专题7.4数列求和2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）8.21更新

专题 7.4 数列求和 练基础 1．（2021·全国高三其他模拟）设数列{a}的前n项和为S，若 ，则S ＝（ ） n n 99 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】 采用裂项相消法求数列的和 【详解】 因为 ， 所以 故选C. 2．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下 问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔 共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】B 【解析】 设塔顶的a 盏灯， 1 由题意{a}是公比为2的等比数列， n a (1−27 ) ∴S= 1 =381， 7 1−2解得a=3． 1 故选：B． a  a 3a 4a 3．（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列 n 的前4项和为15，且 5 3 1， a  则 3 （ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【解析】 a aqaq2 aq3 15, 1 1 1 1  设正数的等比数列{a n }的公比为 q ，则  aq4 3aq2 4a ， 1 1 1 a 1, 1  解得 q 2 ，a aq2 4，故选C． 3 1 4．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十 八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的 C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路 【答案】ACD 【解析】 设此人第 天走 里路，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 因为 ，所以 ，解得 ， 对于A，由于 ，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确； 对于B，由于 ，所以B不正确；对于C，由于 ，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确； 对于D，由于 ，所以D正确， 故选：ACD 3 a 1，S  5.（2019·全国高考真题（文））记S为等比数列{a}的前n项和.若 1 3 4，则 n n S=___________． 4 5 【答案】8. 【解析】 q 设等比数列的公比为 ，由已知 3 1 S a aqaq2 1qq2  q2 q 0 3 1 1 1 4 ，即 4 1 q  解得 2， 1 1( )4 a (1q4) 5 2 S  1   所以 4 1q 1 8． 1( ) 2 6．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）记 为递增等比数列 的前n项和，若 ， 则 的值为______. 【答案】1023 【解析】 首先利用已知条件求得等比数列的公比和首项，最后根据等比数列的前n项和公式求出 即可. 【详解】因为数列 为等比数列， 所以 ，解得 ， 设等比数列 的公比为 ， 因为 ， 所以 即 ， 解得 或 ， 因为等比数列 是递增数列， 所以 ， ， 所以 . 故答案为：1023 7．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知正项等比数列 的前 项和为 ， ， ，则数列 中不超过2021的所有项的和为___________. 【答案】2046 【解析】 先根据题意列方程组，求出通项公式，再判断不超过2021的所有项的和为前10项的和，直接利用等比数 列的前n项和公式求和即可. 【详解】 设正项等比数列 的公比为q， ， 因为 ， ， 所以 ，解得： ，所以 .令 ，解得： . 所以数列 中不超过2021的所有项的和为： . 故答案为：2046. 8．（2021·福建高三其他模拟）记 为等比数列 的前 项和，已知 ， ． （1）求 ； （2）求数列 的前 项和． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 （1）由已知 ，令 ，求出 ，再令 ， ，求出等比数列的公比，由 ，即可求解； （2）由（1）求出 通项公式，可得数列 为等比数列，根据等比数列的前 项和公式， 即可得出结论. 【详解】 （1）令 ，则由 可得 ， 当 时，由 可得 ， 两式相减，可得 ，即 ， 依题意， 为等比数列，故 ； （2）由（1）可知 为首项等于1，公比等于2的等比数列，故 ；故 为首项等于 ，公比等于 的等比数列， 故 ． 故 ． 9．（2021·辽宁高三其他模拟）已知 为等差数列， 为等比数列，且满足 ． （1）求 和 的通项公式； （2）对任意的正整数n，设 ，求数列 的前n项和 ． 【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】 （1）设出数列的公差和公比，结合条件求出公差和公比，然后写出通项公式； （2）求出 ，结合错位相减法求和可得数列 的前n项和 ． 【详解】 （1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q， 由 ，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以 ， 因为 ，所以 ，整理得 ，解得q＝2， 所以 ； （2） ， ， 两式相减，得所以 ． 10．（2021·广东实验中学高三其他模拟）已知数列{a}中，a＝1，其前n项和S，满足a ＝S+1 n 1 n n+1 n （n∈N*）． （1）求S； n （2）记b＝ ，求数列{b}的前n项和T． n n n 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求； （2）求得 ，由数列的裂项相消求和，化简即可得到答案. 【详解】 （1）当 时， ，又 ， 所以 ， 即 ， 在 中，令 ，可得 因为 ，所以 故 是首项为1，公比为2的等比数列， 其通项公式为 ， 所以 .（2）因为 所以 故 练提升 TIDHNE 1．【多选题】（2021·吉林松原市·高三月考）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导 学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第 项与第 项之间插入首项为 2，公比为2，的等比数列的前 项，从而形成新的数列 ，数列 的前 项和为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 根据题意求出n，然后即可求出 ，再利用错位相减法求出新数列的和. 【详解】 设 介于第 个1与第 个1之间或者为这两个1当中的一个， 则从新数列的第1个1到第 个1一共有 项， 从新数列的第1个1到第 个1一共有 项，所以 ，解得 ， 而 ，所以 ，故A正确，B错误； ， 令 ， 则 ， ， ， 所以 ，故D正确，C错误， 故选：AD. 2．【多选题】（2021·河北高三其他模拟）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别 的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣， 连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形 中，作它的内接正方形 ，且使得 ；再作正方形 的内接正方形 ， 且使得 ；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的 边长为 (其中第1个正方形 的边长为 ，第2个正方形 的边长为 ，…)， 第n个直角三角形(阴影部分)的面积为 (其中第1个直角三角形 的面积为 ，第2个直角三角形 的面积为 ，…)，则（ ）A．数列 是公比为 的等比数列 B． C．数列 是公比为 的等比数列 D．数列 的前n项和 【答案】BD 【解析】 先得到 ，即 可判断A，再求出 ，可判断B与C，最后求出 ，可判断D. 【详解】 如图： 由图知 ，对于A： ，数列 是公比为 的等比数列，故A不正确； 对于BC：因为 ，所以 ， 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故B正确，C不正确； 对于D：因为 ，故D正确， 故选：BD. 3．（2022·河南高三月考（文））已知数列 满足 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由 ，化简得到 ，结合等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）知 ，单调 ，结合等差数列的求和公式和乘公比错位相减 法，即可求解. 【详解】 （1）由题意，数列 满足 ， 可得 ，即 ， 又因为 ，可得 ，所以 ，所以 ， 即数列 的通项公式 . （2）由（1）知 ，可得 ， 则 . 令 ， 则 ， 所以 ， 所以 . 所以 . 4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列 满足 ，正项等比数列 满足首 项为1，前3项和为7. （1）求 与 的通项公式； （2）求 的前n项和 . 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 （1）设等差数列 的公差为d，运用等差数列的通项公式，可得首项和公差，可得 ；设正项等比数列 的公比为q，q>0，由等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到 ； （2）由（1）可得 ，利用错位相减法求和，即可得答案. 【详解】 解：（1）设等差数列 的公差为d， 由 ，可得 ， 解得 ，则 ； 设正项等比数列 的公比为q，q>0， 由首项为1，前3项和为7，可得 ，解得q=2， 则 ； （2）由（1）可得 ， 所以 ， 则 ， 两式相减可得 = ， 所以 . 5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（理））已知数列 满足： ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 最小值. 【答案】（1） ；（2）最小值为 .【解析】 （1）由已知条件得到 为等比数列，即可得到 通项；（2）错位相减求出 ，根 据单调性求出 最小值. 【详解】 解：（1）由 ，得 ， 是以2为公比的等比数列，记公比为 ， 又 ， ， ； （2） ， ， ， 两式相减，得 ， 即 ，又 ， 单调递增， 时， 最小，最小值为 . 6．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））已知 是等比数列 的前 项和， ， ， 成等差数列，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若存在正整数 ，使得 ，求 的最小值.【答案】（1） ；（2）11. 【解析】 （1）设数列 的公比为 ，根据条件列出 ，求得首项和公比，从而求得通项公式； （2）由（1）求得 ，分奇偶求解 即可求得满足条件的最小n值. 【详解】 （1）设数列 的公比为 ，则 ， ．由题意得 ，即 ，解得 . 故数列 的通项公式为 . （2）由（1）有 . 由 得， ，即 . 当 为偶数时， ，上式不成立；- 当 为奇数时， ，即 ，则 . 综上， 的最小值为11. 7.（2021·全国高三其他模拟）已知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）在数列 中，去掉第 项，第 项，…，第 项（ 为正整数）得到的数列记为 ，求数列 的前 项和 .【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由等比数列通项公式可求得 ，进而得到 ； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，根据 三者之间的关系 可整理得到当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，利用等差数列求和公式可整 理求得结果. 【详解】 （1）由题意得： ， ； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ； ， ， …①， ， …②， ， ， …③， 由①知：当 时， ；由③知：当 时， ； 当 为偶数时， ， ； 由②知：当 时， ，即当 为奇数时， ；； 综上所述： . 8．（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）设 是等差数列 的前 项和，其中 ，且 . （Ⅰ）求 的值，并求出数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求证： . 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 （Ⅰ）解：令 ，则 ，则 ， 令 ，则 ，得 ， ∵ 为等差数列，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ，∴ ，数列 的通项公式为 ； （Ⅱ）证：由题意得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 为递增数列，即 ， ∴ 成立． a  a 0,a 2a nnN* 9．（2019·浙江高考模拟）已知数列 n 中， 1 n1 n ， b a a 1 b  （1）令 n n+1 n ，求证：数列 n 是等比数列；a c  n （2）令 n 3n ，当 c 取得最大值时，求n的值. n n3,c k 3 【答案】（I）见解析（2） n最大，即 【解析】 Qa 2a n，a 2a n1 （1） n1 n n2 n1 a a 2a 2a 1 两式相减，得 n2 n1 n1 n a a 12a a 1 ∴ n2 n1 n1 n b 2b 即： n1 n 又Qa 1，b 20 2 1 b  ∴ 数列 n 是以2为首项，2为公比的等比数列 b 2n a a 2n 1 （2）由（1）可知， n 即 n1 n a a 21 2 1 a a 22 1 3 2  a a 2n11n2 n n1 a a 222 2n1n12n n1 n 1 n2,a 2n n1 n n1,a 0 1 也满足上式 a 2n n1 n 2n n1 2n1n2 c  c  n 3n n1 3n12n1n2 2n n1 2n12n c c    n1 n 3n1 3n 3n1 f n2n12n f n12n32n1 令 ，则 ，  f n1 f n22n  f 1 f 2, f 2 f 3 f 4 f n Q f 1 f 210, f 310,n3, f n0 c c c，c c c ... 1 2 3 3 4 5 n3,c k 3 ∴ n最大，即 10．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在① ；② ； ③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 已知等差数列 的公差为 ，前n项和为 ，等比数列 的公比为q，且 ， ____________． （1）求数列 ， 的通项公式． （2）记 ，求数列 ，的前n项和 ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 方案一：选条件① （1）解得 或 （舍去） （2） 方案二：选条件②（1） 解得 或 （舍去） （2）方案三：选条件③ 解得 或 （舍去） （2）练真题 TIDHNE 1．（2020·全国高考真题（理））数列 中， ， ，若 ，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】 在等式 中，令 ，可得 ， ， 所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ， ， ，则 ，解得 . 故选：C. 2．（2021·浙江高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩可得 ，由累加法可得 ，进而由 局部放缩可得 ，然后 利用累乘法求得 ，最后根据裂项相消法即可得到 ，从而得解． 【详解】 因为 ，所以 ， ． 由 ，即 根据累加法可得， ，当且仅当 时取等号， ，由累乘法可得 ，当且仅当 时取等号， 由裂项求和法得： 所以 ，即 ． 故选：A． 3．（2020·全国高考真题（理））设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项． （1）求 的公比； （2）若 ，求数列 的前 项和． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）设 的公比为 ， 为 的等差中项， ， ； （2）设 的前 项和为 ， ， ，① ，② ① ②得， ， .4.（2020·全国高考真题（文））设等比数列{a}满足 ， ． n （1）求{a}的通项公式； n （2）记 为数列{loga}的前n项和．若 ，求m． 3 n 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）设等比数列 的公比为 ， 根据题意，有 ，解得 ， 所以 ； （2）令 ， 所以 ， 根据 ，可得 ， 整理得 ，因为 ，所以 . 5.（2020·山东省高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ． （1）求 的通项公式； （2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）由于数列 是公比大于 的等比数列，设首项为 ，公比为 ，依题意有 ，解得解得 ，或 (舍)， 所以 ，所以数列 的通项公式为 . （2）由于 ，所以 对应的区间为： ，则 ； 对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ； 对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ； 对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ； 对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ； 对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ； 对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 . 所以 . 6. （2020·天津高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列， ． （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和． 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） . 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为q. 由 ， ，可得d=1. 从而 的通项公式为 . 由 ， 又q≠0，可得 ，解得q=2， 从而 的通项公式为 . (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ， 故 ， ， 从而 ， 所以 . (Ⅲ)当n为奇数时， ， 当n为偶数时， ，对任意的正整数n，有 ， 和 ① 由①得 ② 由①②得 ， 由于 ， 从而得： . 因此， . 所以，数列 的前2n项和为 .