文档内容
第 05 讲 一次函数的应用
课程标准 学习目标
①一次函数与一元一次方程 1．掌握一次函数与一元一次方程之间的关系；
②利用一次函数的图象和性质解 2．掌握单个一次函数图象的应用及两个一次函数图象的应用；
决实际数学问题 3．能利用一次函数的图象和性质解决实际数学问题。
知识点01 一元一次方程与一次函数的关系
1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解；
y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解.
【即学即练1】
1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，直线 分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和
点B，若 ， ，则关于x的方程 的解为 ．【答案】
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系，勾股定理，先根据勾股定理求出
，根据直线 与x轴的交点的横坐标，即为关于x的方程 的解，然后数形结合求解
作答即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴方程 的解是一次函数 与x轴的交点的横坐标，
∴关于x的方程 的解为 ．
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，直线 与直线 交于点 ，则根据
图象可得关于x的方程 的解是 ．
【答案】 /
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，根据图象解出方程，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，∵直线 与直线 交于点 ，
∴根据图象可得关于x的方程 的解是： ，
故答案为： ．
知识点02 一次函数的实际应用
1）数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既
合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
2）正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后
根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.
3）选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，
寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
【即学即练2】
1．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）“这么近那么美，周末到河北”，河北某文化旅游公司推出野
外宿营活动，有两种优惠方案：方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价
优惠；方案二：所有人都按六折优惠．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关
于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．原票价为400元/人
C．方案二中y关于x的函数解析式为 D．若方案一比方案二更优惠，则
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，求出两种方案的解析式，逐一进行判
断即可．
【详解】解：由图象可知：会员卡的费用为400元，
∴ ；故选项A正确；
方案二：2人花费480元，
∴单人票价为240元，
∴原票价为： 元，方案二的解析式为： ；故选项B，C正确；
由题意，得：方案一的解析式为： ，
当 ，即： 时，方案一比方案二更优惠；故选项D错误；
故选D．
2．（23-24八年级下·河北沧州·期末）嘉淇一家计划租用一艘船游湖，有下面两种租赁方式：
甲方式：收取固定租金a元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费）；
乙方式：无固定租金，三小时以内每小时租费b元，超过三小时，超过部分按每小时租费32元计费（不足
一小时按一小时计费）．
设租用时间为x小时（x为整数），按甲方式租船所需费用为 元，按乙方式租船所需费用为 元，其图象如图所示．
(1) ________， ________；
(2)当 时，分别求出 ， 关于x的函数解析式；
(3)请通过计算说明选择哪种租赁方式比较合算．
【答案】(1)72；40；
(2) ， ；
(3)当租船时间为4小时，甲、乙两种租赁方式所需费用一样；当租船时间小于4小时，选择乙方式合算；
当租船时间大于4小时，选择甲方式合算．
【分析】本题考查了由函数图象获取信息，以及一次函数的应用，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据图象中的数据求解即可；
（2）根据另外再按每小时租费20元计费可求出甲方式的函数解析式；根据超过三小时，超过部分按每小
时租费32元计费可求出乙方式的解析式；
（3）求出两种收费相等时x的值，然后结合图象解答即可．
【详解】（1）由图象可知，甲方式收取固定租金72元，即 ；
∵乙方式3小时收费120元，
∴ 元．
故答案为：72；40；
（2）根据题意， ，
当 时， ；
（3）令 ，即 ，
解得 ，
∴当租船时间为4小时，甲、乙两种租赁方式所需费用一样；当租船时间小于4小时，选择乙方式合算；
当租船时间大于4小时，选择甲方式合算．题型01 已知直线与坐标轴交点求方程的解
【典例1】（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知一次函数 的图象与x轴的交点坐标为 ，则
一元一次方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．
根据“一次函数与一元一次方程的关系”求解．
【详解】解：∵一次函数 的图象与x轴的交点坐标为 ，
∴一元一次方程 的解为： ，
故答案为： ．
【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，若一次函数 的图象经过A、B两点．则方程
的解为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键．直接利用图象得出答
案．
【详解】解：如图所示：不等式 的解为： ．
故答案为： ．
【变式2】（23-24八年级上·福建宁德·期末）已知一次函数 的图象如图所示，则关于x的方程
的解是 ．【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程可利用一次函数的图象求解．观察图象， 时，x的值即为关于x的
方程 的解，据此求解．
【详解】解：∵一次函数 的图象与y轴交点的纵坐标是 ，
∴当 时， ，即 ，
∴关于x的方程 的解为 ，
故答案为： ．
【变式3】（23-24八年级上·四川成都·期末）若直线 与 的交点的坐标为 ，则方程
的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练的掌
握一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质，由交点坐标就是该方程的解可得答案．
【详解】关于x的方程 的解，即直线 与 的交点横坐标，
所以方程的解为 ，
故答案为 ．
题型02 由一元一次方程的解求直线与x轴的交点
【典例2】（23-24八年级上·陕西西安·期中）若关于x的方程 的解是 ，则直线 一定
经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方程可知当 ， ，从而可判断直线 经过点 即可．
【详解】解：由方程的解可知：当 时， ，即当 ， ，
∴直线 的图象一定经过点 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题
的关键．
【变式1】（2023八年级下·全国·专题练习）已知方程 的解为 ，则一次函数 的
图象与 轴交点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】关于 的一元一次方程 的根是 ，即 时，函数值为 ，所以直线过点
，于是得到一次函数 的图象与 轴交点的坐标．
【详解】解：方程 的解为 ，则一次函数 的图象与 轴交点的坐标为 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 ， 为
常数， 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 时，求相应的自变量的值．
从图象上看，相当于已知直线 确定它与 轴的交点的横坐标的值．
【变式2】（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程 的解是 ，则直线 一定经过点
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点
【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题
的关键；根据方程可知当 时， ，从而可判断直线 经过点 即可．
【详解】解：由方程的解可知：当 时， ，即当 时， ，
直线 一定经过点 ，
故选：C．
【变式3】（23-24八年级下·广东广州·期末）若 是方程 的解， 则直线 的图象与x
轴交点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程 的解就是一次函数
与 轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转
化为 （ ， 为常数， ）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为
时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线 确定它与 轴交点的横坐标即可得
答案．
【详解】解： 一元一次方程 的解是 ，
当 时， ，
故直线 的图像与x轴的交点坐标是 ．
故选：A．
题型03 利用图象法解一元一次方程【典例3】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，
则关于x的方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用 求出交点 的坐标，然后根据一次函数图
象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键．
【详解】解：把 代入 得 ，解得 ，
∴一次函数 与 的图象的交点 为 ，
∴关于 的方程 的解是 ．
故答案为： ．
【变式1】（2024·贵州遵义·一模）如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则关于 的
方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为 ，由图
象可以知道，当 时，两个函数的函数值是相等的，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7，
把 代入 ，得：
，解得： ，
∴点P的坐标为 ，
∵一次函数 与 的图象相交于点 ，∴关于 的方程 的解是 ．
故选：D．
【变式2】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数 （ 为常数且 与 的图象
相交于点 ，则关于 的方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意得 ，进而可得 ，再根据一次函
数 （ 为常数且 与 的图象相交于点 即可求解，熟练掌握基础知识是
解题的关键．
【详解】解：依题意得： 的图象经过点 ，
，
解得： ，
，
一次函数 （ 为常数且 与 的图象相交于点 ，
方程 的解为 ，
故答案为： ．
【变式3】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，直线 与 相交于点 ，则关于 的
方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次方程的综合，根据题图示，两条直线的交点即为方程的解，
由此即可求解，掌握一次函数的交点与一元一次方程的解的知识是解题的关键．
【详解】解：根据题意，两直线的交点坐标为 ，
∴关于 的方程 的解为： ，
故答案为： ．
题型04 一次函数的应用之分配方案问题
【典例4】（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，
电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；
方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的 付款．
某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶 ．设选择方案一需付款 元，选择方案二需付款
元．
(1)分别写出 ， 关于x的函数表达式．
(2)当 时．
①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱．
②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的
商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用．
【答案】(1) ，
(2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该
方案所需费用为21760元
【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列
出函数表达式．
（1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可；
（2）①将 分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买80个电饭煲，
再按方案二购买120个电热水壶最省钱，计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
，
．
（2）解：①当 时， ， ．
∵ ，
∴该厨具店选择方案二更省钱．
②更省钱的购买方案：
先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．
该方案所需费用为 （元）．
【变式1】（2024·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．
学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，
店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．
方案 运费 肥料价格
方案
12元 3元
一方案
0元 3.6元
二
若该班购买 千克肥料，按方案一购买的付款总金额为 元，按方案二购买的付款总金额为 元．
(1)请分别写出 与 之间的函数关系式；
(2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？
【答案】(1) ，
(2)方案一
【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键．
（1）根据两种销售方案表示出销售总价即可；
（2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案．
【详解】（1）解： 与 之间的函数关系式为 ，
与 之间的函数关系式为 ．
（2）解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
，
该班选择方案一购买的肥料较多．
【变式2】（2024·安徽淮北·三模）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种
分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享
受八折优惠．
(1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由；
(2)已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元．若不考
虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)采取第①种方式可早日结清余款，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确理解题意列出关系式是关键．
（1）先根据题意表示出第①种，第②种应实付款，再分类讨论即可；
（2）分别表示出所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的函数关系式，相减即可求
解．
【详解】（1）解：第①种应实付款 ，
第②种应实付款 ，
，令 ，解得
当智能机器人的总价 万元时，采取第①种方式较省钱；
当智能机器人的总价 万元时，两种方式一样；
当智能机器人的总价 万元时，采取第②种方式较省钱．
（2）该企业采取第①种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数 之间的关系为：
，即
该企业采取第②种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数 之间的关系为：
，即
因为 ，所以
∴采取第①种方式可早日结清余款．
【变式3】（2024·陕西渭南·一模）古人常说：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”，读书不
但可以让人增长智慧，开拓视野，而且还能让人明事理，知荣辱．某校为营造书香校园，计划购进 个某
品牌书架，已知该品牌书架的单价为 元 个，经过与厂家协商，厂家给出两种优惠方案：
方案一：所有书架均按原价的八折销售；
方案二：若一次购买不超过 个，则每个书架按原价的九折销售；若一次购买超过 个，则前 个打九
折，超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低 元．
(1)分别求方案一实际付款金额 （元）和方案二实际付款金额 （元）与 之间的函数关系式；
(2)当 时，请分别求出两种方案的实际付款金额，并判断选择哪种方案对学校来说更省钱．
【答案】(1) ， ；
(2)选择方案一更省钱．
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键；
（ ）根据题意分别列出两种方案的函数关系式即可；
（ ）将 分别代入（ ）中两种方案的函数关系式，计算比较即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ；
（2）解：当 时， （元）， （元），∴ ，
∴选择方案一更省钱．
题型05 一次函数的应用之最大利润问题
【典例5】（23-24九年级下·宁夏银川·期中）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果
进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进
价比甲种水果多3元．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中
甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲种水果的进价为5元/ ，乙种水果进价为8元/
(2)水果店应购进甲水果 ，购进乙水果 才能获得最大利润，最大利润是450元
【分析】（1）设甲种水果的进价为x元/ ，则乙种水果进价为 元/ ，列方程
解答即可．
（2）设购进甲水果m ，则乙水果 ，利润为y元. ，
利用一次函数的性质解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的性质的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）设甲种水果的进价为x元/ ，则乙种水果进价为 元/
（元）
答：甲种水果的进价为5元/ ，乙种水果进价为8元/ .
（2）设购进甲水果m ，则乙水果 ，利润为y元.
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴y随m的增大而减小.
∴当 时，y最大，最大值为450元.
【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两
种客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客
乙型客车
车
载客量（人辆） 45 60
租金（元/辆） 800 1200
倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为
y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)请你设计一种租车方案，要求费用最省．
【答案】(1)
(2)租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省
【分析】本题考查了一次函数的应用，综合性强，解决问题的关键在于找到 的取值范围，才能确定方案．
本题较为灵活，计算量略微有些大，考查了学生的推理能力、计算能力．
（1）设租用甲种客车 辆，则乙种客车是 辆，利用公式：总租金 甲的总租金 乙的总租金，即
可列出 与 之间的函数关系式；
（2）求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）依题意得： （ 为整数）
（2）依题意得：
，
解之，得 ，
为整数，且 为整数，
中， ，y随x的增大而减小，
的值为12时，y有最小值，为 ，此时 ，
租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省．
【变式2】（2024·河南南阳·二模）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农
产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，
促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴
桃的单价少1元．
(1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？(2)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价
格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利
润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多
少元．
【答案】(1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元
(2) ；购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为 元，根据购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了
4300元列出方程求解即可；
（2）根据题意可得购买水晶梨的数量为 斤，则可求出 ，据此利用一次函数的性质求
解即可．
【详解】（1）解：设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为 元，
依题意，得 ，
解得 ，则 （元），
答：水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元；
（2）解：∵商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，
购买水晶梨的数量为 斤，
依题意，得 ，
∵ ，
∴w随着n的增大而增大，
经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，
，
∴当 时．w有最大值，最大值为 ，
购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元．
【变式3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）动画片《喜羊羊与灰太狼》正在热播中．某企业获得了生
产羊公仔和狼公仔的专利．为了满足市场需求，该企业现在开始生产羊和狼两种类别的公仔，每天共生产
450只；两种公仔成本和售价如下表所示，设每天生产羊公仔x只，共获利y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)如果该企业每天投入成本不超过10000元，那么每天要获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？
类别 成本（元/只） 售价（元/只）
羊公仔 20 23
狼公仔 30 35【答案】(1)
(2)应生产羊公仔350 ，狼公仔100只
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根
据题意找出数量关系，
（1）设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔 只，根据总利润=羊公仔利润+狼公仔利润，即可
得出函数关系式；
（2）根据题意，列出不等式，求出x的取值范围，再结合一次函数的增减性，即可解答．
【详解】（1）解：设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔 只，
根据题意可得： ，
即y与x之间的函数关系式为： ；
（2）解：根据题意可得： ，
解得： ，
∵ ， ，
∴y随x的增大而减小，
∴当 时，y有最大值，
∴ （只），
答：应生产羊公仔350 ，狼公仔100只．
题型06 一次函数的应用之行程问题
【典例6】（23-24八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙
地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程 与快车行驶时间 之间的函数图象．根据
图象回答下列问题：
(1)甲、乙两地之间的距离为________ ．
(2)当 时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式．(3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距 时x的值．
【答案】(1)600；
(2) ；
(3) 或
【分析】本题主要考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式是基础，结合题意理解图形是解题的关
键．
（1）由图象直接得出结论；
（2）由图象可知图象经过 ， ，利用待定系数法分别求得；
（3）同（2）求出快车离乙地的路程 与 之间的函数关系式，令 ，解方程即可．
【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两地之间的距离为 ，
故答案为：600；
（2）当 时，设慢车离乙地的路程 与 之间的函数关系式为
把 ， 代入解析式得： ，
解得 ，
∴慢车离乙地的路程 与 之间的函数关系式为 ；
（3）设快车离乙地的路程 与 之间的函数关系式为 ，
把 ， 代入解析式得： ，解得 ，
∴快车离乙地的路程 与 之间的函数关系式为 ，
当两车相距50时， ，
解得 或 ，
∴当 或 时，两车相距 ．
【变式1】（2024·河南信阳·三模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现
有 两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中 品牌的收费方式对应
， 品牌的收费方式对应 ．(1) 品牌共享电动车骑行 分钟后，每分钟收费________元；
(2)当 时，写出 的函数关系式为________；
(3)如果小明每天早上需要骑行 品牌或 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均
行驶速度均为 ，小明家到工厂的距离为 ，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以
省多少？
【答案】(1)
(2)
(3)小明选择 品牌共享电动车更省钱，可以省 元
【分析】本题主要考查一次函数的实际运用，理解一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解题
的关键．
（1）根据一次函数图象可得骑行10分钟后的路程和费用，由此即可求解；
（2）根据 的图象，运用待定系数法即可求解；
（3）分别算出两种品牌的费用进行比较即可求解．
【详解】（1）解：根据题意， （元）， （ ），
∴ （元/ ），
故答案为 ；
（2）解：设 时， ，且函数图象过 ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
故答案为： ；（3）解： ，
∴ ，
设 品牌的费用为 ，且图象过 ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
∴当 时， 品牌的费用为 （元），
品牌的费用为 （元），
∵ ，且 （元），
∴小明选择 品牌的共享电动车更省钱，可以省 元．
【变式2】（2024·浙江金华·三模）随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市
的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速
相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向
继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系
如图2所示．
(1)根据图象信息， ______， ______．
(2)求平平和安安的速度．
(3)求线段AB所在直线的函数表达式．
【答案】(1)15，10
(2)平平的速度为0.3千米 分钟，安安的速度为0.2千米 分钟；
(3)线段 所在直线的函数表达式为 ．
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意直接写出 、 的值即可；
（2）当 时平平到达乙地，根据“速度 路程 时间”计算平平的速度；设安安的速度为 千米 分钟，
根据二人相遇时两人路程之和为甲、乙两地之间的距离列方程并求解即可；
（3）根据“路程 速度 时间”求出 时安安离乙地的距离，从而求出点 的坐标；设 分钟时安安到
达甲地，根据“路程 速度 时间”列方程并求解，从而求得点 的坐标；利用待定系数法求出线段 所
在直线的函数表达式即可．
【详解】（1）解：根据题意，得 ， ．
故答案为：15，10；
（2）解：平平的速度为 （千米 分钟）；
设安安的速度为 千米 分钟，当二人相遇时，得 ，解得 ，
平平的速度为0.3千米 分钟，安安的速度为0.2千米 分钟；
（3）解：当 时，平平到达乙地，此时安安离乙地的距离为 （千米），
．
设 分钟时安安到达甲地．
根据“路程 速度 时间”，得 ，解得 ，
．
设线段 所在直线的函数表达式为 、 为常数，且 ．
将点 和 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
线段 所在直线的函数表达式为 ．
【变式3】（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加
社会实践活动，小明同学先从甲地出发， 小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离 （千米）与小明
出发的时间 （小时）之间的函数图象如图所示．
(1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时；(2)当 时，求小明距甲地的距离 与 之间的函数关系式；
(3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离．
【答案】(1)
(2)
(3) 千米
【分析】本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键．
（1）根据：速度=路程/时间，计算即可．
（2）利用待定系数法求解即可．
（3）根据：速度=路程/时间，解出小红距甲地距离 与 之间的函数关系式 ，当小红到达乙地时，
，代入求出相对应 的值，将 的值代入 ，可得 ，即为小明距离甲地的距离，在
根据：小明距离乙地的距离＝甲乙两地的距离－小明距离甲地的距离，计算即可．
【详解】（1）由图象可知，小红同学在 小时内骑了 千米，
故其骑自行车的速度为 （千米/小时），
故答案为 ．
（2）当 时，设小明距离甲地的距离 与 之间的函数关系式为 （ 、 为常数，且
），
点 和 在直线 上，代入到 中，
可得 ，
解得 ，
∴当 时，小明距离甲地的距离 与 之间的函数关系式为 ．
（3）设小红距离甲地的距离 与 之间的函数关系式为 （ 、 为常数，且 ），
小红同学骑自行车的速度为 千米/小时，且点 在直线上，
∴ ，
故小红距离甲地的距离 与 之间的函数关系式为： ，
当小红到达乙地时， ，代入解得： ，
解得： ，
将 带入到 中，
解得： ，
故 （千米），∴当小红到达乙地时，小明距乙地的距离为 千米．
题型07 一次函数的应用之几何问题
【典例7】（23-24八年级下·重庆·期中）在 中， ， ， ，动点 从点
出发沿着折线 运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是 秒， 的长度是
，请解答下列问题：
(1)请直接写出 与 的函数关系式及 的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当 时，自变量 的取值范围．
【答案】(1)
(2)作图见解析，当 时，y随x的增大而减小；
(3) 或
【分析】本题考查一次函数的几何应用，作函数图象，根据函数图象求自变量的取值范围等．
（1）运动路程为 ，结合图形即可求解；
（2）先作出函数图象，根据图象即可解答；
（3）先求出 时x的值，结合图象即可作答．
【详解】（1）解：由题意可得：当 时， ，
当 时， ，
∴ ；
（2）如图所示，当 时，y随x的增大而减小；
（3）解，令 ，则 或 ，
∴当 时，自变量 的取值范围为： 或 ．
【变式1】（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形 中， ，点 从点 出
发，沿折线 运动，当它到达点 时停止运动，连接 ，记点 运动的路程为
， 的面积为 ．
(1)当 时，写出 与 之间的函数解析式______．当 时，写出 与 之间的函数解析式
______．
(2)根据自变量 的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点 整个运动过程中的函数图象；
(3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质；
(4)请根据函数的图象，直接写出当 时 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数图象中获取信息、画函数图象，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
（1）当 时，点 在 上，由题意得 ， ， ，再由三角形面积公式
即可得解；当 时，点 在 上，则 ，再由三角形面积公式即可得解；
（2）当 时，点 在 上，此时 ，再根据函数解析式画出函数图象即可；
（3）由函数图象即可得出答案；
（4）由函数图象即可得出答案．【详解】（1）解：当 时，点 在 上，
，
由题意得： ， ， ，
∴ ；
当 时，点 在 上，
，
则 ，
∴ ；
（2）解：当 时，点 在 上，
，
此时 ，
∴ ，
画出函数图象如图所示：
；
（3）解：由图象可得：当 时， 随 的增大而增大；
（4）解：由图象可得：当 时 的取值范围为： ．
【变式2】（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在 中， ， ，，动点 以每秒 的速度从点 出发，沿折线 方向运动．动点 以每秒 的速
度从点 同时出发，沿折线 方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为 ，点 ，
的距离为 ．
(1)请直接写出 关于 的函数解析式，并注明自变量 的取值范围．
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质．
(3)当点 ， 相距 时，求出 的值．
【答案】(1)
(2)作图见解析，当 时， 随 的增大而增大（答案不唯一）
(3) 或
【分析】本题考查函数解析式的求法，勾股定理，函数图象的作法及运用；
（1）分 以及 分别求解即可得出答案；
（2）根据函数解析式直接作图，根据图象可写出一条性质；
（3）根据函数图象可得出答案．
【详解】（1）解： 在 中， ， ， ，
．
如图1，当点 ， 分别在 ， 上运动时，运动 后， ， ．当 时，点 恰好运动到点 处，点 恰好运动到点 处．
，由勾股定理可得 ，
当 时， 关于 的函数解析式为 ．
当 ， 两点都在 上运动时， ，
令 ，解得 ，
当 时， 关于 的函数解析式为 ，
关于 的函数解析式为 ．
（2）由（1）中得到的函数解析式可知，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
如图2，分别描出对应点然后顺次连线．
该函数的一个性质：当 时， 随 的增大而增大（答案不唯一）．
（3）当 时，分别代入函数 ， 中，得 或 ，
解得 或 ．
【变式3】（23-24八年级下·海南·期中）如图 ，在长方形 中， ， 、点 从
出发，沿 路线运动，到 停止；点 的速度为每秒 ， 秒时点 改变速度，变为每秒
，图 是点 出发 秒后， 的面积 与 秒 的关系图象；
(1)当点 在 上运动时， 的面积会_______，点 在 上运动时， 的面积会______，点
在 上运动时， 的面积会________； 填“增大”或“减小”或“不变”
(2)根据图 提供的信息，求出 、 及图 中 的值；
(3)设点 离开点 的路程为 ，请写出动点 改变速度后 与出发后的运动时间 秒 的关系式．
(4)当点 出发后几秒时， 的面积 是长方形 面积的 ？
【答案】(1)增大；不变；减小；
(2) ；
(3) ；
(4)当点 出发5秒或14.5秒时， 的面积 是长方形 面积的 ．
【分析】此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动
性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式．
（1）根据函数图象及动点运动即可得出结果；
（2）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值；
（3）确定y与x的等量关系后列出关系式即可；
（4）结合题意，分四种情况确定相应的函数解析式，然后计算 的面积，然后将计算出来的数值代入
所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，
反之则不是．
【详解】（1）解：当点 在 上运动时， 增大， 的面积会增大；点 在 上运动时，的面积会不变；点 在 上运动时， 的面积会减小；
故答案为：增大；不变；减小；
（2）∵长方形 中， ， ，
∴ ，
当点P在 上时，
得： ，
∴ ，
，
；
（3）∵ ，
∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为： ；
（4）①当 时
，
；
②当 时
，
；
③当x运动到C点时
解得：
即： 时
；
④当 时
，
；
综上： ；
∵ ，① 时， ，符合题意；
② 时， ，不符合题意，舍去；
③ 时， ，不符合题意，舍去；
④ ， ，符合题意；
所以点P出发后5秒或 秒， 的面积是长方形 面积的 ．
一、单选题
1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，若一次函数 的图象经过 、 两点．则方程 的
解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键．直接利用图象得出答
案即可．
【详解】解：如图所示：
不等式 的解为： ．
故选：A．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）在某地，人们发现某种蟋蟀1分钟所叫次数与当地温度之间近似为一次函
数关系．下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表：
8
蟋蟀所叫次 … 98 119 …
4数
1
温度（ ） … 17 20 …
5
如果蟋蟀1分钟叫了63次，那么该地当时的温度大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．
解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．利用待定系数法求解得到函数解析式；再把 代入解析
式求y值即可．
【详解】解：设蟋蟀1分钟叫的次数为x次，当地温度为y摄氏度，一次函数关系式为 ，
由题意，得 ，
解得：
∴ ；经检验符合题意；
当 时，
故选B．
3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，
则下列说法：① ， ；② 随 的增大而减小；③关于 的一元一次方程 的解为 ；
④当 时， ．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【答案】B
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、判断一次函数的
增减性
【分析】本题考查一次函数的图像与性质、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，熟
练掌握一次函数图像和性质，利用数形结合的思想解答是解题关键．根据一次函数图像所在象限及与坐标轴的交点可判断①②错误，③正确，根据一次函数图像在 轴上方时与 轴交点横坐标可判断④正确，综
上即可得答案．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过一、二、三象限，
∴ ， ， 随 的增大而增大，故①②错误，
∵一次函数与 轴交于点 ，
∴关于 的一元一次方程 的解为 ，当 时， ，故③④正确，
故选：B．
4．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）小明家与超市在同一条笔直道路上，妈妈从超市回家，小明发现漏
买了文具就从家去了超市，两人都匀速步行且同时出发，妈妈先到家．两人之间的距离 与时间
之间的函数关系如图所示，其中说法正确的是（ ）
A．小明的速度是
B．妈妈的速度是
C．线段 的函数表达式为
D．点A的坐标为
【答案】C
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键．
根据“速度=路程÷时间”计算小明的速度即可判定A；当 时，两人相遇，根据“两相遇时人人一共走
过的路程是 ”计算妈妈的速度，即可判定B；根据“路程=速度×时间”求出线段 的函数表达式，
写出自变量的取值范围即可判定C；根据“时间=路程÷速度”计算妈妈到家所用的时间，再根据“路程=速
度×时间”计算小明此时离家的距离，从而求出点A的坐标，即可判定D．
【详解】解：A、小明的速度是 ，故此选项不符合题意；
B、妈妈的速度是 ，故此选项不符合题意；
C、妈妈到家所用的时间是 ，当 时，妈妈已经到家，之后两人之间的距离就是小
明离家的距离，∴线段 的函数表达式为 ，故此选项符合题意；
D、妈妈到家所用的时间是 ，当 时，两人之间的距离，即小明离家的距离是，∴点A的坐标为 ，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y
（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单
位：天）的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（ ）
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D．第30天的日销售利润是750元
【答案】C
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息.
由图①的信息可判断A；再求解一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系式，
计算当 时， ，可判断B；再求解当 时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：
天）的函数关系式：分别计算第12天与第30天的销售量与当天一件产品的销售利润，从而可判断C和
D．
【详解】解：由图①中的信息可得：第24天的销售量为200件，故A不符合题意；
设当 时，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为：
，
，
解得： ，
，
当 时， ，
所以第10天销售一件产品的利润是15元，故B不符合题意；
当 时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系为：
，，
解得： ，
，
当 时， ， ，
所以第12天的日销售利润为： 元，
第30天的日销售利润为： 元，而 ，故C符合题意；
由第30天的日销售利润为： 元，故D不符合题意，
故选：C．
二、填空题
6．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）直线 经过点 ，则一次方程 一个解为
．
【答案】
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，先求解 ，再解方程 即可．
【详解】解：由图知：直线 经过点 ，
即 ；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（23-24八年级下·全国·单元测试）嘉嘉在超市购买橙子所付金额y（元）与一次性购买质量x（千克）
之间的函数图象如图所示，若一次性购买6千克橙子，则所付金额为 ．
【答案】28元
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出函数图象的解析式，再将x的值代入即可求解．
【详解】解：如图，
设 所在直线的解析式为 ，
将 ， 代入 ，得： ，
解得 ，
所在直线的解析式为 ，
当 时， ，
若一次性购买6千克橙子，则所付金额为28元，
故答案为：28元．
8．（23-24八年级下·山西晋城·期末）小青乘飞机去旅游，从放置在座位后背的一份杂志上看到这样的一
张表格，此时飞机舱外部的温度显示为 ，请你帮小青算算：她所乘的飞机此时距地面 千
米．
飞机距离地面高度 （千
0 1 2 3
米）
飞机舱外面的温度 8 2
【答案】5
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查函数问题，根据表格得出函数解析式，进而代入解答即可．
【详解】解：由表格中的数据可得，飞机距离地面高度每升高1千米，飞机舱外面的温度下降6度，可得
与 成一次函数关系，
故设函数解析式为： ，
把 代入解析式可得：
，
解得： ，把 代入解析式可得： ，解得： ，
故答案为：5．
9．（23-24八年级下·山东聊城·期末）已知点 ， ，如果点 在直线AB上，且 的面
积等于 ，则点 的坐标是 ．
【答案】 或
【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、坐标与图形
【分析】本题考查了一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，平面直角坐标系中运用点坐
标求几何图形面积的方法是解题的关键．
运用待定系数法求出直线AB的解析式，由此设 ，图形结合分析几何图形的面积，由此即可求
解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
设AB所在直线的解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴直线AB的解析式为 ，
∵点 在直线AB的图形上，
∴设 ，
如图所示，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
故答案为： 或 ．
10．（24-25八年级上·全国·课后作业）小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价
都是1元/本，甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件
是：从第一本开始打折卖出，其中，购买金额y（元）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示，则下
列说法中：①乙商店给出的折扣是八折；②购买10本练习本时，甲商店更合算；③购买30本练习本时，
甲商店更合算；④在甲商店购买20本练习本需花费17元，正确的是 ．（填序号即可）
【答案】③④
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查函数的实际应用，解题的关键是读懂题意．
从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可．
【详解】解：①由图象可知，乙商店每本练习本的费用为 元，即乙商店给出的折扣是八五
折，此项错误；
②由图象可知，乙商店每本练习本的费用为 元，故购买10本时，在甲商店购买需花费：
元，在乙商店购买需花费： 元，故乙商店更合算，此项错误；
③由图象可知：当x=30时，乙图象在甲图象的上方，即在乙商店购买花费的多，所以购买30本练习本时，
甲商店更合算，此项正确；
④在甲商店购买20本练习本需要花费 元，故此项正确；
故答案为：③④．
三、解答题
11．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，一次函数 与两坐标轴
分别交于A，B两点，(1)求点A，B的坐标；
(2)若存在直线 上的点N，使得 ，请求出符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、几何问题(一次函数的实际应用)
【分析】此题主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，绝对值方程的求解，列出方程是解本题
的关键．
（1）利用坐标轴上点的特点直接得出点A，B坐标；
（2）设出点N的坐标，利用三角形的面积列方程求解即可．
【详解】（1）解：令 ，
∴ ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点N在直线 上，
∴设 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
12．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）在期中考试总结会议上，学校决定购买A，B两种奖品共120件，
对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件，B种奖品的价格为15元/件．
(1)请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式；
(2)当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？
(3)若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？
【答案】(1) ；
(2)2310元；
(3)总费用最多是2650元．
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，确定函数关系式是解本题的关键；
（1）由总费用等于购买两种奖品的费用之和建立函数关系式即可；
（2）把 代入（1）中的解析式计算即可；
（3）利用一次函数的性质解答即可；
【详解】（1）解：根据题意，得：
，
即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式为 ；
（2）当 时， ，
答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元；
（3）由题意，得 ，
由（1）可知为 ，
∵ ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时，y有最大值为 ，
答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元．
13．（2024·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40
元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按
原价收费，超过部分按原价的五折收费．设张洋的采摘量为 千克，按甲方案所需总费用为 元，按乙方案所需总费用为 元．
(1)当采摘量超过10千克时，分别求出 、 关于x的函数表达式；
(2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)选择乙方案更划算，见解析
【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键．
（1）根据甲、乙收费方案即可求解；
（2）令 ，分别求出 ， ，即可进行判断．
【详解】（1）解：由题意得： ，
；
（2）选择乙方案更划算
理由：当 时，
，
．
，
选择乙方案更划算．
∵
14．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）从2024年起，宁夏中考体育考试总分将提高至70分．为了适应新
∴
的中考要求，学校准备从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价
30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
A网店：买一个足球送一条跳绳；
B网店：足球和跳绳都打九折．
已知要购买足球60个，跳绳x条（ ）．
(1)分别求出在A、B两家网店购买所需的费用 和 ；
(2)求该校购买多少条跳绳时，在A、B两家网店的花费一样多．
【答案】(1) ，
(2)300
【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据题意写出函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意列出解析式即可；
（2）根据题意得到 ，计算得到答案即可．【详解】（1）解：在 店购买可列式： ；
在网店 购买可列式： ；
（2）解：当 时，
，
解得： ，
答：该校购买300条跳绳时，两家网店的花费一样多．
15．（2024·山东济南·模拟预测）2023山东国际农业博览会于2023年12月22-24日在山东国际会展中心举
办，本届农博会以“聚焦新机遇·共谋新发展”为主题，致力打造从田间到餐桌，全链条创新发展商贸服务
平台，全面展示现代农业、农业全产业链新产品、新技术、新成就，扩大内外市场、促进交流合作．打造
农、食、餐、饮产品主题特色展览展示盛会．展会上，某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本
价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，
该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多
少吨？
(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】(1)这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨
(2)该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的
性质和方程的知识解答．
（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为
多少吨；
（2）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的
性质，可以得到利润的最大值．
【详解】（1）设这个月该公司销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨．
依题意，得 ，
解得 ，
则 ，
经检验 符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产 吨，则销售乙特产 吨，且 ，
公司获得的总利润 ，
因为 ，所以 随着 的增大而增大，又因为 ，
所以当 时，公司获得的总利润的最大值为26万元，
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元．
16．（23-24八年级下·广东广州·期末）某建筑公司现有 ， 两工地需要租车运土， 工地需要12台，
工地需要18台；租车公司现有甲型车10台，乙型车20台可供选择，每天租金价格如右表．
甲型车租金 乙型车租金
工地 800元/台 600元/台
工地 600元/台 300元/台
(1)设 工地租甲型车 台，租乙型车______台；则 工地租甲型车______台，租乙型车______台（用含
的式子表示）．
(2)设该公司每天的总租金为 元，请求出 与 的函数解析式并写出 的取值范围．
(3)在（2）条件下，公司如何租车才能使得每天总租金最少？最少租金是多少？请说明理由．
【答案】(1) ； ；
(2)
(3) 工地租甲型车10台，租乙型车2台；则 工地租乙型车18台，才能使得每天总租金，最少租金是
14600元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用代数式表示式
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）根据A，B两工地租车方案，即可求解；
（2）根据租金等于每天的租金价格乘以车的数量，列出函数的关系式，即可求解；
（3）根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设 工地租甲型车 台，租乙型车 台；则 工地租甲型车 台，租乙型车
台；
故答案为： ； ；
（2）解： ，
即 与 的函数解析式为 ；
（3）解：∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∵ ，
当 时，y取得最小值，最小值为14600，
即 工地租甲型车10台，租乙型车2台；则 工地租乙型车18台，才能使得每天总租金，最少租金是14600元．
17．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）在一条直线上依次有 ， ， 三港口，甲，乙两船分别从 ，
港口同时出发，匀速驶向 港，在两船行驶的过程中，甲，乙两船距 港的路程 （单位：千米）与乙
船行驶的时间 （单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
(1)直接写出甲船的速度和 ， 两港之间的路程；
(2)求甲船从 港到 港的过程中 与 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
(3)乙船行驶多长时间两船相距的路程为15千米？请直接写出答案．
【答案】(1)甲船的速度为 ， ， 两港之间的路程为
(2)
(3)乙船行驶 小时或 小时或 小时，两船相距的路程为15千米．
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查的是一次函数的图象及一次函数的应用，解答此题时要注意运用分类讨论的思想，不要
漏解．
（1）从图中可以计算出结论即可；
（2）设甲船从 港到 港的过程中 与 的函数关系式为 ，用待定系数法求解即可；
（3）先根据一次函数的图象求出乙的速度，再根据甲在乙船前和乙船后，及甲船已经到了而乙船正在行
驶，三种情况进行解答即可．
【详解】（1）从图中可以得出甲船的速度为： ，
， 两港之间的路程为 ，
故答案为：120；
（2）从图中可以得出甲船从A到B所需要的时间为： ，
，
设甲船从 港到 港的过程中 与 的函数关系式为 ，
，解得： ，甲船从 港到 港的过程中 与 的函数关系式为 ；
（3）乙船的速度为： ，
设乙船行驶 小时两船相距的路程为15千米，
甲船追上乙船之前，两船相距的路程为15千米，则：
，
解得： ，
甲船追上乙船之后且甲船到达C地之前，两船相距的路程为15千米，则：
，
解得： ，
甲船到达C地之后，两船相距的路程为15千米，则：
，
解得： ，
综上所述，乙船行驶 小时或 小时或 小时，两船相距的路程为15千米．
18．（23-24八年级下·吉林长春·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示.桌面AB长
为160 ，（小球P与木块Q大小厚度忽略不计）同时从A出发向B沿直线路径做匀速运动，速度较快的
小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向
挡板ｌ如此反复，直到木块Q到达l，同时停止.设小球的运动时间为 ，木块Q与小球之间的距离为
，图②是y与x的部分函数关系图象，结合图象回答下列问题.
(1)小球P第一次到达挡板l的时间是______ s，小球P的速度为______ ；
(2)求图②中a的值及木块Q的运动速度；
(3)小球P第一次返回时，求y与x的函数关系式；
(4)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为 时，直接写出x的值.
【答案】(1)16；10(2)a的值为64，木块Q的运动速度
(3)
(4) 或
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是 ，进而可得小球P
的速度为 ，故可判断得解；
（2）依据题意，求出速度和，然后计算出 点的速度，计算即可得解；
（3）利用待定系数法计算可以得解；
（4）依据题意，先求出小球P运动 前的函数关系式，然后把 代入解析式和（3）中解析式计算
即可．
本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
【详解】（1）由题意，观察函数图象，可得，
小球P第一次到达挡板l的时间是 ，
小球P的速度为 ，
故答案为：16；10；
（2）由题意， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
答：a的值为64，木块Q的运动速度 ．
（3）由题意，设小球P第一次返回时， ，
将 ， 代入得，
解得 ，
∴ ．
（4）由题意，设小球P运动16s前的函数关系式为 ，
函数过 ，
∴ ，
∴ ，
∴此时函数为 ，,又令 ，
∴ ，
又当小球运动到 后，结合（3）函数关系式为 ，
∴令 ，
解得 ，
综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为 时， 或 ．
19．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）已知小明的家、超市、长拖 文化公园的位置如图 所示，
小明从家出发，先匀速步行 到超市，在超市停留了 ，之后匀速以同一速度步行了 到文化
公园，在文化公园停留 后，再骑行共享单车 返回家．下面图中 表示时间， 表示离家的距
离．图象反映了这个过程中小明离家的距离 与时间 之间的函数关系：
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)填表：
小明离开家的时间
小明离家的距离
(2)当 时，求 与 之间的函数关系式；
(3)当小明离开家 时，他的爸爸也从长拖 文化公园出发匀速步行了 直接到家，直接写出两
人相遇时离家的距离．
【答案】(1) ， ， ， ；
(2)当 时， 与 之间的函数关系式为 ；
(3)两人相遇时离家的距离为 或 ．
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】（ ）根据图象信息，求出当 时的速度，从而得出当 时小明离家的距离；当时，小明离家的距离为 ，从而得出当 时小明离家的距离，求出当 时 与
之间的函数关系式，从而得出当 时小明离家的距离；当 时，小明离家的距离为 ，从
而得出当 时小明离家的距离；
（ ）把点 、 代入 ，即可求出 与 之间的函数关系式；
（ ）分别求出爸爸离家的距离 与小明离家的时间 的函数关系式 ，当 时 与
之间的函数关系式为 ，又当 时， 与 之间的函数关系式为 ，
然后分 当 时 当 即可求解；
本题考查了一次函数应用，待定系数法求解析式，根据图像获得信息是解题的关键．
【详解】（1）根据图象可知：当 时的速度为： ，则当 时，小明离家
的距离为： ，
当 时，小明离家的距离为 ，
设当 时 与 之间的函数关系式为 ，把点 、 代入 得：
∴ ，解得： ，
∴当 时， 与 之间的函数关系式为 ，
∴当 时，小明离家的距离为： ，
当 时，小明离家的距离为 ，
则填表如图：
小明离开家的时间
小明离家的距离
故答案为： ， ， ， ；
（2）设当 时 与 之间的函数关系式为 ，把点 、 代入 得：
∴ ，解得： ，
∴当 时， 与 之间的函数关系式为 ；
（3）由题意设爸爸离家的距离 与小明离家的时间 的函数关系式为： ，过点点 、
，
∴ ，解得： ，
则爸爸离家的距离 与小明离家的时间 的函数关系式为 ，
由（ ）得： 时， 与 之间的函数关系式为 ，由（ ）得：当 时， 与 之间的函数关系式为 ，
当 时解得： ，
∴ ，
当 时解得： ，
∴ ，
综上可知：两人相遇时离家的距离为 或 ．
20．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、
轴分别交于 、 两点，点 是线段 上的一个动点（不与 ， 重合），连接 ．
(1)求 ， 两点的坐标；
(2)求 的面积 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(3)当 的面积 时，第一象限内是否存在一点 ，使 是以 为直角边的等腰直角三角
形，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 点坐标为 ， 点坐标为
(2)
(3) 或 ．
【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】（1）分别求出当 时，y的值，当 时，x的值即可得到答案；
（2）如图所示，过点 作 轴，先求出 ， ，再根据三角形面积公式进行求解即可；（3）先求出出 点坐标为 ，再分当 、 时两种情况，利用一线三垂直模
型证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：当 时， ，当 时， ，
解得： ，
∴ 点坐标为 ， 点坐标为(0,3)；
（2）解：如图所示，过点 作 轴，
∵点 是线段 上的一个动点（不与 ， 重合），
∴ ， ，
∴ 的面积 ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 点坐标为 ，
当 时，过点 作 轴于 ，过点 作 于 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时，如图所示，过点 作 轴于M，
同理可证 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
综上，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，列函数关
系式等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
