文档内容
大题仿真卷 01（A 组+B 组+C 组）
（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（24-25高三上·广东·模拟预测）在 中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且 ．
(1)若 ，且 的面积为 ，求A；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合面积公式计算即可.
（2）运用余弦定理，结合解方程组和数量积定义计算即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的面积 ，
则 ，因为 ，所以 或 ．
（2）因为 ，所以 ，
所以 .由余弦定理得 ，
因为 ，所以 或 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
2．（2024·湖北·一模）已知 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 内存在极小值点，求 的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）当 时， ，求导可得 ，又 ，可求切线方程；
（2）求导得 ，分 ， ， 三种情况讨论函数的单调性，判断极小值点
在 内可求得 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，可得
所以 ，又 ，
所以切线方程： ，即 .
（2）由已知得
1.若 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 在 取得最小值，符合题意.
2.若 ，
i）若 即 ，
当 ，所以 在 上单调递减，
当 ，所以 在 上单调递增，
所以 在 取得最小值，
ii）当 ， ，所以 无极值，不符合题意，
iii）当 即 ，
当 ，所以 在 上单调递减，
当 ，所以 在 上单调递增，
所以 在 取得极小值符合.
3.若 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
在 取得极小值，符合题意；
综上所述： 的取值范围为 .
3．（2024·河南新乡·一模）如图，在 中， ，将
沿 折起得到四棱锥 ，且平面 平面 ．
(1)证明：四棱锥 的高为 ．
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）易得 和 都是边长为 的正三角形，取 的中点 ，连接 ，根据面面垂
直的性质可得 平面 ，则 平面 ，求出 即可得证；
（2）以点 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）依题意 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 和 都是边长为 的正三角形，
取 的中点 ，连接 ，则 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 即为四棱锥 的高，
所以四棱锥 的高为 ；（2）如图所示，以点 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
4．（2024·山西吕梁·二模）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有 三个腔室，粒子只能从
室出发经 室到达 室.粒子在 室不旋转，在 室､ 室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的
旋转状态相互独立.粒子从 室经过1号门进入 室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从 室经过2
号门进入 室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为 .现有两个粒子从 室出发，先后经过1号
门，2号门进入 室，记 室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为 .
(1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个
上旋状态1个下旋状态的概率为 ，求 ；
(2)若 ，求两个粒子经过2号门后都为上旋状态的概率；
(3)求 的分布列和数学期望.
【答案】(1) 或 .(2)
(3)分布列见解析，1
【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得p.
（2）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案.
（3）根据独立事件概率计算求得 的分布列，并求得数学期望.
【详解】（1）设 “两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”.
事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态，
故 ，解得 或 .
（2）设 “两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为 个”， ，
“两个粒子通过2号门后处于上旋状态的粒子个数为2个”，
则 ，
则 .
（3）由题知 ，
时分3类情形，
①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态；
②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态
粒子改变状态；
③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态，
所以 ，
同理 ，
所以所求的分布列为
X 0 1 2
P
所以所求数学期望 .
5．（24-25高三上·河北保定·期中）已知数列 ，其前 项和为 ，对任意正整数 恒成立，
且 .(1)证明：数列 为等比数列，并求实数 的值；
(2)若 ，数列 前 项和为 ，求证： ；
(3)当 时，设集合 ， .集合 中元素的个数记为 ，
求数列 的通项公式.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据 的关系，结合等比数列定义，即可证明结论；进而结合已知求出实数 的值；
（2）结合（1）可求出 的表达式，进而可得 表达式，继而推出只需证明 ，构造
函数，利用导数判断函数单调性，即可证明结论；
（3）由题意可知 中元素个数等价于满足 的不同解 的个数，利用反正思想推出
，从而推出不等式共 个不同解 ，即可得答案.
【详解】（1）由题意得 ，
两式相减可得 ，
令 可得 ，即 .
令 可得 ，即 ，所以
又 .
数列 为首项为4，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可知 ，所以 .
，
要证 成立，
只需证 ，即
令 ，
当x∈(0,+∞)时， 单调递增,故 ，
；
（3） 时，集合 ，
即 ，
中元素个数等价于满足 的不同解 的个数，
如果 ，则 ，矛盾；
如果 ，则 ，矛盾
，
又 ，
，
即 ，共 个不同解 ，所以 .
【点睛】难点点睛：本题为数列的综合应用问题，解答的难点在于第二问，要注意列用类加的方法得出
，从而要证 成立，只需证 ，即 ，从而构造
函数，结合导数解决问题.
（模式：3题 满分：45分 限时：40分钟）
1．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）如图所示，已知四棱锥 中，
， .
(1)求证: 平面 ；
(2)当四棱锥 的体积最大时，求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）利用三角形全等及三线合一证明 ，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）先通过二面角定义作出二面角的平面角，求出四棱锥体积最大时 ，从而在直角三角形中求
解即可.
【详解】（1）设 ，连接 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ， ，又 ， ，
则 ，点 为 的中点，
又 ，所以 ，
又 ，且 ，
所以 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由（1）可知， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
取 的中点为O，连接 ，则 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
过点 作 ，垂足为H，连接 ，
则 ，所以 为二面角 的平面角，
因为四棱锥 的体积为
，当且仅当 ，即 体积最大，
此时 ，
在 中， ，所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数 ．（其中e是自然对数的底， ）．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若 恒成立，求整数 的最大值 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)最大值为1
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性即可；
（2）由 ，整理得 ，设函数 ，进而利用导数分析其单调性，进而
求解.
【详解】（1）函数 定义域为(0,+∞)， ．
当 时， 在(0,+∞)上是增函数；
当 时，由f′(x)>0，解得 ，
由f′(x)<0，解得 ．
所以函数 在 上是增函数，在 上是减函数．综上所述，当 时， 在(0,+∞)上是增函数；
当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数．
（2）由题意当 时， ，整理得 ．
令函数 ．
则 ．
令 ，则 ．
当 时，ℎ ′(x)>0恒成立，所以ℎ(x)在(1,+∞)单调递增．
又 ，
所以 ，使得 ，即 ．
故 时， 时，ℎ(x)>0．
因此 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ．
令函数 ．则 ，
所以φ(x)在 单调递增，因此 ．
又 ，
．
因此整数 的最大值为1．
3．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知椭圆 ： 上的点到焦点距离最短为
，到焦点距离最长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作直线 与椭圆 交于 ， 两点，且椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， ，的面积分别为 ， ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得 ，进而解出 ，求得 ，进而求解即可；
（2）当直线 的斜率不存在，可得 ，当直线 的斜率存在时，联立直线和椭圆方程，由韦达定
理以及三角形面积公式表示出 ，进而结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意， ，
解得 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）知， ， ，
当直线 的斜率不存在时， ，则 ；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
所以 ， ，
由于 异号，所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最大值为 ．综上所述， 的最大值为 ．
（模式：2题 满分：34分 限时：30分钟）
1．（2024·贵州六盘水·模拟预测）中国凉都·六盘水，是全国唯一用气候特征命名的城市，其辖区内有牂
牁江及乌蒙大草原等景区，每年暑假都有大量游客来参观旅游．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来牂
牁江景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中 的人选择只游览牂牁江，另外 的人选择既游览牂
牁江又游览乌蒙大草原．每位游客若选择只游览群牁江，则记1分；若选择既游览牂阿江又游览乌蒙大草
原，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n个人 ，记这n个人的合计得分恰为 分的概率为 ，求
；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分 的概率为 ，随着抽取人数的无限增
加， 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
(3) 趋近于常数 .
【分析】（1）根据题意得到变量 的可能取值为 ，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，
列出分布列，利用期望的公式，求得期望.
（2）由这 人的合计得分为 分，得到 ，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
（3）记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ，得到 ，结合数列的递
推关系式，进而求得数列的通项公式，得到答案.
【详解】（1）依题意，随机变量 的可能取值为 ，则 ， ，
所以 的分布列如下表所示：
2 3 4
数学期望为 .
（2）由这 人的合计得分为 分，得其中只有1人既游览牂阿江又游览乌蒙大草原，
于是 ，令数列 的前 项和为 ，
则 ，
于是 ，
两式相减得
，因此 ，
所以 .
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为 分或
分，
记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件，
则 ， ， ，即 ，
由 ，得 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，因此 ，
随着 的无限增大， 无限趋近于0， 无限趋近于 ，
所以随着抽取人数的无限增加， 趋近于常数 .
【点睛】方法点睛：如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前n项和时，可采用错
位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 的公比，然后作差求解．2．（2024·上海静安·一模）如果函数 满足以下两个条件，我们就称函数 为 型函数.
①对任意的 ，有 ；
②对于任意的 ，若 ，则 .
求证：
(1) 是 型函数；
(2) 型函数 在 上为增函数；
(3)对于 型函数 ，有 （ 为正整数）.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据指数函数性质和 型函数的定义即可证明；
（2）取值 ，则 ，再结合 型函数的定义即可证明；
（3）放缩得 ，再不断放缩有
，结合等比数列的求和公式即可.
【详解】（1）记 ；
对任意的 ，有 ；
对于任意的 ，
若 ，
则 ，
即 .
故函数 是 型函数.
（2）设 ，且 ，则 .
因此
，
可知 在 上为增函数.
（3）因为 ，所以
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用 型函数的性质放缩得 ，最后再不
断放缩，结合等比数列求和公式即可.
