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2024-2025 学年广东省江门市高一上学期期末调研测试数学试题❖
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集定义求解即可.
【详解】因为集合 ， ，
所以
故选：B
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用诱导公式求得 ，再利用 ，求得 ，利用商数关系得答案.
【详解】解： ，
则 ，
则
故选：A
3. 函数 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】
根据函数的单调性以及零点存在性定理即可解出．
【详解】因为函数 在 上单调递增，而 ， ，
由零点存在性定理可知，存在唯一零点 ，使得 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的单调性以及零点存在性定理的应用，属于容易题．
4. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等性质及命题的充分必要性直接可判断.
【详解】当 时，若 ，则 ，即“ ”不是“ ”充分条件；
当 时， ，即“ ”是“ ”必要条件，
综上所述，“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B.
5. 已知函数 ，则 （ ）
A. 是偶函数，且在 上是减函数 B. 是偶函数，且在 R 上是增函数
C. 是奇函数，且在 上是增函数 D. 是奇函数，且在 R 上是减函数
【答案】D
【解析】
【分析】由已知得 ，即函数 为奇函数， 设 ， ，在 上
单调递减，可得答案．
【详解】函数定义域为 ，
，函数为奇函数，
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学科网（北京）股份有限公司设 ， ，函数单调递增，设 ，在 上单调递减，
故函数 在 R 上是减函数.
故选：D
6. 在 内函数 的定义域是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数 的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数 ，其中有意义，
则满足 ，其中 ，即 ，其中 ，
解得 ，即函数 的定义域为 .
故选：C.
7. 已知函数 若方程 有 个实数解，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别对 ， 和 三种情况进行讨论，即可得到 的取值范围.
【详解】①若 ，则对 有 ，
对 有 .
所以方程 不可能有 个实数解，不满足条件；
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学科网（北京）股份有限公司②若 ， 则 对 ， 由 且 可 知
，从而有 ，
同时对 有 ，对 有 .
所以方程 不可能有 个实数解，不满足条件；
③若 ，则方程 有 个实数解 ， ， ，满足条件.
综上， 的取值范围是 .
故选：D.
8. 中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： 它表示：
在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 C 取决于信道宽度 W、信道内信号的平均功率 S、信道内部的
高斯噪声功率 N 的大小，其中 叫做信噪比.当 时，公式中真数里的 1 可以忽略不计.按照香农公
式，若将带宽 W 变为原来的 2 倍，信噪比 从 100 提升到 2000，传递速度 C 变为原来的 k 倍，则 k 约为
（ ） 其中
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 即可求解．
【详解】当 时， ，
当 时， ，
则 ，
故传递速度 C 大约是原来的 倍．
故选：C.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
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学科网（北京）股份有限公司9. 下列各组函数中，是相同函数的为（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】BD
【解析】
【分析】根据相同函数的定义，对选项逐个判断即可.
【详解】对于 A、 与 的对应法则不同，不是相同函数；
对于 B、 ，定义域均是实数集 ，与 是相同函数；
对于 C、 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同，不是相同函
数；
对于 D、 ，与 是相同函数.
故选：BD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 钝角都是第二象限角
B. 第二象限角大于第一象限角
C. 终边落在 y 轴上的角的集合可表示为
D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由象限角 定义即可判断 A、B 选项，由终边相同的角即可判断 C 选项，由三角函数的定义即可
判断 D 选项.
【详解】钝角的范围为 ，都是第二象限角，故 A 正确;
是第二象限角， 是第一象限角， ，故 B 错误;
终边落在 y 轴上的角的集合可表示为 ，故 C 正确;
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，则 ， ，
故 ，故 D 正确.
故选：ACD.
11. 对于分别定义在 ， 上的函数 ， 以及实数 ，若存在 ， ，使得
，则称函数 与 具有关系 ；若任取 ，存在 ，使得
， 则 称 函 数 与 具 有 关 系 已 知 ，
，则下面判断正确的是（ ）
A. 函数 与 具有关系 B. 函数 与 具有关系
C. 函数 与 具有关系 D. 函数 与 具有关系
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数 与 具有关系 定义及函数 与 具有关系 定义可判断各选
项.
【详解】对于 A， ，
则函数 与 具有关系 ，A 正确；
对于 B， ，
则函数 与 具有关系 ，B 正确；
对于 C， 值域为 ，
值域为 ，
显然函数 与 具有关系 ，C 正确；
对于 D， ，则 ，由上可知，该方程无解，D 错误.
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学科网（北京）股份有限公司故选：ABC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 则 ______.
【答案】6
【解析】
【分析】运用代入法，结合对数的运算性质进行求值即可.
【详解】因为 ，
所以
故答案为：6
13. 若 ，则 的最小值是________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】依题意利用基本不等式计算可得.
【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故答案为：
14. 已知偶函数 在 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为_________
用集合表示
【答案】 或
【解析】
【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 是偶函数，所以 ，
所以 ，
又因为在 上单调递减，
所以 ，
解得： 或
故答案为： 或
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）当 时，解关于 x 的不等式 ；
（2）若关于 x 的不等式 的解集为 R，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法进行求解；
（2）由题意分 和 两种情况，结合一元二次不等式的解集性质进行求解即可.
【小问 1 详解】
当 时，不等式为 ，
因为方程 的解为 ，或 ，
结合函数 的图像可得 ，
不等式的解集为 .
【小问 2 详解】
当 时， 对于一切的 恒成立，符合题意；
当 时，因为 解集为 R ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，
即 ，
综上可得：实数 a 的取值范围为
16. 如图，已知单位圆 O 与 x 轴正半轴交于点 M，点 A，B 在单位圆上，其中点 A 在第一象限，且
，记 ， .
（1）若 ，求点 的坐标；
（2）若点 A 的坐标为 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用三角函数定义，求角的余弦与正弦值，可得单位圆与终边交点的坐标；
（2）先由点 在单位圆上求 得 ，再利用三角函数定义与诱导公式求解 .
【小问 1 详解】
∵ ，
∴ ， ，故点 坐标为 .
【小问 2 详解】
∵ 点在单位圆上，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司又∵点 位于第一象限， ，则 ，
∴点 A 的坐标为 ，即 ， ，
∴ ，
∴ .
17. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期及单调递减区间；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1） ， ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数的周期计算公式以及复合函数的单调区间求法，可得答案；
（2）利用整体思想换元，结合一次函数以及正弦函数的单调性，可得答案.
【小问 1 详解】
的最小正周期为 ，令 ，
因为 的单调递减区间是 ，
且由 ， 解得 ， .
所以函数 的单调递减区间为 ， .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 ，即 ， 时， ，
当 ，即 ， 时， .
18. 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新
利用的化工品.已知该企业日加工处理厨余垃圾 x 吨，最少为 70 吨，最多为 120 吨，日加工处理总成本 y 元
与日加工处理量 x 吨之间的函数关系可近似地表示为 ，且每加工处理 1 吨厨余垃圾
得到的化工产品的售价为 100 元.
（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理 1 吨厨
余垃圾处于亏损还是盈利状态？ 平均成本
（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种：方案一：每日进行定额
财政补贴，金额为 5000 元；方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为 60x 元.如果你是企业的决策
者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个补贴方案？为什么？
【答案】（1） 最低，亏损状态
（2）选择方案二进行补贴，理由见解析
【解析】
【分析】（1）列出每吨厨余垃圾平均加工成本，运用基本不等式求解最值；
（2）列出每种补贴方式获利表达式，运用二次函数性质求解，然后进行比较即可.
【小问 1 详解】
由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为
，
当且仅当 即 时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，
因为 ，所以此时该企业处理 1 吨厨余垃圾处于亏损状态；
【小问 2 详解】
若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为 元，
，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， 在 上单调递减，
所以当 吨时，企业获得最大利润，为 3550 元，
若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为 元，
，
因为 ， 在 上单调递增，
所以当 吨时，企业获得最大利润，为 4000 元.
结论：选择方案一，当日加工处理量为 70 吨时，可以获得最大利润 3550 元；选择方案二，当日加工处理
量为 120 吨时，获得最大利润 4000 元；所以选择方案二进行补贴.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对题义的理解以及列出每吨厨余垃圾平均加工成本的表达式和列出每
种补贴方式获利表达式.
19. 已知函数 为偶函数．
（1）求 m 的值；
（2）若 ，判断 在 上的单调性，并用定义法给出证明；
（3）若 在区间 上恒成立，求实数 a 的取值范围
【答案】（1）
（2）函数 在 上单调递增，证明见解析
（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据函数 奇偶性求 m 的值；
（2）利用定义法，结合指数函数的单调性即可证明单调性；
（3）利用参变分离得到， 且 在区间 上恒成立，换元，构造函数，利
用单调性求出函数的最小值，即可求解 a 的取值范围．
【小问 1 详解】
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学科网（北京）股份有限公司定义域为 R， ，
由于函数 为偶函数，所以 ，
即 ，即 ，
即 恒成立，
【小问 2 详解】
已知函数 ，
由于函数 在 上单调递增，
由第 问可得 ，因此 ，
不妨设 ， ，且 ，
则
，
因为 ，所以 ，
又因为 ， ，
因此 ，所以 ，故 ，
所以函数 在 上单调递增.
【小问 3 详解】
由题得 在区间 上恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司即 在区间 上恒成立，
因为 ，所以 ，
所以 在区间 上恒成立，
令 ，
则 ，
令 ，
因为 在 单调递增且 ，
所以函数 在 上单调递减，故 ， ，
对任意的 恒成立，且 ， ，
实数 a 的取值范围是 ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是常变量分离法、利用对钩函数的单调性进行求解.
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