，
1 1 2 2
由a·e=1得x =1，
1
由b·e=2得x =2，
2
由a·b=x x +y y =3，可得y y =1，
1 2 1 2 1 2
则|a+b|=√(a+b) 2=√(x +x ) 2+(y + y ) 2
1 2 1 2=√11+ y2+ y2≥√11+2y y =√13，
1 2 1 2
当且仅当y =y =1时，取等号.故|a+b|的最小值为√13.
1 2
6.(2024·武汉模拟)已知△ABC是边长为4√3的正三角形，点P是△ABC所在平面内的一点，且满足|⃗AP+
⃗BP+⃗CP|=3，则|⃗AP|的取值范围是( )
A.[3，4] B.[2，6]
C.[3，5] D.(4-√2，4+√2]
答案 C
解析 以AC所在直线为x轴，以AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(-2√3，0)，B(0，6)，
C(2√3，0)，
设P(x，y)，
则⃗AP=(x+2√3，y)，⃗BP=(x，y-6)，
⃗CP=(x-2√3，y)，
∵|⃗AP+⃗BP+⃗CP|=3，
即√(3x+2√3-2√3) 2+(3 y-6) 2=3，
化简得x2+(y-2)2=1，
∴点P的轨迹方程为x2+(y-2)2=1，
设圆心为G，则G(0，2)，
又|AG|=√22+(2√3) 2=4，
故|⃗AP|的最小值为|AG|-1=4-1=3，
|⃗AP|的最大值为|AG|+1=4+1=5，
故|⃗AP|的取值范围是[3，5].
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·濮阳统考)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，则( )
A.|a-b|的最大值是3
B.|a+b|的最小值是0
C. |a-b|+|a+b|的最大值是2√5
D. |a-b| +|a+b|的最小值是4
答案 ACD解析 因为|a-b| 2 =(a-b) 2 =a2+b2-2a·b=5-4cos〈a，b〉∈[1，9]，
所以1≤|a-b|≤3，当且仅当a，b反向时取得最大值，同向时取得最小值，故A正确；
因为|a+b| 2 =(a+b) 2 =a2+b2+2a·b=5+4cos〈a，b〉∈[1，9]，
所以1≤|a+b|≤3，当且仅当a，b反向时取得最小值，同向时取得最大值，故B错误；
设〈a，b〉=θ，由A，B可知，y=|a-b|+|a+b|=√5-4cosθ+√5+4cosθ，
所以y2=10+2√25-16cos2θ∈[16，20]，所以4≤y≤2√5，故CD正确.
8.(2024·江苏省苏锡常镇四市模拟)在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别为边BC和CD上两个
动点(含端点)，且EF=5，设⃗BE=λ⃗BC，⃗DF=μ⃗DC，则( )
1 3
A. ≤λ≤1， ≤μ≤1
6 8
B.λ+μ为定值
C.⃗AE·⃗AF的最小值为50
D.|⃗AE+⃗AF|的最大值为√265
答案 AC
1
解析 对于A，由题意知当F和C重合时，BE=1，此时λ取到最小值 ，μ取到最大值1；
6
3
当E和C重合时，DF=3，此时μ取到最小值 ，λ取到最大值1，A正确；
8
1 7
对于B，当F和C重合时，λ= ，μ=1，λ+μ= ；
6 6
当E，F分别位于BC，DC的中点时，满足EF=5，
1 1
此时λ= ，μ= ，λ+μ=1，由此可知λ+μ不为定值，B错误；
2 2
对于C，⃗AE·⃗AF=(⃗AB+⃗BE)·(⃗AD+⃗DF)=(⃗AB+λ⃗BC)·(⃗AD+μ⃗DC)
=⃗AB·⃗AD+λ⃗BC·⃗AD+μ⃗AB·⃗DC+λμ⃗BC·⃗DC
=λ⃗BC·⃗AD+μ⃗AB·⃗DC=λ⃗BC2+μ⃗AB2
=36λ+64μ，
由EF=5，得⃗EF2=25，即(⃗EC+⃗CF)2=25，
即[(1-λ)⃗BC+(μ-1)⃗DC]2=25，
即36(1-λ)2+64(μ-1)2=25，
设6(λ-1)=5cos θ，8(μ-1)=5sin θ，θ∈[0，2π)，(5cosθ ) (5sinθ )
则36λ+64μ=36× +1 +64× +1
6 8
3
=100+30cos θ+40sin θ=100+50sin(θ+φ)(φ为辅助角，tan φ= )，
4
当sin(θ+φ)=-1时，36λ+64μ取到最小值50，即⃗AE·⃗AF的最小值为50，C正确；
1 7
对于D，当μ=1，λ= 时，⃗AE+⃗AF=⃗AB+⃗BE+⃗AC=2⃗AB+ ⃗BC，
6 6
则|⃗AE+⃗AF|= √ ( 2⃗AB+ 7 ⃗BC ) 2
6
√ 49 √ 49
= 4⃗AB2+ ⃗BC2= 4×64+ ×36
36 36
=√305>√265，D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
4
9.(2024·安庆模拟)已知非零向量a，b的夹角为θ，|a+b|=2，且|a||b|≥ ，则夹角θ的取值范围为
3
.
[π ]
答案 ，π
3
解析 由|a+b| 2 =4得
|a| 2+|b| 2+2|a||b|cos θ=4，
8
即4≥2|a||b|(1+cos θ)≥ (1+cos θ)，
3
前一个等号成立条件为|a|=|b|，
1 π
整理得cos θ≤ .由于θ∈[0，π]，所以 ≤θ≤π.
2 3
10.(2024·长沙模拟)在平行四边形ABCD中，AC=2BD=4，点P为该平行四边形所在平面内的任意一点，则|
⃗PA|2+|⃗PB|2+|⃗PC|2+|⃗PD|2的最小值为 .
答案 10
解析 设AC与BD的交点为O，由⃗PA=⃗PO+⃗OA，
得|⃗PA|2=|⃗PO|2+|⃗OA|2+2⃗PO·⃗OA，
同理可得|⃗PB|2=|⃗PO|2+|⃗OB|2+2⃗PO·⃗OB，
|⃗PC|2=|⃗PO|2+|⃗OC|2+2⃗PO·⃗OC，
|⃗PD|2=|⃗PO|2+|⃗OD|2+2⃗PO·⃗OD，所以|⃗PA|2+|⃗PB|2+|⃗PC|2+|⃗PD|2
=4|⃗PO|2+|⃗OA|2+|⃗OB|2+|⃗OC|2+|⃗OD|2+2⃗PO·(⃗OA+⃗OB+⃗OC+⃗OD)=4|⃗PO|2+10≥10，
当且仅当点P与点O重合时，等号成立.
故|⃗PA|2+|⃗PB|2+|⃗PC|2+|⃗PD|2的最小值为10.
