专题7.3等比数列及其前n项和2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题7.3 等比数列及其前n项和 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式； 2.了解等比数列与指数函数的关系. 新课程考试要求 3.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用； 4.会用数列的等比关系解决实际问题. 核心素养 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等. 1．利用方程思想应用等比数列通项公式、前n项和公式求基本量； 2．等比数列的性质及应用. 3．更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化 考向预测 的思想、分类讨论的思想等．从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性． 4.复习中注意: （1）与等差数列及其它知识的综合问题； （2）根据已知递推式构造等比数列求解相关问题. 【知识清单】 知识点一．等比数列的有关概念 1. 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 a n1 q(q0) q (q 0) a n 数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 表示 ，即： ,（注意：“从 q 第二项起”、“常数” 、等比数列的公比和项都不为零） a  a qn1(a q  0) n 1 1 2．等比数列通项公式为： . d 1 说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比 时该数列既是等比数列也是等差数列；（2） a m qmn {a } a n n 等比数列的通项公式知：若 为等比数列，则 . 3．等比中项 a与b G a,G,b G a与b 如果在 中间插入一个数 ，使 成等比数列，那么 叫做 的等比中项（两个符号相同的 非零实数，都有两个等比中项） 4. 等差数列与等比数列的区分与联系(1)如果数列 {a n } 成等差数列，那么数列  Aa n  ( Aa n 总有意义)必成等比数列． {a } a 0 {log a } a0 a 1 (2)如果数列 n 成等比数列，且 n ，那么数列 a n ( ，且 )必成等差数列． {a } {a } {a } (3)如果数列 n 既成等差数列又成等比数列，那么数列 n 是非零常数数列．数列 n 是常数数列仅是 数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件． (4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进 行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． 知识点二．等比数列的前n项和 a ,a ,a ,,a , S  a a a a q 1 一般地，设等比数列 1 2 3 n 的前n项和是 n 1 2 3 n，当 时， a (1qn) a a q S  1 S  1 n n 1q n 1q q 1 S  na 或 ；当 时， n 1（错位相减法）. a ,q,n,S a ,a ,q,S qn 说明：（1） 1 n和 1 n n各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是 ，通项公式中 qn1 q 1 q 1 a a 是 不要混淆；（3）应用求和公式时 ，必要时应讨论 的情况.（4）若已知首项 1和末项 n， a a q a (1qn) S  1 n S  1 n 1q a q n n 1q 则 ；若等比数列{a}的首项是 1，公比是 ，则其前 项和公式为 . n 知识点三．等比数列的相关性质 1.等比数列的性质： a  （1）在等比数列 n 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项； a  a a a a a （2）在等比数列 n 中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如： 1， 3， 5， 7，……； 3， a a a 8， 13， 18，……； a  m nN a a qnm （3）在等比数列 n 中，对任意 ， ， n m ； a  m n p qN mn pq a a a a （4）在等比数列 n 中，若 ， ， ， 且 ，则 m n p q,特殊地， 2m pq 时，则 a m 2 a p a q， a m是 a p 、a q的等比中项. 也就是： a 1 a n a 2 a n1 a 3 a n2 ，aa      1 n     a ,a ,a ,,a ,a ,a 1 2 3   n2 n1 n a a 如图所示： 2 n1 . （5）若数列 a n  是等比数列，且公比不为－1， S n是其前 n 项的和，kN* ，那么 S k ， S 2k S k， S S 3k 2k 成等比数列. 如下图所示： S            3k           a a a a a a a a 1 2  3   k k1   2k 2k1    3k S S S S S k 2k k 3k 2k . a   1  n     {a } {b } {a b }  b   b  （6）两个等比数列 n 与 n 的积、商、倒数的数列 n n 、 n 、 n 仍为等比数列． {a } {ka } {a2 } （7）若数列 n 是等比数列,则 n ， n 仍为等比数列． a a a a 2. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即 2 1， 3 2， a a a a q 3 2  2 1 q a a a a a a 4 3，…成等比数列，且公比为 2 1 2 1 . 3.等比数列的单调性 a 0  a 0  a 0 a 0 1 1 1 1     q1 0q1 {a } 0q1 q1 {a } 当 或 时， n 为递增数列，当 或 时， n 为递减数列． 4. 等差数列和等比数列比较 等差数列 等比数列 a 定义 a a n1 n1 n＝常数 a n ＝常数 通项公式 a a (n1)d a  a qn1(a q  0) n 1 n 1 1 (1)定义法； (1)定义法 2a  a a a a  a2 (2)中项公式法： n1 n n2 (2)中项公式法： n n2 n1 判定方法 nN {a } nN a 0 {a } ⇔ n 为等差数列； ( n ) n 为等比数列 (3)通项公式法： a n  pnq ( p,q (3)通项公式法： a n  ⇔ cqn ( c,q 均是不 nN {a } nN {a } 为常数, ) n 为等差数 为0的常数， ) n 为等比数 ⇔ ⇔列； (4)前n项和公式法： S  An2 Bn A,B n ( 为常数, 列 nN ) {a n } 为等差数列； (4) {a n } 为等差数列⇔  Aa n  ( Aa n 总有 {a } a 0 (5) n 为⇔等比数列，且 n ， 意义)为等比数列 {log a } a0 那么数列 a n ( ，且 a 1 )为等差数列 (1)若 m ， n ， p ， qN ，且 (1)若 m ， n ， p ， qN ，且 mn pq ，则 mn pq a a a a ，则 m n p q a m a n a p a q a a qnm (2) n m 性质 a a (nm)d (2) n m n S 0 (3)等比数列依次每 项和( n )，即 S ,S S ,S S S ,S S ,S S (3) n 2n n 3n 2n，…仍成 n 2n n 3n 2n，…仍成等比数 等差数列 列 q 1 S  na q 1 时， n 1；当 时， n(a a ) n(n1) 前n项和 S n  1 2 n na 1  2 d S  a 1 (1qn) S  a 1 a n q n 1q n 1q 或 . 【考点分类剖析】 考点一 ：等比数列的基本运算 【典例1】（2020·全国高考真题（文））设 是等比数列，且 ， ，则 （ ） A．12 B．24 C．30 D．32 【答案】D 【解析】 设等比数列 的公比为 ，则 ， ，因此， . 故选：D. 1 a  ，a2 a 【典例2】（2019·全国高考真题（理））记S为等比数列{a}的前n项和．若 1 3 4 6，则 n n S=____________． 5 121 【答案】 3 . 【解析】 1 1 1 a  ,a 2 a ( q3)2  q5, 设等比数列的公比为q，由已知 1 3 4 6，所以 3 3 又q0， 1 (135) a (1q5) 3 121 所以 所以S  1   ． q 3, 5 1q 13 3 【总结提升】 a a qn1 n 1.求解等比数列的基本量要用好方程的思想：等比数列的通项公式 n 1 及前 项和公式 a (1qn) a a q S  1 S  1 n n 1q n 1q a ,q,n,a ,S 或 ，共涉及五个量 1 n n，知其中三个就能求另外两个,即知三求二， a 多利用方程组的思想解决问题.运用方程的思想解等比数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 1、 q ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． a d 2.运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量 1、 ，掌握好设未知数、 列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． a a a ,a,aq , ,aq,aq3 q q3 q 3.特殊设法:三个数成等比数列，一般设为 ；四个数成等比数列，一般设为 . 这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便. 【变式探究】 a  a a  –1 a –a  –3 a  1.（2017全国卷3理）设等比数列 n 满足 1 2 ， 1 3 ，则 4 ___________． 8 【答案】【解析】因为 a  为等比数列，设公比为q． n a a 1 a aq1 ① 1 2 1 1  ，即 ， a a 3 a aq2 3② 1 3 1 1 ② 显然 ， ， 得 ，即 ，代入 式可得 ， q1 a 0 ① 1q3 q2 ① a 1 1 1 a aq3 123 8 所以 4 1 ． S 3a 2 S 3a 2 2.（浙江高考真题）设公比为q(q＞0)的等比数列{a }的前n项和为{S }．若 2 2 ， 4 4 ， n n 则q＝______________． 3 【答案】2 【解析】 S 3a 2 S 3a 2 a 将 2 2 ， 4 4 两个式子全部转化成用 1，q表示的式子． a aq 3aq2 { 1 1 1 即 a aqaq2 aq3 3aq32，两式作差得：aq2 aq3 3aq(q2 1)，即：2q2 q30， 1 1 1 1 1 1 1 1 解之得： (舍去) 考点二 等比数列的判定与证明 【典例3】（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 ___． 【答案】 【解析】 由给定条件借助 消去 ，求出 即可得解. 【详解】因 ， ，而 ，则 ， 于是得 ，又 ，则数列 是首项为1，公比为2的等比数列， 从而有 ，即 ， ， 时， ，而 满足上式， 所以 ， . 故答案为： 【典例4】（2021·湖北省直辖县级行政单位·高三其他模拟）已知数列{a}满足 n ， （1）证明：数列 是等比数列； （2）求数列 的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 （1）由递推公式结合等比数列的定义证明即可； （2）累加法求数列的通项公式. 【详解】 （1）因为 ， 所以 ， 又因为 ，则 ， 则数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）知：则数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， 则 ， ， ， ， 则 ， 即 ，所以 . 【规律方法】 等比数列的判定方法 a   n1 q(q0)   a a a (1)定义法：对于数列 n ，若 n ，则数列 n 是等比数列；  a  a a  a2  a  (2)等比中项：对于数列 n ，若 n n2 n1，则数列 n 是等比数列； a cqn c,q nN  a  (3)通项公式法 n ( 均是不为0的常数， ) n 是等比数列． ⇔ 【变式探究】 1.（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））设数列 的前n项和为 ，对任意 ，函数 在定义域内有唯一的零点，则数列 的通项公式________． 【答案】 【解析】 根据偶函数的对称性可以判定函数为唯一零点的横坐标必然为0，进而得到数列的和与项的关系式，利用 作差法消和得到项的递推关系，结合首项的求解结果，可以判定此数列是等比数列，然后写出通项公式即可. 【详解】 函数 在定义域内有唯一的零点，结合余弦函数和二次函数的对称性， 为偶函数，其图象关于 轴对称可知这个公共点的横坐标一定是0，（否则 公共点则成对出现），即 ,取 得 ,s所以 ,当 时得到 , ,即 ,∴数列 为首项为1，公比为2的等比数列，∴ , 故答案为： . a 2.（2018·全国高考真题（文））已知数列{a }满足a =1，na =2(n+1)a ，设b = n． n 1 n+1 n n n （1）求b ，b ，b ； 1 2 3 （2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由； {b } n （3）求 的通项公式． {a } n 【答案】(1) b=1，b=2，b=4． 1 2 3 (2) {b}是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析. n (3) a=n·2n-1． n 【解析】 2(n+1) （1）由条件可得a = a ． n+1 n n 将n=1代入得，a=4a，而a=1，所以，a=4． 2 1 1 2 将n=2代入得，a=3a，所以，a=12． 3 2 3 从而b=1，b=2，b=4． 1 2 3 （2）{b}是首项为1，公比为2的等比数列． n a 2a 由条件可得 n+1 = n，即b =2b，又b=1，所以{b}是首项为1，公比为2的等比数列． n+1 n n+1 n 1 na （3）由（2）可得 n=2n−1，所以a=n·2n-1． n n 考点三 等比数列的性质及应用 a  a a a 8 【典例5】（2020·全国高三二模（理））已知数列 n 是等比数列，若 2 5 8 ，则 1 4 9   aa aa a a （ ） 1 5 1 9 5 9 7 7 5 5 A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值2 D．有最大值2 【答案】C 【解析】 分析： a a  5 0 根据等比中项的性质得a a a a3 8， 1 q4 ，aa a2 4，代入构造基本不等式的形式，运 2 5 8 5 1 9 5 用基本不等式求得最值. 详解： a a  5 0 设等比数列 a  的公比q，∵a a a 8，∴a a a a3 8，∴a 2，∴ 1 q4 ， n 2 5 8 2 5 8 5 5 aa a2 4 1 9 5 ， 1 4 9 a 4a 9a a 9a 8    9 5 1  9 1 ∴aa aa a a aa a 8 1 5 1 9 5 9 1 5 9 1 1 8    9a 1      4 a 1       1 1 8 2 36  5 2 ，当且仅当 9a 1   4 a 1 ，即a 1  2 3 0时，取等号， 故选：C. 【典例6】（2021·全国高三其他模拟（文））等比数列 中， ， ，则 的前12项和为（ ）A．90 B．60 C．45 D．32 【答案】C 【解析】 根据等比数列的性质求得公比 ，然后再计算和． 【详解】 设数列的公比为 ，则 ， 所以 ，同理 ， 所以 ． 故选：C． 【总结提升】 1.等比数列的性质多与其下标有关，故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系． n 2.应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前 项和公式． 3.在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数 性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递 减的特征，这时前几项中每一项都必须研究． 【变式探究】 a  aa a 8 a a  1．（2020·山西太原�高一期末）在等比数列 n 中，若 1 3 5 ，则 2 4 （ ） 2 4 2 4 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 aa a a3 8 a 2 a a a2 22 4 由等比中项的性质可得 1 3 5 3 ，解得 3 ，因此， 2 4 3 . 故选：B. 2．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）等比数列 中， ， ，则 ___________. 【答案】【解析】 根据等比数列的性质可得 ，结合 即可. 【详解】 由题意知，设等比数列 的公比为 ， 则 所以 ，得 ， 所以 ， 故答案为：-6 【温馨提醒】 应用等比数列性质解题时的两个关注点 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则 a·a＝a·a”，可以减少运算量，提高解题速度． m n p q (2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，S，S－S，S－ k 2k k 3k S，…也成等比数列，公比为qk(q≠－1)． 2k 考点四 等比数列的前n项和公式的综合应用 【典例7】（2021·江苏高考真题）已知数列 满足 ，且 . （1）求证：数列 为等比数列； （2）求数列 的通项公式； （3）求数列 的前 项和 . 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 【解析】（1）计算得到 ，得到答案. （2） ，得到数列通项公式. （3）根据分组求和法计算得到答案. 【详解】 （1）由 ，得 ，∴ ，又 ， ∴ 是首项为3，公比为3的等比数列. （2） ，∴ . （3） . 【典例8】（2021·福建高三三模）在① ，② ， ，③ 这三个条 件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题. 已知数列 的前 项和为 ，___________，数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 【答案】答案见解析 【解析】 选①，运用数列的递推式和等比数列的定义､通项公式和求和公式，计算可得所求和； 选②，解法一：运用数列恒等式和数列的裂项相消求和，计算可得所求和； 解法二：由数列 是常数列，可得 ， ，再由数列的裂项相消求和， 计算可得所求和； 选③，由数列的递推式和等比数列的求和公式，可得所求和. 【详解】 选条件① ，由 ，两式相减得： ， 所以 ， 又 ，得 ， 所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以 . 因此 ， 所以 . 选条件② ， ， 解法一： 由 ， ，得 ， ， 当 时， ， 所以 ， 又 也符合 ，所以 . 因此 ， 所以 .解法二： 由 ，得 ， 所以数列 是常数列， 所以 ， 所以 . 因此 ， 所以 . 选条件③ ， 时， ， 又 ，显然不符合上式， 所以 ，则 ， 当 时， ， 又 ，符合 ， 所以 . 【规律方法】 1.等比数列前n项和S相关的结论 n (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a}中，公比为q. n ①若共有2n项，则S ∶S ＝q； 偶 奇 ②若共有2n＋1项，则S －S ＝(q≠1且q≠－1)． 奇 偶(2)分段求和：S ＝S＋qnS qn＝(q为公比)． n＋m n m 2.等比数列最值有关问题的解题思路 ⇔ 求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等 式的应用． 3.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列， 部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起， 要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解． 【变式探究】 a  a 2a 1,a 1 1.（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一期末）已知数列 n 满足递推公式 n1 n 1 .设 4n 7nS n S 为数列a 的前 n 项和，则a __________， a 1 的最小值是__________. n n n n 17 【答案】2n 1； 4 【解析】 a 2a 1 a 12a 1 因为 n1 n ，所以 n1 n ， a 1 a 12 所以数列 n 是首项为 1 ，公比为2的等比数列， a 12n a 2n 1 所以 n ，所以 n ； 2  12n S 222 232n n n2n12n 所以 n 12 ， 4n 7nS 4n 7n  2n12n  9 n  2n  2 所以 ， a 1 2n 2n n 9 9 9 2n  22 2 由对勾函数的性质可得，当n1时，2n 2， 2n 2 2； 9 y 2n  2 当n2时，2n 4，所以 2n 单调递增，9 9 17 9 2n  24 2  当n2时， 2n 4 4 2 ； 4n 7nS 17 n 所以 a 1 的最小值是 4 . n 17 故答案为：2n 1； 4 . 2. （2021·全国高三其他模拟）已知数列 的前 项和为 ，满足 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前100项的和 ． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 根据已知递推关系，利用数列的和与项的一般关系当 时，求得 ，当 时，利用 求得 的递推关系，进而可判定数列 为等比数列，求得其通项公式，利用三角函数的周期性 求得 的通项与 的周期性关系，判定其中的非零项 是首项为 ，公比为 的等比数列， 进而利用等比数列的求和公式求得 . 【详解】（1）当 时， ,解得： , 当 时， ,即 , ∴数列 为等比数列，首项和公比都是 , ∴ ； （2） ,( ), ∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列，共有50项， ∴ . 考点五 等比数列与传统文化 【典例9】（2021·黑龙江高三其他模拟（理））我们把 叫“费马数”（费马是 十七世纪法国数学家）．设 ， ，设数列 的前 项和为 ，则使不等式 成立的正整数 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求得 ，利用等比数列的求和公式可求得 ，利用分组求和法可求得 ，由已知 条件可得出关于 的不等式，即可得解. 【详解】 ，则 ，故数列 是公比为 的等比数列， 则 ， 所以， ， 由 可得 ， ，所以 ，即 . 故选：B. 【典例10】（2020·浙江杭州�高三二模）我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取 其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后， 1 剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于2018 尺，需要经过________次截取. 1 【答案】64 11 【解析】 1 1 记第 n 天后剩余木棍的长度{a n }，则{a n }是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列， 1 1 1 a  a   所以 n 2n ，所以 6 26 64 ， 1 1 a   由 n 2n 2018得n10，所以n的最小值为11.1 1 所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是64尺，要使剩余木棍的长度小于2018 尺，需要经过11次截取. 1 故答案为：64；11. 【变式探究】 1．（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光 点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中 的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】B 【解析】 设塔顶的a 盏灯， 1 由题意{a}是公比为2的等比数列， n ∴S=a (1−27 )=381， 7 1 1−2 解得a=3． 1 故选：B． 2．（2020·安徽黄山�高一期末）古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五 2 5 日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 倍，已知她 天共织 5 布 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？( ) 5 10 A．31 B．31 C．9 D．10 【答案】B 【解析】 q a n S 由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为 ，首项为 1，前 项和为 n，q2 q 2   由题意可得 a (1q5) ，解得 5 ，   S 5  1 1q 5   a 1  31 10 a aq  所以第二天织的布为 2 1 31. 故选B