文档内容
8.6 向量法求空间角
思维导图
知识点总结
1.异面直线所成的角
若异面直线l ，l 所成的角为θ，其方向向量分别为e ，e ，则cos θ＝|cos〈e ，e 〉|＝.
1 2 1 2 1 2
2.直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量
为e，平面α的法向量为n，则
sin θ＝|cos〈e，n〉|＝＝.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3.二面角
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 θ
＝〈AB，CD〉.
如图②③，n ，n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小 θ满
1 2
足|cos θ|＝ |cos 〈 n ， n 〉 |，二面角的平面角大小是向量n 与n 的夹角(或其补角).
1 2 1 2
[常用结论]
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量 u与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即
sin θ＝|cos〈u，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈u，n〉|.
2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是.
典型例题分析
考向一 异面直线所成的角
例1 (1)如图，在正方体ABCD－A B C D 中，E，F分别为棱AA ，A D 的中点，则直线BE
1 1 1 1 1 1 1
与DF所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 以D为原点，以DA，DC，DD1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标
系D－xyz(图略)，则D(0，0，0).
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设正方体的棱长为2，则F(1，0，2)，B(2，2，0)，E(2，0，1)，
所以DF＝(1，0，2)，BE＝(0，－2，1)，
所以所求的余弦值为
＝＝.故选A.
(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A B C D 中，E是棱CC 的中点，AF＝λAD，若异
1 1 1 1 1
面直线D E和A F所成角的余弦值为，则λ的值为________.
1 1
答案
解析 以D为原点，以DA，DC，DD 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图
1
略).
正方体的棱长为2，则A (2，0，2)，D (0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).
1 1
所以D1E＝(0，2，－1)，A1F＝A1A＋AF＝A1A＋λAD＝(0，0，－2)＋λ(－2，0，0)＝(－2λ，
0，－2).
则cos〈A1F，D1E〉＝＝，
所以＝，
解得λ＝(舍去－).
感悟提升 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值
的绝对值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向二 直线与平面所成的角
例2(1) (2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB
＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值.
(1)证明 在四边形ABCD中，作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，如图.
因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，
所以四边形ABCD为等腰梯形，
所以AE＝BF＝，
故DE＝，BD＝＝，
所以AD2＋BD2＝AB2，
所以AD⊥BD.
因为PD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PD⊥BD，
⊂
又PD∩AD＝D，PD，AD 平面PAD，
所以BD⊥平面PAD.
⊂
又因为PA 平面PAD，
所以BD⊥
⊂
PA.
(2)解 由(1)知，DA，DB，DP两两垂直，
如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，
则AP＝(－1，0，)，BP＝(0，－，)，DP＝(0，0，).
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有即
可取n＝(，1，1)，
则cos〈n，DP〉＝＝，
所以PD与平面PAB所成角的正弦值为.
感悟提升 向量法求直线与平面所成角的主要方法是：
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角
(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，
取其余角就是斜线和平面所成的角.
(2)
(2022·北京卷)如图，在三棱柱ABC－A B C 中，侧面BCC B 为正方形，平面BCC B ⊥
1 1 1 1 1 1 1
平面ABB A ，AB＝BC＝2，M，N分别为A B ，AC的中点.
1 1 1 1
(1)求证：MN∥平面BCC B ；
1 1
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正
弦值.
条件①：AB⊥MN；
条件②：BM＝MN.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)证明 取AB的中点为K，连接MK，NK.
由三棱柱ABC－A B C 可得四边形ABB A 为平行四边形，
1 1 1 1 1
又B M＝MA ，BK＝KA，则MK∥BB .
1 1 1
又MK⊄平面CBB C ，BB 平面CBB C ，
1 1 1 1 1
故MK∥平面CBB
1
C
1
.
⊂
由CN＝NA，BK＝KA，可得NK∥BC，
同理可得NK∥平面CBB C .
1 1
因为NK∩MK＝K，NK，MK 平面MKN，
故平面MKN∥平面CBB
1
C
1
，⊂
又MN 平面MKN，
故MN
⊂
∥平面CBB
1
C
1
.
(2)解 因为侧面CBB C 为正方形，故CB⊥BB .
1 1 1
因为CB 平面CBB C ，平面CBB C ⊥平面ABB A ，平面CBB C ∩平面ABB A ＝BB ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
故CB⊥ ⊂平面ABB
1
A
1
.
因为NK∥BC，
故NK⊥平面ABB A .
1 1
因为AB 平面ABB A ，
1 1
故NK⊥
⊂
AB.
若选①，则AB⊥MN，
又NK⊥AB，NK∩MN＝N，
故AB⊥平面MNK.
又MK 平面MNK，
故AB⊥
⊂
MK，
所以AB⊥BB ，又CB⊥BB ，CB∩AB＝B，
1 1
故BB ⊥平面ABC，
1
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则B(0，0，0)，A(0，2，0)，N(1，1，0)，M(0，1，2)，
故BA＝(0，2，0)，BN＝(1，1，0)，BM＝(0，1，2).
设平面BNM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则从而取z＝－1，
则n＝(－2，2，－1).
设直线AB与平面BNM所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，AB〉|＝＝＝.
若选②，因为NK∥BC，
故NK⊥平面ABB A .
1 1
又KM 平面MKN，
故NK⊥
⊂
KM.又B
1
M＝BK＝1，NK＝1，
故B M＝NK.
1
又B B＝MK＝2，MB＝MN，
1
故△BB M≌△MKN，
1
所以∠BB M＝∠MKN＝90°，
1
故A B ⊥BB .
1 1 1
又CB⊥BB ，CB∩AB＝B，
1
故BB ⊥平面ABC，
1
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A(0，2，0)，N(1，1，0)，M(0，1，2)，
故BA＝(0，2，0)，BN＝(1，1，0)，BM＝(0，1，2).
设平面BNM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则从而
取z＝－1，则n＝(－2，2，－1)，
设直线AB与平面BNM所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，AB〉|＝＝＝.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向三 二面角
3 (2022·新高考Ⅱ卷改编)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的
中点.
(1)证明：OE∥平面PAC；
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值.
[思路分析] (1)作出过直线OE的一个平面，证明这个平面与平面PAC平行，从而证明OE∥
平面PAC.
(2)建系→设点写坐标→求平面的法向量→利用公式求二面角的正弦值.
[规范解答] (1)证明 如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.
因为AP＝PB，所以PD⊥AB.
因为PO为三棱锥P－ABC的高，
所以PO⊥平面ABC.
因为AB 平面ABC，所以PO⊥AB.
又PO，⊂ PD 平面POD，且PO∩PD＝P，
所以AB⊥平⊂面POD.(1分)
因为OD 平面POD，所以AB⊥OD，
又AB⊥A
⊂
C，AB，OD，AC 平面ABC，
所以OD∥AC.
⊂
因为OD⊄平面PAC，AC 平面PAC，
(2分)
⊂
→
因为D，E分别为BA，BP的中点，
所以DE∥PA.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为DE⊄平面PAC，PA 平面PAC，
(3分)
⊂
→
又OD，DE 平面ODE，OD∩DE＝D，
⊂
→
又OE 平面ODE，(4分)
→
⊂
(2)解 连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，OB 平面ABC，
所以PO⊥OA，PO⊥OB，
⊂
所以OA＝OB＝＝＝4.②
易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，
所以OD＝OAsin 30°＝4×＝2，②
AB＝2AD＝2OAcos 30°＝2×4×＝4.②
又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，
所以在Rt△ABC中，AC＝ABtan 60°＝4×＝12.②(6分)
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴
如图所示，
→
则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，12，0)，P(2，2，3)，E，
所以AE＝，AB＝(4，0，0)，AC＝(0，12，0).
→
设平面AEC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝2，则n＝(－1，0，2).③(8分)
→
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面AEB的一个法向量为m＝(x ，y ，z )，
1 1 1
则即
令z ＝2，(10分)
1
→
所以|cos〈n，m〉|＝＝.
→
设二面角C-AE-B的大小为θ，
则sin θ＝＝.(12分)
→
[满分规则]
❶得步骤分：
①处通过证明线∥线⇒线∥面⇒面∥面⇒线∥面，注意应用相关定理的条件应完整，否则易失
步骤分.
❷得关键分：
③处求出两个平面的法向量是解题的关键，此处运算错误会导致第(2)小题得零分.
❸得计算分：
②处为根据题目条件计算几何体的棱长，以便写出各顶点的坐标.
4. (2022·新高考Ⅰ卷改编)如图，直三棱柱ABC－A B C 的体积为4，△A BC的面积为2.
1 1 1 1
(1)求A到平面A BC的距离；
1
(2)设D为A C的中点，AA ＝AB，平面A BC⊥平面ABB A ，求二面角A-BD-C的正弦值.
1 1 1 1 1
解 (1)设点A到平面A BC的距离为h，
1
因为直三棱柱ABC－A B C 的体积为4，
1 1 1
所以V A－A1BC ＝S △ABC ·AA 1 ＝V ABC－A1B1C1＝，
又△A BC的面积为2，
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】V
A－A1BC
＝S
△A1BC
h＝×2h＝，
所以h＝，
即点A到平面A BC的距离为.
1
(2)取A B的中点E，连接AE，
1
则AE⊥A B.
1
因为平面A BC⊥平面ABB A ，平面A BC∩平面ABB A ＝A B，AE 平面ABB A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以AE⊥平面A
1
BC，
⊂
又BC 平面A BC，所以AE⊥BC.
1
又AA
1⊂
⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以AA
1
⊥BC.
⊂
因为AA ∩AE＝A，AA ，AE 平面ABB A ，
1 1 1 1
所以BC⊥平面ABB 1 A 1 ， ⊂
又AB 平面ABB A ，所以BC⊥AB.
1 1
以B为⊂坐标原点，分别以BC，BA，BB1的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间
直角坐标系B－xyz，
由(1)知，AE＝，
所以AA ＝AB＝2，A B＝2.
1 1
因为△A BC的面积为2，
1
所以2＝·A B·BC，所以BC＝2，
1
所以A(0，2，0)，B(0，0，0)，C(2，0，0)，A (0，2，2)，D(1，1，1)，E(0，1，1)，
1
则BD＝(1，1，1)，BA＝(0，2，0).
设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得n＝(1，0，－1).
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又平面BDC的一个法向量为AE＝(0，－1，1)，
所以cos〈AE，n〉＝＝＝－.
设平面ABD与平面CBD夹角为θ，
则sin θ＝＝，
所以二面角A-BD-C的正弦值为.
基础题型训练
一、单选题
1．如图，在正方体 中，点E是上底面 的中心，则异面直线 与 所成角的余
弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.
【详解】以 为原点， 为 轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：B
2．若直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则能使l∥α的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】D
【分析】根据题意转化为选择满足 的选项，对各选项一一判断即可.
【详解】由题意得，若使l∥α，那么就要使 ，即 .
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正确.
故选：D.
3．如图，正方体 中， 是 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 异面，直线 平面
D．直线 与直线 相交，直线 平面
【答案】A
【分析】根据空间的平行和垂直关系进行判定.
【详解】连接 ；由正方体的性质可知 ， 是 的中点，所以直线 与直
线 垂直；
由正方体的性质可知 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以直线 平面 ，故A正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】以 为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线 与直线 不平行，故B不正确；
直线 与直线 异面正确， ， ，所以直线 与平面 不垂直，故C不
正确；
直线 与直线 异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
4．如图，正方体 的棱长为a，M，N分别为 和AC上的点， ，则MN
与平面 的位置关系是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．相交但不垂直 B．平行 C．相交且垂直 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据向量的运算法则求得 和平面 的一个法向量 ，结合 ，
即可求解.
【详解】因为正方体的棱长为 ，可得 ，所以 ， ，
所以
．
又因为 是平面 的一个法向量，且 ，
所以 ，所以 平面 ．
故选：B．
5．若空间两直线 与 的方向向量分别为 和 ，则两直线 与 垂直的充要条件为
（ ）
A． ， ， （ ）
B．存在实数k，使得
C．
D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由空间直线垂直时方向向量 ，即可确定充要条件.
【详解】由空间直线垂直的判定知： .
当 时，即 ，两直线 与 垂直.
而A、B、D说明 与 平行.
故选：C
6．如图，三棱柱 的各棱长均为2，侧棱 与底面 所成的角为 ， 为锐角，且
侧面 底面 ，给出下列四个结论：
① ；② ；
③直线 与平面 所成的角为 ；
④ ．其中正确的结论是
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】过 作 ， 为垂足，连接 ，于是很容易建立空间直角坐标系，运用空间向量的计算
来判断.
【详解】图过 作 ， 为垂足，连接 ，如图建立空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】① ：∵侧棱 与底面 所成的角为 ， 为锐角，侧面 底面 ，∴ ，
又由三棱柱各棱长相等，可知四边形 为菱形，于是 ，∴ ① 正确；
②：易知 ， ，
， ，∴ ② 错误；
③ ：侧面 底面 ，棱柱上下底面平行，故侧面 底面 ，又 平
面 ，侧面 底面 ，故 侧面 ， 即为 与平面 所成
的角， ， ，∴ ③ 正确；
④ ：由② 可知， ，∴ ，∴ ，∴ ④ 正确．
故选：C.
二、多选题
7．若 (2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（ ）
A． ( ，3， ) B． (200， ，100)
C． ( ， ， ) D． ( ，3，0)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】ABC
【分析】因为同一个平面的法向量共线，所以可利用向量共线的判定进行求解.
【详解】因为 ， ， , ,
所以 与 ， ， 均共线，与 不共线，
所以 ， ， 可以作为平面α的法向量
故选：ABC.
8．已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ， ，
，下列结论正确的有（ ）
A． B．四边形 为矩形
C． 是平面 的一个法向量 D．
【答案】AC
【分析】利用直线垂直与向量数量积的关系可判断AB选项的正误；利用平面法向量的概念可判断C选项
的正误；计算得出 ，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项， ， ，A对；
对于B选项， ，故平行四边形 不是矩形，B错；
对于C选项， ，则 ，
因为 ，则 平面 ，故 是平面 的一个法向量，C对；
对于D选项， ，D错.
故选：AC.
三、填空题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9．设 分别是平面 的法向量，若 ，则实数 的值是________．
【答案】4
【解析】根据 分别是平面 的法向量，且 ，则有 求解.
【详解】因为 分别是平面 的法向量，且
所以
所以
解得
故答案为：4
【点睛】本题主要考查空间向量垂直，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
10．已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，且直线 与平面 平行，
则实数 ______．
【答案】2
【分析】依题意可得 ，即可得到 ，根据空间向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可.
【详解】解：因为直线 与平面 平行，直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为
，
所以 ，则 ，解得 ．
故答案为：
11．已知正三棱柱 的侧棱长为2，底面边长为1， 是 的中点，若直线 上有一点 ，使
，则 ______.
【答案】 /0.0625
【分析】由题可设 ，则 ， ，利用 ，列出方程即得.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】如图，设 ，
由于 ， ，
由 可得 ，
∴ ，又 ，
因此 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
12． ， 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 的直角边 所在直线与 ， 都垂直，
斜边 以直线 为旋转轴旋转，有下列结论：
（1）当直线 与 成 角时， 与 成 角；
（2）当直线 与 成 角时， 与 成 角；
（3）直线 与 所成角的最小值为 ；
（4）直线 与 所成角的最小值为 ；
其中正确的是______（填写所有正确结论的编号）.
【答案】（1）（3）
【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|＝1，|
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】AB| ，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【详解】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，
故|AC|＝1，|AB| ，
斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量 （0，1，0），| |＝1，
直线b的方向单位向量 （1，0，0），| |＝1，
设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），
∴AB′在运动过程中的向量为 （cosθ，sinθ，﹣1），| | ，
设 与 所成夹角为α∈[0， ]，
则cosα |sinθ|∈[0， ]，
∴α∈[ ， ]，∴（3）正确，（4）错误．
设 与 所成夹角为β∈[0， ]，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】cosβ |cosθ|，
当 与 夹角为60°时，即α ，
|sinθ| ，
∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ |cosθ| ，
∵β∈[0， ]，∴β ，此时 与 的夹角为60°，
∴（1）正确，（2）错误．
故答案为（1）（3）．
【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、
空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
四、解答题
13．设 分别是空间中两个不重合的平面 的法向量，分别根据下列条件判断平面 的位置关系.
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）先利用向量的线性关系判定 的位置关系，进而判定平面 的位置关系；
（2）先利用向量的线性关系判定 的位置关系，进而判定平面 的位置关系；
【详解】（1）因为 ，所以 ，则 ；
（2）因为 ，所以 ，则 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．如图，四边形 为正方形， ， 分别为 ， 的中点，以 为折痕把 折起，使点
到达点 的位置，且点 在平面 上的投影点 恰好在 上．
(1)证明： ．
(2)求二面角 的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知可得 平面ABFD，进而可证得 平面PEF。即可证得结果.
（2）以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,分别求得平面
PEF的法向量 ，平面PFD的法向量 ,计算即可得出结果.
（1）
证明：由已知可得， 平面ABFD，所以 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，
又 ，所以 平面PEF.
又 平面PEF，所以 .
（2）
设 ，以H为坐标原点， 的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由（1）可得， ，又 所以 .
又 ，故 .可得 则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为平面PEF的一个法向量.
设平面PFD的法向量为
则 ,令 ，则
故取 .
设二面角 的平面角为 ，则
所以二面角 为 .
15．如图所示，四棱锥 中， ， ， ， 平面
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求证: 平面 ;
（2）若点 是线段 的中点，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）通过勾股定理证得 ，结合线面垂直的性质得到 ，由此证得 平面
.
（2）建立空间直角坐标系，通过平面 和平面 的法向量，求得平面 与平面 所成锐二面
角的余弦值.
【详解】（1）证明: ，
，
又 ，
，
故 ，
又 平面 平面 ，
，
又 ，
平面 .
（2）如图，分别以 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
由（1）得平面 的一个法向量为 ，
设 为平面 的一个法向量 ，
由 ，
得 ，
不妨取 ，
设平面 与平面 所成的锐二面角为 ，则
.
即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
16．如图，四面体 中， 、 分别是 、 的中点， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ；
【分析】（1）连接 ，依题意可得 ，再利用勾股定理逆定理得到 ，即可得证．
（2）以 为原点，以 ， ， 方向为 ， ， 轴正方向，建立空间坐标系，求出平面 的法
向量的坐标，根据点 到平面 的距离 ，可求出点 到平面 的距离；
（3）结合（2）中结论，再由 平面 ，即 为平面 的一个法向量，代入向量夹角公式，即
可求出二面角 的余弦值．
【详解】证明：（1）在 中， ， 是 中点，
且
中，连接 ， ，
且
中 ， ，
，故 ，
又 , 平面 ．
平面 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 则 ，即 ．
令 得 是平面 的一个法向量．
又 ，
点 到平面 的距离 ．
（3） 平面 ，
为平面 的一个法向量；
，
又二面角 为锐二面角，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以二面角 的余弦值为 ．
提升题型训练
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（ ）
A． B． C． 或 D．l与 斜交
【答案】C
【解析】由 可得 ，所以 或 ，即可得正确选项.
【详解】直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 或 ，
故选：C.
2．若平面 ，平面 的法向量为 ，则平面 的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两平面垂直得出两平面的法向量互相垂直，即两平面法向量的数量积为0，再逐项计算得出
结果.
【详解】选项A中， ，选项A正确；
选项B中， ，选项B错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】选项C中， ，选项C错误；
选项D中， ，选项D错误.
故选：A.
3．已知 ， ， ，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】代入法向量的计算公式，即可求解.
【详解】 ， ，令法向量为 ，则 ，
，可取 .
故选：A.
4．已知A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），则原点到平面ABC的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】构建空间直角坐标系 ，求面ABC的一个法向量 及 ，由原点到平面ABC的距离为
在 上的投影长，应用空间向量夹角的坐标表示求 ，进而求点面距即可.
【详解】由题设， ，若 是面ABC的一个法向量，
∴ ，令 ，则 ，又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若原点到平面ABC的距离为 ，则 为 在 上的投影长，而 ，
∴ .
故选：B
5．在边长及对角线都为1的空间四边形 中， ， 分别是 ， 的中点，则直线 和 夹角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的线性运算及数量积运算可求得 ，再利用空间向量求夹角运算即可得
解.
【详解】如图，连接对角线 ， ，则可构成棱长均为1的正四面体
由 ， 分别是 ， 的中点， ，
又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则
所以直线 和 夹角的余弦值为 .
故选：B
6．如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别是棱 、 的中点，则点 到平面
的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，找到平面 的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.
【详解】以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐
标系，则 ， ， ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面 的法向量为 ，
则 ，即
令 ，得 .
又 ，
点 到平面 的距离 ，
故选： .
【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这
个垂线段，然后放在直角三角形中去求.
二、多选题
7．我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，
在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】AC
【分析】根据线线平行传递性和课本中的定理可判断AC正确；垂直于同一条直线的两条直线位置关系不
确定，可判断B，通过举反例可判断D.
【详解】根据线线平行具有传递性可知A正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线，位置关系可能是异面、相交、平行，故B错误；
根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补可知C正确；
如图， 且 ，
则 但 和 的关系不确定，
故D错误.
故选：AC
8．在长方体 中， ， 为棱 的中点，点 满足
，其中 ，则下列结论正确的有（ ）
A．当 时，异面直线 与 所成角的余弦值为
B．当 时，
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，存在点 ，使得
【答案】AB
【分析】首先根据 的值，确定点 的位置，再利用空间向量的垂直和线线角的坐标运算，即可判断选
项.
【详解】A.当 时， ，此时点 是 与 的交点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如图，建立空间直角坐标系， ， ， ， ，
， ，所以 ，故A正确；
B. 当 时， ，此时，点 在线段 上，（ 分别是棱 的中点），此时，
， ， ，
， ，所以 恒成立，所以当
时，有 ，故B正确；
C. 当 时， ，此时点 在线段 上，（ 分别是 的中点），
， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，有 ，即 ， ，所以方程无解，不存在
点 使 ，故C错误；
D.当 时， ，此时点 在线段 上， , ，
， ， ， ，若 ，则 ，解
得： ，不成立，所以不存在点 ，使得 ，故D错误.
故选：AB
三、填空题
9．在直三棱柱 中，给出向量：① ；② ；③ ；④ ．可以作为平面ABC的法向
量的是_______．（选填序号）
【答案】②③
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】利用直棱柱的侧棱与底面垂直，结合平面法向量的定义，即可得到答案．
【详解】解：由于直三棱柱的侧棱与底面垂直，
所以平面 的法向量可以为 ， ．
故答案为：②③．
10．在正方体 中，E为 的中点，若O为底面 的中心，则异面直线 与
所成角的余弦值为_________.
【答案】
【分析】以D为坐标原点， 分别为x、y、z的轴正方向建立空间直角坐标系 ，用向量
法求解.
【详解】以D为坐标原点， 分别为x、y、z的轴正方向建立空间直角坐标系 ，如图所
示，
设 ，则 ， ， ， .
因为 ， ，
所以 ，
设异面直线 与 所成角为 ，则 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
11．在棱长为1的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在正方体的表面上
运动，且满足 ，给出下面四个结论：
①点 可以是棱 的四等分点，且靠近点 ；
②线段 的最大值为 ；
③点 的轨迹是正方形；
④点 轨迹的长度为 ．
则其中所有正确结论的序号是________．
（注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分）
【答案】①④
【分析】以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，求出 的
坐标，从而得到 的最大值，即可判断选项②，通过分析判断可得点 可以是棱 的四等分点，且靠
近点 ，从而判断选项①，又 ， ，可判断选项③和选项④．
【详解】解：在正方体 中，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵该正方体的棱长为1， ， 分别为 ， 的中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ， ， ， ，∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，即
当 时， ，当 时， ，
取 ， ， ， ，
连接 ， ， ， ，
则 ， ，
∴四边形 为矩形，则 ， ，
即 ， ，
又 和 为平面 中的两条相交直线，
∴ 平面 ，
又 ， ，
∴ 为 的中点，则 平面 ，
为使 ，必有点 平面 ，
又点 在正方体表面上运动，∴点 的轨迹为四边形 ，
因此点 可以是棱 的四等分点，且靠近点 ，故选项①正确；
又 ， ，
∴ ，则点 的轨迹不是正方形且矩形 周长为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选项③错误，选项④正确；
∵ ， ，
又 ，则 ，即 ，
∴ ，点 在正方体表面运动，
则 ，解 ，
∴ ，
故当 或 ， 或1， 取得最大值为 ，故②错误.
故答案为：①④．
12．已知正四面体 中， ， 分别是线段 ， 的中点，点 是线段 上靠近 的四等分点，
则直线 与 所成角的余弦值为________．
【答案】
【分析】以 为空间的一个基底，表示出 ，再借助空间向量运算即可求得直线 与
所成角的余弦值.
【详解】在正四面体 中，令棱长 ， ，则 为空间的一个基底，
如图， ， 分别是线段 ， 的中点，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而点 是线段 上靠近 的四等分点，则 ，
又 ，同理， ，
，
，
，
于是得 ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为：
四、解答题
13．已知长方体 中， ， ， ，点S、P在棱 、 上，且
， ，点R、Q分别为AB、 的中点．求证：直线 直线 ．
【答案】证明见解析.
【分析】利用坐标法，利用向量共线定理即得.
【详解】以点D为原点，分别以 、 与 的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 、 、 、 、 、 、 、 ，
由题意知 、 、 、 ，
∴ ， ．
∴ ，又 ， 不共线，
∴ .
14．如图，正方形 和矩形 所在的平面互相垂直， ， ， 是线段 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)
【分析】（1）设 与 交于点 ，易证四边形 是平行四边形，所以 ，再根据线面平
行的判定定理即可证明结果；
（2）根据题意，结合面面垂直的性质定理，可证 平面 ，所以 、 、 两两垂直，以 ，
， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，再根据它
们的数量积为0，即可证明结果；
（3）根据（2），求出平面 的法向量，然后再利用空间向量求二面角，即可得到结果.
【详解】（1）证明：设 与 交于点 ，连结 .
因为四边形 是矩形， 、 分别为 ， 的中点，
所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）证明：因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面
，
所以 平面 .
所以 、 、 两两垂直.以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
设 是平面 的法向量，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 令 ，得 .
设 是平面 的法向量，
则 令 ，得 .
因为 ，
所以平面 平面 .
（3）解：因为 ， ，
所以 ， ，设 是平面 的法向量，
则 令 ，得 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．已知直四棱柱 的底面 为菱形，且 ， ，点 为 的
中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 交 于点 ，通过证明 得 平面 ；
（2）方法一：取 的中点 ，证明 为二面角 的平面角，在三角形 中求 ；
方法二：建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面ACE的法向量，用空间向量求二面角的余弦值.
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
在直四棱柱 中 ，
所以四边形 为平行四边形，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为底面 为棱形，所以点 为 的中点，点 为 的中点，即点 为 的中点，
所以 ，
即四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）方法一：取 的中点 ，连接 ， ， ，
在直棱柱 中 平面 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以
因为在 中， ，且点 为 的中点，所以 ，
又 ，而点 为 的中点，所以 ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，即 ，
则 为二面角 的平面角，
在等腰直角三角形 中， ，又 ，
在直角三角形 中 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
即二面角 的余弦值为 .
方法二：因为底面 为菱形，所以 ，
在直四棱柱 中， 分别为 中点，故 面 ，故 ，
如图，以 ， ， 分别为分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
因为在 中， ，且点 为 的中点，
所以 ， ，
则 ， ， ， ，
因为 ， ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，得 ，
令 ，则 ，
平面 的法向量 ，
设二面角 为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 .
由图知二面角 为锐角，故二面角 的余弦为 .
16．如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ， ，点 在棱 上，且
，点 是棱 上的动点（不含端点）.
(1)若 是棱 的中点，求 的余弦值；
(2)求 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出 ， 的坐标，利用向量夹角公式求解；
（2）设 ，求出平面 的法向量 ，设 与平面 所成角为 ，则
，根据二次函数取最值的条件即得结果.
【详解】（1）由 平面 ， ， 平面 ，所以 ， ，
又 ，所以 、 、 两两垂直，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ， ， ， ， ，
当 为棱 的中点时， ，则 ， ，
，
所以 的余弦值为 .
（2） ，设 ， ，
则 ，则 ，又 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，
，设 与平面 所成角为 ，
，
令 ，当 时， ，
即 时， 有最大值 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
