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第四章 重点突破训练：因式分解类型题举例
典例体系 （本专题 6 6 题 2 4 页）
考点1：由因式分解的结果求参数
典例：（2018·安徽初一期中）已知多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）(x-4y)的形式，求k，m的值．
方法或规律点拨
此题主要考查了多项式乘以多项式，正确得出m的值是解题关键．
巩固练习
1．（2020·福建宁德·初二期末）多项式x2+mx﹣21因式分解的结果为（x+3）（x﹣7），则m的值是（
）
A．4 B．﹣4 C．10 D．﹣10
2．（2020·江苏相城·初一期末）若代数式x2﹣mx+4因式分解的结果是（x+2）2，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．±4
3．（2020·贵州铜仁·初一期末）多项式 可因式分解为 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．4．（2019·四川大邑·初二期末）已知多项式x2+bx+c分解因式为（x+3）（x﹣1），则b、c的值为
（ ）
A．b＝3，c＝﹣2 B．b＝﹣2，c＝3 C．b＝2，c＝﹣3 D．b＝﹣3，c＝﹣2
5．（2020·山东中区·济南外国语学校初二期中）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），
则a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
6．（2020·江苏广陵·初一期中）若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·重庆南开中学期末）若 ，则 __________．
8．（2020·江苏南京·初一期中）若x2＋ax﹣2＝（x﹣1）（x＋2），则a＝_____．
9．（2020·黑龙江虎林·初二期末）多项式kx2－9xy－10y2可分解因式得(mx＋2y)(3x－5y)，则k=_______，
m=________．
10．（2020·常德市淮阳中学初一期中）若多项式 可以因式分解成 ，那么
a=_____．
11．（2019·深圳市罗湖外语学校初中部初二期中）多项式 因式分解得 ，则
a=_______，b=________．
考点2：利用因式分解进行简便计算
典例：（2019·湖南邵东·初一期中）计算：
①2032﹣203×206+1032
②20192﹣2018×2020．
方法或规律点拨
本题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：
．完全平方公式： ．
巩固练习
1．（2020·广西兴宾·初一期中）计算： 的结果是（
）
A． B． C． D．
2．（2020·全国初二课时练习）计算：1252-50×125+252=( )
A．100 B．150 C．10000 D．22500
3．（2020·全国初二课时练习）计算：752-252=（ ）
A．50 B．500 C．5000 D．7100
4．（2020·河南初二期末）已知 ，那么 的值为（ ）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021．
5．（2020·河北定兴·初一期末）利用因式分解计算 __________．
6．（2020·江苏锡山·初一期末）计算： __．
7．（2020·辽宁省丹东市第二十一中学初二期中）计算2018×512﹣2018×492的结果是_____．
8．（2020·重庆沙坪坝·初三期末）计算： __________．
9．（2018·湖南靖州·初一期末）计算：6002-599×601=__________．
10．（2019·四川恩阳·期末）用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____．
11．（2019·河南遂平·初二期中）计算： __________.
12．（2020·沭阳县马厂实验学校初一期中）利用因式分解计算：
13．（2019·湖南芷江·初一期末） 把 分解因式．
把 分解因式．
计算:
考点3：利用十字相乘法进行因式分解
典例：（2019·河北涿鹿·期末）阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相
反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子
的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq
型的式子．所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，
如图所示．
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值．
方法或规律点拨本题主要考查了十字相乘法分解因式，读懂题意，理解题中给出的例子是解题的关键.
巩固练习
1．（2020·四川成都实外开学考试）计算结果为a2﹣5a﹣6的是（ ）
A．（a﹣6）（a+1） B．（a﹣2）（a+3） C．（a+6）（a﹣1） D．（a+2）（a﹣3）
2．（2020·湖南鹤城·初一期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式 的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知 ，则 ， 的值是（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（2020·全国初二课时练习）下列各式中，计算结果是 的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·湖南茶陵·初一期末）分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二
次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下
角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）
（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝_____．
6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
= ．
7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
10．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解：
11．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）因式分解
12．（2019·湖南广益实验中学初二月考）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项
式分解因式，对于形如 的关于 ， 的二次三项式来说，方法的关键是将 项系数 分解
成两个因数 ， 的积，即 ，将 项系数 分解成两个因式 ， 的积，即 ，并使
正好等于 项的系数 ，那么可以直接写成结果：例：分解因式：
解：如图1，其中 ， ，而
所以
而对于形如 的关于 ， 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图
2．将 分解成 乘积作为一列， 分解成 乘积作为第二列， 分解成 乘积作为第三列，如果
， ，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中 ， ，
而 ， ，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：① ．② ．
（2）若关于 ， 的二元二次式 可以分解成两个一次因式的积，求 的
值．
13．（2020·全国初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
考点4：利用分组分解法进行因式分解
典例：（2020· 全国初二课时练习）将下列各式因式分解：
（1） ；
（2） ．
方法或规律点拨
本题考查了多项式的因式分解，正确变形、熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2019·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab
﹣bc﹣ac的值为_____．
2．（2020·全国初二课时练习）分解因式： __________.
3．（2020·全国初二课时练习）分解因式： _______．
4．（2020·湖南天元·建宁实验中学初一开学考试）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字
相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就
会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后
提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为： ；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2） 三边a，b，c满足 ，判断 的形状.
5．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）先分解因式，再求值： ，其中 ，
．6．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）分解因式：
7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
8．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
9．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）
考点5：应用因式分解解决问题
典例：（2019·南阳市第三中学月考）阅读材料：若 ，求m、n的值．
解：∵ ，
∴
∴ ，而 ， ，
∴ 且 ，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1) ，则a=______；b=_________．
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足 =0，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它
不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且 ，求△ABC的周长．
方法或规律点拨
考查因式分解的应用，非负数的性质，几个非负数的和为0，则它们都为0.
巩固练习
1．（2019·广西玉林·期末）设 是三角形的三边长，且满足 ，关于此三
角形的形状有以下判断：①是直角三角形； ②是等边三角形； ③是锐角三角形；④是钝角三角形，其中
正确的说法的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若 、 、 为一个三角形的三条边，则
的值（ ）
A．一定为正数 B．一定为负数
C．可能为0 D．可能为正数，也可能为负数
3．（2020·丹阳市珥陵初级中学初一期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4，则当x2﹣2x﹣4＝0时，d的值为
（ ）
A．4 B．8 C．12 D．164．（2020·全国初二课时练习）若 是三角形的三边长，则式子 的值（ ）.
A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．不能确定
5．（2020·全国初二课时练习）若多项式 可因式分解成 ，其中 、 、 均
为整数，则 之值为何？（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·河北河间·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上
述方法就无法分解,如 ,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项
可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式
了,过程为： ，这种分解因式的
方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．
(1)分解因式： ；
(2) ABC三边a、b、c满足 ，判断△ABC的形状．
7．△（2020·山东平阴·初二期末）王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个
有解答过程的例题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即： （m＋n）2＋（n－3）2＝0，
∴m＋n＝0，n－3＝0，
∴m＝－3，n＝3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信
你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若x2－4xy＋5y2 ＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．
8．（2020·山东章丘·初二期末）阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x
＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、后两部分分别分解
因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
x2－4y2－2x＋4y
＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：
（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
9．（2020·渠县崇德实验学校初一期末）在学习整式乘法的拓展知识时，老师让各学习小组先阅读以下材
料：若 ，求 m， n 的值．
解：因为
所以（m²+2mn+n²）+（n²－6n+9）=0 即：（m+n)²+（n－3)²=0
所以 解得 n＝3，m=－3
请你根据以上解题思路，发挥你的聪明才智，解决下列问题：求当 a，b 取何值时，代数式 a²+b²－
2a+4b+8 的值最小，最小值多少．
10．（2020·江阴市祝塘中学初一月考）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公
式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公
因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解．
例如：
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式 ；
（2） 三边a，b，c满足 判断 的形状，并说明理由．
11．（2020·沙坪坝·重庆八中课时练习）若正整数 是4的倍数，那么规定正整数 为“四季数”，例如：
64是4的倍数，所以64是“四季数”．
（1）已知正整数 是任意两个连续偶数的平方差，求证： 是“四季数”；
（2）已知一个两位正整数 （ ，其中 ， 为自然数），将其个位上的数字与十
位上的数字交换，得到新数 ，若 与 的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数 ．
12．（2020·广东高州·期中）下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2-4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2-4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因
式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
13．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；
(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
14．（2020·江苏相城·初一期末）如图1示．用两块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个
新的正方形．
（1）用两种不同的方法计算图1中正方形的面积；
（2）如图2示，用若干块a×b型长方形和a×a型、b×b型正方形硬纸片拼成一个新的长方形，试由图形推
出2a2+3ab+b2因式分解的结果；
（3）请你用拼图等方法推出3a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．
