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期末难点特训（一）和数轴有关的压轴题
1．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的 ，则称该点是其他两个
点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足AB＝ BC，此时点
B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．
（1）A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”；
（2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 个，分别是 ；
（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数．
【答案】（1）B；（2）4；﹣2，﹣4，1，﹣7；（3） 或24
【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案；
（2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案；
（3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案．
【详解】解：（1）∵BM=0-（-3）=3，BN=6-0=6，
∴BM= BN，
∴点B是点M，N的“倍分点”；
（2）AM=-1-（-3）=2，设D点坐标为x，
①当DM= AM时，DM=1，
∴|x-（-3）|=1，
解得：x=-2或-4，
②当AM= DM时，DM=2AM=4，
∴|x-（-3）|=4，
解得：x=1或-7，
综上所述，则点D对应的数有4个，分别是-2，-4，1，-7，
故答案为：4；-2，-4，1，-7；
（3）MN=6-（-3）=9，当PN= MN时，PN= ×9= ，
∵点P在点N的右侧，
∴此时点P表示的数为 ，
当MN= PN时，PN=2MN=2×9=18，
∵点P在点N的右侧，
∴此时点P表示的数为24，
综上所述，点P表示的数为 或24．
【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键．
2．O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足（a﹣20）2+|b+10|＝0．
（1）写出a、b的值；
（2）P是A右侧数轴上的一点，M是AP的中点．设P表示的数为x，求点M、B之间的距离；
（3）若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的
速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或
D点到达A点时运动停止，求几秒后C、D两点相距5个单位长度？
【答案】（1）a＝20，b＝﹣10；（2）20+ ；（3）1秒、11秒或13秒后，C、D两点相距5个单
位长度
【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可求出a，b的值；
（2）由点A，P表示的数可找出点M表示的数，再结合点B表示的数可求出点M、B之间的距离；
（3）当0≤t≤ 时，点C表示的数为3t，当 ＜t≤ 时，点C表示的数为20﹣3（t﹣ ）＝40
﹣3t；当0≤t≤5时，点D表示的数为﹣2t，当5＜t≤20时，点D表示的数为﹣10+2（t﹣5）＝2t﹣
20．分0≤t≤5，5＜t≤ 及 ＜t≤ ，三种情况，利用CD＝5可得出关于x的一元一次方程，解
之即可得出结论．
【详解】解：（1）∵（a﹣20）2+|b+10|＝0，
∴a﹣20＝0，b+10＝0，∴a＝20，b＝﹣10．
（2）∵设P表示的数为x，点A表示的数为20，M是AP的中点．
∴点M表示的数为 ．
又∵点B表示的数为﹣10，
∴BM＝ ﹣（﹣10）＝20+ ．
（3）当0≤t≤ 时，点C表示的数为3t；
当 ＜t≤ 时，点C表示的数为：20﹣3（t﹣ ）＝40﹣3t；
当0≤t≤5时，点D表示的数为﹣2t；
当5＜t≤20时，点D表示的数为：﹣10+2（t﹣5）＝2t﹣20．
当0≤t≤5时，CD＝3t﹣（﹣2t）＝5，
解得：t＝1；
当5＜t≤ 时，CD＝3t﹣（2t﹣20）＝5，
解得：t＝﹣15（舍去）；
当 ＜t≤ 时，CD＝|40﹣3t﹣（2t﹣20）|＝5，
即60﹣5t＝5或60﹣5t＝﹣5，
解得：t＝11或t＝13．
答：1秒、11秒或13秒后，C、D两点相距5个单位长度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值及偶次方的非负性，解题的关键是：
（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出a，b的值；（2）根据各点之间的关系，用含x的代数
式表示出BM的长；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
3．如图，点 A， B，C 在数轴上表示的数分别是3，3 和 1．动点 P ， Q 同时出发，动点 P
从点 A 出发，以每秒 6个单位的速度沿 A B向终点 B匀速运动；动点Q 从点C 出发，以每
秒 1个单位的速度沿C B 向终点 B 匀速运动，当P、Q都到达终点后停止运动．设点 P 的
运动时间为t(s) ．
（1）当点 P 到达点 B 时，点Q 所表示的数是 ；
（2）当t 0.5时，线段 PQ 的长为 ；
（3）在整个运动过程中，当 P ， Q 两点到点C 的距离相等时，求t 的值．【答案】（1）2；（2）1.5；（3） 或 或2．
【分析】（1）根据两点之间的距离公式，时间=路程÷速度，路程=速度×时间，列式计算即可求解；
（2）求出t=0.5时，P、Q点所表示的数，再根据两点间的距离公式可求线段PQ的长；
（3）分3种情况讨论可求t的值．
【详解】解：（1）∵点 P 到达点 B 所需时间=[3-（-3）]÷6=1，
∴点Q 所表示的数=1×1+1=2．
故答案是：2；
（2）当t 0.5时，点Q 所表示的数是（1×0.5+1）=1.5，
点P 所表示的数是（-3+6×0.5）=0．
∴线段PQ的长是1.5；
故答案是：1.5；
（3）①相遇前，依题意有
1-（-3+6t）=t，
解得t= ；
②当P追上Q时，依题意有
（6-1）t=1-（-3），
解得t= ；
③当P到达B停止运动后， Q到达B时，此时P ， Q 两点到点C 的距离相等，依题意有t=2．
综上所述，t的值为 或 或2．
【点睛】考查了一元一次方程的应用及数轴上两点的距离，掌握路程问题等量关系和数轴知识是
解题的关键．
4．如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣8，点
C 在数轴上表示的数是10．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2
个单位长度/秒的速度也向右匀速运动．
（1）运动t秒后，点B表示的数是 ；点C表示的数是 ．(用含有t的代数式表示)（2）求运动多少秒后，BC=4（单位长度）；
（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式 ，若存在，
求线段PD的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）－6+6t；10+2t；（2） ， ；（3）PD= 或
【分析】(1)根据题意列出代数式即可.
(2)根据题意分点B在点C左边和右边两种情况,列出方程解出即可.
(3)随着点B的运动大概,分别讨论当点B和点C重合、点C在A和B之间及点A与点C重合的情况.
【详解】（1）点B表示的数是－6+6t；
点C表示的数是10+2t.
（2）
或
∴ 或
（3）设未运动前P点表示的数是x,
则运动t 秒后，A点表示的数是
B点表示的数是-6+6t
C点表示的数是10+2t
D点表示的数是14+2t
P点表示的数是x+6t
则BD=14+2t-(-6+6t)=20-4t
AP=x+6t-(-8+6t)=x+8
PC= (P点可能在C点左侧，也可能在右侧)
PD=14+2t-(x+6t)=14-(4t+x)
∵
∴20-4t-(x+8)=4
∴12-（4t+x）=4(4t+x)-40 或 12-（4t+x）=40-4(4t+x)
∴4t+x= 或 4t+x=
∴PD=14+2t-(x+6t)=14-(4t+x)= 或 .
【点睛】本题考查了两点间的距离,并综合了数轴、一次元一次方程,关键在于分类讨论,列出对应方程.
5．根据如图给出的数轴，解答下面的问题：
（1）点A表示的数是 ，点B表示的数是 ．若将数轴折叠，使得A与-5表
示的点重合，则B点与数 表示的点重合；
（2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是： ；
（3）已知M点到A、B两点距离和为8，求M点表示的数．
【答案】（1）1，-3，-1；（2）5或-3 ；（3） 或
【分析】（1）利用数轴表示数的方法写出A、B点表示的数，写出点A与−5表示的点的中心对称
点表示的数，然后画出点B关于此点的对称点，再写出对应的数即可；
（2）把点A向右或向左平移4个单位，写出对应点表示的数即可；
（3）设M表示的数是m，可分三种情况进行讨论，并利用数轴上两点间的距离表示M点到A、B
两点距离和，列出关于m的方程，求解后即可得出结论．
【详解】解：（1）A、B 两点所表示的有理数是1和-3．
若A点与-5重合，则对称点是-2，则点B关于-2的对称点是：-1．
故答案为：1，-3，-1；
（2）与点A的距离为4的点表示的数是：5或-3 ．
故答案为：5或-3 ；
（3）设M表示的数是m，
①若M在B的左侧时，
，则
②若M在线段AB上，
，则无解．
③若M在A的右侧上，
，则 ．
综上所诉， 或 ．
【点睛】本题主要考查了数轴、两点间距离等知识，解题的关键是理解题意，掌握数轴上的点的
特点及利用两点间的距离构建方程解决问题．
6．如图1，长方形 的边 在数轴上， 为原点，长方形 的面积为12， 边长为3.（1）数轴上点 表示的数为 .
（2）将长方形 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为 ，移动后的长方形
与原长方形 重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为 .
①设点 的移动距离 .当 时， .
②当 恰好等于原长方形 面积的一半时，求数轴上点 表示的数为多少.
【答案】（1）4 （2）① ②6
【分析】（1）利用面积除以OC可得AO长，进而可得答案；
（2）①首先根据面积可得OA′的长度，再用OA长减去OA′长可得x的值；
②首先计算出S的值，再根据矩形的面积表示出O′A的长度，再求出A′表示的数；
【详解】（1）∵长方形OABC的面积为12，OC边长为3，
∴OA=12÷3=4，
∴数轴上点A表示的数为4，
故答案为：4．
（2）①由题意得：CO•O′A=4，
∵CO=3，
∴O′A=
∴x=4- =
故答案为：
②∵S恰好等于原长方形OABC面积的一半
∴S=6
∴O′A=6÷3=2
∵O′A′=AO=4
∴OA′=4+4-2=6
∴A′表示的数为6
【点睛】此题主要考查了数轴上点的平移，关键是正确理解题意，利用数形结合求解．7．如图，点A、B分别在数轴原点O的两侧，且 OB+8=OA，点A对应数是20.
（1）求B点所对应的数；
（2）动点P、Q、R分别从B、O、A同时出发，其中P、Q均向右运动，速度分别为2个单位长
度/秒，4个单位长度/秒，点R向左运动，速度为5个单位长度/秒，设它们的运动时间为t秒，当
点R恰好为PQ的中点时，求t的值及R所表示的数；
（3）当 时，BP+ AQ的值是否保持不变？若不变，直接写出定值；若变化，试说明理由.
【答案】（1）点B表示的数为 ；（2）t=4；R表示的数为0；（3）不变，定值为10
【分析】（1）根据点A对应的数求得OA的长度，结合已知条件和图形来求点B所对应的数；
（2）根据点P、Q、R的出发点、运动速度，可得出：当运动时间为t秒时，点Q对应的数为4t，
点P对应的数为2t−24，点R对应的数为−5t＋20，结合点R是PQ的中点，即可得出关于t的一元
一次方程，解之即可得出结论．
（3）分别表示出BP，AQ的值，进而求出BP+ AQ的值即可解答．
【详解】解：（1）∵点A对应的数是20，
∴OA＝20，
∵ OB+8=OA，
∴OB＝24．
又∵点B在原点的左侧，
∴点B对应的数为−24．
（2）当运动时间为t秒时，点Q对应的数为4t，点P对应的数为2t−24，点R对应的数为−5t＋
20，
依题意，得：4t＋2t−24＝2（−5t＋20），
解得：t＝4．
答：当点R恰好为PQ的中点时，t的值为4．
点R对应的数为： ，即R表示的数为0.
（3）设运动时间为t秒，则 , ,∵ ,
∴ 的值不变，定值为10.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键.
8．如图，数轴上点A表示的数为﹣3，点B表示的数为3，若在数轴上存在点P，使得AP+BP=m，
则称点P为点A和B的“m级精致点”，例如，原点O表示的数为0，则AO+BO=3+3=6，则称点O
为点A和点B的“6级精致点”，根据上述规定，解答下列问题：
（1）若点C轴在数轴上表示的数为﹣5，点C为点A和点B的“m级精致点”，则m=
；
（2）若点D是数轴上点A和点B的“8级精致点”，求点D表示的数；
（3）如图，数轴上点E和点F分别表示的数是﹣2和4，若点G是点E和点F的“m级精致点”，
且满足GE=3GF，求m的值.
【答案】（1）10；（2）D表示的数为4或-4；（3） m的值为6或12
【分析】（1）根据m级精致点的概念，求出AC+BC的值，则可求出m的值；
（2）根据精致点的概念，可得AD+BD=8，求出数轴上到点A,点B的距离之和为8的点；
（3）由GE=3GF可得，点G在线段EF上或点F右侧，分两种情况求解.
【详解】解：（1）由题意可知：点C为点A和点B的“m级精致点”，
则AC+BC=2+8=10,
∴m=10.
（2）∵点D是数轴上点A和点B的“8级精致点”，
∴AD+BD=8，设点D表示的数为x，
当点D在点A左侧时，
AD+BD=［（-3）-x］+（3-x）=8
解得：x=-4，
当点D在点B右侧时，
AD+BD=［x-（-3）］+（x-3）=8，解得：x=4，
∴点D的坐标为（4,0）或（-4，0）.
（3）∵GE=3GF，根据精致点的定义，设点G表示的数为y，
当点G在线段EF上时，
GE=3GF，即y-（-2）=3×（4-y），
解得：y= ，
此时m= -（-2）+（4- ）=6；
当点G在点F右侧时，
GE=3GF，即y-（-2）=3×（y-4），
解得：y=7，
此时m=7-（-2）+（7-4）=12，
综上：m=6或12.
【点睛】本题考查了数轴上的点，新定义，列一元一次方程解决问题，解题的关键是利用题中概
念，分情况列出方程解答.
9．如图，在数轴上有 A 、B 、C 、D 四个点，分别对应的数为 a ，b ， c ， d ，且满足 a
，b 是方程| x7|1的两个解(a b)，且(c 12)2 与| d 16 |互为相反数．
（1）填空： a 、b 、 c 、 d ；
（2）若线段 AB 以 3 个单位/ 秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以 1 单位长度/ 秒向左匀
速运动，并设运动时间为t 秒，A 、B 两点都运动在线段CD 上（不与C ， D 两个端点重合），
若BD2AC ，求t 的值；
（3）在（2）的条件下，线段 AB ，线段CD 继续运动，当点 B 运动到点 D 的右侧时，问是否
存在时间t ，使 BC3AD ？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）a 8 ， b 6，c 12 ， d 16；（2） ；（3）t 或t 时，
BC 3AD
【分析】（1）根据绝对值的含义 （ 为正数） 及平方和绝对值的非负性 即
可求解；（2）AB 、CD 运动时， 点 A 对应的数为： 8 3t ， 点 B 对应的数为： 6 3t
， 点C 对应的数为：12 t ， 点 D 对应的数为： 16 t ，根据题意列出关于t的等式求解
即可；（3）根据题意求出t的取值范围，用含t的式子表示出BC和AD，再根据BC3AD即可求
出t值.
【详解】（1） | x 7 | 1，
x 8 或6
a 8 ， b 6，
(c 12)2 | d 16 | 0 ，
c 12 ， d 16
（2） AB 、CD 运动时， 点 A 对应的数为： 8 3t ， 点 B 对应的数为： 6 3t ， 点
C 对应的数为：12 t ， 点 D 对应的数为： 16 t ，
BD |16 t (6 3t) || 22 4t |
AC |12 t (8 3t) || 20 4t |
BD 2 AC ，
22 4t 2(20 4t)
解得： 或
当 时，此时点 B 对应的数为 ，点C 对应的数为 ，此时不满足题意，
故
（3）当点 B 运动到点 D 的右侧时， 此时6 3t 16 t
，
BC |12 t (6 3t ) ||18 4t | ，
AD |16 t (8 3t) || 24 4t | ，
BC 3AD ，
|18 4t | 3 | 24 4t | ，解得： t 或t
经验证，t 或t ， BC 3AD
【点睛】本题考查了有理数与数轴的综合问题，涉及字母的表示，绝对值的性质，解方程，灵活
应用绝对值的性质是解题的关键.
10．已知a是最大的负整数，b是-5的相反数，c= ，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对
应的数.若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点
P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度.
（1）求a、b、c的值；
（2）P、Q同时出发，求运动几秒后，点P可以追上点Q？
（3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒6
个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动，追上后点M再运动几秒，M到Q的距
离等于M到P距离的两倍？
【答案】（1）a=-1，b=5，c=-3；（2）t=3s；（3）t= 或 s
【分析】（1）由已知条件即可确定a、b、c的值；
（2）由题意，可知A点表示的数是-1，B点表示的数是5，设运动t秒后，P点对应的数是-1+3t，
Q点对应的数是5+t，相遇时两点表示同一个数；
（3），t秒后，M点对应的数是-3+6t，可求M、Q相遇时间，当M向数轴负半轴运动后，M点对
应的数是6.6-6（t-1.6）=-6t+16.2，根据题意列出方程7t-11.2=2|9t-17.2|，再结合t的范围求解．
【详解】解：（1）∵a是最大的负整数，
∴a=-1，
∵b是-5的相反数，
∴b=5，
∵c=-|-3|，
∴c=-3；
（2）由题意，可知A点表示的数是-1，B点表示的数是5，
设运动t秒后，P点对应的数是-1+3t，Q点对应的数是5+t，
P点追上Q点时，两个点表示的数相同，∴-1+3t=5+t，
∴t=3，
∴求运动3秒后，点P可以追上点Q；
（3）由（2）知，t秒后，M点对应的数是-3+6t，
当M点追上Q点时，5+t=-3+6t，
∴t=1.6，
此时M点对应的数是6.6，
此后M点向数轴负半轴运动，M点对应的数是6.6-6（t-1.6）=-6t+16.2，
MQ=5+t-（-6t+16.2）=7t-11.2，
MP=|-6t+16.2+1-3t|=|9t-17.2|，
由题意，可得7t-11.2=2|9t-17.2|，
当 时，7t-11.2=18t-34.4，
∴t=
当 时，7t-11.2=-18t+34.4，
∴t= ；
∴t= 或t= ，
∴ ， ，
∴追上后，再经过 s或 s，M到Q的距离等于M到P距离的两倍．
【点睛】本题考查实数与一元一次方程的解法；能够由已知确定P、Q、M点运动后对应的数，利
用两点间距离的求法列出方程解题是关键．
11．已知，数轴上点 、 对应的数分别为 、 ，且满足 ，点 对应点的数
为－3.
（1） ______， ______；
（2）若动点 、 分别从 、 同时出发向右运动，点 的速度为3个单位长度/秒；点 的速度
为1个单位长度/秒，求经过多长时间 、 两点的距离为 ；（3）在（2）的条件下，若点 运动到点 立刻原速返回，到达点 后停止运动，点 运动至点
处又以原速返回，到达点 后又折返向 运动，当点 停止运动点 随之停止运动.求在整个运
动过程中，两点 ， 同时到达的点在数轴上表示的数.
【答案】（1）－7，1.（2）经过 秒或 秒 ， 两点的距离为 .（3）在整个运动过程中，两
点 ， 同时到达的点在数轴上表示的数分别是－1，0，－2.
【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性列方程组可解；
（2）设经过t秒两点的距离为 ，根据题意列绝对值方程求解即可；
（3）分类讨论：点P未运动到点C时；点P运动到点C返回时；当点P返回到点A时．分别求出
不同阶段的运动时间，进而求出相关点所表示的数即可．
【详解】（1）由非负数的性质可得： ，
∴ ， ，
故答案为：－7，1；
（2）设经过 秒两点的距离为 ，
由题意得： ，
解得 或 ，
答：经过 秒或 秒 ， 两点的距离为 ；
（3）点 未运动到点 时，设经过 秒 ， 相遇，
由题意得： ，∴ ，
表示的数为： ，
点 运动到点 返回时，设经过 秒 ， 相遇，
由题意得： ，
∴ ，
表示的数是： ，
当点 返回到点 时，用时 秒，此时点 所在位置表示的数是 ，
设再经过 秒相遇，
由题意得： ，
∴ ，
表示的数是： ，
答：在整个运动过程中，两点 ， 同时到达的点在数轴上表示的数分别是-1，0，-2.
【点睛】本题综合考查了绝对值和偶次方的非负性、利用方程来解决动点问题与行程问题，本题
难度较大．
12．如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为﹣3，9，用符号“AB”来表示点A和点B之间的
距离．
（1）若在数轴上存在一点C，使AC＝3BC，求点C表示的数；
（2）在（1）的条件下，点C位于A，B两点之间．点A以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向
运动，2秒后点C以2个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回沿着数轴
的负方向运动，直到点A到达点B，两个点同时停止运动，设点A运动的时间为t，在此过程中存
在t使得AC＝3BC仍成立，求t的值．
（3）在（1）的条件下，点C位于A，B两点之间．点A以1个单位/秒的速度沿着数轴的负方向
运动，2秒后点B以2个单位/秒的速度也沿着数轴的负方向运动．点C以20单位/秒的速度与点A
同时同向出发，当遇到A后，立即返回向B点运动；遇到B点后立即返回向A点运动：如此往返，
直到B追上A时，C立即停止运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．【答案】（1）15或6；（2） 或 ；（3）320．
【分析】（1）根据题意，列出AC之间的距离与BC之间的距离，再根据绝对值的性质解题；
（2）由点C位于A，B两点之间，得到点C表示的数是6，分两种情况讨论，点C到达B之前，
或点C到达B之后，分别写出点A、C表示的数，根据数轴上两点间的距离解题；
（3）设点B出发后经过 秒，点B追上A，利用追上时，点A、B表示是数相同，解得时间的值，
再求得此时点C的时间，利用路程公式解题．
【详解】解：（1）设点C表示的数是x，由题意得
或
解得： 或 ；
点C表示的数为15或6；
（2） 点C位于A，B两点之间，
点C表示的数是6，
点A运动t秒后表示的数是： ，
点C到达B之前，即
点 表示的数为：
AC＝3BC
；
点C到达B之后，即
点 表示的数为：
，
AC＝3BC
或 ，解得： （舍去）或 ；
综上所述， 或 ；
（3）设点B出发后经过 秒，点B追上A，
解得 ，
点的运动路程为：
答：点C运动的路程是320个单位长度．
【点睛】本题考查数轴、一元一次方程的应用、两点间的距离等知识，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
13．如图1，数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点A对应的数与点B对应的数互为相反数．
（1）若AB＝24，则点A对应的数是 ，点B对应的数是 ；
（2）如图2，在（1）的条件下，动点P从点O出发以2个单位/秒的速度向右运动，设点P运动
的时间为t秒，当PA＝2PB时，求t的值；
（3）如图3，在（1）和（2）的条件下，动点P从点O出发的同时，动点M从点A出发以3个单
位/秒的速度向右运动，动点N从点B出发以4个单位/秒的速度向左运动．在这三点运动过程中，
其中任意两点相遇时，这两点立即以原速度向反方向运动，另一点保持原来的速度和方向，设运
动时间为t（t＞0）秒．求：当t的值为多少时，满足PM＝PN？
【答案】（1） ； （2）2或18（3） 或
【分析】（1）根据AB的长度，点A，点B所对应的数为相反数，可得OA=OB，可求得
，即可得到结论
（2）分点P在OB之间，和点P在点B的右侧这两种情况进行讨论即可求解
（3）根据题意先计算出点P和点N相遇的时间 ，求出此时的PM的长，因相遇后各点向相反的方向运动，设 秒后， ，根据题意列方程即可求出 ，则 ，再计算出点P和点
M相遇的时间 ，设 后， ，根据题意列方程解方程求出 ，则
【详解】（1）若AB=24，则OA+OB=24，
A、B点对应的数互为相反数
点A在原点的左侧，则点B在原点的右侧
A点对应的数为 ，B点对应的数为
（2）当点P在OB之间时，则 ， ，
解得
当点P在B点右侧时，则 ， ，
同理可得：
解得
所以当 或 时
（3） P点向右运动，N点向左运动，且N的速度大于M，
点P和点N相遇前
P点的速度为2，N点的速度为4，OB=12
设点P点N在 秒后相遇
点P和点N相遇 后相遇，相遇处对应的数为4，此时M点所对应的数为-6，则PM的长为
10，
设 秒后， ，
则可列方程为 ，解得
点P和点N相遇后，点P与点N以原速度向相反的方向运动，此时
设点P点M在 秒后相遇
解得
再过 ，点P和点M相遇与点O，则此时点N在12处，
设 后， ，
则可列方程为
解得
所以当 或 时
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，相反数的定义，读懂题意正确列出方程是解题
关键．
14．已知：数轴上两点 、 表示的数分别为 ， ，点 为原点，且已知 ， 满足
．
（1）求 ， 的长度；
（2）若点 是线段 上一点（点 不与 两点重合），且满足 ，求 的长；
（3）若动点 ， 分别从 ， 两点同时出发，向右运动，点 的速度为2单位长度 ，点 的
速度为1单位长度 ．设运动时间为 ，当点 与点 重合时， ， 两点停止运动．求当 为
何值时， 单位长度．【答案】（1）OA=8；OB=4；（2） ；（3）1.6s或8s
【分析】（1）根据 ，求出a、b的值，即可求解；
（2）可设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时；②点C在线段OB上时，
根据AC=CO+CB，列出方程求解即可；
（3）先确定点 与点 重合的时间，再分两种情况：0＜t＜4（P在O的左侧）；4≤t≤12（P在O
的右侧）；进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵ ．
∴ ，
∴ 单位长度， 单位长度．
（2）设 点所表示的实数为 ，
①当点 在线段 上时，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ；
②当点 在线段 上时，
∵ ，
∴ ，
∴ （不符合题意，舍）．
∴ 的长是 单位长度．
（3）当 时， 重合，
① （ 在 的左侧），
， ， ，
则 ，
解得 .6s；
② ，（P在O的右侧）
， ， ，
则 ，解得 s．
综上， .6s或8s时， 单位长度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，数轴上点的表示，比较复杂，要
认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离
等于任意两点表示的数的差的绝对值．
15．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴上﹣3和5的位置，沿数轴做移动游戏，规则如下：
两人先猜硬币的正反面，依据猜的对错再移动，若都猜对或都猜错，则甲向右移动1个单位，同
时乙向左移动1个单位；若甲猜对乙猜错，则甲向右移动4个单位，同时乙向右移动2个单位；若
甲猜错乙猜对，则甲向左移动2个单位，同时乙向左移动4个单位．
（1）第一次游戏时，若甲、乙都猜对，则移动后两人相距 个单位；若甲猜对乙猜错，则
移动后两人相距 个单位；若甲猜错乙猜对，则移动后两人相距 个单位；
（2）若连续（下次在上次的基础上）完成了10次移动游戏，且每次甲、乙所猜结果均为一对一
错．游戏结束后，
①乙会不会落在原点O处？为什么？
②求甲、乙两人之间的距离．
【答案】（1）6；6；6；（2）①乙不会落在原点O处；理由见解析；②12
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）①设甲猜对了n次，则甲猜对乙猜错n次，甲猜错乙猜对（10﹣n）次，根据题意列方程即可
得到结论；
②游戏结束时，得到甲的位置落在﹣3+4n﹣2（10﹣n）＝6n﹣23处，游戏结束时，得到乙的位置
落在5﹣4（10﹣n）+2n＝6n﹣35处，列式计算即可得到结论．
【详解】解：（1）第一次游戏时，
若甲、乙都猜对，则移动后两人相距：5-1-（-3+1）=6个单位；若甲猜对乙猜错，则移动后两人相
距:5+2-（-3+4）=6个单位；若甲猜错乙猜对，则移动后两人相距：5-4-（-3-2）=6个单位；
故答案为：6，6，6；
（2）设甲猜对了n次，则甲猜对乙猜错n次，甲猜错乙猜对（10﹣n）次，
①根据题意得，乙猜错了n次，向右移动了2n，猜对了（10﹣n）次，向左移动4（10﹣n），
则5﹣4（10﹣n）+2n＝0，解得：n＝ ，
∵n＝ ≠整数，
∴乙不会落在原点O处；
②游戏结束时，甲的位置落在﹣3+4n﹣2（10﹣n）＝6n﹣23处，
游戏结束时，乙的位置落在5﹣4（10﹣n）+2n＝6n﹣35处，
∴甲、乙两人之间的距离＝|（6n﹣23）﹣（6n﹣35）|＝12；
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题，属于常考题型．
16．已知代数式 是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b．如图，
在数轴上有点A，B，C三个点，且点A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c．已知 ．
（1）求a，b，c的值；
（2）若动点P，Q分别从C，O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，点
E为线段 的中点，点F为线段 的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度
为每秒3个单位长度，求 的值．
（3）若动点P，Q分别自A，B出发的同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点M自点C
出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒）， 时，数轴上
的有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段 上一点（点T不与点
M，N重合），在运动的过程中，若满足 （点T不与点P重合），求出此时线段
的长度．
【答案】（1） ， ， ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）根据 是关于x的二次多项式，二次项的系数为b，可计算得a、b以及 的值；结合 ，通过计算即可得到答案；
（2）设点P的出发时间为t秒，根据点E为线段 的中点，点F为线段 的中点，若动点P的
速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，分别得 、 、 ，通过计
算即可得到答案；
（3）设点P的出发时间为t秒，P点表示的数为 ，Q点表示的数为 ，M点表示的数为
，N点表示的数为 ，T点表示的数为x，得 ， ， ；结合 ，通
过求解方程即可完成求解．
【详解】（1）∵ 是关于x的二次多项式，二次项的系数为b
∴ ，
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ；
（2）设点P的出发时间为t秒
∵点E为线段 的中点，点F为线段 的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的
速度为每秒3个单位长度
∴
∵ ，∴
∴ ；
（3）设点P的出发时间为t秒，P点表示的数为 ，Q点表示的数为 ，M点表示的数为
，N点表示的数为 ，T点表示的数为x
∴ ， ， ，
∵
∴
∴ 或
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了数轴、代数式、整式加减、绝对值、一元一次方程的知识；解题的关键是熟
练掌握数轴、代数式、整式加减、绝对值、一元一次方程的性质，从而完成求解．
17．如图，已知数轴上点 表示的数为8， 是数轴上位于点 左侧一点，且 ，动点 以
点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒．
（1）写出数轴上点 表示的数_________；点 表示的数_________（用含 的代数式表示）．
（2）动点 从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点 、 同时出发，
问多少秒时 、 之间的距离恰好等于2？
（3）若 为 的中点， 为 的中点，在点 运动的过程中，线段 的长度是否发生变化？
若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段 的长．
【答案】（1）-12； ；（2）2．25秒或2．75秒；（3） 长度不变，画图见解析，
．
【分析】（1）根据点B和点P的运动轨迹列式即可．
（2）分两种情况：①点P、Q相遇之前；②点P、Q相遇之后，分别列式求解即可．
（3）分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时；②当点 在点 的左侧时，分别列式求解
即可．【详解】解：（1）数轴上点 表示的数为： ，
点 表示的数为： ．
故答案为：-12； ．
（2）设 秒后 ， 之间的距离恰好等于2，
①点 ， 相遇前，由题意可得：
，解得 ，
②点 ， 相遇之后，由题意可得：
，解得 ．
答：若点 ， 同时出发，2．25秒或2．75秒时， ， 之间的距离恰好等于2．
故答案为：2．25秒或2．75秒．
（3）线段 的长度不发生变化，都等于10，
①当点 在 ， 两点之间运动时，
，
②当点 在点 的左侧时，
，综上可得 长度不变，且 ．
【点睛】本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键．
18．已知：数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，点O为原点，且a、b、c满足(a﹣6)2+|b
﹣2|+|c﹣1|=0．
（1）直接写出a、b、c的值；
（2）如图1，若点M从点A出发以每秒1个单位的速度向右运动，点N从点B出发以每秒3个单
位的速度向右运动，点R从点C出发以每秒2个单位的速度向右运动，点M、N、R同时出发，设
运动的时间为t秒，t为何值时，点N到点M、R的距离相等；
（3）如图2，若点P从点A出发以每秒1个单位的速度向左运动，点Q从点B出发以每秒3个单
位的速度向左运动，点P，Q同时出发开始运动，点K为数轴上的一个动点，且点C始终为线段
PK的中点，设运动时间为t秒，若点K到线段PC的中点D的距离为3时，求t的值．
【答案】（1）a=6，b=2，c=1；（2）t为1s或5s时，点N到点M、R的距离相等；（3）t=3或
7．
【分析】（1）根据非负数的性质，列出方程进行解答便可；
（2）先用t的代数式表示NM、NR，再由NM=NR列出t的方程便可；
（3）用t的代数式表示P点，再根据中点公式用t表示D点和K点，再由两点距离公式由DK=3列
出t的方程进行解答便可．
【详解】（1）∵(a﹣6)2+|b﹣2|+|c﹣1|=0，
∴a﹣6=0，b﹣2=0，c﹣1=0，
∴a=6，b=2，c=1；
（2）由题意得：由题意得，（6+t）-（2+3t）=（2+3t）-（1+2t），或，（2+3t）-（6+t）=
（2+3t）-（1+2t），
解得，t=1，或t=5，
∴t为1s或5s时，点N到点M、R的距离相等；
（3）由题意知，P点表示的数为：6﹣t．
∵D是PC的中点，
∴D表示的数为： ，
∵C是PK的中点，
∴点K表示的数为：2×1﹣(6﹣t)=t﹣4．∵KD=3，
∴|(t﹣4) |=3，
∴t=3或7．
【点睛】此题考查了数轴，非负数的性质和一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等
量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析．
19．如图，数轴上线段AB长2个单位长度，CD长4个单位长度，点A在数轴上表示的数是﹣
10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段
CD以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
(1)问：运动多少秒后，点B与点C互相重合？
(2)当运动到BC为6个单位长度时，则运动的时间是多少秒？
(3)P是线段AB上一点，当点B运动到线段CD上时，是否存在关系式 ？若存在，求
线段PD的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 运动3秒后，点B与点C互相重合；(2) 运动 或 秒后，BC为6个单位长度；(3)
存在关系式 ，此时PD= 或 ．
【分析】（1）设运动t秒后，点B与点C互相重合，列出关于t的方程，即可求解；
（2）分两种情况：①当点B在点C的左边时，②当点B在点C的右边时，分别列出关于t的方程，
即可求解．
（3）设线段AB未运动时点P所表示的数为x，分别表示出运动t秒后，C点表示的数，D点表示
的数，A点表示的数，B点表示的数，P点表示的数，从而表示出BD，AP，PC，PD的长，结合
，得18﹣8t﹣x=4|16﹣8t﹣x|，再分两种情况：①当C点在P点右侧时，②当C点在
P点左侧时，分别求解即可．
【详解】（1）由题意得：BC=16-(-10)-2=24，
设运动t秒后，点B与点C互相重合，则
6t+2t=24，解得：t=3．
答：运动3秒后，点B与点C互相重合；
（2）①当点B在点C的左边时，由题意得：6t+6+2t=24
解得：t= ；
②当点B在点C的右边时，
由题意得：6t﹣6+2t=24，
解得：t= ．
答：运动 或 秒后，BC为6个单位长度；
（3）设线段AB未运动时点P所表示的数为x，
运动t秒后，C点表示的数为16﹣2t，D点表示的数为20﹣2t，A点表示的数为﹣10+6t，B点表示
的数为﹣8+6t，P点表示的数为x+6t，
∴BD=20﹣2t﹣(﹣8+6t)=28﹣8t，
AP=x+6t﹣(﹣10+6t)=10+x，
PC=|16﹣2t﹣(x+6t)|=|16﹣8t﹣x|，
PD=20﹣2t﹣(x+6t)=20﹣8t﹣x=20﹣(8t+x)，
∵ ，
∴BD﹣AP=4PC，
∴28﹣8t﹣(10+x)=4|16﹣8t﹣x|，
即：18﹣8t﹣x=4|16﹣8t﹣x|，
①当C点在P点右侧时，
18﹣8t﹣x=4(16﹣8t﹣x)=64﹣32t﹣4x，
∴x+8t= ，
∴PD=20﹣(8t+x)=20﹣ = ；
②当C点在P点左侧时，
18﹣8t﹣x=﹣4(16﹣8t﹣x)=﹣64+32t+4x，
∴x+8t= ，
∴PD=20﹣(8t+x)=20﹣ = ．
∴存在关系式 ，此时PD= 或 ．【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离以及动点问题，掌握用代数式表示数轴
上的点以及两点间的距离，根据等量关系，列方程，是解题的关键．
