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第 09 讲 立体几何与空间向量 章节总结
(精讲）
第一部分：典型例题讲解
题型一：空间位置关系证明的传统法与向量法
角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系
角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系
题型二：空间角的向量求法
角度1：用传统法求异面直线所成角
角度2：用向量法求异面直线所成角
角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
题型三：距离问题
角度1：点 到直线 的距离
角度2：点 到平面 的距离（等体积法）
角度3：点 到平面 的距离（向量法）
题型四：立体几何折叠问题
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：空间位置关系证明的传统法与向量法
角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系
典型例题
例题1．（2022·四川成都·高一期末（文））如图，四边形ABCD为长方形， ， ，点 、
分别为 、 的中点．设平面 平面 ．(1)证明： 平面 ；
(2)证明： ．
例题2．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）如图，在四面体 中， ， ，点 是 的
中点， ，且直线 面 ．
(1)直线 直线 ；
(2)平面 平面 ．
例题3．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一期中）如图，在正方体 中， 为 的中点，
为 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
例题4．（2022·甘肃酒泉·高二期末（文））如图，在四棱锥 中， 是边长为2的正三角
形， ， ， ， ， ， ， 分别是线段 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ．
角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系
典型例题例题1．（2022·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱 中， 为
的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直四棱柱 中，底面 为等腰梯形，
， ， ， ， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点．
求证：（1）直线 平面 ；
（2）平面 平面 ．
例题3．（2022·全国·高二专题练习）如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， 是 的中点．求证：（1） ；（2） 平面 ．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体 中， 为棱 上的动点．
（1）求证： ；
（2）若平面 平面 ，试确定 点的位置．
题型二：空间角的向量求法
角度1：用传统法求异面直线所成角
典型例题例题1．（2022·重庆·西南大学附中高一期末）正四面体 中， ， 分别是 和 的中点，则
异面直线 和 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·福建莆田·高二期末）若正六棱柱 底面边长为1，高为 ，则直线
和 所成的角大小为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·河北邯郸·高一期末）如图，在圆台 中， ， ，且
， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）如图， 是正方体的一个“直角尖” （
两两垂直且相等）棱 的中点， 是 中点， 是 上的一个动点，连接 ，则当 与
所成角为最小时， _________．
角度2：用向量法求异面直线所成角
典型例题
例题1．（2022·山东德州·高一期末）已知 ､ ､ ､ 分别是正方体 ，边 ， ，， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为___________.
例题2．（2022·河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知三棱柱 的底面是边长为2
的等边三角形，侧棱长为2， 为 的中点，若 ，则异面直线 与 所成角的
余弦值为______．
角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
典型例题
例题1．（2022·全国·高二单元测试）如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形，且
， ， ，若二面角 为 ，则 与平面 所成角的正弦值
为__________．
例题2．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，
， 为 的中点， ．(1)点 在线段 上， ，求证： 平面 ；
(2)在（1）的条件下，若 ，求直线 和平面 所成角的余弦值．
例题3．（2022·天津一中高一期末）如图， 且 ， ， 且 ，
且 ． 平面 ， ．
(1)若 为 的中点， 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的正弦值；
(3)若点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长．
例题4．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划
在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3
m，顶部为底面边长为2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是 ．
(1)求该凉亭及其内部所占空间的大小；
(2)在直线 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，请确定点
的位置；若不存在，请说明理由．
角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
典型例题
例题1．（2022·吉林·长春市实验中学高一期末）如图在三棱锥 中， ，
且 ．
(1)求证：平面 平面
(2)若 为 中点，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．例题2．（2022·四川雅安·高二期末（理））如图（一）四边形 是等腰梯形， ， ，
， ，过 点作 ，垂足为 点，将 沿 折到 位置如图（二），
且 ．
(1)证明：平面 平面EBCD；
(2)已知点 在棱 上，且 ，求二面角 的余弦值．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）四棱雉 中， 平面 ， 底面 是 等腰梯
形， 且 ， 点 在棱 上.(1)当 是棱 的中点时， 求证: 平面 ;
(2)当直线 与平面 所成角 最大时， 求二面角 的大小.
例题4．（2022·江苏徐州·高二期末）如图，已知 垂直于梯形 所在的平面，矩形 的对角
线交于点 ， 为 的中点， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的大小为 ？若存在，求出 的长；若
不存在，说明理由.
题型三：距离问题
角度1：点 到直线 的距离典型例题
例题1．（2022·湖南益阳·高二期末）在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则点
到直线 的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
例题2．（2022·北京·二模）如图，已知正方体 的棱长为1，则线段 上的动点 到直
线 的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
角度2：点 到平面 的距离（等体积法）
典型例题
例题1．（2022·四川广安·模拟预测（文））如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中
， ，面 面 ，且 ，点 在棱 上．
(1)若 ，求证： 平面 ．
(2)当 平面 时，求点 到平面 的距离．
例题2．（2022·云南保山·高一期末）如图，在四棱锥 ，四边形 正方形， 平面 ．
， ，点 是 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
角度3：点 到平面 的距离（向量法）
典型例题
例题1．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）将边长为 的正方形 沿对
角线 折成直二面角，则点 到平面 的距离为______．
例题2．（2022·江苏·南京市第一中学高二阶段练习）如图，四棱锥 的底面是正方形， 底
面 ， 为 的中点，若 ，则点 到平面 的距离为___________.例题3．（2022·全国·高二单元测试）在如图所示的几何体中，四边形 为矩形， 平面 ，
，点 为棱 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
题型四：立体几何折叠问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，平面五边形 中， ，
，将 沿 折叠，得四棱锥 .
(1)证明： ；
(2)若二面角 的大小是 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
例题2．（2022·广东·佛山市南海区桂华中学高三阶段练习）如图1所示，梯形 中，
， ， 为 的中点，连结 ， 交于 ，将 沿 折叠，使得平面 ⊥平面 （如图2）.
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
例题3．（2021·广西·高二阶段练习）将边长为2的正方形 沿对角线 折叠，使得平面 平
面 ， 平面 ，且 .
(1)求 与平面 所成角的正弦值；
(2)直线BE上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，确定点 的位置，若不存在，请说明
理由.
