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第二十四章 圆
思维导图
【类型覆盖】
类型一、点、直线与圆的位置关系
【解惑】已知 的直径为 ，若点 到圆心O的距离为 ，则点 （ ）
A．在 内 B．在 上 C．在 外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆的半径的大小．
先根据圆的直径求出半径；再比较点到圆心的距离与半径的大小；最后根据点与圆的位置关系判定点的位
置．
【详解】解：已知 的直径为 ，则半径为 ．
点A到圆心O的距离为 ，因为 ，所以点A在 外．
故选：C．
【融会贯通】
1．若 的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，比较圆心到直线的距离与圆半径的大小，确定直线与圆的位
置关系，再结合图形进行判断．本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆位置关系的判定
方法是解题的关键．
【详解】解： 圆 半径 ，圆心到直线的距离 ，
．
当 时，直线与圆相交，
这条直线与圆 相交，结合图形可知是 ．
故选：B．
2．在 中， ， ， ，以点 为圆心， 为半径的 与 的位置
关系是 ．
【答案】相交
【分析】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．根据勾
股定理可知 ．作 于 点，则 的长表示圆心 到 的距离．根据等积法求出 的
长，与半径比较大小后判断．
【详解】解：如图，作 于 点．
， ， ，
， ，即 ，
，
，
与 的位置关系是相交，
故答案为：相交．3．如图，在 中， ，点O在 上（不与点A，B重合），且
的半径为1．分别求出当 与 相离、相切和相交时 的取值范围．
【答案】当 与 相离时， ；当 与 相切时， ；当 与 相交时， ．
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，含 角的直角三角形，关键是掌握直线与圆的位置关系的判定
方法．
判断直线和圆的位置关系：设 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，直线 和 相交 ；直
线 和 相切 ；直线 和 相离 ,由此即可解决问题．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ．
，
．
．
①当 与 相离时，有 ，即 ，解得 ．
又 点O在 上（不与点 重合）， ， ；
②当 与 相切时，有 ，即 ，解得 ；③当 与 相交时，有 ，即 ，解得 ．
又 ．
综上所述，当 与 相离时， ；
当 与 相切时， ；
当 与 相交时， ．
类型二、弧、弦、圆心角关系
【解惑】如图，已知 和 是 的两条等弦， ， ，垂足分别为 ， ， ，
的延长线交于点 ，连接 ，下列四个说法中： ， ， ，
，正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质等知识，连接 ，
根据圆心角、弧、弦的关系得 ，再证明 ， 即可求解，解题
的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
【详解】解：连接 、 ，
∵ ，∴ ，故 正确；
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，故 正确；
∵ ，
∴ ，故 正确，
综上 正确，共4个，
故选：D．
【融会贯通】
1．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（ ）
A． ∵ ，∴
B． ∵ ，∴
C． ∵ 的度数为 ，∴D． ∵ ，∴
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆
的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答．
【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则 ，故A选项错误，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意；
C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则 ，故C选项错误，不符合题意；
D、因为 不是圆心角，则 ，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．如图， 是 的直径， ， ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，再利用平角的定义得到 的度数，
然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
而 为直径，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
3．如图，在 中，半径 分别交弦 于点E，F，且 ．(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键
（1）过O作 于M，连接 、 ，利用等腰三角形三线合一证明 ， ，则问
题可证；
（2）利用等腰三角形三线合一，可证明 ， ，进行角的组合可证明
，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证 ．
【详解】（1）证明：过O作 于M，连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
．
类型三、垂径定理
【解惑】如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为E．若 ， ，则的长为（ ）
A．6 B．16 C．8 D．12
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理，得到 ，勾股定理求出 的长，即可
得出结果．
【详解】解：∵ 是 的直径，且 ，
∴ ，
∵
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
故选：B．
【融会贯通】
1．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽 ，则排水管水面高为（ ）
A．3 B．8 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，由题意知 ，交 于点C，由垂径定理可得出 的长，在 中，根据勾股定理求出 的长，由 即可得出结论．
【详解】解：连接 ，
由题意知 ，交 于点C，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
2．如图， 是 的直径，点 ， 在 上， ， ，垂足分别为点 ．
若 ，则 的长为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌
握以上性质，并灵活应用．
利用垂径定理得出， ，证明 ，得出 ，假设 半径为 ，则
， ，利用勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
假设 半径为 ，则 ， ，
由勾股定理得， ，
即 ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：9．
3．圆弧形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，彰显中国元素的韵味．如图， 是拱门外轮廓所
在的圆，其圆心为 ，半径为 ，拱门最下端的弦 （ 在地面上）宽 ．
(1)尺规作图：在图的 上，作出拱门的最高点 （保留作图痕迹，不写作图过程）；
(2)求（1）中所作的最高点 到地面 的距离；
(3)现要往房间内搬进一个直径为 的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知两名工人在搬运桌面时所抬高
度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人需将桌面至少抬高多少米，才能使圆桌面通过拱门？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)抬高 米
【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，圆的垂径定理，勾股定理等内容，解题的关键是掌握以上性质．
（1）过圆心作弦 的垂线，与圆的交点即为最高点；
（2）设 与 交于点 ，连接 ，然后利用勾股定理即可求解；（3）设弦 ，且 于点 ，连接 ，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，点 即为所求；
（2）解：如图，设 与 交于点 ，连接 ，
，
，
在 中， ，
，
，
最高点 到地面 的距离为 ；
（3）解：如图，设弦 ，且 于点 ，连接 ，，
，
，
，
工人需将桌面至少抬高 ，才能使圆桌面通过拱门．
类型四、圆的计算(扇形、圆锥)
【解惑】已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 、半径为4的扇形，则这个圆锥的全面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆锥的计算：设圆锥的底面圆的半径为r，利用弧长公式得到 ，解得
，然后计算底面积与侧面积的和即可．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得 ，
解得 ，
所以这个圆锥的全面积 ．
故选：D．
【融会贯通】
1．“打陀螺”是人们喜爱的一项运动，如图所示是一个陀螺的结构图．已知底面圆的直径 ，圆柱体部分的高 ，圆锥体部分的高 ，那么这个陀螺的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆柱和圆锥的计算，勾股定理等知识，根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆的
面积公式，扇形面积公式，矩形面积公式求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理可得：
圆锥的母线长为： ，
∴陀螺的表面积为： ，
故选：D．
2．若圆锥的底面直径为10，母线长是20，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 °．
【答案】90
【分析】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本
题的关键，理解圆锥的母线是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：∵圆锥的底面直径为10，
∴圆锥的底面周长是 ，
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数是 ，
则 ，
解得 ，
这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ．
故答案为： ．
3．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点 ，请在网格
图中进行如下操作：(1)若该圆弧所在圆的圆心为 ，则 点坐标为___________；
(2)连接 、 ，则 的半径长为___________（结果保留根号）， 的度数为___________．
(3)若扇形 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为___________．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2) ；
(3)
【分析】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面积公式、正确理解圆锥的侧面展开
图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得出D点位置，结合图形得到点D的坐标；
（2）利用点的坐标结合勾股定理得出 的半径长，根据勾股定理的逆定理得出 的度数；
（3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．
【详解】（1）解：分别作 、 的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，由图形可知，点D的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）解：圆D的半径长 ，
，
∴
，
则 ，
∴ ，
故答案为： ； ；
（3）解：圆锥的底面圆的周长 ．
类型五、圆周角定理
【解惑】如图， 内接于 ， 是 的直径，连接 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
根据同弧所对的圆周角相等，然后即可求解；
【详解】解：∵ ，
∴ ；
故选：A；【融会贯通】
1．如图在 中，弦 、 相交于点P．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查圆周角，三角形外角的性质．根据题意可得 ，然后根据三角形外角
的性质可求解 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：A．
2．如图，直线 ， 为 的两条直径，点E 在 上，连接 ，点 C 为 的中点，若
，则 °．
【答案】25
【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
连接 ， ，根据等弧所对圆周角等于所对圆心角的一半，求得 ，再根据同弧所对圆周角
相等求解即可．
【详解】解：连接 ， ，如图，∵点 C 为 的中点，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：25．
3．如图，已知 ， 是 的直径，弦 于点E．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)4
(2)
【分析】此题考查垂径定理的应用，圆周角定理：
（1）根据垂径定理得到 ，再根据勾股定理求出 ，即可得到 的值；
（2）根据圆周角定理得到 ，再结合为 ， ，得 ，
即可求出 的度数．【详解】（1）解：因为弦 ， ，
所以 ，
在 中， ，根据勾股定理 ，
∵ ，
∴ ；
（2）因为 与 所对的弧都是 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，则 ．
类型六、三角形的外接圆与内切圆
【解惑】如图，点 是 的外心，也是 的内心．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查圆周角定理、三角形内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所对圆周角等于
它所对圆心角的一半是解题关键．连接 、 ，由圆周角定理可得 由三角形的内角和可得，
，根据点 是 的内心可得， ，再根据三角形内角和定理
即可求解．
【详解】解：如图，连接 、 ，
点 是 的外心， ，．
，
．
点 是 的内心，
， ．
．
，
故选：B．
【融会贯通】
1．我们将一个三角形内切圆的半径 与外接圆的半径 的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形
底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了新定义，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，解
题的关键是求出内切圆和外接圆的半径．
本题需计算等腰三角形的内切圆半径 与外接圆半径 的比值，通过勾股定理求高，进而计算面积，分别
求出两个半径，最后求比值．
【详解】解：如图所示， 为等腰 底边 上的高，点 为三角形的外心，
∴ ，
由三线合一和勾股定理得， ，
，
由勾股定理得 ，解得 ，
如图，点 为 的内心，
，
∴ ，
∴
故选：B．
2．已知 两直角边的长分别为 和 ，则其内心与外心的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的内心与外心，勾股定理，得出三角形的内心与外心的位置是解题的关键．先根
据题意画出图形， 的内心是三角形角平分线的交点 ，外心是斜边的中点 ，求出
，根据面积法求出 ，进而得出 ，在求出
，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：如图所示： 的内心是三角形角平分线的交点 ，外心是斜边的中点 ，设 ， ，
，
的内心是三角形角平分线的交点 ，外心是斜边的中点 ，
，
根据三角形的面积可得： ，
，即 ，
，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
，
，
，
，
内心与外心的距离为 ，
故答案为： ．
3．如图，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点D．
(1)求证： ；(2)求证： ；
(3)连接 、 ，求证：点D是 的外心．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形内心的定义得 ，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；
（2）连接 ，证出 即可得证；
（3）连接 ， ， ，证出 即可得证．
【详解】（1）证明： 点I是 的内心，
平分 ，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接 ，
点I是 的内心，
平分 ， 平分 ，
，
又 ，
，
， ，
，
．
（3）证明：如图，连接 ， ， ，，
．
，
∴点D是 的外心．
【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌
握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.
类型七、正多边形与圆
【解惑】若一个圆内接正多边形的中心角是 ，则这个多边形是（ ）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形
【答案】B
【分析】本题考查圆内接正多边形，根据圆内接正 边形的中心角的度数为 ，进行求解即可．
【详解】解： ，
故这个多边形为正九边形；
故选：B．
【融会贯通】
1．如图，正六边形 F内接于 ，连接 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，连接 ， ，根据中
心角的定义求出 ，进而求出 ，然后根据等边对等角和三角形的内角和定
理求解即可．
【详解】解∶连接 ， ，
∵正六边形 F内接于 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
故选∶C．
2．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌
了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形
的周长约 ，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接 与 交于点 ，证明
为等边三角形，从而 即可得到答案，正确把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 与 交于点 ，
∵ 为正六边形，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵正六边形 的周长约为 ，
∴ ，
∴ ，
∴该正六边形的外接圆半径长为 ，
故答案为：20．
3．【问题情境】如图①，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是
小正方形面积的几倍？
【思路梳理】
（1）如图②，将小正方形绕圆心旋转 ，可以发现大正方形面积是小正方形面积的______倍．由此可见，图形
变化是解决问题的有效策略；
【初步探究】
（2）如图③，一个对角线互相垂直的四边形，四边 ， ， ， 之间存在某种数量关系．若按图③所示步
骤进行操作，并将最终图形抽象成图④，请你结合整个变化过程，直接写出图④中以矩形内一点 为端点
的四条线段之间的数量关系： ______；【探究应用】
（3）如图⑤，在四边形 中，对角线 ，若 ， ，求 的最小值．
【答案】（1）2；（2） ；（3） 的最小值为10．
【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；
（2）如图，由 ，证明 ，再结合图形变换可得答案；
（3）如图，将 沿 方向平移至 ，使点 与点重合，四边形 是矩形，求得
，再进一步解答即可．
【详解】解：（1）如图，
∵正方形 ， 及圆为正方形 的内切圆，为正方形 的外接正方形，
∴设 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．
故答案为：2；
（2）如图，∵ ，∴ ， ，
， ，
∴ ，
如图，
结合图形变换可得： ；
故答案为： ；
（3）如图，将 沿 方向平移至 ，使点 与点重合，
由平移的性质知： ， ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ 的最小值为10．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
类型八、求不规则图形的面积
【解惑】如图，C是以 为直径的半圆上一点，过B，C两点作 与弦 相切．已知 ，
，则阴影部分的面积为（ ）
1 5 1 5 1
A．2❑√3− π B． ❑√3−π C．❑√3− π D． ❑√3− π
2 4 2 4 2
【答案】D
【分析】设 与 交于点D， 的圆心为O，连接 ，利用圆周角定理和圆的切线的性质得到
经过圆心O，利用含 角的直角三角形的性质和勾股定理求得 ，再利用阴影部分的面积
=S +S −S 解答即可得出结论．
△ACD △OCD 扇形OCD
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，扇形与三角形的面积，直角三角形的
性质，勾股定理，含 角的直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
【详解】解：设 与 交于点D， 的圆心为O，连接 ，如图，
为半圆的直径，
，
，
过B，C两点作 与弦 相切，
经过圆心O，
即 为直径，
，
，1
∴AC= AB=2， ， ，
2
∵BC=❑√AB2−AC2=2❑√3，
∴OC=OB=CD=❑√3，
∴AD=❑√AC2−CD2=1，
∴BD=AB−AD=3，
，
1 1 1 3❑√3
∴S = S = × ×3×❑√3= ，
△ODC 2 △BCD 2 2 4
阴影部分的面积=S +S −S
△ACD △OCD 扇形OCD
1 3❑√3 60π×(❑√3) 2
= ×1×❑√3+ −
2 4 360
5❑√3 1
= − π.
4 2
故选：D
【融会贯通】
1．如图，小亮在学习圆内接正多边形的知识后，利用尺规作图得到了 的八等分点，连接其中的六个顶
点得到圆内接六边形ACDEGH．若 的半径为3、则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了多边形和圆，垂径定理，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，中心对称图
形的性质，不规则图形的面积，解决本题的关键是掌握多边形和圆的性质．连接AG,CE,OA,CG,OH，易证四边形 是正方形，求出AG=❑√OA2+OG2=3❑√2，由题意证明OH⊥AG，求出四边形
AOGH的面积， 的面积，进而得到四边形 的面积，再根据六边形ACDEGH是中心对称图
形，求出六边形ACDEGH的面积，用圆的面积减去六边形ACDEGH的面积即可得到图中阴影部分的面
积．
【详解】解：如图，连接AG,CE,OA,CG,OH，
⏜ ⏜ ⏜ ⏜
由题意得 AG=AC=GE=CE ，即AG=AC=≥=CE，
，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 是 的直径，
∴ 点过 ，且为 中点，
∴∠AOG=∠AOC=90°，
∵ 的半径为3，
∴AG=❑√OA2+OG2=3❑√2，
⏜ ⏜
∵AH=HG ，
∴OH⊥AG，
1 1 9❑√2
∴四边形AOGH的面积为 AG·OH= ×3❑√2×3= ，
2 2 2
1 1 9
∵ 的面积为 OA·OC= ×3×3= ，
2 2 2
9 9❑√2 9+9❑√2
∴四边形 的面积为 + = ，
2 2 2
∵六边形ACDEGH是中心对称图形，9+9❑√2
∴六边形ACDEGH的面积为2× =9+9❑√2，
2
∴图中阴影部分的面积为π×32−(9+9❑√2)=9π−9−9❑√2．
故选：A．
2．如图，正方形 内接于 ，点E为 上一点，连接 ，若 ， ，则阴影部
分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接 ，由正方形 内接于 ，得 ， ，
由 ，求得 ，因为 ，所以 ，则 是等边三
角形，所以 ，作 于点I，则 ，求得 ，由 ＝ 求得
阴影
，于是得到问题的答案．
阴影
【详解】连接 ，则 ，
正方形 内接于 ， ，
， ，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
作 于点I，则 ， ，
，
∴ 阴影 ＝ ，
故答案为：
【点睛】此题重点考查正多边形和圆、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定
与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
3．如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 为 上一点，经过 ， 的
分别交 、 于点 、 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 ）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，则 ，利用等腰三角形的性质和角平分线证明 ，则 ，
得到 ，又由 是 的半径，即可得到结论；
（2）利用直角三角形的性质推出 ， ，结合勾股定理求出 ，由
计算即可．【详解】（1）证明：如图，连接 ，则 ，
，
是 的平分线，
，
，
∴ ，
，
∴ ，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理，扇形面积公式，含30度角的直角三角形的性
质等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
类型九、圆的切线证明
【解惑】如图，在 中， ，以 边为直径作 交 于点 ，连接 并延长交
的延长线于点 ，点 为 的中点，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为2， ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性
质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）连接 ．由“直径所对的圆周角等于90度”可得 ，由“直角三角形中斜边上的中线等于
斜边的一半”可得 ，进而可得 ，再由 ，可得 ，可证
，即可证明；
（2）先根据三角形外角定理可得 ，进而可得 ，则 ，进而可
得 ．在 中，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
为 的直径，
，
，
点 为 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
又 为 的半径，
是 的切线；（2）解： ， ，
，
，
，
，
，
，
的半径为2，
，
，
在 中， ，
，
由勾股定理得， ，
即 ，
解得： ．
【融会贯通】
1．如图，以 的边 为直径的 与边 相交于点D， ，过点D作 于点H．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， 的直径为8，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）连接 ，由三角形中位线定理可得 ，结合题意可得 ，即可得证；
（2）过点O作 于点E，证明 为等腰直角三角形．结合勾股定理求出 ，证明四边
形 为矩形，即可得解．
【详解】（1）证明：连接 ，如图：
为 的中位线，
∴ ，
，
∴ ，
为 的半径，
为 的切线；
（2）解：过点O作 于点E，如图．
，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形．
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定定理、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与
性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
2．如图，在 中， ， ，点D在 边上， 经过点A和点B且与 边相交于
点E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定定理以及等边三角形的判定和性质．
（1）由 可得 为等腰三角形，再由圆的半径相等可得 为等腰三角形，即
，由 可求解 的度数，由切线定理即可证明．
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可求解 ，即得 为等边三角形，
再由边相等即可求解圆的半径．
【详解】（1）证明：连接 ，
因为在 中， ，
所以 为等腰三角形，
又 ，
所以 ，
又因为在 中， ，所以 为等腰三角形，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
所以 是 的切线．
（2）解：连接 ，
由（1）知 ，
所以 ，
又因为在 中， ，
所以 为等边三角形，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 为等腰三角形，
所以 ，
所以 ，
所以 的半径为 ．
3．如图， ， ， ， 是 上的四点， 是直径， ，过点 作 交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】（1）通过连接辅助线 并延长交 于 ，利用圆中弦、角的关系（等弦对等圆心角、等
腰三角形性质、三角形内角和 ），结合中位线平行关系及切线判定定理（半径垂直于直线则直线为切
线 ）来证明 是切线；
（2）依据（1）中得到的垂直、矩形关系，借助勾股定理，设半径列方程求解．
【详解】（1）证明：连接 ，并延长交 于 ．
，
∴∠AOB=∠BOD，
，
， ，
∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=∠ODB+∠OBD+∠BOD=180°，
∴∠OAB=∠OBA=∠OBD=∠ODB，
，
， ，，
∴OM∥CD，
∴∠OBE+∠E=180°，
又 ，
∴∠OBE=180°−∠E=180°−90°=90°，
是 的半径．，
是 的切线；
（2）解：由（1）得 ， ， ．
四边形 是矩形，
∴DM=AM=BE=3，
在 中， ，
∴BM=❑√AB2−AM2=❑√(3❑√6) 2−32=3❑√5，
，
∴OA+OM=BM=3❑√5，即 OM=3❑√5−OA，
在 中， ，
∴OA2=OM2+AM2 即 OA2=(3❑√5−OA) 2+32，
9❑√5
解得 的半径 OA= ．
5
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质（等弦对等圆心角、等腰三角形性质 ）、三角形中位线定理、切
线的判定定理、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握圆的性质、切线判定及勾股定理建立方
程求解是解题的关键．
类型十、尺规作图
【解惑】如图，已知弧上的三点 、 、 ，要把破残的圆片补充完整．
(1)尺规作图，找出弧 所在圆的圆心 （保留作图痕迹，不写作法）；(2)设 是等腰三角形，底边 ，腰 ，求圆片的半径 ．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查圆的确定，中垂线的判定，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法，是解题的关键：
（1）分别作 、 的垂直平分线，设交点为 ，则 为所求圆的圆心；
（2）连接 交 于点 ，连接 ，推出 垂直平分 ，勾股定理求出 的长，在 中，
利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：分别作 、 的垂直平分线，设交点为 ，则 为所求圆的圆心．
（2）解：连接 交 于点 ，连接 ，则： ，
∵ 是等腰三角形，底边 ，腰 ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： ．
【融会贯通】
1．如图，圆内有一点M，弦 与点M分别位于圆心的异侧．(1)尺规作图：作过点M的弦 ，使得 不写作法，保留作图痕迹 ；
(2)在（1）中，若该圆的半径为6， ，CD=8❑√2，求圆被弦 与 所夹的面积．
【答案】(1)见解析
(2)9π+16❑√2
【分析】（1）延长 交 于F点，再作∠FMD=∠MAB交 于E点，然后延长 交 于D点，
则 满足条件；
（2）过O点作OQ⊥DC于Q点， 于P点，连接 ，根据垂径定理得到 ，
AP=BP=2，再利用勾股定理计算出 ，所以 ，于是可判断Rt△OAP≌Rt△OCQ，然后
证明 ，同理可得 ，然后根据扇形的面积公式，利用该圆位于 与 之间的图形
的面积=S +S +S +S 进行计算即可．
扇 形BOE扇 形AOD△AOB △DOE
本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质
把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质、垂径定理和全等三角形的判定与
性质．
【详解】（1）解：如图1， 为所求；
（2）解：如图2，过O点作 于Q点， 于P点，连接 ，1 1
则CQ=DQ= CD=4❑√2，AP=BP= AB=2，
2 2
在 中，OP=❑√OA2−AP2=❑√62−22=4❑√2，
∴OP=CQ，
在 和 中，
¿，
∴Rt△OAP≌Rt△OCQ(HL)，
∴∠AOP=∠OCQ，OQ=AP=2，
∵∠OCQ+∠COQ=90∘，
∴∠AOP+∠COQ=90∘，
，
同理 ，
该圆位于 与 之间的图形的面积
90π×62 1 1
=S +S +S +S =2× + ×4×4❑√2+ ×2×8❑√2=9π+16❑√2.
扇 形BOD扇 形AOC△AOB △DOC 360 2 2
2．有一破损的水管，截面如图．
(1)请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若水管直径 ，水面宽度 ，求最大水深和弧 的长．
【答案】(1)见解析(2)最大水深为 ，弧 的长为
【分析】本题考查作图-复杂作图，垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理及弧长公式，熟练掌握
相关知识点是解题关键．
（1）作 的垂直平分线，交截面图于 ，交 于 ，连接 ，作 的垂直平分线，交 于 ，以
点 为圆心， 为半径画圆， 即为所求；
（2）根据垂径定理得出 ， ，利用勾股定理求出 ，即可得出最大水深
的长，进而证明 是等边三角形， ，利用弧长公式即可得弧 的长．
【详解】（1）解：如图，作 的垂直平分线，交截面图于 ，交 于 ，连接 ，作 的垂直平分
线，交 于 ，以点 为圆心， 为半径画圆， 即为所求．
（2）解：如（1）中图，连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴最大水深 ，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，即 是等边三角形，
∴ ， ，
∴弧 的长 ．
3．如图，AB为 的直径，C，D为 上两点， ．(1)尺规作图：作 ，交 的延长线于点E（保留作图痕迹，不用写作图步骤）；
(2)求证： 是 的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—基本作图，切线的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键．
（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接 ，则 ，根据平行线的判定定理得到 ，求得 ，根据切线的判
定定理即可．
【详解】（1）解：如图，CE即为所求；
（2）证明：如图，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
