期末测试·拔高常考易错突破卷（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_05习题试卷_4期末试卷

绝密★启用前 【期末冲刺高分】2021—2022学年北师大版九年级数学上册期末押题必刷卷 优选重难易错典题 【期末测试·拔高】常考易错突破卷 （考试范围：第一~六章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷说明： 本卷试题共25题，单选10题，填空8题，解答7题，限时120分钟，满分120分，本卷题型精选核心 常考易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！ 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（ ） A．168 cm2 B．336 cm2 C．672 cm2 D．84 cm2 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，菱形的性质可得边长为25，根据菱形的对角线互相垂直平分，进而利用勾股 定理求得 ，进而求得 的长，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，依题意， 四边形 是菱形， ， , , 在 中， 1 / 30菱形 的面积 故选B 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求得对角线的长是解题的关键． 2．在菱形 中，对角线 ， ，则菱形 的面积为（ ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由四边形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OB= BD，∠ABD= ∠BAC，然后在直角三角形 AOB 中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB的长，然后由菱形的面积等于其对 角线积的一半，即可求得该菱形的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， OB=OD= BD= ×4=2 ， ∠ABD= ∠ABC= ×120°=60° ， ∴AB=2OB=4 2 / 30∴ ∴AC=2OA=4 ，BD=2OB=4， ∴该菱形的面积是： AC⋅BD= ×4×4 =8 ． 故选：C． 【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用，注 意菱形的面积等于其对角线积的一半． 3．若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则 的值等于（ ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】将 代入元二次方程，求得 ，整体代入即可． 【详解】解：将 代入元二次方程 得， ，即 故答案为A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键． 4．已知a，b是方程 的两个实数根，则 的值是（ ） A．2025 B．2023 C．2022 D．2021 3 / 30【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解与根与系数的关系计算即可； 【详解】解：∵a，b是方程 的两个实数根， ∴ ， ， ∴ ； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解与根与系数的关键，准确计算是解题的关键． 5．已知反比例函数 ，若在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质得到k-1<0，然后解不等式即可． 【详解】解： 反比例函数 在每个象限内y都随x的增大而增大， k-1<0， k <1， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象为双曲线，当k>0， 图象分布在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0，图象分布在二、四象限，在每一象 限内，y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质解题关键． 6．反比例函数 的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4 / 30【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可得m的取值范围即可求解． 【详解】解：∵反比例函数 的图象在第一、第三象限， ∴m﹣1＞0， ∴m＞1， 选项中符合条件的值只有2， 故选D． 【点睛】本题主要考查了根据反比例函数经过的象限确定系数的取值范围，解题的关键在于能够熟练掌握 反比例函数的性质. 7．某商品的售价为100元，连续两次降价 后售价降低了36元，则 的值为（ ） A．60 B．20 C．36 D．18 【答案】B 【分析】起始价为100元，终止价为100-36=64元，根据题意列方程计算即可． 【详解】解：∵起始价为100元，终止价为100-36=64元， ∴根据题意，得 100 =64， 解得x=20或x=180（舍去）， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，熟练掌握增长率问题的计算方法，正确布列方程是解题 的关键． 8．如图，直径AB、CD互相垂直，现有一小球在此圆盘上滚动，落在阴影部分的概率为（ ） 5 / 30A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将图中四个阴影部分移到一起，即可求出图形中阴影部分的面积占圆盘面积分率，从而求出结 论． 【详解】解：将图中四个阴影部分移到一起，如下图所示 可知：图形中阴影部分的面积是圆盘面积的 ∴落在阴影部分的概率为 故选B． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握图形中的概率问题=相应的面积与总面积之比是解题关键． 9．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子 中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 ，同时量得 ， ，则旗杆高度 （ ） 6 / 30A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据镜面反射的性质可得 ，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解： ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形 对应边成比例即可解答． 10．在同一坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象大致是（ ） 7 / 30A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，然后与各选择项比较，从 而确定答案． 【详解】解：当k＞0时，一次函数y=-kx-k 经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限， 当k＜0时，一次函数y=-kx-k经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限． 令-kx-k= ，整理得x2+x+1=0， ∵Δ=1-4×1＜0， ∴两函数图象没有交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性 质是解决问题的关键，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。 11．菱形的周长为 ，它的一个内角为 ，则菱形的面积为______ ． 【答案】 【分析】由菱形的性质和已知条件得出 , 由含30°角的直角三角形的性质得 ，由勾股定理求 出OA,可得BD，AC的长度，由菱形的面积公式可求解． 8 / 30【详解】解：如图所示:、 ∵AB= BC= CD= DA， ， ， ∵菱形的周长为12 , ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ , ∴菱形 的面积 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、含30° 角的直角三角形的性质、勾股定理;熟练掌握菱形的性质，并能 进行推理计算是解决问题的关键． 9 / 3012．在正方形 的内部作等边 ，连接 、 ，则 ______． 【答案】15° 【分析】由 是等边三角形可得AM=AB=BM，∠MAB=60°，由四边形ABCD为正方形，可得AD=AB， ∠ADC=∠DAB=90°，可证AM=AD，∠DAM=30°，求等腰三角形的底角，利用余角可求∠MDC=∠ADC- ∠ADM=15°． 【详解】解：∵ 是等边三角形， ∴AM=AB=BM，∠MAB=60°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=AB，∠ADC=∠DAB=90°， ∴AM=AD，∠DAM=90°-∠MAB=90°-60°=30°， ∴∠ADM=∠AMD= ， ∴∠MDC=∠ADC-∠ADM=90°-75°=15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查正方形性质，等边三角形性质，等腰三角形判定与性质，互为余角，掌握正方形性质， 等边三角形性质，等腰三角形判定与性质是解题关键． 13．若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为 ___． 【答案】 且 【分析】根据题意可知 ，代入求解即可． 10 / 30【详解】解：一元二次方程ax2+4x﹣2＝0， ， ∵关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根， ∴ 且 ，即 ， 解得： 且 故答案为： 且 ． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟知： ，一元二次方程有两个不相等的实数根； ，一元二次 方程有两个相等的实数根； ，方程无实数根，是解题的关键． 14．若m是方程 的一个根，则 的值为_______． 【答案】2021 【分析】由已知可得 ，即有 ，整体代入易求得 的值． 【详解】解：∵m是方程 的一个根 ∴ 即 ∴ 故答案为：2021． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，用整体思想求值更简便． 15．若点A（1，a），点B（2，b）均在反比例函数y＝ 的图象上，则a___b（填“＞”、“＜”中的一 个）． 【答案】> 【分析】根据反比例函数性质k>0时，y随x增大而减小即可判断． 11 / 30【详解】解：∵反比例函数y＝ 中，k＝4＞0， ∴该函数在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点A（1，a），点B（2，b）均在反比例函数y＝ 的图象上，1＜2， ∴a＞b， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 16．李老师在墙上挂了一幅如图所示的图案，假设可以在图中随意钉钉子，那么这个钉子钉在阴影部分 （边界忽略不计）的概率是_______． 【答案】 【分析】设阴影部分的面积为 ，则整个图形的面积为 ，再根据几何概率的求法求出概率． 【详解】解：设阴影部分的面积为 ，则整个图形的面积为 ， 则： = ． (钉子钉在阴影部分) 故答案为： 【点睛】本题考查几何图形中概率的求法，根据相关知识点解题是关键． 17．如图 中， ，D为 的中点， ，则 ________． 12 / 30【答案】 【分析】首先根据 ， 得到 ，然后利用相似三角形对应边的比相等得到 ，再根据 是 的中点和 得到 后代入以上比例式后即可求得 的长． 【详解】解： ， ， ． ． 是 的中点， ， ． ． ． （舍负根）， 故答案是： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形得到正确的比例式． 18．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上， 双曲线 （k≠0，x＞0）经过AB、BC的中点N、F，连接ON、OF、NF．若S ＝3，则k＝__． △BFN 13 / 30【答案】12 【分析】先求出点N坐标，利用待定系数法即可解决问题； 【详解】解：∵N、F是AB、BC的中点， ∴BF＝ BC，BN＝ ， S ＝3， △BFN ∴ BF•BN＝ • • ＝3， ∴BC•AB＝24， ∵四边形ABCO是正方形， ∴OA＝AB＝BC＝CO＝2 ， ∵N是AB中点， ∴AN＝BN＝ ， ∴N（2 ， ）， 把N（2 ， ）代入 ，得到k＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求出点N坐标是解题的关键． 14 / 30三、解答题：本题共7个小题，19-23每题8分，24-25每题13分，共66分。 19．解下列方程 （1） ； （2） ； 计算： （3） ； （4） ． 【答案】（1）2， ；（2）3， ；（3） ；（4） 【分析】 （1）方程整理后，利用直接开平方法计算即可求出解； （2）方程利用因式分解法求出解即可． （3）先化简，再去括号，合并同类项即可求解； （4）利用完全平方公式，平方差公式求解即可． 【详解】解：（1）3（2x 1）2 27=0， ∴3（2x 1）2=27， ∴（2x 1）2=9， ∴2x 1=±3， 解得：x= 1，x=2； 1 2 （2）（x 3）2 4x（3 x）=0， 15 / 30（x 3）2+4x（x 3）=0， （x 3+4x）（x 3）=0， （5x 3）（x 3）=0， 解得：x=0.6，x=3． 1 2 （3） = = ； （4）(3+ )(3− )−( )2 =9 5 3+2 = ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程-因式分解法以及直接开方法，熟练掌握各自 的性质是解本题的关键． 20．解答下列各题： x2 12x9 （1）用配方法解方程： ． x x 5x2 9x20 x2x2 （2）设 1， 2是一元二次方程 的两根，求 1 2的值． 1 【答案】（1）x 63 3，x 63 3；（2）4 25 ． 1 2 【分析】 16 / 30（1）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 9 2 x x  x x  （2）利用韦达定理得到， 1 2 5 ， 1 2 5 ，然后代入计算即可； x2 12x9 【详解】解：（1） ， ∴x212x3627， (x6)2 27 ∴ ， x63 3 ∴ ， x 63 3 x 63 3 ∴ 1 ， 2 ； x x 5x2 9x20 （2）∵ 1， 2是一元二次方程 的两根， 9 2 x x  x x  ∴由韦达定理，得 1 2 5 ， 1 2 5 ， x2x2 (x x )22x x ∴ 1 2 1 2 1 2 9 2 ( )22( ) 5 5 81 4   25 5 101  25 1 4 ； 25 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握配方法和 根与系数的关系进行解题． 17 / 3021．精准扶贫是我国扶贫开发工作中的重点工作，某村提倡贫困户在家承接手工产品提高经济收入．张大 爷一家承接的手工产品成本每件10元，销售单价为20元时，每月销量为300件，销售价每降低1元，每 月销量增加10件．政府根据每月销量补贴每件2元扶贫补助金． （1）当销售单价定为15元，那么政府本月补助张大爷一家多少元？ （2）产品每月的销售利润加每月政府补助金是张大爷一家的手工产品收入，当某月销售单价为多少元 时，张大爷一家能获得3200元的收入？ 【答案】（1）700元；（2）18元 【分析】 （1）直接利用每降低1元，每月销量增加10件，表示出总销量，进而得出政府补助金额； （2）直接利用销量×每件利润＝3200，进而得出等式求出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：2×（300+5×10）＝700（元）， 答：政府本月补助张大爷一家700元； （2）设销售单价为x元，由题意可得： （x﹣10+2）[300+10（20﹣x）]＝3200， 解得：x＝18，x＝40（不合题意舍去）， 1 2 答：当某月销售单价为18元时，张大爷一家能获得3200元的收入． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出销量与每件利润是解题关键． 22．小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁 去参加活动：将一个转盘平均分成9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动一次转盘，若转到2的倍 数，小亮去参加活动；若转到3的倍数，小芳去参加活动；转到6或者其它号码，则重新转动转盘． 18 / 30（1）转盘转到2的倍数的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 4 【答案】（1） ；（2）游戏不公平，理由见详解 9 【分析】 （1）直接根据概率公式计算可得； （2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断． 【详解】解：（1）∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中2的倍数有4个， 4 ∴P（转到2的倍数）＝ ； 9 （2）游戏不公平， 共有9种等可能的结果，其中3的倍数有3、6、9共3种可能，2的倍数有2，4，6，8共4种可能，由于 转到6时需要重新转转盘，故6舍去， 1 ∴小亮去参加活动的概率为：3÷9＝ ， 3 2 小芳去参加活动的概率为： ， 9 1 2 ∵ ＞ ， 3 9 ∴游戏不公平． 19 / 30【点睛】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大 小，概率相等就公平，否则就不公平． 23．在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2.5m，它的影子 BC=2m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上（MN），PM=1.6m，MN=1m，求木竿PQ的长度． 【答案】木杆PQ的长度为3m． 【分析】 过N点作ND⊥PQ于D，先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可． 【详解】解：过N点作ND⊥PQ于D，如图所示： BC DN ∴  ， AB QD 又∵AB=2.5，BC=2，DN=PM=1.6，NM=1， AB•DN 2.51.6 ∴QD= = =2（m）， BC 2 ∴PQ=QD+DP=QD+NM=2+1=3（m）． 答：木杆PQ的长度为3m． 【点睛】本题考查了平行投影；在运用投影的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数 20 / 30学模型是解决问题的关键． 24．如图（1），在四边形ABCD中，AB//CD，CB AB，AB16cm，BC=6cm，CD8cm，动点P 从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和 Q ts 0t5 点 同时出发，设运动的时间为 ， ． （1）用含t的代数式表示AP； （2）当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值； （3）如图（2），延长QP，BD，两延长线相交于点M ．当 QMB为直角三角形时，求t的值． 40 25 35 20 【答案】（1） ；（2）t  s或t s；（3） t  s 或 t s AP102t 13 13 27 9 【分析】 （1）作DH  AB于H ，可得四边形DHBC是矩形，根据矩形性质和勾股定理求解即可； AP AD AP AB （2）根据相似三角形的性质分①当  时；②当  时分别求解即可； AQ AB AQ AD （3）分两种情况求解：①当QMB90时， QMB即为直角三角形，作PN  AB于N ，DH  AB于H ，根据相似三角形的判定证明△PNQ  △BHD和△ANP  △AHD，由相似三角形的性质列方程求得t 值；②当MQB90时， QMB即为直角三角形，根据相似三角形的判定证明△APQ  △ADH，根据相 似三角形的性质列方程求解t值即可解答 【详解】解：（1）如图（1），过D作DH  AB于H ，则四边形DHBC是矩形， ∴CDBH 8，DH BC6， ∴AH  ABBH 1688， 21 / 30AD DH2AH2  6282 10 ， 由题意，AP ADDP102t． AP AD 102t 10 （2）①当  时，得  ， AQ AB 2t 16 40 解得： t  ， 13 40 ∴当 t  时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似． 13 A P Q △ABD AP AB 102t 16 ②当  时，  ， AQ AD 2t 10 25 t 解得： ， 13 25 t ∴当 时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似． 13 A P Q △ABD 40 25 综上所述，当 t  s或t s时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似． 13 13 A P Q △ABD （3）①当QMB90时， QMB即为直角三角形． 如图（2），过P作PN  AB于N ，过D作DH  AB于H ， ∴PNQBHD=DHA， ∵当QMB90时，PQNDBH 90， ∵PQNQPN 90， 22 / 30∴QPN DBH， VPNQ △BHD 在 和 中， PNQBHD  QPN DBH ， ∴△PNQ  △BHD， QN DH 6 3 ∴    ， PN BH 8 4 ∵PNA=DHA，PAN=DAH ， ∴△ANP  △AHD， PN DH 6 3 AN AH 8 4 ∴    ，    ， AP AD 10 5 AP AD 10 5 4 4 3 3 ∴AN  AP (102t)， PN  AP (102t) ， 5 5 5 5 4 ∴QN  ANAQ (102t)2t， 5 4 (102t)2t 5 3  ∴ 3 4，解得： 35 ， (102t) t  5 27 35 t  经检验： 是分式方程的解， 27 35 t  s ∴当 时， ，即 为直角三角形． 27 QMB90  QMB 23 / 30②当MQB90时， QMB即为直角三角形，如图（3）所示，作DH  AB于H ， ∴PQA=DHA=90°，又PAQ=DAH ， ∴△APQ  △ADH， AP AD 10 5 ∴    ， AQ AH 8 4 102t 5  ∴ ， 2t 4 20 t 解得 ， 9 20 t 经检验： 是分式方程的解， 9 20 ∴当 t s 时， ，即 为直角三角形． 9 MQB90  QMB 35 20 综上所述，当 t  s 或 t s 时， 为直角三角形． 27 9  QMB 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解分式方程等知识，解答 的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，注意分类讨论的思想的应用． 24 / 30k 25．如图1，在直角坐标系 xOy 中，点 P(2n,n)(n0) 在函数 y x （ x0 ）图象上，点 B(0,  b) 在y轴的 正半轴上，PAx轴于点A．已知△PAB的面积为4． （1）求点P的坐标与k的值． k （2）如图2，设点 是线段 的中点，点 在函数 y （ ）图象上，当四边形 是平行四边 C AB D x x0 BCPD 形时，求点D的坐标． k （3）如图3，设点 在直线 上，点 在函数 y （ ）图象上，若四边形 是平行四边形， C AB D x x0 BCPD 设该四边形 BCPD 的面积为 S 1，△ APC 的面积为 S 2，求 S 1与 S 2的数量关系式． 1 【答案】（1）P（4，2），k=8；（2）D（2，4）；（3）2S 1 +S 2 =4 【分析】 1 S  OAPA （1）根据 PAB 2 ，列方程求解即可得出答案； 8 b （2）根据平行四边形性质和平移规律可得出D(2, 2)，由点 在函数 y 图象上，建立方程求解即可； 2 D x 1 1 S  S  S （3）连接 BP ，运用平行四边形性质可得 BCP 2 四边形BCPD 2 1，再利用S S S ，利用三角形面 BCP ACP BAP 积公式即可得出答案． 【详解】解：（1） PAx轴于点A．P(2n，n)(n0)， PAn，OA2n， 25 / 301 1 S  OAPA 2nnn2 PAB 2 2 ，  PAB的面积为4， n2 4，  n0， n2， P(4,2)， k428； （2） A(4,0)，B(0,b)，点C是线段AB的中点， b C(2, ) ， 2 四边形BCPD是平行四边形， BC//DP，BC DP， b D(2, 2) 根据平移规律可得： ， 2 8 点 在函数 y 图象上， D x  b 2( 2)8 ， 2 解得：b4， D(2,4)； 26 / 30（3）如图3，当点C在线段AB上时， 四边形BCPD是平行四边形， PD//AB，PDBC，BD//AC，BD AC， 连接BP， 1 1 S  S  S BCP 2 四边形BCPD 2 1， 1 1 S S S  APOA 244  BCP ACP BAP 2 2 ， 1 S S 4  2 1 2 ． 如图4，当点C在AB延长线上时，连接BP， 27 / 30四边形BCPD是平行四边形， 1 1 S  S  S 则 BCP 2 四边形BCPD 2 1， 1 1 S S S  APOA 244 ACP BCP BAP 2 2 ， 1 S  S 4 2 2 1 ． 如图5，当点C在BA延长线上时， 四边形BCPD是平行四边形， x x x x ， C P B D 点D在第二象限，不成立； 1 1 S S 4 S  S 4 综上所述， 2 1 2 或 2 2 1 ． 【点睛】本题是关于反比例函数综合题，考查了待定系数法，求一次函数与反比例函数图像交点坐标，平 行四边形的判定与性质，平行四边形和三角形面积等，解题关键是熟练掌握平行四边形性质及反比例函数 性质． 28 / 3029 / 3030 / 30