文档内容
江门市广雅中学 2024-2025 学年第一学期 9 月考试
高一年级数学试卷
（时间150分钟，满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
的
【分析】根据并集 知识确定正确答案.
【详解】 .
故选：B
2. 命题“ ， ，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.
【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题,
注意到要否定结论而不是否定条件，所以B选项符合.
故选：B
3. 已知 、 为非零实数，且 ，则下列不等式成立的是（ ）
第1页/共17页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断出A、B、D三个选项中不等式的正误，利用作差法可判断 C选项中不等式
的正误，由此可得出结论.
【详解】对于A选项，由于 ，取 ， ，则 ，A选项中的不等式不成立；
对于B选项，由于 ，取 ， ，则 ，B选项中的不等式不成立；
对于C选项， ，
，所以， 与 不可能同时为零，则 ，则 ，
即 ，C选项中的不等式成立；
对于D选项，取 ，由于 ，则 ，D选项中的不等式不成立.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用特殊值法、作差法、不等式的基本性质和函数的单调性进
行判断，考查推理能力，属于基础题.
4. 甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合： ，
，然后他们三人各用一句话来正确的描述“ ”中的数字，让丁同
学找出该数字，以下是甲､乙､丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不
充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“ ”中的数字可以是（ ）
A. 3或4 B. 2或3 C. 1或2 D. 1或3
【答案】C
【解析】
第2页/共17页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据此数为小于5的正整数得到 ，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，
从而得到不等式，求出 ，得到答案.
【详解】因为此数为小于5的正整数，
故 ，
因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件，
所以C是A的真子集，A是B的真子集，
故 且 ，解得 ，
故“ ”中的数字可以是1或2.
故选：C
5. 已知二次函数 在区间 内是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. 或 B.
C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求解.
【详解】二次函数 的对称轴为 ，欲使得 时是单调的，
则对称轴 必须在 区间之外，即 或者 ；
故选：A.
6. 若函数 是 上的减函数，则 的取值范围是
A. B. C. D.
第3页/共17页
学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于 的不等式组，解这个不等式组即可求出 的取值范围.
【详解】因为函数 是 上 减函数，所以有 ，解得 ，故本题选A.
的
【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键.
7. 已知命题 ： ， ； ： ， .均为真命题，则 的取值范围
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】 ，分 和 ，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出 为真命题，
需满足 ，再利用根的判别式得到 为真命题，需满足 ，求交集得到答案.
【详解】 恒成立，
当 时， ，满足要求，
当 时，需满足 ，解得 ，
故 为真命题，需满足 ，
， ，则 ，解得 ，
第4页/共17页
学科网（北京）股份有限公司故 为真命题，需满足 ，
综上， 的取值范围为
故选：D
8. 对任意实数 定义运算“ ”， ，设 ，有下列四个结论：
① 最大値为2；
② 有3个单调递减区间；
③ 在 是减函数；
④ 图象与直线 有四个交点，则 ，其中正确结论有（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据 的解析式，作出 的图象，根据图象判断每个选项是否正确.
【详解】根据定义，作出 的图象（实线部分），可知当 或0时， 取得最大值2，①正确；
单调递减区间为 ，所以②正确；由图象可知， 在 上不单
调，③错误；要使 图象与直线 有四个交点，则 ，④不正确.
第5页/共17页
学科网（北京）股份有限公司故答案为C.
【点睛】以新定义运算为背景，设计出函数性质与图象的综合问题，考查函数的最大值、单调性、图象综
合性问题，重在考查学生的转化能力和作图能力，属于中档题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
由不等式 ，求得 ，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式 ，可得 ，结合选项可得：
选项A为 的一个充分不必要条件；
选项B为 的一个既不充分也不必要条件；
选项C为 的一个充分不必要条件；
选项D为 的一个充要条件,
故选：AC.
10. 下列各组函数能表示同一个函数的是（ ）
A.
第6页/共17页
学科网（北京）股份有限公司B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据定义域、值域和对应法则判断即可.
【详解】 的定义域为 ， 定义域为 ，即定义域一样，且 ，即值域一样，故
能表示同一个函数，故A选项符合题意；
的定义域为 ， 定义域为 ，定义域不一样，故不能表示同一函数，故B选项不符合题意；
定义域为 ， 定义域为 ，二者定义域不一样，故不能表示同一函数，
故C选项不符合题意；
定义域为 ， 定义域为 ，且对应法则一样，值域一样，故能表示同一函数，故D选项正确.
故选：AD
11. 已知正实数 ， 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为4 B. 的最小值为
C. 的最大值为8 D. 的最小值为4
【答案】AB
【解析】
的
【分析】由基本不等式及“1” 代换求 、 的最值，由基本不等式求得 ，结合二次函
数性质求 的最值，由 且 求范围，即可判断各项
第7页/共17页
学科网（北京）股份有限公司正误.
【详解】由题设 且 ，
，则 ，故 ，当且仅当 时取等号，A对；
，当且仅当 时取
等号，B对；
，
而 ，整理有 ，则 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 时取等号，C错；
，而 ，故 ，D错.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数 的图象如图所示，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数 的图象，先求得 的值，进而求得 的值，得到答案.
【详解】由函数 的图象，可得 ，则 .
故答案为： .
第8页/共17页
学科网（北京）股份有限公司13. 函数 的单调递增区间是__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出函数 的定义域，令 ，分别求出 和 的单调区
间，再利用符合函数单调性的性质即可求出 的单调递增区间.
【详解】因为 ，得 ，得 或 ，
解得函数 的定义域为 .
令 ， 在 单调递增.
因为函数 在 单调递增，
由复合函数的单调性知： 在 单调递增.
故答案为：
【点睛】本题主要考查符合函数的单调性，特别注意先求定义域，利用复合函数“同增异减”为解题的关
键，属于容易题.
14. 已知关于x的不等式 ，若 ，则该不等式的解集是______，若该不等
式对任意的 均成立，则实数 的取值范围是______.
【答案】 ①. ， ②. .
【解析】
【分析】代入 ，化简可得 ，根据一元二次不等式解法求结论，当 时由条
件求 的取值范围，当 时，化简不等式，由条件求 的取值范围，由此可得结论.
【详解】当 时，不等式 可化为 ，
第9页/共17页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 或 ，
所以不等式 的解集是 ，
由已知对任意的 ，不等式 恒成立，
当 时， ，此时 ，
当 时，不等式 ，可化为 ，
所以 ，其中 ，
所以 ，所以 ，
所以不等式对任意的 均成立时， 的取值范围是 .
故答案为： ， .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， .
（1）求 ；
（2）若集合 ， ，求实数 的取值集合.
【答案】（1） ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）求解不等式，从而求得集合 ，再求并集即可；
第10页/共17页
学科网（北京）股份有限公司（2）根据交集为空集，结合（1）中所求，列出对应的不等式，求解即可.
【小问1详解】
因为 ， ，
故可得： .
【小问2详解】
因为 ， ，且 ，
故可得： 或 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围为： 或 .
16. 已知函数 .
（1）请用定义证明函数 在 上单调递减；
（2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的定义与判定方法，即可求解；
（2）根据题意，转化为存在 ，使得 ，由（1）得到 在 上为单调递减函
数，求得 的最大值，即可求解.
【小问1详解】
证明：任取 且 ，
第11页/共17页
学科网（北京）股份有限公司则 ，
因为 且 ，可得 ，且 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上为单调递减函数.
【小问2详解】
解：由 ，不等式 可化为 ，
因为存在 ，使得 成立，即 ，
由（1）知，函数 在 为单调递减函数，
所以 ，所以 ，即实数 的取值范围 .
17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调
研发现．某珍稀水果树的单株产量即（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：
，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）
20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为
（单位：元）．
（1）求 的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
第12页/共17页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）4千克时，利润最大480元.
【解析】
【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式；
（2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可.
【小问1详解】
由已知 ；
【小问2详解】
由（1）得 ，
即由二次函数的单调性可知，当 时， ，
由基本不等式可知当 时， ，
当且仅当 时取得最大值，
综上，当 时取得最大利润，最大利润为480元.
18. 已知函数 ．
（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求 ， 的值；
（2）当 时，解关于 的不等式 ．
【答案】（1） ，
（2）答案见解析
【解析】
第13页/共17页
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）依题意可得关于 的方程 的两个根为 和 ，利用韦达定理得到方程
组，解得即可；
（2）依题意可得 ，再分 、 、 三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【小问1详解】
因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以关于 的方程 的两个根为 和 ，
，解得 ， ；
【小问2详解】
当 时，原不等式可化为 ，即 ，
当 时，解得 或 ；
当 时，解得 ；
当 时，解得 或 ；
综上可知，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ．
19. 已知 是二次函数，且满足 ．
的
（1）求函数 解析式；
（2）设函数 ，求 在区间 上的最小值 的表达式．
（3）在（2）的条件下，对任意的 ，存在 ，使得 成立，求
的取值范围．
【答案】（1）
第14页/共17页
学科网（北京）股份有限公司（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）求出 的对称轴为 ，然后进行分类讨论求解；
（3）将问题转化为 ，求出 ，然后得到不等式
，对 进行分类讨论求解．
【小问1详解】
设 ，
又
即 ，
，
解得 ，
即 ，
第15页/共17页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由题意得， ，
则二次函数 的对称轴为 ，
若 时， ，当 时， 的最小值为 ；
若 时， ，当 时， 的最小值为 ；
若 时， ，当 时， 最的小值为 ；
所以 ；
【小问3详解】
在（2）的条件下，对任意的 ，存在 ，
使得 成立，
即 ，
作如下图形：
第16页/共17页
学科网（北京）股份有限公司故 是单调递减函数，
，当 时， ，
当 时， ，
，
，
，
因为
所以 时 取最大值，
所以不等式 ，
解得： 或 ；
综上所述： 或 ．
【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用
分类讨论的思想及转化思想求解是关键．
第17页/共17页
学科网（北京）股份有限公司
