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七年级下学期数学期末试卷（北师大版）
一、单选题
1．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故正确；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选A．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
2．在中国共产党的坚强领导下，我国有效控制了新冠疫情．而截至2021年3月25日，全球新冠肺炎
确诊人数高达1.26亿，其中数据1.26亿用科学记数法可表示为（ ）
A．0.126×108 B．1.26×108 C．1.26×109 D．12.6×109
【答案】B
【解析】【解答】解：数据1.26亿用科学记数法可表示为 1.26×108 ．
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．下列运算正确的是（ ）
A．a•a3=a3 B．（ab）3=a3b C．（a3）2=a6 D．a8÷a4=a2
【答案】C
【解析】【解答】解：A、a•a3=a4，故A选项错误；
B、（ab）3=a3b3，故B选项错误；
C、（a3）2=a6，故C选项正确；
D、a8÷a4=a4，故D选项错误．
故选：C．
【分析】根据同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方与积的乘方的知识求解即可求得答案．4．下列说法正确的是（ ）
A．为了了解全国中学生的心理健康情况，选择全面调查
B．在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6
C．“若 a 是实数，则 |a|>0 ”是必然事件
D．天气预报说明天不下雨，那么明天不下雨是必然事件
【答案】B
【解析】【解答】解：A、为了了解全国中学生的心理健康情况，人数较多，应采用抽样调查的方式，
故错误；
B、在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6，故正确；
C、 |a|≥0 ，则“若a是实数，则 |a|>0 ”是随机事件，故错误；
D、只能说不下雨的可能性高，但还是有可能下雨，故错误；
故答案为：B.
【分析】A、由题意可知人数较多，应采用抽样调查方式；
B、中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；
②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据
的个数；根据定义并结合已知可求解；
C、当a=0时，|a|=0，所以应是随机事件；
下不下雨属于可能性事件，不是必然事件。
5．一个游戏转盘如图，四个扇形的圆心角度数分别是36°，72°，108°，144°．则转盘自由转动停
止后，指针落在圆心角为36°的扇形区域的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 5 10
【分析】用圆心角为36°的扇形区域的圆心角度数除以360°得到指针落在圆心角为36°的扇形区域
的概率．
【解答】解：由概率公式可知，转盘自由转动停止后，指针落在圆心角为 36°的扇形区域的概率为
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可
能出现的结果数．
6．如图，在平行四边形 ABCD 中， ∠D=100° ， ∠DAB 的平分线 AE 交 DC 于点 E ，连接 BE ，若 AE=AB ，则 ∠EBC 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【答案】A
【解析】【解答】 ∵DC//AB,∴∠D+∠DAB=180°,∴∠DAB=80° ，
∵∠ABC=∠D=100°， AE 为角平分线，
∴∠EAB=40°
∵AE=AB
∴∠EBA=70° ,
∴∠EBC=100°−70°=30° ,
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质得出∠ABC=∠D=100°，AB∥CD，得出∠BAD=180°-∠D=80°，由等腰三
角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABE=70°，即可得出∠EBC的度数
7．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为3，Q是OB上任一点，则（ ）
A．PQ＞3 B．PQ≥3 C．PQ＜3 D．PQ≤3
【答案】B
【解析】【解答】如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP是∠AOB的平分线,
∴PD=PE=3，
∵Q是OB上任一点，
∴PQ≥PE，
∴PQ≥3.
故答案为：B.
【分析】由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等；再由垂线段最短，得出结论.8．如图1是画平行线时，采用推三角尺的方法从如图1到如图2得到平行线，在平移三角尺画平行线
的过程中，使用的数学原理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等
C．两直线平行，同位角相等 D．内错角相等，两直线平行
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵∠DPF=∠BMF，
∴PD//BM(同位角相等，两直线平行)，即a//b，
故答案为：A.
【分析】由题意结合图形可知∠DPF=∠BMF，从而得同位角相等，两直线平行.
9．如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点D作DM⊥AC于点M，∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=30°，DE=AE=8，
∵DM⊥AC于M，
1
∴DM= DE=4.
2
∵DE∥AB，
∴∠DAF=∠ADE=∠DAE，
∴AD平分∠BAC，
∵DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM=4.
故答案为：C.
【分析】过点D作DM⊥AC于点M，由三角形的外角性质可得∠DEC=30°，由直角三角形中30°角所
对直角边等于斜边的一半可得DM的长度，由角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
可得DF=DM即可。
10．①如图1,AB∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB∥CD,则
∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4,AB∥CD,则∠A=∠C +∠P.以上结论正确的个数是( )
A．、1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①如图1，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①不符合题意；
②如图2，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②符合题意；
③如图3，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③
符合题意；
④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，
所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④符合题意；
故答案为：C.
【分析】①过点E作EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得出结论；
②如图2，过点E作EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点E作EF∥AB，可得AB∥EF∥CD，根据平行线的性质得出∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-
∠CEF=∠A+∠AEF=180°，据此判断即可；
④过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，根据三角形外角的性质及平行线的性质得出
∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，据此判断即可.
二、填空题
1 −1
11．计算： √4−(− ) = .
3
【答案】5
1 −1
【解析】【解答】解： √4−(− )
3= 2−(−3)
=5
故答案为：5.
【分析】先根据算术平方根的定义和负整数指数幂的法则进行计算，再计算减法，即可得出答案.
{√a−√b(a≥b)
12．对于任意的正数a，b，定义运算“*”如下：a∗b= ，计算(3∗2)+(48∗50)的结
√b−√a(a<b)
果为 ．
【答案】4√2−3√3
{√a−√b(a≥b)
【解析】【解答】解：∵a∗b=
√b−√a(a<b)
∴(3∗2)+(48∗50)=√3−√2+√50−√48=√3−√2+5√2−4√3=4√2−3√3
故答案为：4√2−3√3．
【分析】根据题干中的定义及计算方法将数据代入计算即可。
13．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=√3，BO=1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线
BO于点F．点P从点A出发沿射线AO以每秒2√3个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方
向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t= 时，PQ∥EF；
（2）若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′与线段EF有公共点时，t的取值范围
是 .
3 2
【答案】 ； ≤t≤1
5 3
【解析】【解答】解：（1）如图1，当PQ∥EF时，则∠QPO=∠ENA，
又∵∠AEN=∠QOP=90°，
∴△AEN∽△QOP，
∵∠AOB=90°，AO=√3，BO=1，
BO 1 √3
∴tanA= = = ，
AO √3 3
∴∠A=∠PQO=30°，
PO √3 2√3t−√3
∴ = = ，
QO 3 t
3
解得：t= ，
5
3
故当t= 时，PQ∥EF；
5
3
故答案为： ；
5
（2）如图2，当P点介于P 和P 之间的区域时，P′点介于P′和P′之间，此时线段P′Q′与线段EF有交点，
1 2 1 1 2
当P运动到P 时，
1
1
∵AE= AB=1，且易知△AEP′∽△AOB，
2 1
AE AP, 2√3
∴ = 1，∴AP ′= ，
AO AB 1 3
√3
∴PO=P ′O= ，
1 1 3
4√3
∴AP =AO+P O= ，
1 1 3
4√3
2
∴此时P点运动的时间t= 3 = s，
3
2√3
当P点运动到P 时，
2
∵∠BAO=30°，∠BOA=90°，
∴∠B=60°，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴FB=FA，
∴△FBA是等边三角形，
∴当PO=OA=√3时，此时Q′与F重合，A与P′重合，
2 2
∴PA=2√3，则t=1秒时，线段P′Q′与线段EF有公共点，
2
故当t的取值范围是： ≤t≤1．
3
2
故答案为： ≤t≤1．
3
【分析】（1）利用平行线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△AEN∽△QOP，进而利用锐角三
角函数关系求出即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质得出△FBA是等边三角形，进而得出线段P′Q′与线段EF有公共点时
t的最大值，进而得出答案．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①
BF=DE；②AE=CF；③∠EAB=∠FCO；④AF//CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边
形的是 .【答案】①④
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，
∵BF=DE，
∴BF-OB=DE-OD，
即OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形；
②∵AE=CF，不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
③∠EAB=∠FCO不能判定四边形AECF是平行四边形；
④∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠CED，
在△ABF和△CDE中，
{∠ABF=∠CDE
∠AFB=∠CED，
AB=CD
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
∴BF-OB=DE-OD，
即OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形；
故答案为：①④.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，推出OF=OE，然后根据
平行四边形的判定定理可判断①；根据②③中的条件结合平行四边形的判定定理判断即可；根据平行
线的性质可得∠AFB=∠CED，证明△ABF≌△CDE，得到BF=DE，推出OF=OE，然后根据平行四边形
的判定定理可判断④.15．如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为
.
【答案】10
【解析】【解答】解:如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
又∵AB：AC=3：2，
3
∴AB= AC，
2
∵△ABD的面积为15
1 1 3
∴S = AB×DE= × AC×DF=15，
△ABD 2 2 2
1
∴ AC×DF=10
2
1
∴S = AC×DF=10。
△ACD 2
故答案为：10。
【分析】如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出
DE=DF，根据等高三角形的面积之比就是其底之比，从而即可列出方程，求解即可。
三、解答题
16．计算
（1）−12−5+(−14)−(−39)
1
（2）9÷(−8)×(− )−1
23 1 3
（3）(− + − )×(−24)
4 6 8
（4）−12020−|2−(−32 )+3|
【答案】（1）解：原式 =−12−5−14+39
=−31+39
=8
1 1
（2）解：原式 =9×(− )×(− )−1
8 2
9
= −1
16
7
=−
16
3 1 3
（3）解：原式 =− ×(−24)+ ×(−24)− ×(−24)
4 6 8
=18+(−4)−(−9)
=23
（4）解：原式 =−1−|2−(−9)+3|
=−1−|14|
=−15 .
【解析】【分析】（1）根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转化为加法，再根据有理数的
加法法则计算即可求解；
（2）根据除以一个数，等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算
乘法，最后计算减法得出答案；
（3）根据乘法分配律用-24去乘以括号内的每一个数，再把所得的积相加即可求解；
（4）根先乘方，再计算绝对值符号两面的运算，接着去绝对值符号，最后计算减法得出答案.
3 3
17．化简求值： (3m−7)(3m+7)−2m( m−1)( m+1)，其中m=-3.
2 2
3 3
【答案】解： (3m−7)(3m+7)−2m( m−1)( m+1)
2 2
3 2
=(3m) 2−72−2m[( m) −1]
2
9m2
=9m2−49−2m( −1)
49
=9m2−49− m3+2m
2
m=−3 时，
9 243 295
原式= 9×(−3) 2−49− ×(−3) 3+2×(−3)=81−49+ −6=
2 2 2
【解析】【分析】先利用平方差公式计算，再利用去括号、合并即可化简，最后将m的值代入计算即
可.
18．如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B=125°，∠A+∠D=155°，
AB=3cm，EH=4cm．
（1）试写出EF，AD的长度；
（2）求∠G的度数；
（3）连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？
【答案】（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B=125°，∠A+∠D=155°，
AB=3cm，EH=4cm．
∴EF=AB=3cm，AD=EH=4cm；
（2）解：∵∠B=125°，∠A+∠D=155°，
∴∠C=80°，
∴∠G=∠C=80°
（3）解：∵对称轴垂直平分对称点的连线，
∴直线MN垂直平分BF．【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质，结合图形写出对应线段即可；
（2）根据四边形的内角和求出 ∠C 的度数，再由对称图形的对应角相等，可得答案；
（3）根据“对应点的连线被对称轴垂直平分”求解.
19．如图，现有一个均匀的转盘被平均分成六等份，分别标有 2、3、4、5、6、7 这六个数字，
转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重
转）．
（1）转动转盘，转出的数字大于3的概率是多少；
（2）现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡
片上的数字分别作为三条线段的长度．
①这三条线段能构成三角形的概率是多少？
②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？（注：要求写出各种可能情况）
2
【答案】（1）解：平均分成6份，共有6种情况，大于3的有4种： ∴p (大于 3 )=
3
（2）解：①平均分成 6 份，共有 6 种情况，能构成三角形的结果有 5 种，
5
∴p (构成 Δ )=
6
②平均分成 6 份，转到每个数字的可能性相等共 6 种，能够构成等腰三角形的有2种情况，分别是
（ 3，4，3 ）和（ 3，4，4 ）
1
∴P =
(等腰三角形) 3
【解析】【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）①根据题意先求出所有的情况数，再求出能构成三角形的情况数，最后利用概率公式求解即可；②
先求出所有情况数，再求出能构成等腰三角形的情况数，最后利用概率公式求解即可。
20．某单位要印刷一批宣传材料。在甲印刷厂不管一次印刷多少页，每页收费0.1元，在乙印刷厂，
一次印刷页数不超过20时，每页收费0.12元，一次印刷页数超过20时，超过部分每页收费0.09元，
设该单位需要印刷宣传材料的页数为x（x>20且x是整数），在甲印刷厂实际付费为 y （元），在
1
乙印刷厂实际收费为 y （元）
2（1）分别写出 y ,y 与x的函数关系式；
1 2
（2）你认为选择哪家印刷厂印刷这些宣传材料较好？为什么？
【答案】（1）解：由题意得， y =0.1x ,
1
y =20×0.12+0.09(x−20)=0.09x+0.6 ，
2
（2）解：当 x>20 时，
由 y <y 得： 0.1x<0.09x+0.6 ，解得， x<60 ，
1 2
由 y = y 得： 0.1x=0.09x+0.6 ，解得， x=60 ，
1 2
由 y >y 得： 0.1x>0.09x+0.6 ，解得， x>60 ，
1 2
综上所述，当 x=60 时，甲、乙两个印刷厂收费相同，当 20<x<60 时，甲印刷厂费用少，当
x>60 时，乙印刷厂费用少.
【解析】【分析】（1）甲印刷厂的付费=每页收费×数量，乙印刷厂的付费需要分段计算，分为不超
过20页的部分，超过20页的部分；
（2）分情况讨论，当甲乙两家费用相同时，列方程计算；当甲乙两家费用不相等时，利用不等式求
解.
21．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．∠1=∠2，试判断
DG与BC的位置关系，并说明理由．
【答案】解：DG∥BC，理由如下：
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2=∠DCE，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCE，
∴DG∥BC．
【解析】【分析】由垂线的性质得出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2=∠DCE，再由已知条件得出∠1=∠DCE，即可得出结论．
22．已知AB∥CD
（1）如图1，求证：∠ABE＋∠DCE－∠BEC＝180°
（2）如图2，∠DCE的平分线CG的反向延长线交∠ABE的平分线BF于F
①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC
②若∠BFC－∠BEC＝74°，则∠BEC= ▲
【答案】（1）证明：如图1，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴DC∥EF，
∴∠B=∠BEF，∠C+∠CEF=180°，
∴∠C+∠B-∠BEC=180°，
即：∠ABE+∠DCE-∠BEC=180°；
（2）解：①∵FB∥CE，
∴∠FBE=∠BEC=26°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE=2∠FBE=52°，
由（1）得：∠DCE=180°-∠ABE+∠BEC=180°-52°+26°=154°，
∵CG平分∠ECD，∴∠DCG=77°，
过点F作FN∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠BFN=∠ABF=26°，∠NFC=∠DCG=77°，
∴∠BFC=∠BFN+∠NFC=103°；
②∵BF∥CE，
∴∠BFC=∠ECF，∠FBE=∠BEC，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE=2∠FBE=2∠BEC，
由（1）知：∠ABE+∠DCE-∠BEC=180°，
∴2∠BEC+∠DCE-∠BEC=180°，
∴∠DCE=180°-∠BEC，
∵CG平分∠DCE，
1 1 1
∴∠ECG= ∠DCE= （180°-∠BEC）=90°- ∠BEC，
2 2 2
1 1
∴∠BFC=∠FCE=180°-∠ECG=180°-（90°- ∠BEC）=90°+ ∠BEC，
2 2
∵∠BFC-∠BEC=74°，
∴∠BFC=74°+∠BEC，
1
即74°+∠BEC=90°+ ∠BEC，
2
解得∠BEC=32°.
故答案为：32°.
【解析】【分析】（1）过E作EF∥AB，首先根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出DC∥EF，
根据平行线的性质可求∠B=∠BEF，∠C+∠CEF=180°，进而可证明结论；
（2）①易求∠ABE=52°，根据（1）的结论可求∠DCE=154°，根据角平分线的定义可得∠DCG=77°，过点F作FN∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出DC∥NF，结合平行线
的性质利用∠BFC=∠BFN+∠NFC可求解；
1
②根据平行线的性质及角平分线的定义可求解∠BFC=∠FCE=180°-∠ECG=180°-（90° − ∠BEC）
2
1
=90°+ ∠BEC，结合已知条件∠BFC-∠BEC=74°可求解∠BEC的度数.
2
