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单元提升卷 06 解三角形
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知 中， ，则角A的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】由正弦定理结合大边对大角即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得： ，则 ，
解得： ，则 或 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故选：A.
2．在 中，角 所对的边分别为 且 的面积为 ，若 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理结合面积公式可求 .
【详解】因为 的面积为 ，故 ，故 ，
又 ，
故 ，
故选：A.
3．在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ，则角A的
大小为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件结合正、余弦定理求出 即可得解.
【详解】在 中，由正弦定理进行角换边得 ，
再由余弦定理得 ，
而 ，所以 .
故选：D.
4．已知在 中，角A， ， 的对边分别是 ， ， ， ，若
，则 外接圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，根据同角三角函数的关系、正弦定理可得 ，代入余弦定理可求得角A，
根据正弦定理，可求得外接圆半径R，即可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
整理得 ，由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理得 外接圆的直径 ，
所以 外接圆的面积 .
故选：A.
5．已知在 中， ， ， ，若三角形有两解，则 的取值范围是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理即可结合图形关系得 ，即可求解.
【详解】由 ，要使三角形有两解，就是要使以 为圆心，半径为 的圆与 有两个交点，
过 作 ，则 ，
要使以 为圆心，半径为 的圆与 有两个交点，则需要 ，
解得 的取值范围是 ．
故选：B．
6．已知 的内角 的对边分别为 ，下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则符合条件的三角形有2个
C．若 ，则
D．若 ABC的面积 ，则
△
【答案】C
【分析】对于A,利用正弦定理即可求解；
对于B，利用正弦定理及大边对大角即可求解；
对于C，利用已知条件及诱导公式即可求解；
对于D，利用余弦定理及三角形的面积公式,结合同角三角函数的商数关系即可求解.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3【详解】对于A，由 及正弦定理，得 ,所以 ，故A 正确；
对于B，由题意及正弦定理得 ,所以 ,因为 ，所以 ,所以 或
，即符合条件的三角形有2个，故B正确；
对于C，由 ，得 或 ，所以 或 ，所以 或 ，
故C错误；
对于D，由 ，得 ，所以 ，由于 ，所以 ，
故D正确.
故选：C.
7． 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，则
的形状是（ ）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由 利用正弦定理边角互换可得 ，代入 可得 ，然后利用
余弦定理代入 可得 ，然后可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，整理得 ，
又 ，所以 ，
即 ，即 ，
又 ，所以 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，故 为等腰直角三角形.
故选：D
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 48．在锐角三角形 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，则
的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用正余弦定理进行边角互化，从而可得 ，进而求得 ，再把 化为
，结合 即可求解.
【详解】 ，
,
即 ，
， ，
， ，
，
.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 59．已知 的内角 的对边分别为 ，已知 ，锐角C满足 ，则（ ）
A． 的面稘为 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由三角形的面积公式，可判定A错误；由三角函数的基本关系式，可判定B正确，由余弦定理，
可判定C正确，D错误.
【详解】在 中，因为 ，且 ，
由三角形的面积公式，可得 ，所以A错误；
由 为锐角，且 ，可得 ，所以B正确；
由余弦定理得 ，可得 ，所以C正确；
由余弦定理得 ，所以D不正确.
故选：BC.
10．在 中，角 的对边分别是 ，则能确定 为钝角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】选项 ，利用正弦定理化角为边，并结合余弦定理，可得 ；
选项B，由 ，可得 ；
选项C，利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，化简可得 ；
选项D，根据同角三角函数的商数关系，两角和的余弦公式，化简可得 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6【详解】选项 ，由正弦定理及 ，知 ，
由余弦定理得， ，由 ，所以 为钝角，即选项 正确；
选项B， ，则 ，显然 不可能为钝角，即选
项B错误；
选项C，由正弦定理及 ，得 ，
由 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
由 ， ，所以 ，由 ，所以 为钝角，即选项C正确；
选项D，由 ，知 ，
由 ， ，则 ，有
所以 ，即 ，
所以 ，由 ，所以 为钝角，即选项D正确.
故选：ACD.
11．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则（ ）
A．B的最小值为 B．
C． D． 的取值范围为
【答案】BC
【分析】这道题是数列结合三角函数的一道综合题目，由a，b，c成等比数列，则可以求得B的取值范围，
进而对选项进行逐一判断.
【详解】因为a，b，c成等比数列，所以 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7∴ ， ，A错．
对选项B，
，B对．
对于选项C， ，C对．
对于选项D，令 ，则 ，∴b＝aq， ，∴ ，
∴ ，D错．
故选：BC
12．在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动 他位于河东岸，在靠
近河岸不远处有一小湖，他于点 处测得河对岸点 位于点 的南偏西 的方向上，由于受到地势的限
制，他又选了点 ， ， ，使点 ， ， 共线，点 位于点 的正西方向上，点 位于点 的正东方
向上，测得 ， ， ， ，并经过计算得到如下数据，则
其中正确的是（ ）
A． B． 的面积为
C． D．点 在点 的北偏西 方向上
【答案】AC
【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；
对于 ，先求出 ， ， ，再根据 ，
，即可判断；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8对于 ，根据三角形的面积公式求解即可，即可判断；
对于 ，在 中，由正弦定理 ，即可判断；
对于 ，过点 作 于点 ，易知 ，即可判断．
【详解】对于 ，因为 ，点 位于点 的南偏西 的方向上，
所以 ， ， ，
又 ， ， ， ，
在 ， 中， ， ，所以
，故A正确；
对于 ， 的面积为 ，故B错误；
对于 ，在 中，由正弦定理，得 ，解得
，故C正确；
对于 ，过点 作 于点 ，易知 ，所以 ，故D错误，
故选： ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，则 ．
【答案】 / /
【分析】根据已知等量关系，利用余弦定理求得 ，即可确定角的大小.
【详解】由题设 ，而 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9又 ，则 .
故答案为：
14．如图，在 中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足 ，
，则 的大小为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得 ，结合正弦定理与、三角形内角和定理与两角和差余弦公式即可求得
，从而得 的大小.
【详解】因为BD的垂直平分线过点A，所以 ，则 ，所以 ．
又因为在 中， ， ，所以 ．
在 中，由正弦定理，得 ，所以 ,
因为 ，所以 为锐角，所以 ，
则 ，
又 ，所以 ．
故答案为： .
15．已知△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 ，若△ABC的面积为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由三角形面积公式，由已知条件结合余弦定理可得 ，然后由正余弦的平方和为1，
可求得 ，从而可求得 ，则可得 ， ，则利用三角函数恒等变换公式和正弦
函数的性质可求得其范围.
【详解】∵ ，∴ ，
∵ ，由余弦定理可得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∵ ，∴ ， .
所以
，
∵ ，∴ ，∴ .
因此， .
故答案为：
16．已知 的三个角 ， ， 所对的边为 ， ， ，若 ， 为边 上一点，且
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11， ，则 面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】设 ，则 ，利用面积关系 可以得到
，从而求得 ；再利用面积关系 可以得到 ，再利用基本
不等式求出 的取值范围，再根据面积公式计算可得.
【详解】设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，化简得 ，即 ，
又 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 面积的最小值为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在 中，角 的对边分别为 .
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换化简已知条件，从而求得 .
（2）利用三角形的面积求得 ，进而求得 ，根据余弦定理求得 ，从而求得 的周长.
【详解】（1）由 得，
，
，
由正弦定理得 ，
，
.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13（2） 的面积为 ，即 ，得 ，
，
，
，
由余弦定理可得 ，
，
三角形的周长为 .
18．在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，且 .
(1)当 ， 时，求 ， 的值；
(2)若角 为锐角，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ， 或 ，
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化为边，再结合已知条件，解方程组，解得即可；
（2）结合余弦定理与 ，解不等式即可．
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
因为 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ， 或 ， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14（2）由（1）知 ，且 ，
由余弦定理得 ，
因为 为锐角，所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
故实数 的取值范围为 ．
19．在① ；② ；③向量 与
平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知 内角A，
B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______.
(1)求角C；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）先选择条件，再根据三角形的正、余弦定理，求出角C；
（2）根据题（1）在结合余弦定理以及三角形的三边关系，得出b的范围，进而求出 面积的取值范
围.
【详解】（1）若选择①：由①及正弦定理可得 ，即 ，
由余弦定理得 ，又 ，
∴ .
若选择②：由②及正弦定理得 ， 所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15即 ，由 ，
∴ ，又 ，
故 .
若选择③：由③可得 ，∴ ，
∴ ，又 ， .
（2）由已知及余弦定理可得 ，
由 为锐角三角形可得 且 ，
解得 ，
所以 面积 .
20．某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东 方向20 n mile处的D点出现可疑船只，因天气恶
劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位
于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西 方向60 n mile处的E点，并
识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30 n mile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速
度大小为30 n mile/h．（假设所有船只均保持匀速直线航行）
(1)求走私船的速度大小；
(2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．
【答案】(1) n mile/h
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16(2)缉私船沿北偏西 方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．
【分析】（1）利用余弦定理即可求解；
（2）设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为t，利用余弦定理即可求解．
【详解】（1） 点位于 哨所北偏东 方向 n mile处，
点位于 哨所北偏西 方向 n mile处，
，
，
n mile/h，
走私船的速度大小为 n mile/h.
（2）设在 点处截获走私船，截获走私船所需时间为 ，
，
，
， ，
走私船速度为 n mile/h，缉私船速度为 n mile/h，
，
在 中，根据余弦定理， ，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17化简得 ， (舍去)，或 ，
此时 ， ，
缉私船沿北偏西 方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．
21．如图，在 中，已知 ， ， .Q为BC的中点.
(1)求AQ的长；
(2)P是线段AC上的一点，当AP为何值时， .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：根据 ，两边平方求解；
解法二：利用 ，再结合余弦定理求解
（2）在 中，先根据余弦定理求得 ，再在 中，由余弦定理得 的正余弦，进而根
据内角和 ，结合两角和差的正弦公式求解 ，最后再在 中，由
正弦定理求得 即可
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18【详解】（1）解法一：因为Q为BC的中点，所以
所以 ，即
解法二：在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，即
在 中，根据余弦定理得
在 中，根据余弦定理得
因为 ，所以
解得 .
（2）在 中，由余弦定理得 .
所以 ，即
在 中，由余弦定理得
所以 ，
因为 ，
所以 .
在 中，由正弦定理 得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19所以 ，即当 时， .
22．记 的内角 的对边分别为 的面积 .
(1)若 ，求 ；
(2)已知 为 上一点，从下列两个条件中任选一个作为已知，求线段 长度的最大值.
① 为 的平分线；② 为边 上的中线.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）根据题意，由余弦定理和三角形的面积公式即可得到 ，再由正弦定理即可得到结果；
（2）若选①，由余弦定理结合基本不等式即可得到结果；若选②，由 ，再结合余弦定理与
基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）因为 ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
由三角形的面积公式可得 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 .
因为 ，所以 为锐角， ，
所以
，
由正弦定理得 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20所以 .
（2）选择条件①：
在 中由余弦定理得 ，即 ，
即 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 .
选择条件②：
由点 为 的中点得 ，
平方得 ，
在 中由余弦定理得 ，
即 ，所以 .
当且仅当 时等号成立，
故有
，
从而 ，故 的最大值为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21
