文档内容
八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）
期末检测卷01
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全册； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．已知a＞b，下列不等式中，不正确的是（ ）
A．a+4＞b+4 B．a﹣8＞b﹣8 C．5a＞5b D．﹣6a＞﹣6b
【答案】D
【分析】
根据不等式的性质逐一判断，判断出不正确的不等式是哪个即可．
【详解】
解：∵a＞b，
∴a＋4＞b＋4，
∴选项A正确；
∵a＞b，
∴a−8＞b−8，
∴选项B正确；
∵a＞b，
∴5a＞5b，
∴选项C正确；
∵a＞b，
∴−6a＜−6b，
∴选项D不正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，要注意在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不
等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
2．下列四个图形是四所医科大学的校徽．其中校徽内部图案（不含文字）是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】
解：A、图形内部图案不是轴对称图形，本选项错误；
B、图形内部图案不是轴对称图形，本选项错误；
C、图形内部图案是轴对称图形，本选项正确；
D、图形内部图案不是轴对称图形，本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．将分式 中的字母x，y的值分别扩大为原来的n倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的n倍 B．扩大为原来的2n倍
C．不变 D．扩大为原来的 倍
【答案】A
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：将分式中的 、 分别用 、 代替，则 ，即分式的值扩大为原来的
倍．
故选： ．
【点睛】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4．因式分解 时，甲看错了 的值，分解的结果是 ，乙看错了 的值，分解的结
果为 ，那么 分解因式正确的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据甲看错了 的值可以知道，甲的分解结果中 的值是正确的，根据乙看错了 的值可以知道，乙的分
解结果中 的值是正确的，据此即可得到 、 的值，进而得到答案．
【详解】
∵甲看错了 的值，
∴ ，
∴ ；
∵乙看错了 的值，
∴ ，
∴ ，
∴ 分解因式正确的结果为：
，
故选：C．
【点睛】
本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义．
5．如图，在
▱
ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线交DC于点E，且点E恰好是DC的中点，过点D作
DF⊥AE，垂足为F．若AE= ，则DF的长为（ ）A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】
由等腰三角形的性质可求AF=EF= ，由勾股定理可求解．
【详解】
解：∵AB=4，点E是DC的中点，
∴DE=EC=2，
∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=ED=2，
∵DF⊥AE，
∴AF=EF= AE= ，
∴DF= =1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是本题的关
键．
6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan∠ABC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB
边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】
连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC，利用正切的定义解得 ＝4，再由垂直平分
线的性质得到点C关于直线EF的对称点为点A，根据轴对称—最短路线解题即可．
【详解】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC＝4，
∴BD＝2，
∴tan∠ABC＝ ＝4，
解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝8+ ×4＝10．
故选：C．
【点睛】
本题考查轴对称—最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．分解因式： ______．
【答案】
【分析】
先提取公因式3x，再用平方差公式分解．
【详解】
解： = ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：
①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解
为止．
8．要使分式 有意义，则 的取值范围是______．
【答案】x≠4
【分析】
根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】
解：要使分式 有意义，则x-4≠0，
解得x≠4，
故答案为：x≠4．
【点睛】
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b≥mx+n
1 2
的解集为__．【答案】x≥2
【分析】
直接利用函数图象，结合kx+b≥mx+n，得出x的取值范围．
【详解】
解：如图所示：不等式kx+b＞mx+n的解集为：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象求解是解题的关键．
10．如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，连接BE，点F、G分别是BE、BC的中点，
若AB=6，BC=4，则FG的长_________________.
【答案】1
【解析】
【分析】
先由平行四边形的性质以及角平分线的定义判断出∠DAE=∠DEA，继而求得CE的长，再根据三角形中位
线定理进行求解即可.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，DC=AB=6，DC//AB，
∴∠EAB=∠AED，
∵∠EAB=∠DAE，
∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD=4，
∴CE=CD-DE=6-4=2，
∵点F、G分别是BE、BC的中点，
∴FG= EC=1，
故答案为1.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握相关内容是解题的关键.
11．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BC＝11，把三角形ABC向下平移至三角形DEF后，AD＝CG
＝6，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】48
【分析】
先根据平移的性质得到 ， ， ，则 ，由于
，所以利用梯形的面积公式计算即可．
【详解】
解： 三角形 向下平移至三角形 ，
， ， ，
，
，
，．
故答案为48．
【点睛】
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的
形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．
连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
12．如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B
向C以1cm/s的速度移动，当P运动____________秒时，△ACP是直角三角形
【答案】1.75或4
【分析】
先利用等腰三角形“三线合一”求出BD、CD以及BC边上的高AD，再分别讨论∠PAC和∠APC为直角的
情况，利用勾股定理分别求出两种情况下PB的长，即可求出所需时间．
【详解】
解：如图，作AD⊥BC，
∵AB=AC=5cm，BC=8cm，
∴BD=CD=4cm，
当点P运动到与点D重合时， 是直角三角形，
此时BP=4，
∴运动时间为4÷1=4（秒）；
当∠PAC=90°时，设PD=x
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴BP=4－2.25=1.75，
所以运动时间为1.75÷1=1.75（秒）；
综上可得：当P运动4秒或1.75秒时， 是直角三角形；
故答案为：1.75或4．
【点睛】
本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关
系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．分解因式：
（1）a2﹣9b2； （2）2x2﹣16x+32．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）直接利用平方差公式进行因式分解即可得；
（2）综合利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可得．
【详解】
（1）原式 ；
（2）原式 ．
【点睛】
本题考查了因式分解，主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
14．解不等式组： 并将解集在数轴上表示出来．
【答案】-4＜x≤ ，数轴表示见解析
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定
不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式3（x+2）＞x-2，得：x＞-4，
解不等式 ，得：x≤ ，
则不等式组的解集为-4＜x≤ ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大
小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．先化简 ，再从 中选择一个合适的整数作为 的值代入求值．
【答案】 ， ， ．【分析】
先把括号内的进行通分计算，把分子分母因式分解，然后将除法运算化为乘法运算，继而进行约分得到
，再根据分式有意义的条件将 代入计算即可；
【详解】
原式
由已知，
令 ，原式
（也可令 、1、0，答案分别为 ， ， ）
【点睛】
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值，注意运算
的结果要化为最简分式或整式；
16．在网格中画对称图形．
图1是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满
足下列条件，并分别画在图2、图3、图4中（只需各画一个，内部涂上阴影）；
①是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③既是轴对称图形，又是中心对称图形
【答案】①见解析；②见解析；③见解析【分析】
利用轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画出图形．
【详解】
①如图2，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②如图3，是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③如图4，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【点睛】
本题主要考查了利用图形的基本变换作图，由一个基本图案通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法
可以变换出一些新图案，关键是要熟悉轴对称、平移以及旋转等图形变换的性质．
17．如图，在三角形ABC中，AC=4 cm，BC=3 cm，△ABC沿AB方向平移至△DEF，若AE=8 cm，BD=2
cm．
求：(1)△ABC沿AB方向平移的距离；
(2)四边形AEFC的周长．
【答案】（1）△ABC沿AB方向平移的距离是3 cm；（2）四边形AEFC的周长是18cm
【分析】
（1）根据平移的性质可得AD=BE，由AE=8 cm，BD=2 cm可求出AD的长，即为平移的距离；
（2）根据平移的性质可求出CF和EF的长，进一步即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵△ABC沿AB方向平移至△DEF，
∴AD=BE．
∵AE=8 cm，BD=2 cm，∴AD=BE= =3cm；
即△ABC沿AB方向平移的距离是3 cm．
（2）由平移的性质可得：CF=AD=3cm，EF=BC=3cm，
∵AE=8cm，AC=4cm，
∴四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18(cm) ．
∴四边形AEFC的周长是18cm．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握平移的性质是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．某公司购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多4.5元，且用
12000元购买A型口罩的数量与用3000元购买B型口罩的数量相同．
（1）A、B两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的4倍，若总费用不超过
6000元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？
【答案】（1）A型口罩的单价为6元，则B型口罩的单价为1.5元；（2）增加购买A型口罩的数量最多是
500个
【分析】
（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣4.5）元，根据数量=总价÷单价，结合用12000
元购买A型口罩的数量与用3000元购买B型口罩的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后
即可得出结论；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，则增加购买B型口罩数量是4m个，根据总价=单价×数量，结合
总价不超过6000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
（1）设A型口罩的单价为x元，则B型口罩的单价为（x﹣4.5）元，
根据题意，得： ．
解方程，得：x＝6．
经检验：x＝6是原方程的根，且符合题意．所以x﹣4.5＝1.5．
答：A型口罩的单价为6元，则B型口罩的单价为1.5元；
（2）设增加购买A型口罩的数量是m个，
根据题意，得：1.5×4m+6m≤6000．
解不等式，得：m≤500．
正整数m的最大值为500．
答：增加购买A型口罩的数量最多是500个．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出
分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19．如图所示， 在边长为 的小正方形组成的网格中．
（1）将 沿 轴正方向向上平移5个单位长度后，得到 ，请作出 ，并求出
的长度；
（2）再将 绕坐标原点 顺时针旋转 ，得到 ，请作出 ，并直接写出点
的坐标．
【答案】（1）画图见解析，AB＝ cm；（2）画图见解析，B（4，-4）
1 1 2
【分析】
（1）分别将点A、B、C向上平移5个单位得到对应点，再顺次连接可得，再根据勾股定理即可求出答案；
（2）分别将点A、B、C绕点O顺时针旋转180°得到对应点，再顺次连接可得．
【详解】解：（1）如图所示，△ABC 即为所求，AB＝ cm；
1 1 1 1 1
（2）如图，△ABC 即为所求，B（4，-4）．
2 2 2 2
【点睛】
本题主要考查作图-平移变换、旋转变换，解题的关键是熟练掌握平移变换和旋转变换的定义和性质．
20．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连结
CD和EF．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）求四边形BDEF的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）5+ ．
【分析】
（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）分别计算BD、DE、EF、BF的长，再求四边形BDEF的周长即可．
【详解】
解： (1)∵D、E分别是AB，AC中点
∴DE∥BC，DE= BC∵CF= BC
∴DE=CF
∴四边形CDEF是平行四边形
（2） ∵四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴DC=EF= ．
∴四边形BDEF的周长为5+ ．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．设 , 是任意两个实数，规定 与 之间的一种运算“ ”为:
例如： ； ，
（因为 ）
参照上面材料，解答下列问题:
（1） ____________， _____________;
（2）解方程：（3）解不等式:
【答案】（1） ， ；（2）无解；（3）
【分析】
（1）根据题中定义的运算法则计算即可；
（2）根据题中定义运算法则可得关于x的分式方程，去分母化为整式方程求解；
（3）根据题中定义的运算法则可得关于x的不等式，求解即可.
【详解】
解：（1）
；
（2）
，可得方程：
去分母：
去括号：
移项：
解得：
经检验： 不是原方程的解(增根)
所以原方程无解.
（3）可得不等式：
解得：
【点睛】
本题是分式方程与不等式的创新题，解题的关键是理解题目新定义的运算法则.
22．如图，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的
整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C．
（1）若抽中的卡片是B．
①求整式C；
②当x＝ ﹣1时，求整式C的值．
（2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？
【答案】（1）① ，②-8；（2）抽中的卡片是A
【分析】
（1）①根据卡片B各项改变符号后得出 ，再与整式A相加，合并同类项即可；
②先利用完全平方公式化简整式C，再把x＝ ﹣1代入整式C即可；
（2）分和抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案．
【详解】
解：（1）①∵ ， ，
∴ ，
② ，
当x＝ ﹣1时，原式=
（2）当抽中的卡片是B时，由②得
∴不符合题意；
当抽中的卡片是A时，
∵ ， ，
∴ ，
= ，
∴无论x取何值，整式C的值都是非负数，
∴抽中的卡片是A．
【点睛】
此题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：将
△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处）．
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF2＝
BE2+FC2；
（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且
∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝ ，求OA+OB+OC的值．
【答案】（1）150°；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根将△APB绕着点A逆时针旋转60°得到△ACP′，据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理即可得到结论；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′=AE，CE′=CE，
∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，再求出∠E′AF=45°，从而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用“边角
边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得证；
（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜
边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三
条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四
点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．
【详解】
解：（1）如图1，将△APB绕着点A逆时针旋转60°得到△ACP′，
∴△ACP′≌△ABP，
∴AP′=AP=8、CP′=BP=15、∠AP′C=∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′=60°，
∴△AP P′为等边三角形，
∴P P′=AP=8，∠A P′P=60°，
∵PP′2+P′C2=82+152=172=PC2，
∴∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C=60°+90°=150°；
（2）如图2，把△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
则AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，
∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠CAF=∠CAF+∠CAE′=∠FAE′=45°，
∴∠EAF=∠E′AF，且AE=AE'，AF=AF，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠ACE′=90°，
∴∠FCE′=90°，
∴E′F2=CF2+CE′2，
∴EF2=BE2+CF2；
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= ，∠ABC=30°，
∴AB= ，
∴BC= = ，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∴A′B=AB= ，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C= ，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= ．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用旋转构造出全等
三角形以及直角三角形是解题的关键，属于中考压轴题．
