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第二十四章 圆
思维导图
【类型覆盖】
类型一、点、直线与圆的位置关系
【解惑】已知 的直径为 ，若点 到圆心O的距离为 ，则点 （ ）
A．在 内 B．在 上 C．在 外 D．无法确定
【融会贯通】
1．若 的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（ ）
A． B． C． D．
2．在 中， ， ， ，以点 为圆心， 为半径的 与 的位置关系是 ．
3．如图，在 中， ，点O在 上（不与点A，B重合），且
的半径为1．分别求出当 与 相离、相切和相交时 的取值范围．
类型二、弧、弦、圆心角关系
【解惑】如图，已知 和 是 的两条等弦， ， ，垂足分别为 ， ， ，
的延长线交于点 ，连接 ，下列四个说法中： ， ， ，
，正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【融会贯通】
1．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（ ）
A． ∵ ，∴
B． ∵ ，∴C． ∵ 的度数为 ，∴
D． ∵ ，∴
2．如图， 是 的直径， ， ，则 的度数为 ．
3．如图，在 中，半径 分别交弦 于点E，F，且 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
类型三、垂径定理
【解惑】如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为E．若 ， ，则
的长为（ ）A．6 B．16 C．8 D．12
【融会贯通】
1．如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽 ，则排水管水面高为（ ）
A．3 B．8 C．2 D．
2．如图， 是 的直径，点 ， 在 上， ， ，垂足分别为点
．若 ，则 的长为 ．
3．圆弧形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，彰显中国元素的韵味．如图， 是拱门外轮廓所
在的圆，其圆心为 ，半径为 ，拱门最下端的弦 （ 在地面上）宽 ．
(1)尺规作图：在图的 上，作出拱门的最高点 （保留作图痕迹，不写作图过程）；
(2)求（1）中所作的最高点 到地面 的距离；
(3)现要往房间内搬进一个直径为 的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知两名工人在搬运桌面时所抬
高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人需将桌面至少抬高多少米，才能使圆桌面通过拱门？
类型四、圆的计算(扇形、圆锥)
【解惑】已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 、半径为4的扇形，则这个圆锥的全面积为（ ）A． B． C． D．
【融会贯通】
1．“打陀螺”是人们喜爱的一项运动，如图所示是一个陀螺的结构图．已知底面圆的直径 ，圆
柱体部分的高 ，圆锥体部分的高 ，那么这个陀螺的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．若圆锥的底面直径为10，母线长是20，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 °．
3．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点 ，请在网
格图中进行如下操作：
(1)若该圆弧所在圆的圆心为 ，则 点坐标为___________；
(2)连接 、 ，则 的半径长为___________（结果保留根号）， 的度数为___________．
(3)若扇形 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为___________．（结果保留根号）
类型五、圆周角定理
【解惑】如图， 内接于 ， 是 的直径，连接 ， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【融会贯通】
1．如图在 中，弦 、 相交于点P．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线 ， 为 的两条直径，点E 在 上，连接 ，点 C 为 的中点，若
，则 °．
3．如图，已知 ， 是 的直径，弦 于点E．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ，求 的度数．类型六、三角形的外接圆与内切圆
【解惑】如图，点 是 的外心，也是 的内心．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．我们将一个三角形内切圆的半径 与外接圆的半径 的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形
底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 两直角边的长分别为 和 ，则其内心与外心的距离为 ．
3．如图，I是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点D．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)连接 、 ，求证：点D是 的外心．
类型七、正多边形与圆
【解惑】若一个圆内接正多边形的中心角是 ，则这个多边形是（ ）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形
【融会贯通】
1．如图，正六边形 F内接于 ，连接 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中
间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形
的周长约 ，则该正六边形铁块的外接圆的半径为 ．
3．【问题情境】如图①，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积
是小正方形面积的几倍？
【思路梳理】
（1）如图②，将小正方形绕圆心旋转 ，可以发现大正方形面积是小正方形面积的______倍．由此可见，
图形变化是解决问题的有效策略；
【初步探究】
（2）如图③，一个对角线互相垂直的四边形，四边 ， ， ， 之间存在某种数量关系．若按图③所示
步骤进行操作，并将最终图形抽象成图④，请你结合整个变化过程，直接写出图④中以矩形内一点 为端
点的四条线段之间的数量关系： ______；【探究应用】
（3）如图⑤，在四边形 中，对角线 ，若 ， ，求 的最小值．
类型八、求不规则图形的面积
【解惑】如图，C是以 为直径的半圆上一点，过B，C两点作 与弦 相切．已知 ，
，则阴影部分的面积为（ ）
1 5 1 5 1
A．2❑√3− π B． ❑√3−π C．❑√3− π D． ❑√3− π
2 4 2 4 2
【融会贯通】
1．如图，小亮在学习圆内接正多边形的知识后，利用尺规作图得到了 的八等分点，连接其中的六个顶
点得到圆内接六边形ACDEGH．若 的半径为3、则图中阴影部分的面积为（ ）A． B．
C． D．
2．如图，正方形 内接于 ，点E为 上一点，连接 ，若 ， ，则阴影
部分的面积为 ．
3．如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 为 上一点，经过 ， 的
分别交 、 于点 、 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 ）．
类型九、圆的切线证明
【解惑】如图，在 中， ，以 边为直径作 交 于点 ，连接 并延长交
的延长线于点 ，点 为 的中点，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为2， ，求 的长．【融会贯通】
1．如图，以 的边 为直径的 与边 相交于点D， ，过点D作 于点H．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ， 的直径为8，求 的长．
2．如图，在 中， ， ，点D在 边上， 经过点A和点B且与 边相交
于点E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的半径．
3．如图， ， ， ， 是 上的四点， 是直径， ，过点 作 交 的延长线于
点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．类型十、尺规作图
【解惑】如图，已知弧上的三点 、 、 ，要把破残的圆片补充完整．
(1)尺规作图，找出弧 所在圆的圆心 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)设 是等腰三角形，底边 ，腰 ，求圆片的半径 ．
【融会贯通】
1．如图，圆内有一点M，弦 与点M分别位于圆心的异侧．
(1)尺规作图：作过点M的弦 ，使得 不写作法，保留作图痕迹 ；
(2)在（1）中，若该圆的半径为6， ，CD=8❑√2，求圆被弦 与 所夹的面积．
2．有一破损的水管，截面如图．
(1)请用直尺和圆规补全这个图（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若水管直径 ，水面宽度 ，求最大水深和弧 的长．
3．如图，AB为 的直径，C，D为 上两点， ．(1)尺规作图：作 ，交 的延长线于点E（保留作图痕迹，不用写作图步骤）；
(2)求证： 是 的切线．
