文档内容
第二十四章 圆1. 熟练掌握二次函数全章知识点；
教学目标
2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；
1. 重点
（1）圆的有关性质；
教学重难点
（2）切线的性质与判定；
（3）弧长与扇形的有关计算。2. 难点
（1）圆的有关性质的应用；
（2）切线的判定与性质综合；
（3）圆的综合题。
考点01 圆及其相关概念
1. 圆的定义：
静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。定点是圆心，定长是圆的
半径。
动态定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图
形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA的长叫做半径。以O点为圆心的圆，记作⊙O，读作圆
O。
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
2. 圆的有关概念：
(1) 弦的概念：
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
(2) 直径：
过圆心的弦叫做直径。
(3) 弧：
圆上任意两点之间的部分叫做弧。它包含半圆、优弧、劣弧。
① 半圆：直径的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做半圆。
② 优弧：大于半圆的弧叫做优弧。表示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字
母。若只有两个字母默认为劣弧。
③ 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
(4) 等圆：
能够重合的两个圆或半径相等的两个圆叫做等圆。
(5) 等弧：
在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。
考点02 垂径定理及其推论
1. 垂径定理的内容：
垂直于弦的直径，平分弦，平分弦所对的优弧和劣弧。注意：垂直于弦的直径不一定非要是直径，只要是过圆心即可。
在垂径定理中，圆心到弦的距离叫做弦心距，弦长的一半叫做半弦长。他们与直径构成勾股定理。
半径2 =弦心距2 +半弦长2 OC2 =OE2 +CE2
即： （ ）
2. 垂直定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
考点03 弦、弧及圆心角的关系
1. 圆心角的认识：
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2. 弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）：
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
3. 弧、弦、圆心角的关系的推论：
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对圆心角与弦都相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对圆心角与弧都相等。
圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。
4. 弧的度数：
弧的度数等于它所对的圆心角的度数。
考点04 圆周角定理
1. 圆周角的定义：
顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2. 圆周角定理的内容：
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
3. 圆周角定理的推论：
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等。相等的圆周角所对的弧也相等。
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
4. 圆的内接四边形：
(1) 圆的内接四边形的概念：
四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。多边形的顶点都在圆上的多边形叫做圆的内接多边
形。
(2) 圆的内接四边形的性质：
①圆的内接四边形的对角互补。②圆的内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）
考点05 点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图：
（1）如图1：d＞r⇔点在圆外。
（2）如图2：d＝r⇔点在圆上。
（3）如图3：d＜r⇔点在圆内。
2. 确定圆的条件：
①由不在同一直线上的三点可以确定唯一的圆。圆心的位置在三点连线段的垂直平分线的交点处。
②确定圆心与半径能确定唯一的圆。
③已知圆的直径能确定唯一的圆。
3. 三角形的外接圆：
若三角形的三个顶点都在圆上，则此时三角形是圆的内接三角形，圆是三角形的外接圆。
4. 三角形的外心：
三角形外接圆的圆心即是三角形的外心。是三角形三条边的垂直平分线的交点。所以到三角形三
个顶点的距离相等。
特别说明：①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心在三角形的外部．
②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有
一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
考点06 直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离OP为d。如图
（1）d＜r⇔直线与圆相交，有2个交点，直线叫圆的割线。（2）d＝r⇔直线与圆相切，与圆只有1个交点，此时直线叫做圆的切线，交点叫做直线与圆的
切点。
（3）d＞r⇔直线与圆相离，与圆没有公共点。
2. 切线的判定定理：
经过半径的外端点且与这条半径垂直的直线叫做圆的切线。
3. 切线的判定的方法：
（1）直线与圆有公共点，连半径，证明垂直。
证明垂直的方法：①利用勾股定理证明垂直。
②利用特殊角或一般角之间的转换证明垂直。
③利用三角形的全等转换证明垂直。
④利用平行线转换证明垂直。
（2）直线与圆无公共点：作垂直，证半径。
4. 切线的性质：
（1）圆的切线垂直于经过切点的半径。
（2）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
（3）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
考点07 切线长定理与弦切角定理
1. 切线长定理：
（1）切线长的定义
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：
从圆外一点作圆的切线，可以作2条，它们的长度相等。圆心与这一点的连线平分切线的夹角。
2. 弦切角定理：
（1）弦切角的定义
顶点在圆上，一边与圆相交，一边与圆相切的角叫弦切角。即圆的切线与经过切点的弦构成的夹
角。
（2）弦切角定理：
弦切角的度数与弦所对的圆周角度数相等。等于弦所对的圆心角度数的一半。
3. 三角形的内切圆与内心：
(1) 三角形内切圆的定义：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。
(2) 三角形的内心：
三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，到
三角形三边的距离相等。特别说明：任意三角形有且只有一个内切圆，圆有无数个外切三角形。
(3) 直角三角形内切圆半径与直角三角形的边的关系：
若a、b是直角三角形的直角边，c是直角三角形的斜边，则这个直角三角形的内切圆半径为
a+b-c ab
或 。
2 a+b+c
(4) 三角形的面积与内切圆半径的关系：
r
若三角形的三边长分别是a、b、c，内切圆半径为r，则此三角形的面积可表示为： (a+b+c)。
2
考点08 正多边形与圆
1. 正多边形的概念：
各条边相等，各个角也相等的多边形叫做正多边。
2. 圆的内接正多边形：
把一个圆平均分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正
多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
3. 圆的内接正多边形的相关概念：
（1）中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
（2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
（3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
（4）边心距：中心到正多边形的边的距离叫做正多边形的边心距。
4.正多边形的有关计算：
(1) 正多边形的内角计算：
(n-2)×108°
正n边形的每个内角计算公式为 。
n
(2) 正多边形的中心角：
360°
正n边形的中心角度数为 。
n
(3) 正多边形的外角：
360°
正n边形的外角度数为 。
n
(4) 正多边形的半径、边长以及边心距之间的关系：
正n边形的半径为r，边长为a，边心距为h，则它们的关系为r2=
(a) 2
+h2。
2
(5) 正多边形的周长和面积：
1 1
边长为a的正n边形的周长为C=an；面积为S= arn= Cr。
2 2考点09 弧长与扇形的面积
1. 扇形的弧长：
(1) 扇形弧长的定义：
扇形的弧长就是扇形两条半径间圆弧的长度。
(2) 扇形弧长的计算公式：
2πr
在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的弧长是2πr，1°的圆心角所对的弧长l＝ ，所以n°的
360°
nπr
圆心角所对的弧的长度l＝ 。
180°
2. 扇形的面积：
计算公式：
πr2 S
方法1：在半径为r的圆中，360°的圆心角所对的圆的面积为 ，则1°的圆心角所对的面积 ＝
πr2 S nπr2
，已知扇形的圆心角为n°，则扇形的面积 扇＝ 。
360° 360°
1
方法2：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为：S = lr。
扇 2
3. 圆锥及其计算：
(1) 圆锥的认识：
如图，圆锥是由一个侧面和一个底面构成。顶点 C到底面圆上任意一点的
连线是圆锥的母线，如的CA与CB。AB是圆锥底面直径，顶点C到底面圆心O
的距离CO是圆锥的高。
(2) 圆锥的母线长、高与底面半径的关系：
圆锥的母线长与高与底面半径构成勾股定理。
即：如图：CB2=CO2+OB2。
(3) 圆锥的侧面展开图的认识：
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长。扇形的弧长等于圆锥底面圆
的周长。
(4) 圆锥的侧面积计算：
方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为 a，
1
弧长等于底面圆周长等于：l=2πr，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为：S= lr=πra。
2
nπa2
方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为：S= 。
360题型01 圆的相关概念及其简单计算
【典例1】下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
【变式1】下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的
是（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①
【变式2】如图，点B为线段AC上一点，分别以线段AB、BC为直径作圆，O ，O 为圆心，AC＝10，则
1 2
O O 长度为（ ）
1 2
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【变式3】已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是 ．
题型02 垂径定理及其应用
【典例1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【变式1】如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长
是（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【变式2】如图，⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，且CD＝1，则AB的长为（
）
A．3 B．6 C．8 D．10
【变式3】壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空
间，增添绿意和艺术感．如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，O
为圆形框架的圆心，弦AB和劣弧AB围成的区域为种植区．已知种植区的深度为 4cm，弦AB的长为
16cm，则圆形框架的半径为（ ）
A．9cm B．10cm C．16cm D．20cm
题型03 弦、弧及圆心角的关系
【典例1】如图，AB是⊙O的直径，^AD的角度为70°，点C是^BD的中点，则∠DOC＝（ ）
A．65° B．55° C．110° D．60°
【变式1】如图，^AB，C^D是⊙O的两段弧，且^AB=2C^D，则弦AB与CD之间的关系为（ ）A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．不能确定
【变式2】如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F，若C是^BD
的中点．
（1）求∠AOD的度数；
（2）若AB＝8，求DF的值．
题型04 圆周角定理及推论的应用
【典例1】如图，OA，OB是⊙O的半径，若∠AOB＝50°，则∠ACB的度数是（ ）
A．10° B．15° C．25° D．50°
【变式1】如图，在⊙O中，弦AB与直径CD相交于点F，点F为AB的中点，连接AD，点B在⊙O上，
且^EB=^BC，连接AE，交CD于点G．若∠D＝α，则∠DGE的角度为（ ）A．30°+a B．15°+2a C．90°﹣α D．90°﹣2α
【变式 2】如图，半径为 2 的⊙O 的弦 AD＝BC，且 AD⊥BC 于点 E，连接 AB、AC，则 AB 的长为
（ ）
A．2❑√2 B．2 C．❑√2 D．1
【变式3】如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF．
（2）若OB=CB=❑√3，求DF的长．
题型05 圆的内接四边形
【典例1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．80° C．140° D．160°
【 变 式 1 】 如 图 ， 四 边 形 ABCD 是 ⊙ O 的 内 接 四 边 形 ， 连 接 AC ， 延 长 AB 至 点 E ， 若
∠ACD=40°，^AC=C^D，则∠CBE的度数为（ ）A．80° B．76° C．72° D．70°
【变式2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接AC、BD，CD平分
∠BDE．
（1）求证：CA＝CB；
（2）若点B为CAD的中点，DE＝2，CE＝6时，求AD的长．
题型06 点与圆的位置关系
【典例1】已知⊙O的半径r＝3，OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法确定
【变式1】已知⊙O的半径是5，点P在⊙O内，则线段OP的长可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2】如图，⊙O中，弦AB的长为8，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝22.5°，⊙O所在的平面内
有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
题型07 三角形的外接圆与外心
【典例1】三角形的外心是（ ）
A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点
【变式1】已知△ABC的边BC=2❑√2，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．45° C．45°或135° D．60°或120°
【变式2】如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BCD＝35°，则
∠ABD等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【变式3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，半径OD⊥AC，垂足为点E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若AC＝8，DE＝2，求线段BD的长．
题型08 直线与圆的位置关系
13
【典例1】已知⊙O的半径为 ，圆心O到某直线的距离为❑√10，则该直线与⊙O的位置关系是 相交
4
．
【变式1】已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l
与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【变式2】已知矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，若以AB为直径的圆与边CD有交点，则a与b满足的关
系为（ ）A．a≥2b B．a＞2b C．a＞b D．a≥b
题型09 切线的性质与判定
【典例1】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BO的延长线于点P，若∠BAC＝
116°，那么∠P的度数为（ ）
A．26° B．32° C．34° D．38°
【变式1】如图，Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝4，点O在AB上，OB＝3，以OB为半径的⊙O与AC相
切于点D，交BC于点E，则弦BE的长为 ．
△
【变式2】如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，以AB的中点O为圆心的半圆与AC相
切，连接OC，与半圆相交于点D，则CD的长为 ．
△
【变式3】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，延长AB至点F，使得∠BCF＝
∠BCD．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若∠F＝30°，AB＝4，求阴影部分的周长．（结果保留π）【变式4】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为E，半径OB上有两点M和N，EN＝EM，射线
CM，射线CN分别交⊙O于点F、H，连接HF交CD于点G，过点D作HF的平行线l．
（1）证明：直线l是⊙O的切线；
（2）当OM＝BN时，若OB＝9，HF=6❑√5，求DG的长．
题型10 切线长定理与弦切角定理
【典例1】如图，P为⊙O外一点，PA，PB，MN分别切⊙O于A，B，C三点，且切线MN分别交PA，PB
于点M，N．若PA＝12，则△PMN的周长为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．24
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，
切点为E，若AB＝1，BC＝3，则阴影部分的面积是（ ）5 3 5 5
A．4❑√5- π B．2❑√5- π C．2❑√5- π D．3❑√5- π
4 4 4 4
【变式2】如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（
）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【变式3】如图，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD
于F点．若∠ADE＝19°，则∠AFB的度数为何？（ ）
A．97° B．104° C．116° D．142°
题型11 三角形的内切圆与内心
【典例1】如图，周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相
切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC＝4cm，则三角形纸片BDE的周长是（ ）
A．10cm B．9cm C．8cm D．7cm
【变式 1】如图，△ABC与△ACD中，AD=AC=DC=2❑√3，∠BAC：∠B：∠ACB＝1：2：3，则△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为（ ）
A．2 B．❑√3+1 C．2❑√3 D．3
【变式2】如图点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，∠BOC＝160°，则∠BIC的度数为（ ）
A．110° B．125° C．130° D．140°
【变式3】如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE＝120°，
∠EOF＝150°．
（1）求△ABC的三个内角的大小；
（2）设⊙O的直径为d，证明：d＝AB+AC﹣BC．
题型12 正多边形的有关计算
【典例1】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为^ED上的一点，则∠APC的度数为（ ）
A．36° B．60° C．65° D．72°
【变式1】如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AF、BF，若S =4❑√2，则⊙O的半径为（
△ABF
）A．1 B．❑√2 C．2❑√2 D．2
【变式2】如图是一个报警装置，由一个正六边形的可旋转阀门和一个触碰装置P组成，且AP＝BP，将
阀门绕其中心O旋转，当正六边形的顶点恰好与 P重合时，报警器会发出警报，此时阀门至少旋转了
30 度．
【变式3】如图，⊙O的半径为r，六边形ABCDEF是圆的内接正六边形，四边形EFGH是正方形．
（1）求正六边形ABCDEF与正方形EFGH的面积比；
（2）连接OF，OG，求∠OGF度数．
题型13 弧长及其扇形面积的相关计算
【典例1】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝60°，连接OA，OB，若⊙O的半径为6，则扇形AOB的
弧长为（ ）
A．2π B．4π C．6π D．8π
【变式1】如图，在△ABC中，∠B＝30°，点D是BC上一点，以CD为直径的半圆O经过△ABC的顶点A，C，交AB，BC于点F，D，若AC＝AF，CD＝10，则^AC的长为（ ）
5 5 20 25
A． π B． π C． π D． π
3 6 9 18
【变式2】如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且AC＝BC＝2，∠ACB＝120°．点P从点A出发，沿着
逆时针方向运动到点 B，连接 CP 与弦 AB相交于点 D，当△ACD 为直角三角形时，弧 AP的长为
（ ）
1 2 1 4
A．2π B． π C． π或 π D．2π或 π
2 3 2 3
【变式3】半径为1的圆中，扇形AOB的圆心角为120°，则扇形AOB的面积为（ ）
π π 2π
A． B． C． D．π
6 3 3
【变式4】如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部
分的面积为（ ）
5 1 3 1 5 1 5 1
A． + π B． - π C． - π D． - π
2 4 2 4 2 2 2 4
【变式5】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，
交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（ ）
4π 4π 4π 4π
A．5❑√3- B．5❑√3+ C．3❑√3- D．3❑√3+
3 3 3 3题型14 圆锥的有关计算
【典例1】若圆锥的底面半径为4cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（ ）
A．240° B．120° C．180° D．90°
【变式 1】用半径为 30，圆心角为 120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是
（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【变式2】小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底
面，（圆心O 与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长16cm，则以下这张正方形纸片的
2
边长是（ ）
A．16❑√2cm B．(10❑√2+4)cm
C．20cm D．18❑√2cm
【变式3】如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2❑√2，则这个圆锥的侧面积是（
）
A．4π B．3π C．π D．2π
