文档内容
8.5 空间向量及其应用
思维导图
知识点总结
1.空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有 和 的量
相等向量 方向 且模 的向量
相反向量 方向 且模 的向量
共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合
(或平行向量) 的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使
b＝ .
(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存
在有序实数对(x，y)，使p＝ .
(3)空间向量基本定理：如果三个向量 e ，e ，e 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一的
1 2 3
有序实数组(x，y，z)，使得p＝ .
3.空间向量的数量积(1)两向量的数量积：设两个空间非零向量 a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记
作a·b，即a·b＝ .
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(x ，y ，z )，b＝(x ，y ，z ).
1 1 1 2 2 2
向量表示 坐标表示
数量积 a·b
共线 b＝λa(a≠0，λ∈R)
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)
模 |a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0)
4.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l ，l 的方向向量分 l 1 ∥l 2
1 2
别为e
1
，e
2 l ⊥l
1 2
直线l的方向向量为e，平 l∥α
面α的法向量为n，l⊄α
l⊥α
平面α，β的法向量分别
α∥β
为n
1
，n
2 α⊥β
[常用结论]
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任
意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，
O为空间任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合
律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.在利用MN＝xAB＋yAC证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.
典型例题分析
考向一 空间向量的线性运算及共线、共面定理
1 (1)(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有( )A.AB－CB＝AC B.AC′＝AB＋B′C′＋CC′
C.AA′＝CC′ D.AB＋BB′＋BC＋C′C＝AC′
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B.若AB，CD共线，则AB∥CD
C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点 O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点共
面
D.若P，A，B，C为空间四点，且有PA＝λPB＋μPC(PB，PC不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C
三点共线的充要条件
感悟提升 1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向
量解决立体几何问题的基本要求.
(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵
活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.
2.(1)对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB，若x＋y＝1，则点P，A，B共线.
(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法.
①MP＝xMA＋yMB.
②对空间任一点O，OP＝OM＋xMA＋yMB或OP＝xOM＋yOA＋zOB(x＋y＋z＝1)即可.
考向二 空间向量的数量积及应用
2 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，试采用向量法解决下列问题：
(1)求EF的模长；
(2)求EF，GH的夹角.
感悟提升 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和
〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使 a·b计算
准确.
3. 如图所示，四棱柱ABCD－A B C D 中，底面为平行四边形，以顶点 A为端点的三条棱长
1 1 1 1
都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC 的长；
1
(2)求BD 与AC夹角的余弦值.
1
4.(教材改编)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN
上，且MN＝ON，AP＝AN，则OP＝________(用向量OA，OB，OC表示).考向三 利用空间向量证明(判断)平行与垂直
5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，
AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：
(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD.
感悟提升 1.利用向量法证明(判断)平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用
垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).
2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关
定理.
6.
(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A B C D ，M，N分别是A D，D B的中点，则(
1 1 1 1 1 1
)A.直线A D与直线D B垂直，直线MN∥平面ABCD
1 1
B.直线A D与直线D B平行，直线MN⊥平面BDD B
1 1 1 1
C.直线A D与直线D B相交，直线MN∥平面ABCD
1 1
D.直线A D与直线D B异面，直线MN⊥平面BDD B
1 1 1 1
基础题型训练
一、单选题
1．若向量 ， ，且 与 的夹角的余弦值为 ，则实数 等于（ ）
A．1 B． C．1或 D．0或
2．已知点 ， ， ， ，若 ， ， ， 四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
4．平面α的法向量为 ＝(1,2，－2)，平面β的法向量 ＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为( )
A．－2 B．－8 C．0 D．－65．如图所示，已知 ， ， 三点不共线， 为平面 内一定点， 为平面 外任一点，则下列能
表示向量 的为（ ）.
A． B． C． D．
6．如图，棱长为 的正四面体 的三个顶点 分别在空间直角坐标系的坐标轴 上，
则定点 的坐标为
A． B． C． D．
二、多选题
7．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若 ，则 或
B．若向量 是向量 的相反向量，则
C．在正方体 中，D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则
8．已知 ， ， 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， 两两共面，则 ， ， 共面
C．若 是空间的一组基底，则 也是空间的一组基底
D．对于空间的任意一个向量 ，总存在实数 ， ， ，使得
三、填空题
9．在正方体 中，给出以下向量表达式：
① ； ② ；
③ ； ④ .
其中能够化简为向量 的是______________（填序号）.
10．已知向量 ，若 ，则 ______.
11．在空间直角坐标系 中， 轴上有一点 到已知点 和点 的距离相等，则点
的坐标是______．
12．已知空间三点坐标分别为 ， ， ，点 在平面 内，则实数 的
值为________．
四、解答题
13．已知 ，求证：四边形 为平行四边形．14．已知空间两个动点 ， ，求 的最小值．
15．已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量． ， ＝k ， ＝k ．
求证：四点E，F，G，H共面.
16．如图，三棱柱 中， ， ， 平面ABC， ，
，D，E分别是AC， 的中点.
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求DE与平面 夹角的正弦值.
提升题型训练
一、单选题
1．如图，空间四边形OABC中， ，点M是OA的中点，点N在BC上，且 ，设 ，则x，y，z的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若 构成空间的一个基底，则一定可以与向量 ， 构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B． C． D．以上都不行
3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B． C． D．
4．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形， ，则下列数量积最大
的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 、 、 、 为空间中不共面的四点，且 ，若 、 、 、 四点共面，
则实数 的值是（ ）A． B． C． D．
6．已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．已知 为正方体，则下列说法正确的有（ ）
A． ；
B． ；
C． 与 的夹角为 ；
D．在面对角线中与直线 所成的角为 的有8条
8．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有
B．若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 四点共面
C．任意向量 ， ， 满足
D．已知向量 ， ，若 ，则 为锐角
三、填空题9． 是空间四点，有以下条件：
① ； ② ；
③ ； ④ ，
能使 四点一定共面的条件是______
10．已知向量 ， ， 是三个不共面的非零向量，且 ， ，
，若向量 ， ， 共面，则 ______．
11．已知在四面体ABCD中， ， ，则 ______．
12．如图，在平行六面体 中， 与 交于 点， 在底面的射影为 点， 与底面
所成的角为 ， ， ，则对角线 的长为___________________．
四、解答题
13．空间向量 ， ， 不共面是否可以推出其中任意两个向量均不平行？
14．判断下列点P是否在直线l上：
(1)点 ，直线l经过 和 两点；(2)点 ，直线l经过 和 两点．
15．如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， ， ， ．点
在侧棱上 ，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）设 为 的中点，求六面体 体积．
16．已知在平行六面体 中， ， ， ，∠ BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA
＇=60°，求BD＇的长．
