文档文本内容
第 07 讲 向量法求距离、探索性及折叠问
题(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：利用空间向量求点到直线的距离
题型二：利用空间向量求点到平面的距离
题型三：立体几何中的折叠问题
题型四：立体几何综合问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：点 到直线 的距离
已知直线 的单位方向向量为 ， 是直线 上的定点， 是直线 外一点.设 ，则向量 在直线
上的投影向量 ，在 中，由勾股定理得：
知识点二：点 到平面 的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平面 的垂线 ，
交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是 在直线 上的投影向量
的长度.第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东茂名·高二期末）已知 为平面 的一个法向量， 为 内的一点，则点
到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
依题意， ，而 为平面 的一个法向量，
所以点 到平面 的距离 .
故选：A
2．（2022·福建厦门·高二期末）直线l的方向向量为 ，且l过点 ，则点 到l
的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】C
∵ ，
∴
又 ，
∴ 在 方向上的投影 ，
∴P到l距离 .
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， ， ，则点A到直线BC的距离是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
由已知得 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以点A到直线BC的距离是 .
故选：B
4．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知平面 的一个法向量为 ，点 在
平面 内，且 到平面 的距离为 ，则 的值为（ ）
A．1 B．11 C． 或 D．
【答案】C
，而 ，
即 ，
解得 或－11.
故选：C
5．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高二开学考试）在棱长为 的正方体 中， 是
的中点，则点 到平面 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
以 为空间直角坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系.由于 是 中点，故
，且 ，设 是平面 的法向量，故
，故可设 ，故 到平面 的距离
.故选A.第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：利用空间向量求点到直线的距离
典型例题
例题1．（2022·浙江绍兴·高二期末）如图，在正三棱柱 中，若 ，则 到直线
的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意知， ，
取AC的中点O，则 ，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ，
所以 在 上的投影的长度为 ，故点C到直线 的距离为： .
故选：D
例题2．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知 ， ，则点 到直
线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 方向上的投影数量为 ，
∴点 到直线 的距离为 .
故选：C.
例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线 过定点 ，且 (0，1，1)为其一个方向向量，则
点 到直线 的距离为_______.
【答案】 ##
，故| | ，
，设直线 与直线 所成的角为 ，则 | ，
故 ，
点 到直线 的距离为 ．
故答案为:
题型归类练
1．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）如图，在棱长为1的正方体 中，点B到
直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
向量法，根据公式 即可求出答案.
【详解】
以 为坐标原点，以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
，
， ．
取 ， ，则 ， ，
则点B到直线AC 的距离为 ．
1
故选：A．2．（2022·全国·高三专题练习） ， ， 是从点P出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°，
，若M满足 ，则点M到直线 的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
，
则 ，
则
，
点M到直线 的距离 .
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知棱长为3的正方体 中，点 是棱 的中点，
，动点P在正方形 (包括边界)内运动，且 平面 ，则 的取值范围为______.
【答案】
解：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
面 截正方体 的截面为梯形 ，其中 ， ，
取 中点 ，在 上取点 ，使 ，在 取点 ，使 ，
则平面 平面 ，
动点 在正方形 （包括边界）内运动，且 面 ，点的轨迹是线段 ，
，0， ， ，0， ， ，3， ，
，0， ， ，3， ，
点 到线段 的距离 ，
的长度的最小值为 ，
又 ， ， 长度的最大值为 ．
的长度范围为 ．
故答案为： ．
4．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中， ， ，M为
的中点，则点M到直线 的距离为___________.
【答案】
以A为原点建立空间直角坐标系，如图A(0,0,2)，C(0,2,0)， ,M(2,0,1)，B(2,0,0)，
1
则 ， ，| |＝ ，
设 于 ，
则 ，
,解得 ，
,
故答案为：
题型二：利用空间向量求点到平面的距离
典型例题
例题1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知经过点 的平面 的法向量为 ，则点
到平面 的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
依题意， ，所以点P到平面 的距离为 .
故选：D
例题2．（2022·江苏·高二期中）在空间直角坐标系 中，平面 的法向量为 ， 已知
，则 到平面 的距离等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
所求距离为 ．
故选：C．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱 中，所有棱长均为 ，且 底面
，则点 到平面 的距离为______.【答案】
以C为原点， 分别为y、z轴正方向，建立如图示的空间直角坐标系，
则 ,则 , .设平面ABC
1
的一个法向量为 ,则有 ，不妨设z=1，解得 ,
则所求距离为
故答案为： .
题型归类练
1．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））设正方体 的棱长为 ，则点
到平面 的距离是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
建立如下图所示空间直角坐标系，以 为坐标原点，
所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴.
因为正方体的边长为4，所以 ， ， ， ，
，所以 ， ， ，
设平面 的法向量 ，所以 ， ，
即 ，设 ，所以 ， ，即 ，
设点 到平面 的距离为 ，所以 ，
故选：D.
2．（2022·江苏·高二课时练习）平面 的一个法向量 ，点 在 内，则点 到平
面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
所以点 到平面 的距离为 ．
故选：C．3．（2022·重庆·高二期末）已知空间中四点 ， ， ， ，则点D到平面
ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
由题意，空间中四点 ， ， ， ，
可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
所以点D到平面ABC的距离为 .
故选：C.
4．（2022·江苏泰州·高二期末）长方体 中， ， ，则点B到平面
的距离为________．
【答案】
解：在长方体 中，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建
立如图所示空间直角坐标系，
因为 ， ，所以 ， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为：
，，令 得：
又
点B到平面 的距离为： .
故答案为： .
5．（2022·北京东城·高二期末）已知点 ，平面 过 ， ， 三点，则点
到平面 的距离为________.
【答案】
因为 ， ， ， ，
所以 ，
设平面ABC的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
所以则点 到平面 的距离为 ，
故答案为：
题型三：立体几何中的折叠问题
典型例题
例题1．（2022·广东茂名·高二期末）如图1，在一个正方形 , , , 内，有一个小正方形和四个全等
的等边三角形.将四个等边三角形折起来，使 , , , 重合于点 ，且折叠后的四棱锥 的
外接球的表面积是 (如图2)，则四棱锥 的体积是___________；若在四棱锥 内放
一个正方体，使正方体可以在四棱锥 内任意转动，则正方体棱长的最大值为___________.【答案】
在图2中，连接AC，BD交于点O，
则 是等腰直角三角形，
则O是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为x，
则外接球的半径是OA= ，
所以 ， ，
因此SO=OA= ,
故四棱锥S－ABCD的体积 .
设四棱锥S－ABCD的内切球球心为Q，其半径为R，连接QD、QA、QB、QC、QS，
则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R，
求出四棱锥的表面积： ，四棱锥的体积
，
则 ，
设放入四棱锥S－ABCD内部的小正方体棱长为a，
则 ，故 ，故a最大为 ，
故答案为： ， .
例题2．（2022·山西·长治市第四中学校高一期中（理））如图，四边形 中， ，
， ， ， ， 分别在 ， 上， ，现将四边形 沿
折起，使 ．
(1)若 ，在折叠后的线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由.
(2)求三棱锥 的体积的最大值，并求出此时点 到平面 的距离.
【答案】(1)存在，
(2)三棱锥ACDF的体积的最大值为3，此时点F到平面ACD的距离为
(1)AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时 .
理由如下：当 时， ，
如图，过点P作MP∥FD交AF于点M，连接ME，则 ，
∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3，又EC＝3，MP∥FD∥EC，∴MP∥EC，
故四边形MPCE为平行四边形，∴CP∥ME，
又CP 平面ABEF，ME 平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF.
⊄ ⊂
(2)设BE＝x，则AF＝x(0<x≤4)，FD＝6－x，
故 ，
∴当x＝3时，VACDF有最大值，且最大值为3，
-
此时EC＝1，AF＝3，FD＝3， .∴ ，
.
在△ACD中，由余弦定理得
, ,
.
设 到平面 的距离为 ，
， .
例题3．（2022·山西太原·三模（理））已知三角形 是边长为2的正三角形，现将菱形 沿
折叠，所成二面角 的大小为 ，此时恰有 .
(1)求 的长；
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1) (2)
(1)解：取 中点 ，连接 ， ，
∵ 是正三角形，
∴ ，
又∴ ， ， 平面∴ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∴在菱形 中， ， 则 ，
∴
(2)解：取 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ，
，
设平面PCD的法向量为 ，
∵
∴ ，令 ，则 ， ，∴ ，
设平面PCB的法向量为
∵
∴ ，令 ，则 ， ，所以
所以 ，
又二面角 为钝二面角，二面角 的余弦值为 ；题型归类练
1．（多选）（2021·重庆市第十一中学校高三阶段练习）重庆市第十一中学校高三年级某班组织了《诵经
典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为
，托盘由边长为 的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列结论正
确的是（ ）
A．经过三个顶点 、 、 的球的截面圆的面积为
B．平面 平面
C．直线 与平面 所成的角为
D．球面上的点离球托底面 的最大距离为
【答案】AC
对于A选项，分别取 、 、 的中点 、 、 ，
连接 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
易知 、 、 均为等边三角形，
因为 为 的中点，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，且 ，
同理可知 平面 ， 平面 ，且 ，
故 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，因为 、 分别为 、 的中点，则 ，
同理可得 ， 是边长为 的等边三角形，
所以， 的外接圆半径为 ，
经过三个顶点 、 、 的球的截面圆的面积为 ，A对；
对于B选项，因为 且 ，故四边形 为平行四边形，故 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，故 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
，所以，平面 平面 ，
因为过直线 有且只有一个平面与平面 平行，
显然平面 与平面 不重合，故平面 与平面 不平行，B错；
对于C选项，因为 平面 ，则 与平面 所成的角为 ，C对；
对于D选项，设球的半径为 ，则 ，可得 ，
球心到平面 的距离为 ，
所以，球面上的点离球托底面 的最大距离为 ，D错.
故选：AC.
2．（2022·河北唐山·高一期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝ ＝
1．现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的
中点，如图2．
图1 图2
(1)求证：AM∥平面BEC；
(2)求证：BC⊥平面BDE；
(3)求点D到平面BEC的距离．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
(1)证明：取EC中点N，连接MN，BN，
在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，
所以MN∥CD，且MN＝ ．，
由已知AB∥CD，AB＝ ，
所以MN∥AB，且MN＝AB，
所以四边形ABNM为平行四边形，
所以BN∥AM，
又因为BN平面BEC，且AM 平面BEC，
所以AM∥平面BEC；
(2)证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD，
因为ED⊥DC，AD∩DC＝D，AD，DC 平面ABCD，
所以ED⊥平面ABCD，
⊂
∵BC 平面ABCD，∴ED⊥BC，
又在直⊂角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，故 ，
由余弦定理 ，所以BC＝ ，
在△BCD中，BD＝BC＝ ，CD＝2，
所以BD2＋BC2＝CD2，故BC⊥BD，
因为ED∩BD＝D，ED，BD 平面BDE，
所以BC⊥平面BDE；
⊂
(3)解法一：由（2）知BC⊥平面BDE，因为BC 平面BCE，
所以平面BDE⊥平面BCE，
⊂
过点D作EB的垂线交BE于点G，
∵平面BDE∩平面BCE＝BE，DG 平面BDE，
则DG⊥平面BEC，
⊂
所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度，
∵ED⊥平面ABCD，BD在平面ABCD内，
∴ED⊥BD，在三角形BDE中， ，
所以 ，
所以点D到平面BEC的距离等于 .
解法二：由（2）BC⊥平面BDE，BE 平面BDE，所以BC⊥BE，
⊂
因为DE＝1， ，
所以BD＝ ，BC＝ ，BE＝ ，
所以 ，
，
设点D到平面BCE的距离为h，
根据VD BCE＝VE BCD，由（2）可知ED⊥平面ABCD
－ －
即 ， ，解得h＝ ，
即点D到平面BCE的距离为
3．（2022·浙江·模拟预测）已知梯形 ，现将梯形沿对角线 向上折叠，连接 ，问：
(1)若折叠前 不垂直于 ，则在折叠过程中是否能使 ？请给出证明；
(2)若梯形 为等腰梯形， ，折叠前 ，当折叠至面 垂直于面 时，二面
角 的余弦值．
【答案】(1)不能，证明见解析(2)
(1)假设折叠过程中能使 ．折叠前，假设 ，E为垂足，连 ，则 与 不垂直．①
折叠后，若 ，又 与 是平面 内的相交直线，
故 平面 ，又 平面 ，从而有 ，
故折叠前也应有 ②.显然，①与②矛盾．故假设不能成立．
即折叠过程中不能使 ．
(2)设折叠前 与 的交点为F，则由题意易知 ．
折叠前，在梯形 内过B做 ，垂足为G，
则 ．
折叠后，因为面 垂直于面 ，而 ，所以 ．
所以 ，
又 和 是平面 内的相交直线，所以 平面 ．所以 ．
解法①：过点C在平面 内作 ，H为垂足，连接 ，
又 ，则 平面 ，又 平面 ，所以 ，
故 即为二面角 的平面角．
在 中， ，所以 ，又 ，则
得 ，又 ，
所以 ，
即二面角 的余弦值为 ．
解法②：以F为原点，分别以FD、FC、FB为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
则 ．
于是， ，
设平面 的一个法向量为 ，则
则 ，令 ，则 ，则 ，
设平面 的一个法向量 ，则
则 ，令 ，则 ，则 ，
记二面角 的平面角为 ，
则 ．
又观察发现二面角 为钝角，故二面角 的余弦值为 ．题型四：立体几何综合问题
典型例题
例题1．（2022·广东·高二阶段练习）如图，三棱柱 中， 侧面 ，已知
， ， ，点 是棱 的中点.
(1)求异面直线 与 所成的角的余弦值；
(2)在棱 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在， 或
(1)解： ， ， ，得 ，
由题意，因为 ，所以， ，
又 侧面 ，以 为原点，分别以 、 、 的方向为 、 、 轴的正方向建立如图所示
的空间直角坐标系，
则有 ， ， ， ， ，
， ，
设异面直线 与 所成的角为 ，则 ，
所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 .
(2)解：由（1）得 ， ，设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，
假设存在点 ，设 ，其中 ，
，
由已知可得 ，
得 ，即 ，解得 或 ，
因此，在棱 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，且 或
.
例题2．（2022·辽宁·高三期末）如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，
， ， ， 分别是 ， 的中点，点 在直线 上．(1)证明： ；
(2)当平面 与平面 所成的锐二面角为 时，求平面 与侧面 的交线长．
【答案】(1)证明见解析(2)1
(1)由题意 两两垂直.
所以以 分别作为 轴正方向建立空间直角坐标系 ，如图，
则 ．
∵M是 的中点，N是 的中点，∴ ，
设 ，∴ ，则 ，
则 ，所以 ．
(2)设 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即
令 ，则 ，
又平面 的一个法向量为 ，平面 与平面 所成的锐二面角为 时，
∴ ，即 ，
解得 ，此时 ，如图位置，
设 为 的中点，连接 ，交 于点 ，由 且所以 与 全等，则 为 中点.连接
由 分别为 中点,则
又 分别为 中点,则 ,所以
所以点 共面，又
所以 共面，即面 与面 重合.
所以平面 与侧面 的交线为 ，所以交线长度为
题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱 中， 为 的中点，
分别是棱 上的点，且 ．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)若 是正三角形 为 中点，能否在线段 上找一点 ，使得 平面 ？若存在，确
定该点位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)在直线 上存在一点 ，且 ，使得 平面 ．(1)在直三棱柱 中，
是 的中点，
又 为 的中点 ，而 ，
四边形 是平行四边形，
平面 平面 ， 平面 ．
(2)在直线 上找一点 ，使得 平面 ，证明如下：
在直三棱柱 中，
又 两两垂直，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，
在线段 上，设 ，则 ，
则 ，
，则 ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
平面 ， ，解得 ，
在直线 上存在一点 ，且 ，使得 平面 ．
2．（2022·湖南师大附中高一期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD BC，
E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为 .(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM 平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，
请说明理由；
(2)若二面角P−CD−A的大小为 ，求P到直线CE的距离.
【答案】(1)存在，在平面 内可以找到一点 ，使得直线CM 平面PBE
(2)
(1)延长 交直线 于点 ，
点 为 的中点， ，
，
，即 ，
四边形 为平行四边形，即 .
，
平面 平面 ，
平面 ，
平面 ，
平面 ，
故在平面 内可以找到一点 ，使得直线 平面 .
(2)如图所示， ，即 ，
且异面直线 与 所成的角为 ，即 ，
又 平面 平面 .平面 ，
又 平面 ，
平面 ，
平面 .
因此 是二面角 的平面角，大小为 .
.
不妨设 ，则 .
以A为坐标原点，平行于 的直线为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系 ，
，
方向上的单位向量坐标为 ，
则 在 上的投影的绝对值为 ，
所以 到直线 的距离为 .
3．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，四
边形 为直角梯形， ， ， ， ， ， 为 的中
点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)在线段 上是否存在点 满足直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2) (3)存在，此时 .
(1)解： 平面 ， 平面 , , ,所以 ,所以 平面 ，所以 ，
， 为 的中点，所以 ,
又 ,所以 平面
(2)以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
则
设平面ABQ的法向量为 ，
则
取 ，则 ，
设平面BQE的一个法向量为 ，
则 ，取 ，
设平面ABQ与平面BQE的夹角为θ，.
则
故平面ABQ与平面BQE的夹角的余弦为 .
(3)假设存在点 ，且 ，
所以
设直线 与平面 所成夹角为 ，则 ，解得 ，
故存在点 满足直线 与平面 所成角的正弦值为 ，此时 .
