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八年级下册期末重难点突破训练卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图
形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误；
C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．
2．（3分）下列等式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
1
A．x2+5x﹣1＝x（x+5− ）
x
B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
【分析】根据多项式因式分解的意义，逐个判断得结论．
【解答】解：A等号的右边不是整式积的形式，不属于因式分解；
B、D等号的右边是和的形式，不属于因式分解；
C属于因式分解．
故选：C．
【点睛】本题考查 了因式分解的意义．因式分解就是把多项式化为整式积的形式．
{ −2x+5≥3
3．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
3(x−1)＜2xA． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合各选项中解集在数轴上的表示即可．
【解答】解：解不等式﹣2x+5≥3，得：x≤1，
解不等式3（x﹣1）＜2x，得：x＜3，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
a2−1
4．（3分）若分式 的值为零，则a的值为（ ）
a2−3a+2
A．﹣1 B．±1 C．1 D．不确定
【分析】根据分式值为零的条件可得a2﹣1＝0，且a2﹣3a+2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：a2﹣1＝0，且a2﹣3a+2≠0，
解得：a＝﹣1，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于
零．，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．一组边和一组角对应相等的两个直角三角形全等
B．若关于x的不等式（m﹣2）x＞m﹣2的解集为x＞1，则m＜2
C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】利用直角三角形全等的判定方法、不等式的性质及平行四边形的判定方法分别判定后即可得到
正确的选项．
【解答】解：A、一组边和任一组锐角对应相等的两个直角三角形全等，故错误，不符合题意；
B、若关于x的不等式（m﹣2）x＞m﹣2的解集为x＞1，则m＞2，故错误，不符合题意；
C、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；
D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误，不符合题意，
故选：C．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形全等的判定方法、不等式的性质及平
行四边形的判定方法，难度不大．
6．（3分）如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝55°，则∠B
的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】由线段的垂直平分线性质可得∠FAD＝∠FDA，由角平分线的性质和外角性质可求解．
【解答】解：∵EF垂直平分AD，
∴AF＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∴∠FAC+∠CAD＝∠B+∠DAB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠DAB，
∴∠FAC＝∠B＝55°，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形外角性质，灵活运用这些性质解
决问题是本题的关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝5，点E是AB上的点，AC为平行四边形
AECF的对角线，则EF的最小值是（ ）A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OE⊥AB时，EF取最小值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∴当OE取最小值时，线段EF最短，此时OE⊥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
1
∴OE= BC＝2.5，
2
∴EE＝2OE＝5，
∴EF的最小值是5．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及垂线段最短，解答该题时，利用了“平行四边形的对角
线互相平分”的性质．
mx 2m
8．（3分）若关于x的分式方程 −2= 无解，则m的值为（ ）
x−3 x−3
A．0 B．2 C．0或2 D．无法确定
mx
【分析】首先由方程两边同乘（x﹣3），得：mx﹣2（x﹣3）＝2m，又由关于x的分式方程 −2
x−3
2m
= 无解，即可得：x﹣3＝0，继而求得m的值．
x−3
【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3）得：
mx﹣2（x﹣3）＝2m，
2m−6
解得：x= ，
m−2
mx 2m
∵关于x的分式方程 −2= 无解，
x−3 x−3
∴x﹣3＝0或m﹣2＝0，
即x＝3或m＝2，
2m−6
∴ =3或m＝2，
m−2
解得：m＝0或2．故选：C．
mx 2m
【点睛】此题考查了分式方程的解的知识．注意若分式方程 −2= 无解，可得最简公分母x﹣
x−3 x−3
3＝0或m﹣2＝0．
9．（3分）如图，已知直线y ＝k x+m与x轴交于点A（﹣3，0），和直线y ＝k x+n交于点P（﹣1，
1 1 2 2
2），则关于x的不等式k x+n＞k x+m＞0的解集是（ ）
2 1
A．x＞﹣3 B．﹣1＜x＜0 C．﹣3＜x＜﹣1 D．x＜2
【分析】根据图形，找出在x轴上方且直线l 直线l 方部分的x的取值范围即可．
2 1
【解答】解：由图形可知，当﹣3＜x＜﹣1，k x+n＞k x+m＞0，
2 1
所以，关于x的不等式k x+n＞k x+m＞0的解集是﹣3＜x＜﹣1．
2 1
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下方的函
数值大，利用数形结合求解是解题的关键．
10．（3分）如图，BD为 ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相
▱
1
交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE= BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝
2
BH；④∠BHD＝∠BDG，⑤BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④
【分析】通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE＝DE，根据等角的余角相等得到∠BHE＝∠C，
再根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，则∠A＝∠BHE，于是可对②进行判断；根据“AAS”可证明
△BEH≌△DEC，得到BH＝CD，CE＝EH，可对①进行判断；接着由平行四边形的性质得AB＝CD，则AB＝BH，运算可对③进行判断；因为∠BDH＝90°+∠EBH，∠BDG＝90°+∠BDE，由∠BDE＞
∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD；依据勾股定理即可得到BH2+BG2＝AG2．
【解答】解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE＝DE，
∵BF⊥CD，
∴∠C+∠CBF＝90°，
而∠BHE+∠CBF＝90°，
∴∠BHE＝∠C，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∴∠A＝∠BHE，所以②正确；
在△BEH和△DEC中
{
∠BHE=∠C
∠HEB=∠CED，
BE=DE
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴BH＝CD，CE＝EH，
∵点H不是DE中点
∴BE＝ED≠2EC，所以①错误；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AB＝BH，所以③正确；
∵∠BDH＝90°+∠EBH，∠BDG＝90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠EBH，
∴∠BDG＞∠BHD，所以④错误；
∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴∠ABG＝90°，
∴Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，
又∵AB＝BH，
∴BH2+BG2＝AG2，所以⑤正确；
故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，
熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：3xy3﹣27x3y＝ 3 x y （ y + 3 x ）（ y ﹣ 3 x ） ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3xy（y2﹣9x2）
＝3xy（y+3x）（y﹣3x）．
故答案为：3xy（y+3x）（y﹣3x）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，连接BB'．若
AC＝1，AB＝3，则BC′＝ 2 ．
【分析】利用旋转的性质得到AC′＝AC＝1，然后计算AB﹣AC′即可．
【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点C′恰好落在线段AB上，
∴AC′＝AC＝1，
∴BC′＝AB﹣AC′＝3﹣1＝2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等
于旋转角；旋转前、后的图形全等．
13．（3分）如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是
13 cm ．【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据△PCD为等腰三角形，则E为CD的中点，再由△POE为直角
三角形，∠AOB＝60°，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，则PE⊥CD，
∵PC＝PD，
∴△PCD为等腰三角形，
∴点E为CD的中点，
∵OC＝5cm，OD＝8cm，
∴CD＝3cm，
∴OE＝6.5cm；
∵∠AOB＝60°，
∴OP＝2OE＝13cm；
故答案为：13cm．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质的运用是解题的关键．
14．（3分）全民齐心协力共建共享文明城区建设．某服装加工厂计划为环卫工人生产 1200套冬季工作服，
在加工完480套后，工厂引进了新设备，结果工作效率比原计划提高了20%，结果共用54天完成了全
部生产任务．若设该加工厂原计划每天加工 x 套冬季工作服，则根据题意列方程为
480 1200−480
+ = 54 ．
x (1+20%)x
【分析】设原计划每天加工x套冬季工作服，则采用了新技术每天加工（1+20%）x套冬季工作服，根
据共用了54天完成全部任务，列方程即可．
【解答】解：设原计划每天加工x套冬季工作服，则采用了新技术每天加工（1+20%）x套冬季工作服，
480 1200−480
由题意得， + =54．
x (1+20%)x
480 1200−480
故答案为： + =54．
x (1+20%)x
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
15．（3分）某电器商场促销，海尔某型号冰箱的售价是2500元，进价是1800元，商场为保证利润率不
低于5%，则海尔该型号冰箱最多降价 61 0 元．
【分析】直接利用利润率＝利润÷进价，进而得出不等式求出答案．
【解答】解：设海尔该型号冰箱降价x元，根据题意可得：
2500﹣1800﹣x≥5%×1800，
解得：x≤610，
答：海尔该型号冰箱最多降价610元．
故答案为：610．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于
点G．若△AGF的面积为2，则平行四边形ABCD的面积为 2 4 ．
【分析】证明△ABF≌△DEF（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝DF，证明△AFG∽△CBG，得
AF FG 1
出 = = ，则S△CGB ＝8，S△ABG ＝4，S△ABC ＝S△CGB +S△ABG ＝12，可求出答案．
BC BG 2
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABF＝∠E，
∵DE＝CD，
∴AB＝DE，
又∵∠AFB＝∠DFE，
∴△ABF≌△DEF（AAS），
∴AF＝DF，
1
∴AF= BC，
2
∵AF∥BC，∴△AFG∽△CBG，
AF FG 1
∴ = = ，
BC BG 2
∴S AF 1，
△AGF =( ) 2=
S BC 4
△CGB
又∵S△AGF ＝2，
∴S△CGB ＝8，
∴S△ABG ＝4，
∴S△ABC ＝S△CGB +S△ABG ＝12，
∴平行四边形ABCD的面积＝2S△ABC ＝24．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形
的面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
{5x−1＞3(x+1)
17．（8分）（1）解不等式组： ；
1+2x
≥x−1
3
2x 6
（2）解分式方程： − =1．
2x+3 x−2
【分析】（1）根据解不等式组的方法进行计算即可；
（2）根据解分式方程的过程进行计算即可．
【解答】解：（1）不等式组变形为：
{ 2x＞4
，
1+2x≥3x−3
{x＞2
整理得 ，
x≤4
所以不等式组的解集为：2＜x≤4；
（2）去分母得：2x（x﹣2）﹣6（2x+3）＝（2x+3）（x﹣2），
去括号得：2x2﹣4x﹣12x﹣18＝2x2﹣x﹣6，
移项，合并同类项得：﹣15x＝12，
4
系数化为1得：x=− ．
54
经检验x=− 是原方程的根，
5
4
所以分式方程的根为x=− ．
5
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，解决本题的关键是掌握解分式方程和一元一次
不等式组的方法，注意解分式方程要验根．
2a−1 a2−4a+4
18．（6分）先化简，再求值：（ −a﹣1）÷ ，从﹣1，0，1，2中选一个你喜欢的数代
a−1 a−1
入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣1，0，1，2中选一个使得原分式有
意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
2a−1 a2−4a+4
【解答】解：（ −a﹣1）÷
a−1 a−1
2a−1−(a+1)(a−1) a−1
= ⋅
a−1 (a−2) 2
2a−1−a2+1 1
= ⋅
1 (a−2) 2
−a(a−2)
=
(a−2) 2
a
=− ，
a−2
∵当a＝1，2时，原分式无意义，
∴a＝﹣1或0，
当a＝0时，原式＝0．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的△A B C ；
1 1 1
（2）请画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后得到的△A B C ；
2 2 2
（3）P为x轴上一动点，当AP+CP有最小值时，求这个最小值．【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A 、B 、C 的坐标，然后描点即可；
1 1 1
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A 、B 、C 即可；
2 2 2
（3）作A点关于x轴的对称点A′，连接A′C交x轴于点P，根据两点之间线段最短可判断此时
PA+PC的值最小，然后计算出CA′即可．
【解答】解：（1）如图，△A B C 为所作；
1 1 1
（2）如图，△A B C 为所作；
2 2 2
（3）作A点关于x轴的对称点A′，连接A′C交x轴于点P，
则PA+PC＝PA′+PC＝CA′，
此时PA+PC的值最小，最小值为CA′，
而CA′ ，
=√22+52=√29
所以这个最小值为√29．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也
相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转
后的图形．也考查了平移变换和最短路径问题．20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，点E是BA延长线上一点，点F是AC上一点，
连接EF并延长交BC于点G，且AE＝AF．
（1）判断EG与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若∠ABC＝65°，求∠AEF的度数．
（3）若∠ABC＝60°，AE：BE＝1：3，CG＝1，求EF的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到 AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C，求得∠AEF＝
∠BAD，根据平行线的性质即可得到结论；
1
（2）根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，求得∠BAD＝∠CAD= ∠BAC
2
1
= ×50°＝25°，于是得到结论；
2
1
（3）根据已知条件得到AF＝CF= AC，求得∠C＝60°，得到AF＝2，作AH⊥EG于H，则∠AHF＝
2
90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）GE⊥BC，
理由：∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C，
1
∴∠BAD＝∠CAD= ∠BAC，
2
∵AE＝AF，
∴∠E＝∠AFE，
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝∠AEF+∠AFE，
∴∠AEF＝∠BAD，
∴AD∥EG，∴EG⊥BC；
（2）∵∠B＝∠C＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
1 1
∴∠BAD＝∠CAD= ∠BAC= ×50°＝25°，
2 2
∴∠AEF＝∠BAD＝25°；
（3）∵AE：BE＝1：3，AB＝AC，AE＝AF，BE＝BA+AE，
1
∴AF＝CF= AC，
2
∵∠B＝∠C，∠B＝60°，
∴∠C＝60°，
∵EG⊥BC，
∴∠FGC＝90°，
∴∠GFC＝30°，
∴FC＝2GC＝2，
∴AF＝2，
作AH⊥EG于H，则∠AHF＝90°，
∵AE＝AF，
∴EF＝2HF，
∵∠AFE＝∠CFG＝30°，
1
∴AH= AF＝1，
2
∴HF ，
=√AF2−AH2=√22−12=√3
∴EF＝2√3．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题．
21．（6分）某单位需购买甲、乙两种消毒剂，经了解，这两种消毒剂的价格都有零售价和批发价（若按
批发价，则每种消毒剂购买的数量不少于50桶），零售时甲种消毒剂每桶比乙种消毒剂多8元，已知
购买两种消毒剂各m（m＜50）桶所需费用分别是960元、720元．
（1）求甲、乙两种消毒剂的零售价；
1
（2）该单位预计批发这两种消毒剂500桶，且甲种消毒剂的数量不少于乙种消毒剂数量的 ，甲、乙
3
两种消毒剂的批发价分别为20元/桶、16元/桶．设甲种消毒剂批发数量为x桶，购买资金总额为y
（元），请写出y与x的函数关系式，并求出y的最小值和此时的购买方案．
【分析】（1）根据购买两种消毒剂各m（m＜50）桶所需费用分别是960元、720元，可以得到相应的
分式方程，从而可以得到甲、乙两种消毒剂的零售价，注意分式方程要检验；
（2）根据题意可以得到y与x的函数关系式，然后根据该单位预计批发这两种消毒剂500桶，且甲种消
1
毒剂的数量不少于乙种消毒剂数量的 ，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到y
3
的最小值和此时的购买方案．
【解答】解：（1）设甲种消毒剂的零售价是a元/桶，则乙种消毒剂的零售价是（a﹣8）元/桶，
960 720
= ，
a a−8
解得，a＝32
经检验，a＝32是原分式方程的解，
∴a﹣8＝24，
答：甲、乙两种消毒剂的零售价分别为32元/桶，24元/桶；
（2）由题意可得，
y＝20x+16（500﹣x）＝4x+8000，
1
∵甲种消毒剂的数量不少于乙种消毒剂数量的 ，
3
1
∴x≥ （500﹣x），
3
解得，x≥125，
∴当x＝125时，y取得最小值，此时y＝8500，500﹣x＝375，
答：y与x的函数关系式是y＝4x+8000，y的最小值是8500，此时的购买方案是购买甲种消毒剂 125桶，乙种消毒剂375桶．
【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确
题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
22．（8分）在△ABC中，CD是△ABC的中线，E为CD的中点，过点C作CF∥AB与BE的延长线相交
于点F．
（1）如图1，连接FD，求证：四边形BDFC是平行四边形；
1
（2）如图2，连接AF，若∠ABC＝90°，求证：BE= AF．
2
【分析】（1）由平行线的性质得∠BDE＝∠FCE，由 E 是 CD 的中点得 CE＝DE，由 AAS 证得
△BDE≌△FCE，得出BD＝CF，即可得出结论；
（2）由（1）得BD＝CF，由CD是△ABC的中线得BD＝AD，则CF＝AD，又CF∥AD，则四边形
1
ADCF是平行四边形，得出CD＝AF，由直角三角形斜边上的中线性质得出BE= CD，即可得出结论．
2
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠BDE＝∠FCE，
∵E是CD的中点，
∴CE＝DE，
{∠BDE=∠FCE
∵在△BDE和△FCE中， ∠BED=∠FEC，
DE=CE
∴△BDE≌△FCE（AAS），
∴BD＝CF，
∵CF∥BD，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）证明：由（1）得：BD＝CF，
∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD，
∴CF＝AD，
∵CF∥AD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CD＝AF，
∵∠ABC＝90°，E为CD的中点，
1
∴BE= CD，
2
1
∴BE= AF．
2
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形
的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（8分）每年的6、7月，各种夏季水果相继成熟，也是水果销售的旺季．某商家抓住商机，在6月份
主推甲、乙两种水果的销售．已知6月份甲种水果的销售总额为12000元，乙种水果的销售总额为9000
元，乙种水果的售价是甲种水果售价的1.5倍，乙种水果的销售数量比甲种水果的销售数量少1000kg．
（1）求6月份甲种水果的售价是多少元？
（2）7月份，该商家准备销售甲、乙两种水果共5000kg．为了加大推销力度，将甲种水果的售价在6
月份的基础上下调了30%，乙种水果售价在6月份的基础上打六折销售．要使7月份的总销售额不低于
23400元，则该商家至多要卖出甲种水果多少kg？
（3）在（2）的条件下，若甲种水果的进价为2.7元/kg，乙种水果的进价为3.5元/kg，7月份，该商家
可获利多少元？
【分析】（1）设6月份甲种水果的售价是x元，则6月份乙种水果的售价为1.5x元，根据数量＝总价÷
单价，结合乙种水果的销售数量比甲种水果的销售数量少 1000kg，即可得出关于x的分式方程，解之经
检验后即可得出结论；
（2）设该商家要卖出甲种水果mkg，则要卖出乙种水果（5000﹣m）kg，根据总价＝单价×数量，结合
7月份的总销售额不低于23400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出
结论；
（3）利用总利润＝每千克的利润×销售数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设6月份甲种水果的售价是x元，则6月份乙种水果的售价为1.5x元，
12000 9000
依题意得： − =1000，
x 1.5x解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．
答：6月份甲种水果的售价是6元．
（2）设该商家要卖出甲种水果mkg，则要卖出乙种水果（5000﹣m）kg，
依题意得：6×（1﹣30%）m+1.5×6×0.6（5000﹣m）≥23400，
解得：m≤3000．
答：该商家至多要卖出甲种水果3000kg．
（3）[6×（1﹣30%）﹣2.7]×3000+（1.5×6×0.6﹣3.5）×（5000﹣3000）＝8300（元）．
答：7月份，该商家可获利8300元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；
（3）利用总利润＝每千克的利润×销售数量，求出商家获得的利润．
24．（8分）基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）
（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．
（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
【分析】（1）利用材料中的因式分解法解该方程；
（2）设t＝m2+n2（t≥0），将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解该方程求得t的值即可．
【解答】解：（1）由原方程，得x（3x﹣1）＝0
∴x＝0或3x﹣1＝0
1
解得：x ＝0，x = ；
1 2
3
（2）t＝m2+n2（t≥0），则由原方程，得t（t﹣1）﹣6＝0．
整理，得（t﹣3）（t+2）＝0．
所以t＝3或t＝﹣2（舍去）．
即m2+n2的值是3．
【点睛】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设
元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标
准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
25．（12分）已知：△ABC是等边三角形，点E在直线AC上，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，将线段CE绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，连接AF、AD、ED．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：△BCE≌△ACD；
（2）如图1，当点E在线段AC上时，求证：四边形ADEF是平行四边形；
（3）如图2，当点E在线段AC延长线上时，四边形ADEF还是平行四边形吗？如果是，请证明你的结
论；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）根据SAS证明△BCE≌△ACD即可．
（2）利用全等三角形的性质证明AF＝DE，EF＝AD即可解决问题．
（3）利用全等三角形的性质证明AF＝DE，AF∥DE即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵CE＝CD，∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
（2）证明：如图1中，∵△ABC，△BEF都是等边三角形，∴BA＝CB，BF＝BE＝EF，∠ABC＝∠EBF＝60°，
∴∠ABF＝∠CBE，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝EC，
∵CE＝CD，∠ECD＝60°，
∴△ECD是等边三角形，
∴EC＝DE＝AF，
∵△BCE≌△ACD，
∴BE＝AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
（3）解：结论：四边形ADEF是平行四边形．
理由：如图2中，
∵△ABC，△BEF都是等边三角形，
∴BA＝CB，BF＝BE，∠ABC＝∠EBF＝60°，
∴∠ABF＝∠CBE，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝EC，∠BAF＝∠BCE，
∵∠ACB＝∠BAC＝60°，点E在AC的延长线上，
∴∠BCE＝120°，
∴∠BAF＝120°，∠FAE＝60°
∵CE＝CD，∠ECD＝60°，
∴△ECD是等边三角形，
∴EC＝DE＝AF，∠AED＝60°，∴∠FAE＝∠AED，
∴AF∥DE，
∵AF＝DE，
∴四边形ADEF是平行四边形．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判
定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
