第07讲立体几何与空间向量（2022-2024高考真题）（原卷版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）

第 07 讲 立体几何与空间向量（2022-2024 高考真题） （新高考专用） (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:20)(cid:26)(cid:21) 1(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41) (cid:42)(cid:37)(cid:43)(cid:44) (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)4(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:37) = =4(cid:37) = =2 2(cid:37)(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:49)(cid:31)(cid:48)(cid:28) (cid:34) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝐷 A(cid:27)1 B(cid:27)2 C(cid:27) 2 D(cid:27) 3 2(cid:27)(cid:28)2024·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:56) 、 (cid:48)(cid:57)(cid:58)(cid:59)(cid:44)(cid:37) 、 (cid:48)(cid:57)(cid:60)(cid:61)(cid:62)(cid:37)(cid:63) = .(cid:64)(cid:65)(cid:39)(cid:58)(cid:66)(cid:21)(cid:10) (cid:67) // (cid:37)(cid:68) // (cid:69) // 𝛼 𝛽 (cid:67) (cid:37)(cid:68)𝑚 𝑛(cid:69) 𝛼∩𝛽 𝑚 ①(cid:67)𝑚//𝑛(cid:63) //𝑛 (cid:37)𝛼(cid:68)𝑛//𝛽 ②(cid:67) (cid:70)𝑚⊥, 𝑛(cid:71)(cid:72)(cid:49)𝑛(cid:73)⊥(cid:74)𝛼 (cid:75)𝑛(cid:37)⊥(cid:68)𝛽 ③(cid:76)(cid:42)(cid:71)𝑛(cid:77)𝛼(cid:33)(cid:66)𝑛(cid:21)𝛽(cid:49)(cid:78)(cid:9)𝑚(cid:45)(cid:28)𝑛 (cid:34)④ 𝑛 𝛼𝛽 𝑚⊥𝑛 A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27) D(cid:27) 3(cid:27)(cid:28)20①24③·(cid:79)(cid:80)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)②(cid:22)④(cid:58)(cid:81)(cid:44)(cid:82) ①(cid:27)②(cid:83)(cid:84)③ (cid:37)(cid:63)①(cid:57)③(cid:57)④(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:48)1(cid:27)(cid:89)(cid:83)(cid:84) =1， =2， =3(cid:27)(cid:68)(cid:53)(cid:81)(cid:44)(cid:82)(cid:49)𝐴𝐵(cid:82)𝐶(cid:90)−𝐷(cid:48)𝐸(cid:28)𝐹 (cid:34) 𝐴𝐷∥𝐵𝐸∥𝐶𝐹 𝐴𝐷 𝐵𝐸 𝐶𝐹 A(cid:27) 3 B(cid:27)3 3+ 1 C(cid:27) 3 D(cid:27)3 3 1 6 4 2 2 4 2 − 4(cid:27)(cid:28)2024·(cid:79)(cid:80)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:67) (cid:48)(cid:57)(cid:60)(cid:91)(cid:92)(cid:49)(cid:61)(cid:62)(cid:37) (cid:48)(cid:22)(cid:58)(cid:59)(cid:44)(cid:37)(cid:68)(cid:64)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:42)(cid:50)(cid:96)(cid:49)(cid:45)(cid:28) (cid:34) A(cid:27)(cid:67) // (cid:37) // (cid:37)(cid:68) 𝑚,𝑛 B(cid:27)(cid:67) /𝛼/ // (cid:37)(cid:68) // C(cid:27)(cid:67)𝑚//𝛼 𝑛 (cid:37)𝛼(cid:68) 𝑚⊥𝑛 D(cid:27)(cid:67)𝑚//𝛼,𝑛 𝛼(cid:37)(cid:68)𝑚(cid:70)𝑛(cid:74)(cid:97) 𝑚 𝛼,𝑛⊥𝛼 𝑚⊥𝑛 𝑚 𝛼,𝑛⊥𝛼 52 𝑚 𝑛 5(cid:27)(cid:28)2024·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:50)(cid:98)(cid:40)(cid:99) (cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:48) (cid:37) =6(cid:37) =2(cid:37)(cid:68) (cid:70)(cid:59)(cid:44)ABC 1 1 1 3 1 1 1 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐴 (cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:49)(cid:50)(cid:100)(cid:101)(cid:48)(cid:28) (cid:34) 1 A(cid:27) B(cid:27)1 C(cid:27)2 D(cid:27)3 2 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx6(cid:27)(cid:28)2024·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:102)(cid:41)(cid:49)(cid:43)(cid:44)(cid:105)(cid:106)(cid:74)(cid:75)(cid:37)(cid:107)(cid:44)(cid:90)(cid:74)(cid:75)(cid:37)(cid:63)(cid:108)(cid:109)(cid:49)(cid:31)(cid:110)(cid:48) 3(cid:37)(cid:68)(cid:102)(cid:41)(cid:49) (cid:82)(cid:90)(cid:48)(cid:28) (cid:34) A(cid:27)2 3 B(cid:27)3 3 C(cid:27)6 3 D(cid:27)9 3 7(cid:27)(cid:28)2024·(cid:111)π (cid:112)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:113)(cid:114)π(cid:22)(cid:58)(cid:115)(cid:116) (cid:37)(cid:115)(cid:116)(cid:42)(cid:49)π(cid:117)(cid:118)(cid:45)(cid:119)(cid:86)(cid:120)(cid:49)(cid:121)(cid:115)(cid:37)π(cid:122)(cid:123) , , (cid:37)(cid:124)(cid:38)(cid:91)(cid:54) 1 2 3 Ω 𝑃 𝑃 𝑃 ∈Ω (cid:48)0(cid:49)(cid:125)(cid:13) , , (cid:37)(cid:126)(cid:127) + + =0(cid:27)(cid:83)(cid:84)(1,0,0) (cid:37)(cid:68)(0,0,1) (cid:49)(cid:128)(cid:129)(cid:60)(cid:130)(cid:45)(cid:28) (cid:34) 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A(cid:27)(0,0, 𝜆 0) 𝜆 𝜆 𝜆 𝑂𝑃 𝜆 𝑂𝑃 𝜆 B 𝑂(cid:27)𝑃 ( ) ∈Ω ∉Ω C(cid:27)(0,1,0)∈Ω D(cid:27)(−1,0,0)∈Ω 8(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)∈·Ω(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:45)(cid:134)(cid:55)(cid:135)(cid:136)(cid:137)(cid:138)0(cid:139),0(cid:140),−(cid:85)1 (cid:22)∈(cid:37)Ω(cid:141)(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:49)(cid:13)(cid:11)(cid:117)(cid:118)(cid:27)(cid:146)(cid:147)(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:153) (cid:154)(cid:137)(cid:138)(cid:155)(cid:156)(cid:37)(cid:157)(cid:158)(cid:139)(cid:140)(cid:85)(cid:159)(cid:27)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:160)(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:150)(cid:161)(cid:48)(cid:22)(cid:58)(cid:81)(cid:44)(cid:82)(cid:37)(cid:76)(cid:42)(cid:57)(cid:58)(cid:44)(cid:45)(cid:54)(cid:75)(cid:49)(cid:75)(cid:162)(cid:163)(cid:52)(cid:37)(cid:57)(cid:58)(cid:44) (cid:45)(cid:54)(cid:75)(cid:49)(cid:75)(cid:162)(cid:98)(cid:73)(cid:52)(cid:27)(cid:67) =25m = =10m(cid:37)(cid:63)(cid:75)(cid:162)(cid:163)(cid:52)(cid:71)(cid:38)(cid:49)(cid:59)(cid:44)(cid:23)(cid:75)(cid:162)(cid:98)(cid:73)(cid:52)(cid:71)(cid:38)(cid:49)(cid:59)(cid:44)(cid:70)(cid:59) (cid:44) (cid:49)(cid:164)(cid:73)(cid:49)(cid:50)(cid:100)(cid:101)(cid:110) 𝐴 (cid:48) 𝐵 14(cid:37)(cid:68) ,𝐵 (cid:53) 𝐶 (cid:81)(cid:44) 𝐴𝐷 (cid:82)(cid:49)(cid:71)(cid:77)(cid:40)(cid:47)(cid:85)(cid:104)(cid:48)(cid:28) (cid:34) 5 𝐴𝐵𝐶𝐷 A(cid:27)102m B(cid:27)112m C(cid:27)117m D(cid:27)125m 9(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:38)(cid:98)(cid:40)(cid:41) (cid:42)(cid:37) (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)2(cid:49)(cid:75)(cid:46)(cid:98)(cid:73)(cid:52)(cid:37) = = = 6(cid:37) (cid:68)(cid:53)(cid:40)(cid:41)(cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:48)(cid:28) (cid:34) 𝑃−𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐵 2,𝑃𝐶 A(cid:27)1 B(cid:27) 3 C(cid:27)2 D(cid:27)3 10(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:83)(cid:84) (cid:48)(cid:75)(cid:162)(cid:61)(cid:73)(cid:98)(cid:73)(cid:52)(cid:37)AB(cid:48)(cid:165)(cid:46)(cid:37) (cid:48)(cid:75)(cid:46)(cid:98)(cid:73)(cid:52)(cid:37)(cid:67)(cid:166)(cid:44)(cid:73) (cid:48)150°(cid:37)(cid:68)(cid:61)(cid:62)CD(cid:70)(cid:59)△(cid:44)𝐴A𝐵B𝐶C(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:49)(cid:50)(cid:100)(cid:101)(cid:48)(cid:28) (cid:34) △𝐴𝐵𝐷 𝐶−𝐴 A 𝐵 (cid:27) −𝐷1 B(cid:27) 2 C(cid:27) 3 D(cid:27) 2 5 5 5 5 11(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:102)(cid:41)PO(cid:49)(cid:43)(cid:44)(cid:105)(cid:106)(cid:48) 3(cid:37)O(cid:48)(cid:43)(cid:44)(cid:102)(cid:167)(cid:37)PA(cid:37)PB(cid:48)(cid:102)(cid:41)(cid:49)(cid:168)(cid:62)(cid:37) =120°(cid:37) (cid:67) (cid:49)(cid:44)(cid:90)(cid:75)(cid:169)9 3(cid:37)(cid:68)(cid:53)(cid:102)(cid:41)(cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:48)(cid:28) (cid:34) ∠𝐴𝑂𝐵 4 △𝑃𝐴𝐵 A(cid:27) B(cid:27) 6 C(cid:27) D(cid:27)3 6 𝜋 𝜋 3𝜋 𝜋 1 2 12(cid:27)(cid:28)2023·(cid:79)(cid:80)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:38)(cid:98)(cid:40)(cid:41) (cid:42)(cid:37)(cid:121)M,N(cid:129)(cid:170)(cid:38)(cid:40)PC,PB(cid:111)(cid:37)(cid:63) = (cid:37) = (cid:37) 3 3 𝑃−𝐴𝐵𝐶 𝑃𝑀 𝑃𝐶 𝑃𝑁 𝑃𝐵 (cid:68)(cid:98)(cid:40)(cid:41) (cid:104)(cid:98)(cid:40)(cid:41) (cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:85)(cid:171)(cid:48)(cid:28) (cid:34) 𝑃−𝐴𝑀𝑁 𝑃−𝐴𝐵𝐶 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx1 2 1 4 A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27) D(cid:27) 9 9 3 9 13(cid:27)(cid:28)2022·(cid:79)(cid:80)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34) (cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133)(cid:45)(cid:42)(cid:55)(cid:176)(cid:177)(cid:137)(cid:138)(cid:132)(cid:133)(cid:49)(cid:178)(cid:179)(cid:180)(cid:181)(cid:85)(cid:22)(cid:37)(cid:182)(cid:36)(cid:42)(cid:49)(cid:183)(cid:184)(cid:73)(cid:185)(cid:49)(cid:133)(cid:186) (cid:187)(cid:48)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:133).(cid:76)(cid:111)(cid:186)(cid:150)(cid:161)(cid:48)(cid:188)(cid:57)(cid:58)(cid:74)(cid:92)(cid:49)(cid:61)(cid:98)(cid:40)(cid:103)(cid:189)(cid:190)(cid:191)(cid:72)(cid:49)(cid:192)(cid:193)(cid:82)(cid:28)(cid:35)(cid:194)(cid:36)(cid:34).(cid:195)(cid:57)(cid:58)(cid:61)(cid:98)(cid:40)(cid:103)(cid:77)(cid:22)(cid:58) (cid:7)(cid:196)(cid:107)(cid:44)ABCD.(cid:38)(cid:43)(cid:44)BCE(cid:42)(cid:37)(cid:67) = =3, =120°,(cid:68)(cid:53)(cid:192)(cid:193)(cid:82)(cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:48)(cid:28) (cid:34) 𝐵𝐸 𝐶𝐸 ∠𝐵𝐶𝐸 A(cid:27) 27 B(cid:27)27 3 C(cid:27)27 D(cid:27)27 3 2 2 14(cid:27)(cid:28)2022·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:50)(cid:98)(cid:40)(cid:99)(cid:49)(cid:31)(cid:48)1(cid:37)(cid:111)(cid:23)(cid:64)(cid:43)(cid:44)(cid:46)(cid:47)(cid:129)(cid:170)(cid:48)3 3(cid:104)4 3(cid:37)(cid:76)(cid:133)(cid:121)(cid:197)(cid:38)(cid:92)(cid:22)(cid:198) (cid:44)(cid:111)(cid:37)(cid:68)(cid:53)(cid:198)(cid:49)(cid:199)(cid:44)(cid:90)(cid:48)(cid:28) (cid:34) A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27) D(cid:27) 15(cid:27)(cid:28)2012020·π(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)1(cid:34)2(cid:200)8π(cid:23)(cid:201)(cid:57)(cid:58)(cid:102)(cid:41)(cid:49)(cid:168)1(cid:62)4(cid:47)4π(cid:74)(cid:75)(cid:37)(cid:107)(cid:44)(cid:157)(cid:202)(cid:36)1(cid:49)9(cid:102)2π(cid:167)(cid:73)(cid:85)(cid:104)(cid:48)2 (cid:37)(cid:107)(cid:44)(cid:90)(cid:129)(cid:170)(cid:48) (cid:104) (cid:37)(cid:82)(cid:90)(cid:129)(cid:170)(cid:48) (cid:104) (cid:27)(cid:67) 甲 =2(cid:37)(cid:68) 甲 =(cid:28) (cid:34) π 甲 乙 甲 乙 𝑆乙 𝑉乙 𝑆 𝑆 𝑉 𝑉 𝑆 𝑉 A(cid:27) 5 B(cid:27)2 2 C(cid:27) 10 D(cid:27)5 10 4 16(cid:27)(cid:28)2022·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:203)(cid:204)(cid:205)(cid:111)(cid:206)(cid:207)(cid:49)(cid:45)(cid:22)(cid:58)(cid:208)(cid:44)(cid:82)(cid:49)(cid:98)(cid:161)(cid:36)(cid:37)(cid:203)(cid:204)(cid:209)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:49)(cid:46)(cid:47)(cid:48)1(cid:37)(cid:68) (cid:53)(cid:208)(cid:44)(cid:82)(cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:48)(cid:28) (cid:34) A(cid:27)8 B(cid:27)12 C(cid:27)16 D(cid:27)20 17(cid:27)(cid:28)2022·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:198)O(cid:49)(cid:105)(cid:106)(cid:48)1(cid:37)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:49)(cid:133)(cid:121)(cid:48)O(cid:37)(cid:43)(cid:44)(cid:49)(cid:39)(cid:58)(cid:133)(cid:121)(cid:110)(cid:38)(cid:198)O(cid:49)(cid:198)(cid:44)(cid:111)(cid:37) (cid:68)(cid:210)(cid:53)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:37)(cid:76)(cid:31)(cid:48)(cid:28) (cid:34) 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzxA(cid:27) 1 B(cid:27) 1 C(cid:27) 3 D(cid:27) 2 3 2 3 2 18(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:50)(cid:98)(cid:40)(cid:41) (cid:49)(cid:214)(cid:60)(cid:40)(cid:47)(cid:110)(cid:48)6(cid:37)S(cid:45) (cid:215)(cid:76)(cid:120)(cid:186)(cid:49)(cid:121)(cid:216)(cid:72)(cid:49)(cid:115) (cid:116)(cid:27)(cid:56)(cid:115)(cid:116) ={ | 5}(cid:37)(cid:68)T(cid:199)(cid:217)(cid:49)𝑃(cid:218)−𝐴(cid:219)𝐵(cid:49)𝐶 (cid:44)(cid:90)(cid:48)(cid:28) (cid:34) △𝐴𝐵𝐶 𝑇 𝑄∈𝑆 𝑃𝑄≤ A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27) D(cid:27) 4 3𝜋 𝜋 2𝜋 3𝜋 19(cid:27)(cid:28)2022·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:220)(cid:221)(cid:29)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:227)(cid:29)(cid:51)(cid:22)(cid:228)(cid:229)(cid:218)(cid:221)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:21)(cid:37)(cid:76)(cid:42)(cid:22)(cid:186)(cid:129)(cid:221)(cid:235)(cid:236)(cid:160)(cid:221)(cid:237). (cid:83)(cid:84)(cid:53)(cid:221)(cid:237)(cid:221)(cid:238)(cid:48)(cid:112)(cid:239)148．5m(cid:213)(cid:37)(cid:74)(cid:240)(cid:221)(cid:44)(cid:49)(cid:44)(cid:90)(cid:48)140．0km2(cid:241)(cid:221)(cid:238)(cid:48)(cid:112)(cid:239)157．5m(cid:213)(cid:37)(cid:74)(cid:240)(cid:221)(cid:44)(cid:49) (cid:44)(cid:90)(cid:48)180．0km2(cid:37)(cid:242)(cid:53)(cid:221)(cid:237)(cid:38)(cid:195)(cid:57)(cid:58)(cid:221)(cid:238)(cid:86)(cid:49)(cid:52)(cid:243)(cid:244)(cid:245)(cid:22)(cid:58)(cid:40)(cid:99)(cid:37)(cid:68)(cid:53)(cid:221)(cid:237)(cid:221)(cid:238)(cid:246)(cid:112)(cid:239)148．5m(cid:111)(cid:247)(cid:248) 157．5m(cid:213)(cid:37)(cid:249)(cid:250)(cid:49)(cid:221)(cid:251)(cid:252)(cid:48)(cid:28) 7 2.65(cid:34)(cid:28) (cid:34) A(cid:27)1.0×109m3 B(cid:27)1.2×109≈m3 C(cid:27)1.4×109m3 D(cid:27)1.6×109m3 20(cid:27)(cid:28)2022·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:38)(cid:50)(cid:51)(cid:82) (cid:42)(cid:37)E(cid:37)F(cid:129)(cid:170)(cid:48) (cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:37)(cid:68)(cid:28) (cid:34) 1 1 1 1 A(cid:27)(cid:59)(cid:44) (cid:59)(cid:44) 𝐴𝐵𝐶𝐷−B𝐴(cid:27)𝐵(cid:59)𝐶(cid:44)𝐷 (cid:59)(cid:44) 𝐴𝐵,𝐵𝐶 1 1 1 1 C(cid:27)(cid:59)(cid:44)𝐵 𝐸𝐹/⊥/(cid:59)(cid:44)𝐵𝐷𝐷 D(cid:27)(cid:59)(cid:44)𝐵 𝐸𝐹/⊥/(cid:59)(cid:44)𝐴 𝐵𝐷 1 1 1 1 1 (cid:166)(cid:23)(cid:208)(cid:25)(cid:20)(cid:26)𝐵(cid:21)𝐸𝐹 𝐴 𝐴𝐶 𝐵 𝐸𝐹 𝐴 𝐶 𝐷 21(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:64)(cid:93)(cid:14)(cid:82)(cid:42)(cid:37)(cid:253)(cid:254)(cid:255)(cid:256)(cid:82)(cid:257)(cid:236)(cid:40)(cid:47)(cid:48)1(cid:28)(cid:24)(cid:238)(cid:10)m(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:82)(cid:258)(cid:259)(cid:28)(cid:258)(cid:259)(cid:260)(cid:261) (cid:262)(cid:263)(cid:264)(cid:91)(cid:265)(cid:34)(cid:120)(cid:49)(cid:77)(cid:28) (cid:34) A(cid:27)(cid:61)(cid:106)(cid:48)0.99m(cid:49)(cid:198)(cid:82) B(cid:27)(cid:71)(cid:77)(cid:40)(cid:47)(cid:110)(cid:48)1.4m(cid:49)(cid:39)(cid:44)(cid:82) C(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:61)(cid:106)(cid:48)0.01m(cid:37)(cid:31)(cid:48)1.8m(cid:49)(cid:102)(cid:103)(cid:82) D(cid:27)(cid:43)(cid:44)(cid:61)(cid:106)(cid:48)1.2m(cid:37)(cid:31)(cid:48)0.01m(cid:49)(cid:102)(cid:103)(cid:82) 22(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:102)(cid:41)(cid:49)(cid:133)(cid:121)(cid:48)P(cid:37)(cid:43)(cid:44)(cid:102)(cid:167)(cid:48)O(cid:37)AB(cid:48)(cid:43)(cid:44)(cid:61)(cid:106)(cid:37) =120°(cid:37) =2(cid:37)(cid:121)C(cid:38)(cid:43)(cid:44)(cid:102)(cid:266)(cid:111)(cid:37)(cid:63)(cid:166)(cid:44)(cid:73) (cid:48)45°(cid:37)(cid:68)(cid:28) (cid:34)(cid:27) ∠𝐴𝑃𝐵 𝑃𝐴 A(cid:27)(cid:53)(cid:102)(cid:41)(cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:48) 𝑃−𝐴𝐶−B(cid:27)𝑂(cid:53)(cid:102)(cid:41)(cid:49)(cid:107)(cid:44)(cid:90)(cid:48)4 3 C(cid:27) =2 2 π D(cid:27) (cid:49)(cid:44)(cid:90)(cid:48) 3 π 23(cid:27)(cid:28)20𝐴2𝐶2·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:39)(cid:46)(cid:52) (cid:48)△(cid:50)𝑃(cid:51)𝐴𝐶(cid:52)(cid:37) (cid:59)(cid:44) (cid:37) = = (cid:37)(cid:267) (cid:98)(cid:40)(cid:41) (cid:37) (cid:37) (cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:129)𝐴(cid:170)𝐵(cid:48)𝐶𝐷 , , (cid:37)(cid:68)𝐸(cid:28)𝐷 ⊥ (cid:34) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐹𝐵∥𝐸𝐷,𝐴𝐵 𝐸𝐷 2𝐹𝐵 1 2 3 𝐸−𝐴𝐶𝐷 𝐹−𝐴𝐵𝐶 𝐹−𝐴𝐶𝐸 𝑉 𝑉 𝑉 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzxA(cid:27) =2 B(cid:27) = 3 2 3 1 C(cid:27)𝑉 = 𝑉+ D(cid:27)𝑉2 =𝑉3 3 1 2 3 1 (cid:98)(cid:23)(cid:268)(cid:119)𝑉(cid:21) 𝑉 𝑉 𝑉 𝑉 24(cid:27)(cid:28)2024·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:102)(cid:99)(cid:200)(cid:23)(cid:201)(cid:49)(cid:111)(cid:43)(cid:44)(cid:105)(cid:106)(cid:110)(cid:48) ,(cid:64)(cid:43)(cid:44)(cid:105)(cid:106)(cid:110)(cid:48) (cid:37)(cid:102)(cid:99)(cid:49)(cid:168)(cid:62)(cid:47)(cid:129)(cid:170)(cid:48) 1 2 2( ),3( )(cid:37)(cid:68)(cid:102)(cid:99)(cid:200)(cid:70)(cid:201)(cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:85)(cid:171)(cid:48) (cid:27) 𝑟 𝑟 2 1 2 1 25𝑟(cid:27)(cid:28)−𝑟2023·(cid:54)𝑟 (cid:55)−𝑟·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:121) (cid:110)(cid:38)(cid:105)(cid:106)(cid:48)2(cid:49)(cid:198)(cid:44)(cid:111)(cid:37) (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)3(cid:49)(cid:75)(cid:46)(cid:98)(cid:73)(cid:52)(cid:37) (cid:59)(cid:44) (cid:37)(cid:68) = (cid:27) 𝑆,𝐴,𝐵,𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝑆𝐴⊥ 26(cid:27)(cid:28)𝐴𝐵2𝐶023·(cid:54)𝑆(cid:55)𝐴·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:38)(cid:50)(cid:51)(cid:82) (cid:42)(cid:37) = (cid:48) (cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:37)(cid:67)(cid:53)(cid:50)(cid:51)(cid:82)(cid:49)(cid:40)(cid:70)(cid:198) 1 1 1 1 1 (cid:49)(cid:198)(cid:44)(cid:77)(cid:7)(cid:196)(cid:121)(cid:37)(cid:68)(cid:198) (cid:49)(cid:105)(cid:106)(cid:49)(cid:123)(cid:101)𝐴(cid:269)𝐵(cid:270)𝐶𝐷(cid:45)− 𝐴 𝐵 𝐶(cid:27)𝐷 𝐴𝐵 4,𝑂 𝐴𝐶 𝑂 27(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)𝑂(cid:21)(cid:34)(cid:38)(cid:50)(cid:51)(cid:82) (cid:42)(cid:37)E(cid:37)F(cid:129)(cid:170)(cid:48)AB(cid:37) (cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:37)(cid:151)EF(cid:48)(cid:61)(cid:106) 1 1 1 1 1 1 (cid:49)(cid:198)(cid:49)(cid:198)(cid:44)(cid:70)(cid:53)(cid:50)(cid:51)(cid:82)(cid:49)(cid:40)(cid:196)(cid:77) 𝐴(cid:58)𝐵𝐶(cid:7)𝐷(cid:196)−𝐴(cid:121)(cid:27)𝐵 𝐶 𝐷 𝐶 𝐷 28(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:38)(cid:50)(cid:39)(cid:40)(cid:99) (cid:42)(cid:37) =2, = = 2(cid:37)(cid:68)(cid:53)(cid:40)(cid:99)(cid:49)(cid:82)(cid:90) 1 1 1 1 1 1 1 (cid:48) (cid:27) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐴 𝐵 1,𝐴𝐴 29(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:43)(cid:44)(cid:46)(cid:47)(cid:48)4(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:255)(cid:59)(cid:271)(cid:169)(cid:76)(cid:43)(cid:44)(cid:49)(cid:59)(cid:44)(cid:71)(cid:272)(cid:37)(cid:272)(cid:273)(cid:22)(cid:58)(cid:43)(cid:44)(cid:46)(cid:47)(cid:48)2(cid:37) (cid:31)(cid:48)3(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:37)(cid:71)(cid:127)(cid:40)(cid:99)(cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:48) (cid:27) (cid:39)(cid:23)(cid:226)(cid:274)(cid:21) 30(cid:27)(cid:28)2024·(cid:111)(cid:112)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:48)(cid:50)(cid:39)(cid:40)(cid:41) (cid:48)(cid:43)(cid:44) (cid:49)(cid:42)(cid:167)(cid:27) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷,𝑂 𝐴𝐵𝐶𝐷 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx(1)(cid:67) = =3 2(cid:37)(cid:275) (cid:276) (cid:277)(cid:278)(cid:22)(cid:266)(cid:52)(cid:72)(cid:49)(cid:192)(cid:193)(cid:82)(cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:241) (2)(cid:67)𝐴𝑃=5,𝐴𝐷(cid:48) (cid:49)(cid:42)(cid:121)△(cid:37)𝑃(cid:275)𝑂(cid:61)𝐴(cid:62)𝑃𝑂(cid:70)(cid:59)(cid:44) (cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:49)(cid:212)(cid:209)(cid:27) 𝐴𝑃 𝐴𝐷,𝐸 𝑃𝐵 𝐵𝐷 𝐴𝐸𝐶 31(cid:27)(cid:28)2024·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37) // // (cid:37) = = = =2(cid:37) = = = 10(cid:37) =2 3, (cid:48) (cid:49)(cid:42)(cid:121). 𝐴𝐵 𝐶𝐷,𝐶𝐷 𝐸𝐹 𝐴𝐵 𝐷𝐸 𝐸𝐹 𝐶𝐹 𝐶𝐷 4,𝐴𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐸 𝑀 𝐶𝐷 (1)(cid:279)(cid:280)(cid:10) //(cid:59)(cid:44) (cid:241) (2)(cid:275)(cid:121) (cid:248)𝐸𝑀 (cid:49)(cid:87)𝐵(cid:88)𝐶𝐹. 𝑀 𝐴𝐷𝐸 32(cid:27)(cid:28)2024·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:39)(cid:40)(cid:41) (cid:42)(cid:37) (cid:43)(cid:44)ABCD(cid:37) = =2(cid:37) = = 3(cid:27) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴⊥ 𝑃𝐴 𝐴𝐶 𝐵𝐶 1,𝐴𝐵 (1)(cid:67) (cid:37)(cid:279)(cid:280)(cid:10) //(cid:59)(cid:44) (cid:241) (2)(cid:67) 𝐴𝐷⊥𝑃𝐵 (cid:37)(cid:63)(cid:166)(cid:44) 𝐴 (cid:73) 𝐷 𝑃𝐵 (cid:49) 𝐶 (cid:50)(cid:281)(cid:101)(cid:48) 42(cid:37)(cid:275) (cid:27) 7 𝐴𝐷⊥𝐷𝐶 𝐴−𝐶𝑃−𝐷 𝐴𝐷 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx33(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41) (cid:42)(cid:37) // (cid:37) = =1(cid:37) =3,(cid:121) (cid:38) (cid:111)(cid:37)(cid:63) (cid:37) = =2(cid:27) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐸 𝐴𝐷 𝑃𝐸⊥𝐴𝐷 𝑃𝐸 𝐷𝐸 (1)(cid:67) (cid:48)(cid:62)(cid:282) (cid:42)(cid:121)(cid:37)(cid:275)(cid:279)(cid:10) //(cid:59)(cid:44) (cid:27) (2)(cid:67)𝐹 (cid:59)(cid:44)𝑃𝐸 (cid:37)(cid:275)(cid:59)(cid:44) 𝐵𝐹(cid:70)(cid:59)(cid:44)𝑃𝐶𝐷(cid:164)(cid:73)(cid:49)(cid:283)(cid:281)(cid:101)(cid:27) 𝐴𝐵⊥ 𝑃𝐴𝐷 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐶𝐷 34(cid:27)(cid:28)2024·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:151)A(cid:37)B(cid:37)C(cid:37)D(cid:37)E(cid:37)F(cid:48)(cid:133)(cid:121)(cid:49)(cid:81)(cid:44)(cid:82)(cid:42)(cid:37)(cid:39)(cid:46)(cid:52)ABCD(cid:70)(cid:39)(cid:46)(cid:52) ADEF(cid:110)(cid:48)(cid:75)(cid:162)(cid:163)(cid:52)(cid:37) // // (cid:37) = = = =2(cid:37) = 10 =2 3(cid:37) (cid:48) (cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:27) 𝐸𝐹 𝐴𝐷,𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐷 4,𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐸𝐷 ,𝐹𝐵 𝑀 𝐴𝐷 (1)(cid:279)(cid:280)(cid:10) //(cid:59)(cid:44) (cid:241) (2)(cid:275)(cid:166)(cid:44)(cid:73)𝐵𝑀 𝐶𝐷(cid:49)𝐸(cid:50)(cid:281)(cid:101)(cid:27) 𝐹−𝐵𝑀−𝐸 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx35(cid:27)(cid:28)2024·(cid:79)(cid:80)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:83)(cid:84)(cid:39)(cid:40)(cid:103) (cid:42)(cid:37)(cid:43)(cid:44) (cid:48)(cid:163)(cid:52)(cid:37) // (cid:37) (cid:59)(cid:44) 1 1 1 1 1 (cid:37) (cid:37)(cid:76)(cid:42) = = 𝐴=𝐵𝐶𝐷−=𝐴1(cid:27)𝐵 𝐶(cid:45)𝐷 (cid:49)(cid:42)(cid:121)𝐴(cid:37)𝐵𝐶𝐷(cid:45) (cid:49)(cid:42)𝐴(cid:121)𝐵 (cid:27)𝐶𝐷 𝐴 𝐴⊥ 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷⊥𝐴𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝐴 2,𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝑁 𝐵 𝐶 𝑀 𝐷𝐷 (1)(cid:275)(cid:279) //(cid:59)(cid:44) (cid:241) 1 1 (2)(cid:275)(cid:59)𝐷(cid:44)𝑁 (cid:70)(cid:59)𝐶𝐵(cid:44)𝑀 (cid:49)(cid:164)(cid:73)(cid:283)(cid:281)(cid:101)(cid:241) 1 1 1 (3)(cid:275)(cid:121) (cid:248)𝐶𝐵(cid:59)(cid:44)𝑀 (cid:49)𝐵𝐵(cid:87)(cid:88)𝐶𝐶(cid:27) 1 𝐵 𝐶𝐵 𝑀 36(cid:27)(cid:28)2024·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:59)(cid:44)(cid:39)(cid:46)(cid:52)ABCD(cid:42)(cid:37) =8(cid:37) =3(cid:37) =5 3(cid:37) =90°(cid:37) =30°(cid:37)(cid:121)E(cid:37)F(cid:284)(cid:285) = 2 (cid:37) = 1 (cid:37)(cid:242) 𝐴𝐵 (cid:286)EF(cid:287) 𝐶 (cid:288) 𝐷 (cid:289) 𝐴𝐷 (cid:37)(cid:126)(cid:127) ∠ = 𝐴𝐷 4 𝐶 3(cid:27) 5 2 ∠𝐵𝐴𝐷 𝐴𝐸 𝐴𝐷 𝐴𝐹 𝐴𝐵 △𝐴𝐸𝐹 △𝑃𝐸𝐹 𝑃𝐶 (1)(cid:279)(cid:280)(cid:10) (cid:241) (2)(cid:275)(cid:59)(cid:44)𝐸P𝐹C⊥D𝑃(cid:70)𝐷(cid:59)(cid:44)PBF(cid:71)(cid:72)(cid:49)(cid:166)(cid:44)(cid:73)(cid:49)(cid:50)(cid:281)(cid:101)(cid:27) 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx37(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:98)(cid:40)(cid:41) (cid:42)(cid:37) (cid:59)(cid:44) (cid:37) = = =1， = 3(cid:27) 𝑃−𝐴𝐵𝐶 𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶 𝑃𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑃𝐶 (1)(cid:275)(cid:279)(cid:10) (cid:59)(cid:44)PAB(cid:241) (2)(cid:275)(cid:166)(cid:44)(cid:73)𝐵𝐶⊥ (cid:49)(cid:212)(cid:209)(cid:27) 𝐴−𝑃𝐶−𝐵 38(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:98)(cid:40)(cid:103) (cid:42)(cid:37) (cid:59)(cid:44) =90°(cid:27) 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐶⊥ 𝐴𝐵𝐶,∠𝐴𝐶𝐵 (1)(cid:279)(cid:280)(cid:10)(cid:59)(cid:44) (cid:59)(cid:44) (cid:241) 1 1 1 1 (2)(cid:56) = 𝐴𝐶𝐶 𝐴=2⊥(cid:37)(cid:275)(cid:39)𝐵(cid:40)𝐵(cid:41)𝐶 𝐶 (cid:49)(cid:31)(cid:27) 1 1 1 1 1 𝐴𝐵 𝐴 𝐵,𝐴𝐴 𝐴 −𝐵𝐵 𝐶 𝐶 39(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:98)(cid:40)(cid:103) (cid:42)(cid:37) (cid:43)(cid:44)ABC(cid:37) = =2(cid:37) 1 1 1 1 1 1 (cid:248)(cid:59)(cid:44) (cid:49)(cid:87)(cid:88)(cid:48)1(cid:27) 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐶⊥ ∠𝐴𝐶𝐵 90°,𝐴𝐴 𝐴 1 1 𝐵𝐶𝐶 𝐵 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx(1)(cid:279)(cid:280)(cid:10) = (cid:241) 1 (2)(cid:83)(cid:84) 𝐴(cid:70)𝐶 𝐴(cid:49)𝐶 (cid:87)(cid:88)(cid:48)2(cid:37)(cid:275) (cid:70)(cid:59)(cid:44) (cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:49)(cid:50)(cid:281)(cid:101)(cid:27) 1 1 1 1 1 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐴𝐵 𝐵𝐶𝐶 𝐵 40(cid:27)(cid:28)2023·(cid:79)(cid:80)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:98)(cid:40)(cid:99) (cid:42)(cid:37) (cid:59)(cid:44) = = =2, 1 1 1 1 1 =1(cid:37) (cid:48) (cid:42)(cid:121).(cid:37)N(cid:48)AB(cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:37) 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶,𝐴𝐵⊥𝐴𝐶,𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐴 1 1 𝐴 𝐶 𝑀 𝐵𝐶 (1)(cid:275)(cid:279)(cid:10) //(cid:59)(cid:44) (cid:241) 1 1 (2)(cid:275)(cid:59)(cid:44)𝐴 𝑁 (cid:70)(cid:59)𝐴(cid:44)𝑀𝐶 (cid:71)(cid:72)(cid:164)(cid:73)(cid:49)(cid:283)(cid:281)(cid:101)(cid:241) 1 1 1 (3)(cid:275)(cid:121) (cid:248)𝐴(cid:59)𝑀𝐶(cid:44) (cid:49)𝐴(cid:87)𝐶𝐶(cid:88)𝐴(cid:27) 1 𝐶 𝐴𝑀𝐶 41(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:98)(cid:40)(cid:41) (cid:42)(cid:37) (cid:37) =2(cid:37) =2 2(cid:37) = = 6(cid:37) (cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:129)(cid:170)(cid:48) (cid:37)(cid:121) (cid:38) (cid:111)(cid:37) 𝑃(cid:27)−𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝐵𝑃,𝐴𝑃,𝐵𝐶 𝐷,𝐸,𝑂 𝐹 𝐴𝐶 𝐵𝐹⊥𝐴𝑂 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx(1)(cid:275)(cid:279)(cid:10) //(cid:59)(cid:44) (cid:241) (2)(cid:67) 𝐸𝐹=120°(cid:37)𝐴𝐷(cid:275)𝑂(cid:98)(cid:40)(cid:41) (cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:27) ∠𝑃𝑂𝐹 𝑃−𝐴𝐵𝐶 42(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:98)(cid:40)(cid:41) (cid:42)(cid:37) (cid:37) =2(cid:37) =2 2(cid:37) = = 6(cid:37) BP(cid:37)AP(cid:37)BC(cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:129)(cid:170)(cid:48)D(cid:37)E(cid:37)O(cid:37) =𝑃−5𝐴𝐵𝐶(cid:37)(cid:121)F𝐴(cid:38)𝐵⊥A𝐵C𝐶(cid:111)(cid:37)𝐴𝐵 𝐵.𝐶 𝑃𝐵 𝑃𝐶 𝐴𝐷 𝐷𝑂 𝐵𝐹⊥𝐴𝑂 (1)(cid:279)(cid:280)(cid:10) //(cid:59)(cid:44) (cid:241) (2)(cid:279)(cid:280)(cid:10)𝐸(cid:59)𝐹(cid:44) 𝐴𝐷(cid:59)𝑂(cid:44)BEF(cid:241) (3)(cid:275)(cid:166)(cid:44)(cid:73) 𝐴𝐷𝑂⊥(cid:49)(cid:50)(cid:281)(cid:101). 𝐷−𝐴𝑂−𝐶 43(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:50)(cid:39)(cid:40)(cid:103) (cid:42)(cid:37) = =4(cid:27)(cid:121) , , , (cid:129)(cid:170) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 (cid:38)(cid:40) , (cid:111)(cid:37) = = =𝐴𝐵𝐶𝐷−=𝐴3𝐵(cid:27)𝐶 𝐷 𝐴𝐵 2,𝐴𝐴 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 1 1 1 1 2 2 2 2 𝐴𝐴 ,𝐵𝐵 ,𝐶𝐶 𝐷𝐷 𝐴𝐴 1,𝐵𝐵 𝐷𝐷 2,𝐶𝐶 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx(1)(cid:279)(cid:280)(cid:10) (cid:241) 2 2 2 2 (2)(cid:121) (cid:38)(cid:40)𝐵 𝐶 ∥(cid:111)𝐴(cid:37)𝐷(cid:210)(cid:166)(cid:44)(cid:73) (cid:48)150°(cid:213)(cid:37)(cid:275) (cid:27) 1 2 2 2 2 𝑃 𝐵𝐵 𝑃−𝐴 𝐶 −𝐷 𝐵 𝑃 44(cid:27)(cid:28)2023·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:98)(cid:40)(cid:41) (cid:42)(cid:37) = = (cid:37) (cid:37) = =60 (cid:37)E ∘ (cid:48)BC(cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:27) 𝐴−𝐵𝐶𝐷 𝐷𝐴 𝐷𝐵 𝐷𝐶 𝐵𝐷⊥𝐶𝐷 ∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐴𝐷𝐶 (1)(cid:279)(cid:280)(cid:10) (cid:241) (2)(cid:121)F(cid:284)𝐵(cid:285)𝐶⊥𝐷=𝐴 (cid:37)(cid:275)(cid:166)(cid:44)(cid:73) (cid:49)(cid:50)(cid:281)(cid:101)(cid:27) 𝐸𝐹 𝐷𝐴 𝐷−𝐴𝐵−𝐹 45(cid:27)(cid:28)2022·(cid:290)(cid:291)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:83)(cid:84) (cid:104) (cid:197)(cid:45)(cid:61)(cid:73)(cid:163)(cid:52)(cid:37) // (cid:37) // (cid:37) =5(cid:37) =3(cid:37) =1(cid:37) = =60°(cid:37)𝐴(cid:166)𝐵𝐶(cid:44)𝐷(cid:73)𝐶𝐷𝐸𝐹 (cid:49)(cid:59)(cid:44)(cid:73)(cid:48)60𝐴°𝐵(cid:27)(cid:56)𝐷𝐶M(cid:37)𝐷N𝐶(cid:129)𝐸(cid:170)𝐹(cid:48)𝐴𝐵 (cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:27) 𝐷𝐶 𝐸𝐹 ∠𝐵𝐴𝐷 ∠𝐶𝐷𝐸 𝐹−𝐷𝐶−𝐵 𝐴𝐸,𝐵𝐶 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx(1)(cid:279)(cid:280)(cid:10) (cid:241) (2)(cid:275)(cid:61)(cid:62)𝐹𝑁(cid:70)⊥𝐴(cid:59)𝐷(cid:44) (cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:49)(cid:50)(cid:281)(cid:101)(cid:27) 𝐵𝑀 𝐴𝐷𝐸 46(cid:27)(cid:28)2022·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:39)(cid:44)(cid:82) (cid:42)(cid:37) = = (cid:37)E(cid:48)AC(cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:27) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷⊥𝐶𝐷,𝐴𝐷 𝐶𝐷,∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐵𝐷𝐶 (1)(cid:279)(cid:280)(cid:10)(cid:59)(cid:44) (cid:59)(cid:44)ACD(cid:241) (2)(cid:56) = 𝐵=𝐸𝐷⊥ =60°(cid:37)(cid:121)F(cid:38)BD(cid:111)(cid:37)(cid:210) (cid:49)(cid:44)(cid:90)(cid:211)(cid:209)(cid:213)(cid:37)(cid:275)(cid:98)(cid:40)(cid:41) (cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:27) 𝐴𝐵 𝐵𝐷 2,∠𝐴𝐶𝐵 △𝐴𝐹𝐶 𝐹−𝐴𝐵𝐶 47(cid:27)(cid:28)2022·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:209)(cid:280)(cid:92)(cid:11)(cid:292)(cid:250)(cid:293)(cid:116)(cid:125)(cid:294)(cid:295)(cid:296)(cid:37)(cid:56)(cid:265)(cid:227)(cid:22)(cid:58)(cid:297)(cid:298)(cid:49)(cid:299)(cid:147)(cid:300)(cid:37)(cid:299)(cid:147)(cid:300)(cid:35)(cid:36)(cid:71)(cid:217)(cid:10)(cid:43) (cid:44) (cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)8(cid:28)(cid:24)(cid:238)(cid:10)cm(cid:34)(cid:49)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:37) (cid:110)(cid:48)(cid:50)(cid:98)(cid:73)(cid:52)(cid:37)(cid:63)(cid:108)(cid:109)(cid:71)(cid:38)(cid:49) (cid:59)(cid:44)𝐴𝐵(cid:197)𝐶𝐷(cid:70)(cid:59)(cid:44) (cid:301)(cid:61)(cid:27) △𝐸𝐴𝐵,△𝐹𝐵𝐶,△𝐺𝐶𝐷,△𝐻𝐷𝐴 𝐴𝐵𝐶𝐷 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx(1)(cid:279)(cid:280)(cid:10) //(cid:59)(cid:44) (cid:241) (2)(cid:275)(cid:53)(cid:299)(cid:147)𝐸𝐹(cid:300)(cid:49)(cid:258)(cid:90)𝐴𝐵(cid:28)𝐶(cid:91)𝐷(cid:265)(cid:299)(cid:147)(cid:300)(cid:302)(cid:303)(cid:49)(cid:261)(cid:262)(cid:34)(cid:27) 48(cid:27)(cid:28)2022·(cid:79)(cid:80)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:61)(cid:98)(cid:40)(cid:103) (cid:42)(cid:37) (cid:37)(cid:121)D(cid:23)E(cid:23)F(cid:129)(cid:170)(cid:48) 1 1 1 1 1 1 (cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:37) = = =2. 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐶⊥𝐴𝐵 𝐴 𝐵 ,𝐴𝐴 ,𝐶𝐷 1 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝐴 (1)(cid:275)(cid:279)(cid:10) //(cid:59)(cid:44) (cid:241) (2)(cid:275)(cid:61)(cid:62)𝐸𝐹(cid:70)(cid:59)(cid:44)𝐴𝐵𝐶 (cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:49)(cid:50)(cid:281)(cid:101)(cid:241) 1 (3)(cid:275)(cid:59)(cid:44)𝐵𝐸 (cid:70)(cid:59)𝐶(cid:44)𝐶 𝐷 (cid:164)(cid:73)(cid:49)(cid:283)(cid:281)(cid:101)(cid:27) 1 1 𝐴 𝐶𝐷 𝐶𝐶 𝐷 49(cid:27)(cid:28)2022·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37) (cid:45)(cid:98)(cid:40)(cid:41) (cid:49)(cid:31)(cid:37) = (cid:37) (cid:37)E(cid:45) (cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:27) 𝑃𝑂 𝑃−𝐴𝐵𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝐴𝐵⊥𝐴𝐶 𝑃𝐵 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx(1)(cid:279)(cid:280)(cid:10) //(cid:59)(cid:44) (cid:241) (2)(cid:67) 𝑂𝐸= 𝑃=𝐴𝐶30°(cid:37) =3(cid:37) =5(cid:37)(cid:275)(cid:166)(cid:44)(cid:73) (cid:49)(cid:50)(cid:281)(cid:101)(cid:27) ∠𝐴𝐵𝑂 ∠𝐶𝐵𝑂 𝑃𝑂 𝑃𝐴 𝐶−𝐴𝐸−𝐵 50(cid:27)(cid:28)2022·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41) (cid:42)(cid:37) (cid:43)(cid:44) = = = =𝑃−𝐴𝐵𝐶=𝐷 3(cid:27)𝑃𝐷⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐶𝐷∥𝐴𝐵,𝐴𝐷 𝐷𝐶 𝐶𝐵 1,𝐴𝐵 2,𝐷𝑃 (1)(cid:279)(cid:280)(cid:10) (cid:241) (2)(cid:275)PD(cid:70)𝐵𝐷(cid:59)⊥(cid:44)𝑃𝐴 (cid:71)(cid:72)(cid:49)(cid:73)(cid:49)(cid:50)(cid:281)(cid:101)(cid:27) 𝑃𝐴𝐵 51(cid:27)(cid:28)2022·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:39)(cid:44)(cid:82) (cid:42)(cid:37) = = (cid:37)E(cid:48) (cid:49)(cid:42)(cid:121)(cid:27) 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐷⊥𝐶𝐷,𝐴𝐷 𝐶𝐷,∠𝐴𝐷𝐵 ∠𝐵𝐷𝐶 𝐴𝐶 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx(1)(cid:279)(cid:280)(cid:10)(cid:59)(cid:44) (cid:59)(cid:44) (cid:241) (2)(cid:56) = 𝐵=𝐸𝐷⊥ =𝐴6𝐶0𝐷°(cid:37)(cid:121)F(cid:38) (cid:111)(cid:37)(cid:210) (cid:49)(cid:44)(cid:90)(cid:211)(cid:209)(cid:213)(cid:37)(cid:275) (cid:70)(cid:59)(cid:44) (cid:71)(cid:72)(cid:49)(cid:73)(cid:49)(cid:50)(cid:281)(cid:101)(cid:27) 𝐴𝐵 𝐵𝐷 2,∠𝐴𝐶𝐵 𝐵𝐷 △𝐴𝐹𝐶 𝐶𝐹 𝐴𝐵𝐷 52(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:38)(cid:98)(cid:40)(cid:103) (cid:42)(cid:37)(cid:107)(cid:44) (cid:48)(cid:50)(cid:51)(cid:52)(cid:37)(cid:59)(cid:44) (cid:59)(cid:44) 1 1 1 1 1 1 1 (cid:37) = =2(cid:37)M(cid:37)N(cid:129)(cid:170)(cid:48) (cid:37)𝐴A𝐵C𝐶(cid:49)−𝐴(cid:42)𝐵(cid:121)(cid:27)𝐶 𝐵𝐶𝐶 𝐵 𝐵𝐶𝐶 𝐵 ⊥ 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐵 𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴 𝐵 (1)(cid:275)(cid:279)(cid:10) (cid:59)(cid:44) (cid:241) 1 1 (2)(cid:304)(cid:246)(cid:60)𝑀(cid:130)𝑁∥(cid:23)(cid:60)𝐵(cid:130)𝐶𝐶 𝐵(cid:195)(cid:57)(cid:58)(cid:60)(cid:130)(cid:42)(cid:20)(cid:26)(cid:22)(cid:58)(cid:245)(cid:48)(cid:83)(cid:84)(cid:37)(cid:275)(cid:61)(cid:62)AB(cid:70)(cid:59)(cid:44)BMN(cid:71)(cid:72)(cid:73)(cid:49)(cid:50)(cid:281)(cid:101)(cid:27) (cid:60)(cid:130) (cid:10) ① (cid:241)② (cid:60)(cid:130)①(cid:10)𝐴𝐵⊥=𝑀𝑁 (cid:27) (cid:4)(cid:10)(cid:35)②(cid:305)(cid:20)𝐵𝑀(cid:26)(cid:60)𝑀(cid:130)𝑁 (cid:104)(cid:60)(cid:130) (cid:129)(cid:170)(cid:226)(cid:274)(cid:37)(cid:306)(cid:307)(cid:22)(cid:58)(cid:226)(cid:274)(cid:265)(cid:129)(cid:27) ① ② 53(cid:27)(cid:28)2022·(cid:54)(cid:55)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35)(cid:36)(cid:37)(cid:61)(cid:98)(cid:40)(cid:103) (cid:49)(cid:82)(cid:90)(cid:48)4(cid:37) (cid:49)(cid:44)(cid:90)(cid:48)2 2(cid:27) 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 △𝐴 𝐵𝐶 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx(1)(cid:275)A(cid:248)(cid:59)(cid:44) (cid:49)(cid:87)(cid:88)(cid:241) 1 (2)(cid:56)D(cid:48) (cid:49)𝐴(cid:42)𝐵𝐶(cid:121)(cid:37) = (cid:37)(cid:59)(cid:44) (cid:59)(cid:44) (cid:37)(cid:275)(cid:166)(cid:44)(cid:73) (cid:49)(cid:50)(cid:281)(cid:101)(cid:27) 1 1 1 1 1 𝐴 𝐶 𝐴𝐴 𝐴𝐵 𝐴 𝐵𝐶⊥ 𝐴𝐵𝐵 𝐴 𝐴−𝐵𝐷−𝐶 微信搜索公众号【偷着学】，微信号：tzx985tzx