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八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）
期末检测卷02
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全册； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2021·全国七年级期末）下列式子是不等式的为（ ）
A．4 B．x2+x C．4x＞7 D．x＝3
【答案】C
【分析】
根据不等式的定义进行逐个判断即可．
【详解】
解：A、4，没有不等号，故不是不等式，故本选项不合题意；
B、x2+x，没有不等号，故不是不等式，故本选项不合题意；
C、4x＞7是不等式，故本选项符合题意；
D、x＝3是等式，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了不等式的定义，注意：用不等号表示关系的式子，叫不等式，不等号有： 等．
2．（2021·陕西铜川市·八年级期末）下列四组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．2，3，4
【答案】C
【分析】
根据勾股定理的逆定理判断三边关系是否满足两边平方和是否等于第三边平方．
【详解】
A、B、D不满足勾股定理的逆定理，C项62+82=102，满足勾股定理的逆定理，
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，熟练使用该定理是解决问题的关键．3．（2021·全国八年级专题练习）如果将分式 中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（
）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．不变
【答案】A
【分析】
x，y都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成3x和3y．用3x和3y代替式子中的x和y，看得
到的式子与原来的式子的关系．
【详解】
将3x， 3y分别代入分式中的x， y得 ，因此扩大到原来的3倍，
故选A．
【点睛】
本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的
值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
4．（2021·湖北宜昌市·中考真题）下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称
图形．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重
合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
5．（2021·浙江杭州市·七年级期中）已知 三边长分别为a、b、c， ，且a、b、c
满足 ，则 的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】
分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再变形，得（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，再利用非负数的性
质求解即可．
【详解】
解：∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，
∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0，
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是
将已知等式变形，利用非负数的性质解题．
6．（2021·安徽宿州市·九年级一模）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是边
AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）A．7 B． C．8 D．9
【答案】C
【分析】
延长BE交AC于H，证明△HAE≌△BAE，根据全等三角形的性质求出AH，根据三角形中位线定理解答即
可．
【详解】
解：延长BE交AC于H，
∵AE平分∠BAC，
∴∠HAE＝∠BAE，
∵∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠AEH=90°，
在△HAE和△BAE中，
，
∴△HAE≌△BAE（ASA）
∴AH＝AB＝6，HE＝BE，
∵HE＝BE，AD＝DB，
∴DF AC，
∵HE＝BE，
∴HC＝2EF＝2，
∴AC＝AH＋HC＝8，
故选：C．【点睛】
此题主要考查三角形内线段长度求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、中位线的性质定理．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）分解因式： __________．
【答案】
【分析】
利用提公因式及平方差公式进行因式分解即可．
【详解】
解： ；
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．（2021·全国八年级课时练习）若分式 的值为0．则x的值是_____．
【答案】5
【分析】
根据分子等于0，且分母不等于0列式求解即可．
【详解】
解：由题意得
x2-25=0，且x+5≠0，
解得x=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值
不为0，这两个条件缺一不可．
9．（2019·浙江杭州市·九年级期中）已知点 在第四象限，那么a的取值范围是________．
【答案】
【分析】
点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，根据题意列出不等式组即可求解．
【详解】
解：∵点（2-a，3a）在第四象限，
∴ ，
解得a＜0，
故答案为：a＜0．
【点睛】
坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，列出不得式是解题的关键．
10．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为 ，则原
多边形的边数是__________．
【答案】6或7
【分析】
求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】
解：由多边形内角和，可得
（n-2）×180°=720°，
∴n=6，
∴新的多边形为6边形，
∵过顶点剪去一个角，
∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．
【点睛】
本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．
11．（2020·全国九年级专题练习）如图， 的斜边在y轴上， 角的顶点与原点重合，
直角顶点C在第二象限，将 绕原点O顺时针旋转 后得到 ，则B点的对应点 的坐
标是________．
【答案】
【详解】
如解图，在 中，∵ ，∴ ．∵将 绕原点O顺时
针旋转 后得到 ，∴ ， ．∴点 的坐标是 ．
12．（2021·全国八年级专题练习）如图，等边△ABC中，AB=6，BE平分∠ABC交AC边于点E，动点P
从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BE运动，当△ABP为等腰三角形时，t的值为________．【答案】 ，6，
【分析】
分 、BP=AB、 三种情况分别讨论求t的值即可．
【详解】
解：∵ 为等边三角形，BE平分∠ABC，AB=6，
∴ ， , ，
若 为等腰三角形，
当 时，过点P作 ，交 于点 ，则 ，
在 中， ，
设 ，
则 ，
∴ ,即 ，
解得： ，
∴ ，即 ，
当 时，由AB=6，∴ ，即 ，
当 时，如图，在 中， ， ，
∴ ，即 ，
综上可知当 为等腰三角形时 的值为 ，6， ，
故答案为： ，6， ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，勾股定理，注意分类讨论是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2021·浙江七年级期中）因式分解
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）先提公因式3，再利用平方差公式分解；
（2）先利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解．
【详解】
解：（1）
=
= ；
（2）=
=
=
【点睛】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻
底．
14．（2021·重庆巴蜀中学七年级期中）解一元一次不等式（组）第（1）小题要求在数轴上表示出不等式
的解集：
（1）
（2）
【答案】（1）x≥3，数轴表示见解析；（2）-1≤x＜3
【分析】
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解
了确定不等式组的解集．
【详解】
解：（1）去括号，得：5x-3≥2x-2+8，
移项、合并，得：3x≥9，
系数化为1，得：x≥3，
将解集表示在数轴上如下：
（2） ，解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x＜3，
则不等式组的解集为-1≤x＜3．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大
小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．（2021·四川广安市·中考真题）先化简： ，再从-1，0，1，2中选择一个适合
的数代入求值．
【答案】 ，
【分析】
先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
由原式可知，a不能取1，0，-1，
∴a=2时，原式= ．
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的
先算括号里面的．
16．（2021·全国八年级课时练习）如图，在4×4网格中，将5个完全相同的小正方形涂上阴影，现移动其
中的一个阴影小正方形，请在图1，图2和图3中分别画出满足以下要求的图形．（用阴影表示）．（1）使得图1中的阴影部分既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（2）使得图2中的阴影部分为轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）使得图3中的阴影部分为中心对称图形，但不是轴对称图形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
本题是图案设计问题，用轴对称和中心对称知识画图，设计图案，要按照题目要求，展开丰富的想象力，
答案不唯一．
【详解】
解：（1）如答图所示：
（2）答案不唯一，画出一种即可，如答图所示：
（3）如答图所示：
【点睛】
本题考查了利用旋转设计图案，由于设计方案的多样化，只要满足相应问题对轴对称，中心对称的要求即
可．17．（2021·全国八年级专题练习）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的
中点．
（1）求证：四边形AMON是平行四边形；
（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】
（1）由 ABCD得到点O是BD的中点，用三角形的中位线定理得到OM∥AN且OM=AN，证明出四边形
AMON是平行四边形；
（2）由 ABCD得到OA=OC=3，OB=OD=2，由勾股定理的AB= ，由直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半得到OM= AB= ，最后求出结果．
【详解】
（1）证明：在 ABCD中，AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，
∵点M，N分别是AB、AD的中点，
∴AN=DA= AD，
∴OM是△ABD的中位线，
∴OM∥AN，OM=AN，
∴四边形AMON是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）解：∵AC＝6，BD＝4，
∴AO＝3，BO＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝ ，∴OM＝AM＝MB＝ ，
∴NO＝AN＝ ，
∴四边形 AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝ ．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定、中位线的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半，关键在于知识点直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的应用．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2021·浙江七年级期中）如图， ．将 向右平移3个单位长度，然
后再上平移1个单位长度，可以得到 ．
（1） 的顶点 的坐标为________；顶点 的坐标为_______．
（2）求 的面积．
（3）已知点P在x轴上，以 为顶点的三角形面积为3，则P点的坐标为_____．
【答案】（1）（0，3），（4，0）；（2）5；（3）（2，0）或（6，0）
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出△ABC 三个顶点的坐标，然后描点即可；
1 1 1
（2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积得到△ABC 的面积；
1 1 1
（3）设P点得坐标为（t，0），利用三角形面积公式，即可得到P点坐标．
【详解】
解：（1）如图，△ABC 为所作，顶点A 的坐标为（0，3）；顶点C 的坐标为（4，0）；
1 1 1 1 1
（2）计算△ABC 的面积=4×4- ×2×4- ×2×1- ×4×3=5；
1 1 1
（3）设P点坐标为（t，0），
∵以A、C 、P为顶点得三角形得面积为3，
1 1
∴ ×3×|t-4|=3，
解得：t=2或t=6，
即P点坐标为（2，0）或（6，0）．
【点睛】
本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的
关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的
图形．
19．（2021·湖南中考真题）“七一”建党节前夕，某校决定购买 ， 两种奖品，用于表彰在“童心向
党”活动中表现突出的学生．已知 奖品比 奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买 奖
品，其余资金购买 奖品，且购买 奖品的数量是 奖品的3倍．
（1）求 ， 奖品的单价；
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算
资金且购买 奖品的资金不少于720元， ， 两种奖品共100件．求购买 ， 两种奖品的数量，有哪几种方案？
【答案】（1）A， 奖品的单价分别是40元，15元；（2）购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品
24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B奖品75件．
【分析】
（1）设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，根据“购买 奖品的数量是 奖品的3倍”，
列出分式方程，即可求解；
（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，列出一元一次不等式组，即可求解．
【详解】
（1）解：设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，
由题意得： ，解得：x=15，
经检验：x=15是方程的解，且符合题意，
15+25=40，
答：A， 奖品的单价分别是40元，15元；
（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，
由题意得： ，解得：22.5≤a≤25，
∵a取正整数，
∴a=23，24，25，
答：购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B奖品75件．
【点睛】
本题主要考查分式方程以及一元一次不等式组的实际应用，找准数量关系，列出方程和不等式组，是解题
的关键．
20．（2021·全国八年级专题练习）如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等
边△ABD，取AB的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先证Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），得DF＝AC，再证DF＝AE，然后证DF∥AE，即可得出结论；
（2）由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，BC＝ AB＝2，AC＝ BC＝2 ，
则四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，
∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，
∴AF＝BC，
在Rt△AFD和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），
∴DF＝AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°，AC＝AE，
∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，
∴DF＝AE，
又∵DF⊥AB，
∴DF∥AE，
∴四边形ADFE是平行四边形；（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC＝ AB＝2，AC
＝ BC＝2 ，
∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝ ×（2 ）2
＝3 ．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直
角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2021·浙江七年级专题练习）教科书中这样写道：“我们把多项式 及 叫
做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中
出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决
问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或
求代数式最大值，最小值等问题．
；
求代数式 的最小值， ．
可知当 时， 有最小值，最小值是 ，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式： ________．
（2）当x为何值时，多项式 有最小值？并求出这个最小值．
（3）已知 是 三边的长，且满足 ，求 三边的长．【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）先把 配方，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）把原式配方，根据平方的非负数性质即可得答案；
（3）把原式分组配方，根据平方的非负数性质即可求出 的值．
【详解】
解：（1） ，
=x2-4x+4-9，
=（x-2）2-32，
=（x-2+3）（x-2-3），
=（x-5）（x+1），
故答案为：（x-5）（x+1）；
（2）原式 ，
，
∵（x-2）2≥0，
∴当 时，原式有最小值，最小值为-1；
（3） ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
∴ 三边的长分别为 ．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变
式子的值．
22．（2020·湖南长沙市·七年级期末）对实数x，y定义一种新运算T，规定T（x，y)= ，（其中a，
b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）= ．已知T（2，-
1）=-1，T（4，1）=1．
（1）求a，b的值；
（2）解方程：T（m，2-2m）=14；
（3）若关于m的不等式组 恰好有5个整数解，求实数p的取值范围．
【答案】（1）a=1，b=5；（2）m=-2；（3） ．
【分析】
（1）由新运算法则得到关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值；
（2）利用新运算法则得到关于m的方程，解之即可得到方程的解；
（3）由新运算法则得到关于m的不等式组，解出不等式组的解集，根据不等式组恰好有5个整数解确定m
的值，进而确定p的取值范围．
【详解】
（1）根据题意，T（2，-1）= =-1，即 ①，
T（4，1）= =1，即 ②，
由①②联立方程组，解得：a=1，b=5；
（2）由（1）知，T（x，y)= ，
根据题意，T（m，2-2m）= =14，即10﹣9m=28,解得：m=﹣2，
所以方程的解为m=﹣2；
（3）根据题意得： ，
解①得： ，
解 得： ，
所以不等式组的解集为： ，
∵不等式组恰好有5个整数解，即m=1、2、3、4、5，
∴ ，
解得： ，
故实数p的取值范围为 ．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用、解一元一次方程、解一元一次不等式组以及不等式组的整数解，
熟练掌握这些知识的解法，理解新运算法则及能根据不等式组的整数解确定不等式 是解答的
关键．
六、（本大题共12分）
23．（2021·全国八年级专题练习）（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，
求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处）．（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF2＝
BE2+FC2；
（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且
∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝ ，求OA+OB+OC的值．
【答案】（1）150°；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根将△APB绕着点A逆时针旋转60°得到△ACP′，据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对
应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理即可得到结论；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′=AE，CE′=CE，
∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，再求出∠E′AF=45°，从而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用“边角
边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得证；
（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜
边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三
条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四
点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．
【详解】
解：（1）如图1，将△APB绕着点A逆时针旋转60°得到△ACP′，
∴△ACP′≌△ABP，∴AP′=AP=8、CP′=BP=15、∠AP′C=∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′=60°，
∴△AP P′为等边三角形，
∴P P′=AP=8，∠A P′P=60°，
∵PP′2+P′C2=82+152=172=PC2，
∴∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C=60°+90°=150°；
（2）如图2，把△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
则AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，
∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=∠CAF+∠CAE′=∠FAE′=45°，
∴∠EAF=∠E′AF，且AE=AE'，AF=AF，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACE′=90°，
∴∠FCE′=90°，
∴E′F2=CF2+CE′2，
∴EF2=BE2+CF2；
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= ，∠ABC=30°，
∴AB= ，
∴BC= = ，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∴A′B=AB= ，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C= ，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= ．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用旋转构造出全等
三角形以及直角三角形是解题的关键，属于中考压轴题．
