文档内容
第二十四章 圆1. 熟练掌握二次函数全章知识点；
教学目标
2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；
1. 重点
（1）圆的有关性质；
教学重难点
（2）切线的性质与判定；
（3）弧长与扇形的有关计算。2. 难点
（1）圆的有关性质的应用；
（2）切线的判定与性质综合；
（3）圆的综合题。
考点01 圆及其相关概念
1. 圆的定义：
静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。定点是圆心，定长是圆的
半径。
动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图
形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA的长叫做半径。以O点为圆心的圆，记作⊙O，读作圆
O。
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
2. 圆的有关概念：
(1) 弦的概念：
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
(2) 直径：
过圆心的弦叫做直径。
(3) 弧：
圆上任意两点之间的部分叫做弧。它包含半圆、优弧、劣弧。
① 半圆：直径的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做半圆。
② 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。表示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字
母。若只有两个字母默认为劣弧。
③ 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
(4) 等圆：
能够重合的两个圆或半径相等的两个圆叫做等圆。
(5) 等弧：
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
考点02 垂径定理及其推论
1. 垂径定理的内容：
垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的优弧和劣弧。注意：垂直于弦的直径不一定非要是直径，只要是过圆心即可。
在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们与直径构成勾股定理。
半径2 =弦心距2 +半弦长2 OC2 =OE2 +CE2
即： （ ）
2. 垂直定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
考点03 弦、弧及圆心角的关系
1. 圆心角的认识：
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2. 弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）：
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
3. 弧、弦、圆心角的关系的推论：
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对圆心角与弦都相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对圆心角与弧都相等。
圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。
4. 弧的度数：
弧的度数等于它所对的圆心角的度数。
考点04 圆周角定理
1. 圆周角的定义：
顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2. 圆周角定理的内容：
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
3. 圆周角定理的推论：
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等。相等的圆周角所对的弧也相等。
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
4. 圆的内接四边形：
(1) 圆的内接四边形的概念：
四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。多边形的顶点都在圆上的多边形叫做圆的内接多边
形。
(2) 圆的内接四边形的性质：
①圆的内接四边形的对角互补。②圆的内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）
考点05 点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图：
（1）如图1：d＞r⇔点在圆外。
（2）如图2：d＝r⇔点在圆上。
（3）如图3：d＜r⇔点在圆内。
2. 确定圆的条件：
①由不在同一直线上的三点可以确定唯一的圆。圆心的位置在三点连线段的垂直平分线的交点处。
②确定圆心与半径能确定唯一的圆。
③已知圆的直径能确定唯一的圆。
3. 三角形的外接圆：
若三角形的三个顶点都在圆上，则此时三角形是圆的内接三角形，圆是三角形的外接圆。
4. 三角形的外心：
三角形外接圆的圆心即是三角形的外心。是三角形三条边的垂直平分线的交点。所以到三角形三
个顶点的距离相等。
特别说明：①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心在三角形的外部．
②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有
一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
考点06 直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图
（1）d＜r⇔直线与圆相交，有2个交点，直线叫圆的割线。（2）d＝r⇔直线与圆相切，与圆只有1个交点，此时直线叫做圆的切线，交点叫做直线与圆的
切点。
（3）d＞r⇔直线与圆相离，与圆没有公共点。
2. 切线的判定定理：
经过半径的外端点且与这条半径垂直的直线叫做圆的切线。
3. 切线的判定的方法：
（1）直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。
证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。
②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。
③利用三角形的全等转换证明垂直。
④利用平行线转换证明垂直。
（2）直线与圆无公共点：作垂直，证半径。
4. 切线的性质：
（1）圆的切线垂直于经过切点的半径。
（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
考点07 切线长定理与弦切角定理
1. 切线长定理：
（1）切线长的定义
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：
从圆外一点作圆的切线，可以作2条，它们的长度相等。圆心与这一点的连线平分切线的夹角。
2. 弦切角定理：
（1）弦切角的定义
顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角叫弦切角。即圆的切线与经过切点的弦构成的夹
角。
（2）弦切角定理：
弦切角的度数与弦所对的圆周角度数相等。等于弦所对的圆心角度数的一半。
3. 三角形的内切圆与内心：
(1) 三角形内切圆的定义：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。
(2) 三角形的内心：
三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，到
三角形三边的距离相等。特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。
(3) 直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系：
若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为
a+b-c ab
或 。
2 a+b+c
(4) 三角形的面积与内切圆半径的关系：
r
若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为： (a+b+c)。
2
考点08 正多边形与圆
1. 正多边形的概念：
各条边相等，各个角也相等的多边形叫做正多边。
2. 圆的内接正多边形：
把一个圆平均分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正
多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
3. 圆的内接正多边形的相关概念：
（1）中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
（2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
（3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
（4）边心距：中心到正多边形的边的距离叫做正多边形的边心距。
4.正多边形的有关计算：
(1) 正多边形的内角计算：
(n-2)×108°
正n边形的每个内角计算公式为 。
n
(2) 正多边形的中心角：
360°
正n边形的中心角度数为 。
n
(3) 正多边形的外角：
360°
正n边形的外角度数为 。
n
(4) 正多边形的半径、边长以及边心距之间的关系：
正n边形的半径为r，边长为a，边心距为h，则它们的关系为r2=
(a) 2
+h2。
2
(5) 正多边形的周长和面积：
1 1
边长为a的正n边形的周长为C=an；面积为S= arn= Cr。
2 2考点09 弧长与扇形的面积
1. 扇形的弧长：
(1) 扇形弧长的定义：
扇形的弧长就是扇形两条半径间圆弧的长度。
(2) 扇形弧长的计算公式：
2πr
在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，所以n°的
360°
nπr
圆心角所对的弧的长度l＝ 。
180°
2. 扇形的面积：
计算公式：
πr2 S
方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为 ，则1°的圆心角所对的面积 ＝
πr2 S nπr2
，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积 扇＝ 。
360° 360°
1
方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为：S = lr。
扇 2
3. 圆锥及其计算：
(1) 圆锥的认识：
如图，圆锥是由一个侧面和一个底面构成。顶点 C到底面圆上任意一点的
连线是圆锥的母线，如的CA与CB。AB是圆锥底面直径，顶点C到底面圆心O
的距离CO是圆锥的高。
(2) 圆锥的母线长、高与底面半径的关系：
圆锥的母线长与高与底面半径构成勾股定理。
即：如图：CB2=CO2+OB2。
(3) 圆锥的侧面展开图的认识：
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长。扇形的弧长等于圆锥底面圆
的周长。
(4) 圆锥的侧面积计算：
方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为 a，
1
弧长等于底面圆周长等于：l=2πr，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为：S= lr=πra。
2
nπa2
方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为：S= 。
360题型01 圆的相关概念及其简单计算
【典例1】下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
【答案】D
【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、长度相等的弧是等弧，说法错误；
故选：D．
【变式1】下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的
是（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①
【答案】D
【解答】解：①直径是弦，故①正确，
②圆心相同，半径不同的两个圆叫同心圆，故②不正确，
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③不正确，
故选：D．
【变式2】如图，点B为线段AC上一点，分别以线段AB、BC为直径作圆，O ，O 为圆心，AC＝10，则
1 2
O O 长度为（ ）
1 2
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】C
1 1 1
【解答】解：根据题意知：O O ＝O B+O B= AB+ BC= AC＝5．
1 2 1 2 2 2 2
故选：C．
【变式3】已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是 6 cm ．
【答案】6cm．
【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．
故答案为：6cm．
题型02 垂径定理及其应用
【典例1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【答案】B
【解答】解：设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣1，
∵CD⊥AB，
1
∴CE=DE= CD=2，
2
根据勾股定理可得22+（r﹣1）2＝r2，
解答r＝2.5，
故选：B．
【变式1】如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长
是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【解答】解：连接OA，则OA＝10cm，
∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm，
∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm，
在Rt ODA中，由勾股定理得：OD=❑√OA2-AD2=❑√102-82=6（cm），
△∵OC＝10cm，
∴CD＝OC﹣OD＝4cm，
故选：C．
【变式2】如图，⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，且CD＝1，则AB的长为（
）
A．3 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AB＝2AD，
∵OC＝5，CD＝1，
∴OD＝OC﹣CD＝4，
∴AD=❑√OA2-OD2=❑√52-42=3，
∴AB＝2AD＝2×3＝6．
故选：B．
【变式3】壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空
间，增添绿意和艺术感．如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，O
为圆形框架的圆心，弦AB和劣弧AB围成的区域为种植区．已知种植区的深度为 4cm，弦AB的长为
16cm，则圆形框架的半径为（ ）
A．9cm B．10cm C．16cm D．20cm
【答案】B【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点F，则EF＝4cm，
∵OE⊥AB，
1 1
∴AE＝EB= AB= ×16=8（cm），
2 2
∵OA2＝AE2+OE2，OE＝AE﹣EF，
∴OA2＝82+（OA﹣4）2，
∴OA＝10，
∴圆形框架的半径为10cm，
故选：B．
题型03 弦、弧及圆心角的关系
【典例1】如图，AB是⊙O的直径，^AD的角度为70°，点C是^BD的中点，则∠DOC＝（ ）
A．65° B．55° C．110° D．60°
【答案】B
【解答】解：∵^AD=70°，
∴∠AOD＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝110°，
∵点C是^BD的中点，
∴C^D=^BC，
1
∴∠DOC＝∠BOC= ∠DOB＝55°，
2
故选：B．
【变式1】如图，^AB，C^D是⊙O的两段弧，且^AB=2C^D，则弦AB与CD之间的关系为（ ）A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．不能确定
【答案】B
【解答】解：取^AB的中点E，连接AE、BE，OA、OB、OC、OD，
∴^AE=^BE，
∵^AB=2C^D，
∴∠AOB＝2∠COD，
∴^AE=^BE=C^D，
∴AE＝BE＝CD，
∵AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB，
∴AB＜2CD，
故选：B．
【变式2】如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F，若C是^BD
的中点．
（1）求∠AOD的度数；
（2）若AB＝8，求DF的值．
【答案】（1）60°；
（2）2．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵C是^BD的中点，
∴C^D=^BC，
∵OD⊥AC，∴^AD=C^D，
∴C^D=^BC=^AD，
1
∴∠AOD= ×180°＝60°；
3
（2）如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB＝8，
∴OA＝OD＝4，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∵AF⊥OD，
1
∴DF= OD＝2．
2
题型04 圆周角定理及推论的应用
【典例1】如图，OA，OB是⊙O的半径，若∠AOB＝50°，则∠ACB的度数是（ ）
A．10° B．15° C．25° D．50°
【答案】C
1
【解答】解：∵∠ACB= ∠AOB，∠AOB＝50°，
2
∴∠ACB＝25°．
故选：C．
【变式1】如图，在⊙O中，弦AB与直径CD相交于点F，点F为AB的中点，连接AD，点B在⊙O上，
且^EB=^BC，连接AE，交CD于点G．若∠D＝α，则∠DGE的角度为（ ）A．30°+a B．15°+2a C．90°﹣α D．90°﹣2α
【答案】C
【解答】解：连接DB，如图
∵CD为直径，点F为AB的中点，
∴CD⊥AB，^AC=^BC，
∴∠AFD＝90°，
∵^EB=^BC，
∴^AC=^BC=^EB，
∴∠EAB＝∠ADC＝α，
∴∠AGF＝90°﹣∠GAF＝90°﹣α，
∴∠DGE＝∠AGF＝90°﹣α．
故选：C．
【变式 2】如图，半径为 2 的⊙O 的弦 AD＝BC，且 AD⊥BC 于点 E，连接 AB、AC，则 AB 的长为
（ ）
A．2❑√2 B．2 C．❑√2 D．1
【答案】A
【解答】解：如图，连接OA，OB，∵AD＝BC，
∴^AD=^BC，
∴^AB=C^D，
∴∠C＝∠CAD，
∵AD⊥BC
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝∠CAD＝45°，
∴∠O＝2∠C＝90°，
∴AB=❑√2OA＝2❑√2．
故选：A．
【变式3】如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF．
（2）若OB=CB=❑√3，求DF的长．
【答案】（1）见解答
（2）2．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC，
由条件可知∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵CD＝CB，
∴C^D=C^B，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：连接OC，交BD于点G，由条件可知△OCB是等边三角形，
∴∠OCB＝∠OBC＝60°，
∵CE⊥AB，且CF＝BF，
1
∴∠CBF=∠ECB= ∠OCB=30°，
2
1 ❑√3
在Rt ECB中，EB= BC= ，
2 2
△
3
∴CE=❑√BC2-BE2=
，
2
∵∠DBA＝∠CBE﹣∠CBD＝30°，
1
∴EF= BF，
2
❑√3 2
∵EF2+BE2＝BF2，即EF2+( ) =(2EF) 2，
2
1
∴EF= （负值舍去），
2
∴BE＝CF＝2EF＝1，
∵BC＝DC，
∴∠D＝∠CBD＝30°，
∴∠DCF＝∠DCB﹣∠BCE＝90°，
∴DF＝2CF＝2．
题型05 圆的内接四边形
【典例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．80° C．140° D．160°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝140°，
∴∠A＝40°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，
故选：B．
【 变 式 1 】 如 图 ， 四 边 形 ABCD 是 ⊙ O 的 内 接 四 边 形 ， 连 接 AC ， 延 长 AB 至 点 E ， 若
∠ACD=40°，^AC=C^D，则∠CBE的度数为（ ）
A．80° B．76° C．72° D．70°
【答案】D
【解答】解：∵^AC=C^D，∠ACD=40°，
∴AC＝CD，
1
∴∠CDA=∠CAD= (180°-∠ACD)=70°，
2
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠CDA＝70°，
故选：D．
【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接AC、BD，CD平分
∠BDE．
（1）求证：CA＝CB；
（2）若点B为CAD的中点，DE＝2，CE＝6时，求AD的长．
【答案】（1）见解析；
（2）AD＝6．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠ABC＝∠EDC，
∵CD平分∠BDE，
∴∠EDC＝∠BDC，
∴∠ABC＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠ABC＝∠BAC，
∴CA＝CB；
（2）解；过点C作CH⊥BD于H，DE＝2，CE＝6，
设AD＝x，则AE＝AD+DE＝x+2，
∵CD平分∠BDE，CE⊥AD，CH⊥BD，
∴CH＝CE＝6，∠CEA＝∠CHB＝90°，
在Rt ACE和Rt BCH中，
{CA
△
=CB
△
，
CE=CH
∴Rt ACE≌Rt BCH（HL），
∴BH＝AE＝x+2，
△ △
同理可证明Rt CDE≌Rt CDH（HL），
∴DH＝DE＝2，
△ △
∴BD＝BH+DH＝x+4，
∵点B为C^AD的中点，
∴^BC=^BD，
∴BC＝BD＝x+4，
在Rt HBC中，由勾股定理得CH2+BH2＝BC2，
∴62+△ （x+2）2＝（x+4）2，
解得x＝6，
∴AD＝6．
题型06 点与圆的位置关系
【典例1】已知⊙O的半径r＝3，OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵⊙O的半径r＝3，OP＝5，
∴OP＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O外．
故选：B．
【变式1】已知⊙O的半径是5，点P在⊙O内，则线段OP的长可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解答】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为5cm，
∴OP＜5cm，
A、4cm＜5cm，此时P在圆内，故本选项正确，符合题意；
B、5cm＝4cm，此时P在圆上，故本选项错误，不符合题意；
C、6cm＞4cm，此时P在圆外，故本选项错误，不符合题意；
D、7cm＞4cm，此时P在圆外，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
【变式2】如图，⊙O中，弦AB的长为8，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝22.5°，⊙O所在的平面内
有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：设AB，OC交于点D，
∵OC⊥AB，
1
∴AD=BD= AB=4，
2
∵∠ABC＝22.5°，
∴∠AOC＝45°，∴OA=❑√2OD=4❑√2，
∵4❑√2＞5，
∴OA＞OP，
∴点P在⊙O内；
故选：B．
题型07 三角形的外接圆与外心
【典例1】三角形的外心是（ ）
A．三角形三边垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三边高线的交点
D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心，
∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点．
故选：A．
【变式1】已知△ABC的边BC=2❑√2，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．45° C．45°或135° D．60°或120°
【答案】C
【解答】解：连接OB、OC，
∵BC＝2❑√2，⊙O的半径长为2，
∴OB＝OC＝2，
∵OB2+OC2＝22+22＝8，BC2=(2❑√2) 2=8，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴△BOC是直角三角形，且∠BOC＝90°，
1
如图1，顶点A与圆心O在直线BC的同侧，则∠A= ∠BOC＝45°；
2
如图2，顶点A与圆心O在直线BC的异侧，在⊙O上取一点D，使点D与圆心O在直线BC的同侧，
连接BD、CD，
1
∵∠A+∠D＝180°，且∠D= ∠BOC＝45°，
2
∴∠A＝180°﹣∠D＝180°﹣45°＝135°，
综上所述，∠A的度数为45°或135°，
故选：C．【变式2】如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BCD＝35°，则
∠ABD等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠BCD＝35°，
∴∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BCD＝35°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
故选：C．
【变式3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AC＝8，DE＝2，求线段BD的长．
【答案】（1）见详解；（2）4❑√5．
【解答】（1）证明：∵半径 OD⊥AC，
∴弧AD＝弧CD，AE＝CE，
∴∠ABC＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
（2）解：如图，连接AD，∵OD⊥AC，AC＝8，
1 1
∴AE= AC= ×8=4，
2 2
设圆O的半径为R，则OE＝R﹣2，
在Rt AEO中，由勾股定理得：
（R﹣2）2+42＝R2，
△
解得R＝5，
∴AB＝10，
在Rt ADE中，由勾股定理得：
AD=❑
△
√DE2+AE2=❑√22+42=2❑√5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt ADB中，由勾股定理得：
BD=❑
△
√AB2-AD2=❑√102-(2❑√5) 2=4❑√5．
题型08 直线与圆的位置关系
13
【典例1】已知⊙O的半径为 ，圆心O到某直线的距离为❑√10，则该直线与⊙O的位置关系是 相交
4
．
【答案】相交．
13 169 9 9
【解答】解：∵（ ）2= =10 ，（❑√10）2＝10，10 ＞10，
4 16 16 16
13
∴ ＞❑√10，
4
即d＜r，
∴该直线与⊙O的位置关系是相交，
故答案为：相交．
【变式1】已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l
与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【答案】B【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x ＝3，x ＝﹣1（不符合题意，舍去），
1 2
∴⊙O的半径等于3，
∵圆心O到直线l的距离d＝2，⊙O的半径等于3，且2＜3，
∴直线l与⊙O相交，
故选：B．
【变式2】已知矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，若以AB为直径的圆与边CD有交点，则a与b满足的关
系为（ ）
A．a≥2b B．a＞2b C．a＞b D．a≥b
【答案】A
【解答】解：∵AB＝a，
a
∴以AB为直径的圆的半径= ，
2
∵以AB为直径的圆与边CD有交点，
a
∴ ≥b，
2
∴a≥2b，
故选：A．
题型09 切线的性质与判定
【典例1】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BO的延长线于点P，若∠BAC＝
116°，那么∠P的度数为（ ）
A．26° B．32° C．34° D．38°
【答案】D
【解答】解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
设∠P＝α，
∴∠DOC＝90°﹣α，∵OC＝OD，
1 1
∴∠OCD＝∠ODC= （180°﹣∠DOC）= （180°﹣90°+α），
2 2
1
∴∠A＝180°﹣∠ODC＝180°- （180°﹣90°+α）＝116°，
2
∴α＝38°，
故选：D．
【变式1】如图，Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝4，点O在AB上，OB＝3，以OB为半径的⊙O与AC相
切于点D，交BC于点E，则弦BE的长为 2 ．
△
【答案】2．
【解答】解：连接OD，作OL⊥BE于点L，则BL＝EL，
∵OB＝3，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，
∴OD＝OB＝3，AC⊥OD，
∴∠ODC＝∠OLC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形OLCD是矩形，
∴CL＝OD＝3，
∵BC＝4，
∴BL＝BC﹣CL＝1，
∴BE＝2BL＝2，
故答案为：2．
【变式2】如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，以AB的中点O为圆心的半圆与AC相
△切，连接OC，与半圆相交于点D，则CD的长为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：∵在Rt ABC中，BC＝5，∠ACB＝90°，AC＝12，
∴AB=❑√AC2+BC2
△
=❑√122+52=13，
∵在Rt ABC中，点O为AB的中点，
1 13
∴CO=△AO=BO= AB= ，
2 2
如图，设切点为点E，连接OE，
∴OE⊥AC，
∵CO＝AO，
∴AE＝EC，
∵点O为AB的中点，
1 5
∴OE= BC= ，
2 2
5 5
∴圆的半径为 ，即OD= ，
2 2
13 5
∴CD=OC-OD= - =4．
2 2
∴AB的中点O为圆心的半圆与AC相切，连接OC，与半圆相交于点D，则CD的长为4．
故答案为：4．
【变式3】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，延长AB至点F，使得∠BCF＝
∠BCD．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若∠F＝30°，AB＝4，求阴影部分的周长．（结果保留π）【答案】见解答
2
（2）2+ π．
3
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠BCF，
∴∠ACO＝∠BCF，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠BCF+∠OCB＝∠OCF＝90°，
∴OC⊥CF，
又∵OC是半径，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：∵∠F＝30°，∠OCF＝90°，
∴∠COF＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
1
∴BC=OB= AB=2，
2
60π×2 2
∵l = = π，
^BC 180 3
2
∴阴影部分的周长为2+ π．
3
【变式4】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，半径OB上有两点M和N，EN＝EM，射线
CM，射线CN分别交⊙O于点F、H，连接HF交CD于点G，过点D作HF的平行线l．（1）证明：直线l是⊙O的切线；
（2）当OM＝BN时，若OB＝9，HF=6❑√5，求DG的长．
【答案】（1）见解析
（2）2❑√3
【解答】（1）证明：连接OD交HF于点K连接OH，BD，如图所示：
∵弦CD⊥AB垂足为E，
∴∠CEM＝∠CEN＝90°，
在△CEM和△CEN中，
{
EN=EM
∠CEM=∠CEN=90°，
CE=CE
∴△CEM≌△CEN（SAS），
∴∠MCE＝∠NCE，
即∠FCD＝∠HCD，
∴^DF=^DH，
∵OD是⊙O的半径，
∴根据垂径定理得：OD⊥HF，HK＝FK，
∵HF的平行线l，∴OD⊥l于点D，
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线l是⊙O的切线；
（2）∵OM＝BN，EN＝EM，
∴OM﹣EM＝BN﹣EN，
即OE＝BE，
∵弦CD⊥AB垂足为E，
∴CD是OB的垂直平分线，
∴OD＝BD，
又∵OB＝OD，
∴OD＝OB＝BD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ODB＝60°，
1
∴∠ODE= ∠ODB＝30°，
2
∵OB＝9，HF=6❑√5，
∴OH＝OD＝OB＝9，
1
由（1）可知：OD⊥HF，HK＝FK= HK=3❑√5，
2
在Rt OHK中，由勾股定理得：OK=❑√OH2-H K2=❑√92-(3❑√5) 2=6，
∴DK△＝OD﹣OG＝9﹣6＝3，
在Rt DKG中，∠ODE＝30°，
1
∴KG △= DG，
2
√ 1 ❑√3
由勾股定理得：DK=❑√DG2-KG2=❑ DG2-( DE) 2= DG，
2 2
2❑√3 2❑√3
∴DG= DK= ×3=2❑√3．
3 3
题型10 切线长定理与弦切角定理
【典例1】如图，P为⊙O外一点，PA，PB，MN分别切⊙O于A，B，C三点，且切线MN分别交PA，PB
于点M，N．若PA＝12，则△PMN的周长为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．24【答案】D
【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于A，B，
∴PA＝PB＝12，
同理，可得MC＝MA，NC＝NB，
∴△PMN的周长
＝PM+CM+CN+PN
＝PM+AM+PN+BN
＝PA+PB
＝2PA
＝24．
故选：D．
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，
切点为E，若AB＝1，BC＝3，则阴影部分的面积是（ ）
5 3 5 5
A．4❑√5- π B．2❑√5- π C．2❑√5- π D．3❑√5- π
4 4 4 4
【答案】C
【解答】解：连接DB、DE，
∵AD⊥AB，AD是⊙D的半径，
∴AB是⊙D的切线，
∵BC是⊙D的切线，
∴AB＝BE＝1，EC＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，∠ABD＝∠EBD，DE⊥BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴∠EBD＝∠BDC，
∴DC＝BC＝3，
在Rt DEC中，DE=❑√32-22=❑√5，
△∴AD=DE=❑√5，
1
∴阴影部分的面积=S - S
梯形ABCD 4 ⊙D
1 1
= (1+3)❑√5- π(❑√5) 2
2 4
5
=2❑√5- π．
4
故选：C．
【变式2】如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（
）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】A
【解答】
解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵∠ACE＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠D＝50°．
【变式3】如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD
于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）A．97° B．104° C．116° D．142°
【答案】C
【解答】解：∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD＝90°，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵直线ED为圆O的切线，
∴∠ADE＝∠ABD＝19°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABD＝180°﹣45°﹣19°＝116°．
故选：C．
题型11 三角形的内切圆与内心
【典例1】如图，周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相
切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC＝4cm，则三角形纸片BDE的周长是（ ）
A．10cm B．9cm C．8cm D．7cm
【答案】D
【解答】解：设三角形ABC与⊙O相切于M、N、F，DE与⊙O相切于G，如图，
由切线长定理可知：AM＝AF，CN＝CF，BM＝BN，DM＝DG，EG＝EN，
∵AB+AC+BC＝15cm，AC＝4cm，
∴AM+CN＝AC＝4cm，AB+BC＝11（cm），
∴三角形纸片BDE的周长＝DB+DE+BE＝BD+DG+GE+BE＝BM+BN＝AB+BC﹣AC＝7（cm），
故选：D．
【变式 1】如图，△ABC与△ACD中，AD=AC=DC=2❑√3，∠BAC：∠B：∠ACB＝1：2：3，则
△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为（ ）A．2 B．❑√3+1 C．2❑√3 D．3
【答案】A
【解答】解：如图，过点D作DG⊥AC于点G，并延长交AB于点F，
ACD中，AD=AC=DC=2❑√3，
∴△ACD是等边三角形，点G为AC中点，
△
过点A作AE平分∠DAC交DG于点E，则点E为△ACD的内心，∠EAC＝30°，
∵△ABC中，∠BAC：∠B：∠ACB＝1：2：3，
∴∠BAC＝30°，∠B＝60°，∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，∠EAF＝∠EAC+∠BAC＝60°，
∴∠AFE＝∠B＝60°，
∵AG＝CG，
∴点F为AB中点，即点F为△ABC的外心，
∴△AEF是等边三角形，
∵AC=2❑√3，
∴在Rt ABC中，AB＝4，
∴EF＝AF＝2．
△
则△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为2．
故选：A．
【变式2】如图点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，∠BOC＝160°，则∠BIC的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．140°
【答案】C
【解答】解：∵点O为△ABC的外心，∠BOC＝160°，
∴∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点I为△ABC的内心，
∴∠IBC+∠ICB＝50°，
∴∠BIC＝130°，
故选：C．
【变式3】如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE＝120°，
∠EOF＝150°．
（1）求△ABC的三个内角的大小；
（2）设⊙O的直径为d，证明：d＝AB+AC﹣BC．
【答案】（1）∠A、∠B、∠C的度数分别为90°、60°、30°．
（2）见解答
【解答】（1）解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF，
∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，
∵∠DOE＝120°，∠EOF＝150°，
∴∠B＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠DOE＝60°，∠C＝360°﹣∠OEC﹣∠OFC﹣∠EOF＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴∠A、∠B、∠C的度数分别为90°、60°、30°．
（2）证明：∵AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，
∴BD+CF＝BE+CE＝BC，
∵AB+AC＝AD+BD+CF+AF＝2AF+BC，
∴2AF＝AB+AC﹣BC，
∵∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∴OD＝AF，
∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径，
∴d＝2OD＝2AF，
∴d＝AB+AC﹣BC．
题型12 正多边形的有关计算
【典例1】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为^ED上的一点，则∠APC的度数为（ ）A．36° B．60° C．65° D．72°
【答案】D
【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
360°
∴∠AOC= ×2＝144°，
5
1
∴∠APC= ∠AOC＝72°，
2
故选：D．
【变式1】如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AF、BF，若S =4❑√2，则⊙O的半径为（
△ABF
）
A．1 B．❑√2 C．2❑√2 D．2
【答案】C
【解答】解：如图，连接OH，过点H作HM⊥AF，垂足为M，过点G作GN⊥AF，垂足为N，则MN
＝HG，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
360°
∴∠FOH= ×2=90°，
81
∴∠HAM= ∠FOH＝45°，
2
同理∠GFN＝45°，
设正八边形ABCDEFGH的边长为x，即AB＝AH＝FG＝x，
在Rt AHM中，∠HAM＝45°，
❑√2 ❑√2
∴AM △= AH= x，
2 2
❑√2
同理FN= x，
2
∴AF＝AM+MN+FN＝（❑√2+1）x，
1 360° 1 360°
在△ABF中，∠AFB= × =22.5°，∠ABF= × ×3＝67.5°，
2 8 2 8
∴∠BAF＝180°﹣22.5°﹣67.5°＝90°，
1
∴S = AB•AF，
ABF 2
△
1
即 x•（❑√2+1）x＝4❑√2，
2
解得x2＝16﹣8❑√2，
在Rt ABF中，
BF2＝AB2+AF2
△
＝x2+[（1+❑√2）x]2
＝32，
∴BF=❑√32=4❑√2，
∴⊙O的半径为2❑√2，
故选：C．
【变式2】如图是一个报警装置，由一个正六边形的可旋转阀门和一个触碰装置P组成，且AP＝BP，将
阀门绕其中心O旋转，当正六边形的顶点恰好与 P重合时，报警器会发出警报，此时阀门至少旋转了
30 度．【答案】30．
【解答】解：连接AP、BP、AO、BO，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
1
∴AO＝BO，∠AOB= ×360°=60°，
6
∵AP＝BP，
∴点O和点P都在AB的垂直平分线上，
∴OP是AB的垂直平分线，
∵AO＝BO，OP⊥AB，
∴OP平分∠AOB，
1
∴∠POB= ∠AOB=30°，
2
∵将阀门绕点O旋转，当正六边形的顶点恰好与P重合时，报警器会发出警报，
∴阀门至少顺时针旋转30°，
故答案为：30．
【变式3】如图，⊙O的半径为r，六边形ABCDEF是圆的内接正六边形，四边形EFGH是正方形．
（1）求正六边形ABCDEF与正方形EFGH的面积比；
（2）连接OF，OG，求∠OGF度数．
【答案】（1）3❑√3：2；
（2）15°．
【解答】解：（1）∵∠FOE为正六边形的中心角，∴∠FOE＝60°．
∵EO＝FO，
∴△EOF是边长为r的等边三角形，
∴EF＝r．
1 ❑√3 3❑√3
故正方形EFGH的面积为r2，正六边形的面积为6× •r• r= r2，
2 2 2
3❑√3
所以正六边形与正方形的面积比为 r2：r2＝3❑√3：2．
2
（2）∵OF＝EF＝FG，
∴△OFG是等腰三角形．
∵∠EFG＝90°，∠OFE＝60°，
∴∠OFG＝150°，
1
∴∠OGF= •（180°﹣150°）＝15°．
2
题型13 弧长及其扇形面积的相关计算
【典例1】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝60°，连接OA，OB，若⊙O的半径为6，则扇形AOB的
弧长为（ ）
A．2π B．4π C．6π D．8π
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵⊙O的半径为6，
120π×6
∴扇形AOB的弧长为 =4π，
180
故选：B．
【变式1】如图，在△ABC中，∠B＝30°，点D是BC上一点，以CD为直径的半圆O经过△ABC的顶点
A，C，交AB，BC于点F，D，若AC＝AF，CD＝10，则^AC的长为（ ）5 5 20 25
A． π B． π C． π D． π
3 6 9 18
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA、OF，
∵AF＝AC，OF＝OC，OA＝OA，
∴△AOF≌△AOC（SSS），
∴∠OAF＝∠OAC，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∴∠BAC＝2∠C，
在△ABC中，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
即3∠C+∠B＝180°，
∵∠B＝30°，
∴3∠C+30°＝180°，
∴∠C＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
又∵直径CD＝10，
∴半径OA＝OC＝5，
80π×5 20
∴^AC的长为 = π．
180 9
故选：C．
【变式2】如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且AC＝BC＝2，∠ACB＝120°．点P从点A出发，沿着
逆时针方向运动到点 B，连接 CP 与弦 AB相交于点 D，当△ACD 为直角三角形时，弧 AP的长为
（ ）1 2 1 4
A．2π B． π C． π或 π D．2π或 π
2 3 2 3
【答案】D
【解答】解：如图所示，当∠ADC＝90°时，连接OA，OD，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，
1
∴∠ACD= ∠ACB=60°，点D为AB的中点，
2
∴OD⊥AB，
∴C、D、O三点共线，
∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，
∴∠AOP＝120°，
120π×2 4
∴弧AP的长为 = π；
180 3
如图所示，当∠ACD＝90°时，则∠ACP＝90°，
∴AP为直径，
180π×2
∴弧AP的长为 =2π；
180
4π
综上所述，弧AP的长为2π或 ，
3故选：D．
【变式3】半径为1的圆中，扇形AOB的圆心角为120°，则扇形AOB的面积为（ ）
π π 2π
A． B． C． D．π
6 3 3
【答案】B
120⋅π⋅12 π
【解答】解：扇形AOB的面积= = ，
360 3
故选：B．
【变式4】如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部
分的面积为（ ）
5 1 3 1 5 1 5 1
A． + π B． - π C． - π D． - π
2 4 2 4 2 2 2 4
【答案】D
【解答】解：连接OE．
1 1
∵S = AD•CD = ×2×2＝2，
ADC 2 2
△
1 π
S扇形OCE =
4
π×12=
4
，
1 1
S = ×1×1 = ，
COE 2 2
△
π 1
∴S弓形CE =
4
-
2
，
π 1 5 π
∴阴影部分的面积为2﹣（ - ）= - ．
4 2 2 4
故选：D．
【变式5】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（ ）
4π 4π 4π 4π
A．5❑√3- B．5❑√3+ C．3❑√3- D．3❑√3+
3 3 3 3
【答案】A
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC＝4．
又∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．
∵点E是BC的中点，
∴AE⊥BC．
1
∵BE= BC=2，
2
∴AE=❑√3BE=2❑√3，
1
∴S = ×2×2❑√3=2❑√3，
△AEC 2
同理可得，S =2❑√3，
△AFC
∴S =2❑√3+2❑√3=4❑√3．
四边形AECF
120⋅π⋅22 4 1
∵S = = π，S = ×2❑√3×1=❑√3，
扇形CEF 360 3 △CEF 2
4
∴中间空白部分两边形的面积为 π-❑√3，
3
4 4
∴阴影部分的面积为4❑√3-( π-❑√3)=5❑√3- π．
3 3
故选：A．题型14 圆锥的有关计算
【典例1】若圆锥的底面半径为4cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（ ）
A．240° B．120° C．180° D．90°
【答案】B
【解答】解：圆锥的底面半径为4cm，
则底面周长为2π×4＝8πcm，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长为8πcm，
∵母线长为12cm，则扇形的半径为12cm，
nπ×12
根据弧长公式可得：8π= ，
180
解得：n＝120，
故选：B．
【变式 1】用半径为 30，圆心角为 120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是
（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长可得：
120π×30
2πr= ，
180
解得r＝10．
故选：C．
【变式2】小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底
面，（圆心O 与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长16cm，则以下这张正方形纸片的
2
边长是（ ）
A．16❑√2cm B．(10❑√2+4)cm
C．20cm D．18❑√2cm
【答案】B
【解答】解：由题知，
令圆锥的底面圆半径为rcm，
90π×16
则2πr= ，
180解得r＝4．
过点点O 分别作正方形两边的垂线，垂足分别为M和N，
2
因为∠O MP＝∠O NP＝∠MPN＝90°，且O M＝O N，
2 2 2 2
所以四边形O NPM四正方形，
2
所以O P=❑√2r=4❑√2（cm），
2
所以大正方形的对角线长为：16+4+4❑√2=（20+4❑√2）cm，
❑√2
所以大正方形的边长为： ×(20+4❑√2)=（10❑√2+4）cm．
2
故选：B．
【变式3】如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2❑√2，则这个圆锥的侧面积是（
）
A．4π B．3π C．π D．2π
【答案】B
【解答】解：锥的母线长=❑√(2❑√2) 2+12=3，
1
所以这个圆锥的侧面积= •2π•1•3＝3π．
2
故选：B．
