2.1 认识无理数教学设计
课题 2.1认识无理数 单元 2 学科 数学 年级 八
本节课让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，学生将在
具体的实例中，通过操作、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，根据
教 材
正方形的面积拼图活动说明存在着无理数．
分析
教师引导学生回忆有理数的分类，使学生感受前后所学知识的一致性与连续性。以面积为2
核 心 的正方形的边长为引言，引入新课。激发学生的探究热情。通过操作让学生感受到无理数
素 养 的确实存在性。在探究过程中使学生感受数的扩展，体会无理数产生的过程，积累解决数
分析 学问题的经验和方法。认识数学与人类的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造。在
参与对数学问题的讨论时敢于发表自己的观点。
1、通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。
学习 2、借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想。
目标
3、会判断一个数是无理数还是有理数。
重点 会辨别有理数与无理数.
难点 无理数概念的推导过程.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 唤起学生的知识
师:同学们已经上了好多年的学,学过很多的
教师提问勾股 记忆，以便进入
数,同学们能概括一下都学过哪些数吗?
定理与勾股定 新的学习。
生1:在小学我们学过自然数、小数、分数.
理逆定理知识
生2:在初一我们还学过负数.
点，由学生回
师:对,我们在小学学了非负数,在初一发现数
答。
不够用了,引入了负数,即把从小学学过的正数、
零扩充到有理数范围,有理数包括整数和分数,那
么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要
呢?今天这节课我们就来共同研究这个问题.
讲授新课
1.提出问题.
师:请同学们四个人为一组,拿出自己准备好
的两个边长为1的正方形和剪刀,认真讨论之后,动
利用图片的剪拼,
手剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形,好
调动学生的学习
吗?
积极性,激发学生
生:好!
对潜在无理数探
(学生非常高兴地投入到活动中.) 学生实验、合
索的兴趣.
作、交流.
师:经过大家的共同努力,每个小组都完成了
任务,请同学们把自己拼的图展示一下.
同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.
师:现在我们一齐把大家的做法总结一下:教师通过启发，
带领学生动手操
师:下面再请大家共同思考一个问题,假设拼
成的大正方形的边长为a,那么a应满足什么条件 作，大大提高学
呢?
生 的 课 堂 参 与
生1:a是正方形的边长,所以a肯定是正数.
度，并让学生感
生2:因为两个小正方形的面积之和等于大正
受到探索发现的
方形面积,所以根据正方形的面积公式可知a2=2.
快乐。
生3:由a2=2可判断a应是1点几.
师:同学们说得都有道理,前面我们已经总结
了有理数包括整数和分数,那么a是整数吗?a是分
数吗?请大家分组讨论后回答.
生1:我们组的结论是:因为
12=1,22=4,32=9,…,可知整数的平方越来越大,所以
a应在1和2之间,故a不可能是整数.
生2:因为×=,×=,×=,…,两个相同分数的乘
先独立完
积都为分数,所以a不可能是分数. 让学生自己展示
师:经过大家的讨论可知,在等式a2=2中,a既 成,再小组交
答案，增强学生
不是整数,也不是分数,所以a不是有理数,但在现
流结果.
实生活中确实存在像a这样的数,由此看来,数又不 的成就感，并让
够用了.
学生体会到数学
2.做一做.
可以是“从做中
(教师多媒体出示图片)
学”，从实践中
(1)在下图中,以直角三角形的斜边为边的正
方形的面积是多少? 探索真理。
教师启发学生
根据上一题，
求出这一题的 教师带领学生回
结果，由师生
顾上一个探究发
共同完成。
现的过程，让学
(2)设该正方形的边长为b,那么b应满足什么
条件呢? 生说出所用的知
(3)b是有理数吗? 识点，进一步巩
师:请大家先回忆一下勾股定理的内容. 固学习。
生:在直角三角形中,若两条直角边长分别为
a、b,斜边长为c,则有a2+b2=c2.
师:在这道道题中,两条直角边长分别为1和
2,斜边长为b,根据勾股定理得b2=12+22,即b2=5,那
从学生熟悉
么b是有理数吗?请举手回答.
的正方形面积计
生1:因为22=4,32=9,22<b2<32,所以b在2,3之 借助计算器探
索无理数是无 算公式,以及勾
间,不可能是整数.
限不循环小
股定理,引导学
生2:没有两个相同的分数相乘得5,故b不可 数，并从中体
会无限逼近思 生 推 导 得 出 边
能是分数.
想。
长,猜测并用计
生3:因为没有一个整数或分数的平方为5,所 把探索过程整
理成表格展示 算器探索边长的
以b不是有理数.出来 精确值,进而引
师:大家分析得很准确,像上面讨论的数a、b
出无限不循环小
都不是有理数.下面我们再来看一个问题:
数——无理数,
(教师多媒体出示)
这样经历实验、
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?
(1)如图,三个正方形的边长之间有怎样的大 探 索 知 识 的 过
小关系?说说你的理由.
程,能充分调动
学生学习的积极
性,培养学生分
析问题、概括问
(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分
题的能力.
位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.
(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果
呢?
师:事实上,a=1.41421356…是一个无限
不循环小数.同样,对于体积为2的正方体,借助计
算器,可以得到它的棱长为1.25992105…,它也是
一个无限不循环小数.请同学们把下列各数表示成
小数: 学生独立练习 学生练习，
将自己的思考 加深对无理数的
与小组成员交 理解。
流，由代表回
学生计算并回答. 答。
师:通过计算,同学们发现了什么?
生:这些数可以用有限小数表示,或者可以用
无限循环小数表示.
师:很好!事实上,有理数总可以用有限小数或
无限循环小数表示.反过来,任何有限小数或无限
循环小数也都是有理数.我们把无限不循环小数称
为无理数.我们十分熟悉的圆周率
π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,因此
它也是一个无理数.还有如0.585885888588885…
(相邻两个5之间8的个数逐次加1),也是无理数.
三、例题讲解
【例】下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?
3.14,-,0.,0.101 000 100 000 1…(相邻两
个1之间0的个数逐次加2).
课堂练习 1．下列各数中，是有理数的是( )
A．面积为3的正方形的边长
B．体积为8的正方体的棱长
C．两直角边分别为1和2的直角三角形的斜边长
D．长为3，宽为2的长方形的对角线长 从简单的问题入
2.下列一组数：-8，2.5，30,π, 0.161616 手，运用勾股定
… ，0.6，0.080 080 008…（相邻两个8之间依 理解决问题，让次增加一个0），其中无理数有 （ ） 学生在解题过程
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 学生利用所学 中掌握勾股定理
3．如图，在方格纸中，假设每个小正方形的面积 知识做练习。 的应用,达到“学
为2，则图中的四条线段中长度是有理数的线段是 数学，用数学”
______________． 的目的，进一步
培养学生解决问
题的能力和推理
论证的能力
4．面积为7的正方形的边长为x.请你回答下列问
题：
(1)x的整数部分是多少？
(2)把x的值精确到十分位时是多少？精确到百分
位呢？
(3)x是有理数吗？请说明理由．
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生归纳本节 通过小结让学生
所学内容，并 理清本节课的知
体验核心素养 识结构，感受探
的形成。 究过程中乐趣，
体验克服困难的
过程，树立学习
数学的信心。
板书 1.认识无理数
1.剪拼正方形——等积变形思想方法
2.面积对比,利用计算器探索平方数——无限
逼近思想方法
3.任何有限小数或无限循环小数都是有理数
4.无限不循环小数称为无理数
