文档内容
第 07 讲 向量法求距离、探索性及折叠问
题(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：利用空间向量求点到直线的距离
题型二：利用空间向量求点到平面的距离
题型三：立体几何中的折叠问题
题型四：立体几何综合问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：点 到直线 的距离
已知直线 的单位方向向量为 ， 是直线 上的定点， 是直线 外一点.设 ，则向量 在直线
上的投影向量 ，在 中，由勾股定理得：
知识点二：点 到平面 的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平面 的垂线 ，
交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是 在直线 上的投影向量
的长度.第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东茂名·高二期末）已知 为平面 的一个法向量， 为 内的一点，则点
到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
依题意， ，而 为平面 的一个法向量，
所以点 到平面 的距离 .
故选：A
2．（2022·福建厦门·高二期末）直线l的方向向量为 ，且l过点 ，则点 到l
的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】C
∵ ，
∴
又 ，
∴ 在 方向上的投影 ，
∴P到l距离 .
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， ， ，则点A到直线BC的距离是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
由已知得 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以点A到直线BC的距离是 .
故选：B
4．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知平面 的一个法向量为 ，点 在
平面 内，且 到平面 的距离为 ，则 的值为（ ）
A．1 B．11 C． 或 D．
【答案】C
，而 ，
即 ，
解得 或－11.
故选：C
5．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高二开学考试）在棱长为 的正方体 中， 是
的中点，则点 到平面 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
以 为空间直角坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系.由于 是 中点，故
，且 ，设 是平面 的法向量，故
，故可设 ，故 到平面 的距离
.故选A.第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：利用空间向量求点到直线的距离
典型例题
例题1．（2022·浙江绍兴·高二期末）如图，在正三棱柱 中，若 ，则 到直线
的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意知， ，
取AC的中点O，则 ，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ，
所以 在 上的投影的长度为 ，故点C到直线 的距离为： .
故选：D
例题2．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知 ， ，则点 到直
线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 方向上的投影数量为 ，
∴点 到直线 的距离为 .
故选：C.
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线 过定点 ，且 (0，1，1)为其一个方向向量，则
点 到直线 的距离为_______.
【答案】 ##
，故| | ，
，设直线 与直线 所成的角为 ，则 | ，
故 ，
点 到直线 的距离为 ．
故答案为:
题型归类练
1．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）如图，在棱长为1的正方体 中，点B到
直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
向量法，根据公式 即可求出答案.
【详解】
以 为坐标原点，以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
，
， ．
取 ， ，则 ， ，
则点B到直线AC 的距离为 ．
1
故选：A．2．（2022·全国·高三专题练习） ， ， 是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，
，若M满足 ，则点M到直线 的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
，
则 ，
则
，
点M到直线 的距离 .
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知棱长为3的正方体 中，点 是棱 的中点，
，动点P在正方形 (包括边界)内运动，且 平面 ，则 的取值范围为______.
【答案】
解：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
面 截正方体 的截面为梯形 ，其中 ， ，
取 中点 ，在 上取点 ，使 ，在 取点 ，使 ，
则平面 平面 ，
动点 在正方形 （包括边界）内运动，且 面 ，点的轨迹是线段 ，
，0， ， ，0， ， ，3， ，
，0， ， ，3， ，
点 到线段 的距离 ，
的长度的最小值为 ，
又 ， ， 长度的最大值为 ．
的长度范围为 ．
故答案为： ．
4．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中， ， ，M为
的中点，则点M到直线 的距离为___________.
【答案】
以A为原点建立空间直角坐标系，如图A(0,0,2)，C(0,2,0)， ,M(2,0,1)，B(2,0,0)，
1
则 ， ，| |＝ ，
设 于 ，
则 ，
,解得 ，
,
故答案为：
题型二：利用空间向量求点到平面的距离
典型例题
例题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知经过点 的平面 的法向量为 ，则点
到平面 的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
依题意， ，所以点P到平面 的距离为 .
故选：D
例题2．（2022·江苏·高二期中）在空间直角坐标系 中，平面 的法向量为 ， 已知
，则 到平面 的距离等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
所求距离为 ．
故选：C．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱 中，所有棱长均为 ，且 底面
，则点 到平面 的距离为______.【答案】
以C为原点， 分别为y、z轴正方向，建立如图示的空间直角坐标系，
则 ,则 , .设平面ABC
1
的一个法向量为 ,则有 ，不妨设z=1，解得 ,
则所求距离为
故答案为： .
题型归类练
1．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））设正方体 的棱长为 ，则点
到平面 的距离是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
建立如下图所示空间直角坐标系，以 为坐标原点，
所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴.
因为正方体的边长为4，所以 ， ， ， ，
，所以 ， ， ，
设平面 的法向量 ，所以 ， ，
即 ，设 ，所以 ， ，即 ，
设点 到平面 的距离为 ，所以 ，
故选：D.
2．（2022·江苏·高二课时练习）平面 的一个法向量 ，点 在 内，则点 到平
面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
所以点 到平面 的距离为 ．
故选：C．3．（2022·重庆·高二期末）已知空间中四点 ， ， ， ，则点D到平面
ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
由题意，空间中四点 ， ， ， ，
可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
所以点D到平面ABC的距离为 .
故选：C.
4．（2022·江苏泰州·高二期末）长方体 中， ， ，则点B到平面
的距离为________．
【答案】
解：在长方体 中，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建
立如图所示空间直角坐标系，
因为 ， ，所以 ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为：
，，令 得：
又
点B到平面 的距离为： .
故答案为： .
5．（2022·北京东城·高二期末）已知点 ，平面 过 ， ， 三点，则点
到平面 的距离为________.
【答案】
因为 ， ， ， ，
所以 ，
设平面ABC的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
所以则点 到平面 的距离为 ，
故答案为：
题型三：立体几何中的折叠问题
典型例题
例题1．（2022·广东茂名·高二期末）如图1，在一个正方形 , , , 内，有一个小正方形和四个全等
的等边三角形.将四个等边三角形折起来，使 , , , 重合于点 ，且折叠后的四棱锥 的
外接球的表面积是 (如图2)，则四棱锥 的体积是___________；若在四棱锥 内放
一个正方体，使正方体可以在四棱锥 内任意转动，则正方体棱长的最大值为___________.【答案】
在图2中，连接AC，BD交于点O，
则 是等腰直角三角形，
则O是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为x，
则外接球的半径是OA= ，
所以 ， ，
因此SO=OA= ,
故四棱锥S－ABCD的体积 .
设四棱锥S－ABCD的内切球球心为Q，其半径为R，连接QD、QA、QB、QC、QS，
则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R，
求出四棱锥的表面积： ，四棱锥的体积
，
则 ，
设放入四棱锥S－ABCD内部的小正方体棱长为a，
则 ，故 ，故a最大为 ，
故答案为： ， .
例题2．（2022·山西·长治市第四中学校高一期中（理））如图，四边形 中， ，
， ， ， ， 分别在 ， 上， ，现将四边形 沿
折起，使 ．
(1)若 ，在折叠后的线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由.
(2)求三棱锥 的体积的最大值，并求出此时点 到平面 的距离.
【答案】(1)存在，
(2)三棱锥ACDF的体积的最大值为3，此时点F到平面ACD的距离为
(1)AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时 .
理由如下：当 时， ，
如图，过点P作MP∥FD交AF于点M，连接ME，则 ，
∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3，又EC＝3，MP∥FD∥EC，∴MP∥EC，
故四边形MPCE为平行四边形，∴CP∥ME，
又CP 平面ABEF，ME 平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF.
⊄ ⊂
(2)设BE＝x，则AF＝x(0
