第04讲三角函数与解三角形（2022-2024高考真题）（解析版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）

第 04 讲 三角函数与解三角形（2022-2024 高考真题） （新高考专用） (cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:20)(cid:26)(cid:21) 1(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36),(cid:37)(cid:38) (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45) (cid:46)(cid:47) = (cid:46) 2= 9 (cid:46)(cid:48)sin +sin = 3 4 π △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝐵 𝑏 𝑎𝑐 𝐴 𝐶 (cid:28) (cid:34) A(cid:27)2 39 B(cid:27) 39 C(cid:27) 7 D(cid:27)3 13 13 13 2 13 (cid:49)(cid:50)(cid:21)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59)sin sin = 1 (cid:46)(cid:60)(cid:54)(cid:55)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:62) 2+ 2= 13 (cid:46)(cid:63)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59)(cid:64)sin2 +sin2 3 4 𝐴 𝐶 𝑎 𝑐 𝑎𝑐 𝐴 (cid:41)(cid:65)(cid:46)(cid:66)(cid:67)(cid:68)(cid:69)(cid:70)(cid:71)(cid:72)(cid:73). (cid:49) 𝐶 (cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:77)(cid:45) = , 2= 9 (cid:46)(cid:48)(cid:63)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59)sin sin = 4 sin2 = 1 . 3 4 9 3 𝜋 𝐵 𝑏 𝑎𝑐 𝐴 𝐶 𝐵 (cid:63)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:73)(cid:59): 2= 2+ 2 = 9 (cid:46) 4 𝑏 𝑎 𝑐 −𝑎𝑐 𝑎𝑐 (cid:72): 2+ 2= 13 (cid:46)(cid:78)(cid:79)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59)sin2 +sin2 = 13 sin sin = 13 (cid:46) 4 4 12 𝑎 𝑐 𝑎𝑐 𝐴 𝐶 𝐴 𝐶 (cid:39)(cid:80)(sin +sin 2=sin2 +sin2 +2sin sin = 7 (cid:46) 4 𝐴 𝐶) 𝐴 𝐶 𝐴 𝐶 (cid:77)(cid:45) (cid:45)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:37)(cid:38)(cid:46)(cid:48)sin +sin >0(cid:46)(cid:48)sin +sin = 7. 2 𝐴,𝐶 𝐴 𝐶 𝐴 𝐶 (cid:83)(cid:20)(cid:10)C. 2(cid:27)(cid:28)2023·(cid:84)(cid:85)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46) + sin sin = sin sin (cid:46)(cid:48) =(cid:28) (cid:34) △𝐴𝐵𝐶 (𝑎 𝑐)(2 𝐴− 𝐶) 𝑏( 𝐴−5 𝐵) ∠𝐶 A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27) D(cid:27) 6 3 3 6 π π π π (cid:49)(cid:50)(cid:21)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:41)(cid:42)(cid:38)(cid:86)(cid:87)(cid:88)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:59)(cid:50). (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:77)(cid:45) + sin sin = sin sin (cid:46) (cid:39)(cid:80)(cid:63)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59)(𝑎+𝑐)( 𝐴−= 𝐶) 𝑏(cid:46)( (cid:72)𝐴−2 2𝐵=) 2(cid:46) (cid:48) 2+ 2 2= ( (cid:46) 𝑎 (cid:83)c 𝑐 o )( s 𝑎− = 𝑐)2 𝑏2(𝑎2− = 𝑏) = 𝑎1 (cid:46) −𝑐 𝑎𝑏−𝑏 2 𝑎 +𝑏 −𝑐 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 −𝑐 𝑎𝑏 𝐶 2𝑎𝑏 2𝑎𝑏 (cid:89)0< < (cid:46)(cid:39)(cid:80) = . 3 π 𝐶 π 𝐶 (cid:83)(cid:20)(cid:10)B. 3(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46)(cid:37)(cid:38) (cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:90) (cid:46)(cid:47) cos cos = (cid:46)(cid:91) = (cid:46)(cid:48) = 5 𝜋 △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝑎 𝐵−𝑏 𝐴 𝑐 𝐶 ∠𝐵 (cid:28) (cid:34)A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27) D(cid:27) 10 5 10 5 𝜋 𝜋 3𝜋 2𝜋 (cid:49)(cid:50)(cid:21)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:92)(cid:93)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:42)(cid:16)(cid:38)(cid:46)(cid:94)(cid:67)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:7)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:38)(cid:100)(cid:41)(cid:56)(cid:57)(cid:7)(cid:99)(cid:102)(cid:59) (cid:41)(cid:65)(cid:46)(cid:66)(cid:67)(cid:54)(cid:55)(cid:81) (cid:38)(cid:82)(cid:37)(cid:38)(cid:100)(cid:58)(cid:15)(cid:73)(cid:59) (cid:41)(cid:65). ∠𝐴 (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:63)(cid:21)(cid:103)∠(cid:95)𝐴(cid:96)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:73)(cid:59)sin cos sin cos =sin (cid:46) (cid:72)sin cos sin cos =sin( + )=sin 𝐴cos 𝐵+−sin𝐵cos𝐴(cid:46) 𝐶 (cid:104)(cid:15)(cid:73)𝐴(cid:59)s𝐵in−cos𝐵 =𝐴0(cid:46)(cid:63)(cid:105)𝐴 𝐵(0, )(cid:46)(cid:83)𝐴sin𝐵>0(cid:46)𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵∈ π 𝐵 (cid:79)(cid:106)(cid:73)(cid:59)cos = = (cid:46) 2 π 𝐴 0,𝐴 3 (cid:48) = = = . 2 5 10 π π π 𝐵 π−𝐴−𝐶 π− − (cid:83)(cid:20)(cid:10)C. 4(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:107)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111) (cid:41)(cid:112)(cid:113)(cid:90)(cid:42)(cid:114)(cid:45)4(cid:41)(cid:56)(cid:115)(cid:82)(cid:46) = = =45°(cid:46) (cid:48) (cid:41)(cid:113)(cid:116)(cid:45)(cid:28) (cid:34) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐶 𝑃𝐷 3,∠𝑃𝐶𝐴 △A(cid:27)𝑃𝐵2𝐶2 B(cid:27)3 2 C(cid:27)4 2 D(cid:27)6 2 (cid:49)(cid:50)(cid:21)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:117)(cid:22)(cid:10)(cid:54)(cid:55)(cid:29)(cid:118)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:41)(cid:119)(cid:120)(cid:115)(cid:117)(cid:121)(cid:122)(cid:119)(cid:59) (cid:46) (cid:46)(cid:123)(cid:124)(cid:59)(cid:64) = (cid:46)(cid:60)(cid:35) (cid:36)(cid:54)(cid:55)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:102)(cid:59) = 17(cid:46)(cid:123)(cid:124)△(cid:102)𝑃𝐷(cid:59)𝑂≅△=𝑃𝐶1𝑂7(cid:46)(cid:63)△(cid:106)𝑃𝐷(cid:35)𝐵≅△𝑃𝐶(cid:36)𝐴(cid:54)(cid:55)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15) (cid:88)𝑃𝐴(cid:81)(cid:38)𝑃(cid:82)𝐵(cid:113)(cid:116)(cid:7)△(cid:99)𝑃(cid:72)𝐴(cid:73)𝐶(cid:59)(cid:50)(cid:125) 𝑃𝐴 𝑃𝐵 △𝑃𝐵𝐶 1 (cid:117)(cid:126)(cid:10)(cid:93)(cid:35) (cid:36)(cid:54)(cid:55)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:102)(cid:59) = 17(cid:46)cos = (cid:46)(cid:123)(cid:124)(cid:102)(cid:59) = (cid:46)(cid:60)(cid:54)(cid:55)(cid:127)(cid:128)(cid:129)(cid:130) 3 △𝑃𝐴𝐶 𝑃𝐴 ∠𝑃𝐶𝐵 𝑃𝐴⋅𝑃𝐶 −3 (cid:41)(cid:13)(cid:130)(cid:116)(cid:131)(cid:71)(cid:88)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59)(cid:64)(cid:3)(cid:105) (cid:41)(cid:115)(cid:76)(cid:132)(cid:46)(cid:123)(cid:124)(cid:102)(cid:59) = 17(cid:46)(cid:63)(cid:106)(cid:35) (cid:36)(cid:54)(cid:55)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15) (cid:88)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:113)(cid:116)(cid:7)(cid:99)(cid:72)(cid:73)(cid:59)(cid:50). 𝑃𝐵,∠𝐵𝑃𝐷 𝑃𝐵 △𝑃𝐵𝐶 (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:117)(cid:22)(cid:10) (cid:133)(cid:95) (cid:134)(cid:105) (cid:46)(cid:133)(cid:95) (cid:46)(cid:48) (cid:45) (cid:41)(cid:36)(cid:135)(cid:46)(cid:136)(cid:137)(cid:46) 𝐴𝐶,𝐵𝐷 𝑂 𝑃𝑂 𝑂 𝐴𝐶,𝐵𝐷 (cid:77)(cid:45)(cid:112)(cid:113) (cid:45)(cid:56)(cid:115)(cid:82)(cid:46) =4(cid:46)(cid:39)(cid:80) = =4 2(cid:46)(cid:48) = =2 2(cid:46) (cid:89) = 𝐴𝐵=𝐶𝐷3(cid:46) = (cid:46)𝐴𝐵(cid:39)(cid:80) 𝐴𝐶 𝐵𝐷(cid:46)(cid:48) =𝐷𝑂 𝐶𝑂(cid:46) 𝑃𝐶 𝑃𝐷 𝑃𝑂 𝑂𝑃 △𝑃𝐷𝑂≅△𝑃𝐶𝑂 ∠𝑃𝐷𝑂 ∠𝑃𝐶𝑂(cid:89) = =3(cid:46) = =4 2(cid:46)(cid:39)(cid:80) (cid:46)(cid:48) = (cid:46) (cid:35)𝑃𝐶 𝑃𝐷(cid:36)(cid:46) 𝐴=𝐶 𝐵𝐷=4 2 =4△5𝑃°(cid:46)𝐷𝐵≅△𝑃𝐶𝐴 𝑃𝐴 𝑃𝐵 (cid:48)(cid:63) △ (cid:61) 𝑃𝐴 (cid:57) 𝐶 (cid:58)(cid:15)(cid:73) 𝑃𝐶 (cid:59) 3, 2 𝐴 = 𝐶 2+ ,∠𝑃 2 𝐶𝐴 cos =32+ ×4 2×3× 2=17(cid:46) 2 𝑃𝐴 𝐴𝐶 𝑃𝐶 −2𝐴𝐶⋅𝑃𝐶 ∠𝑃𝐶𝐴 9−2 (cid:83) = 17(cid:46)(cid:48) = 17(cid:46) (cid:83)𝑃(cid:35)𝐴 (cid:36)(cid:46)𝑃𝐵= = 17 =4(cid:46) △𝑃𝐵𝐶 𝑃𝐶2 32,𝑃𝐵2 9 ,𝐵𝐶 1 (cid:39)(cid:80)cos = = = (cid:46) 2×3×4 3 𝑃𝐶 +𝐵𝐶 −𝑃𝐵 +16−17 ∠𝑃𝐶𝐵 2𝑃𝐶⋅𝐵𝐶 (cid:89)0< < (cid:46)(cid:39)(cid:80)sin = cos2 =2 2(cid:46) 3 ∠𝑃𝐶𝐵 π ∠𝑃𝐶𝐵 1− ∠𝑃𝐶𝐵 (cid:39)(cid:80) (cid:41)(cid:113)(cid:116)(cid:45) = 1 sin = 1 ×3×4×2 2=4 2. 2 2 3 △𝑃𝐵𝐶 𝑆 𝑃𝐶⋅𝐵𝐶 ∠𝑃𝐶𝐵 (cid:117)(cid:126)(cid:10) (cid:133)(cid:95) (cid:134)(cid:105) (cid:46)(cid:133)(cid:95) (cid:46)(cid:48) (cid:45) (cid:41)(cid:36)(cid:135)(cid:46)(cid:136)(cid:137)(cid:46) 𝐴𝐶,𝐵𝐷 𝑂 𝑃𝑂 𝑂 𝐴𝐶,𝐵𝐷 (cid:77)(cid:45)(cid:112)(cid:113) (cid:45)(cid:56)(cid:115)(cid:82)(cid:46) =4(cid:46)(cid:39)(cid:80) = =4 2(cid:46) (cid:35) 𝐴(cid:36)𝐵(cid:46)𝐶𝐷 = 𝐴=𝐵45°(cid:46) 𝐴𝐶 𝐵𝐷 (cid:48)(cid:63) △ (cid:61) 𝑃𝐴 (cid:57) 𝐶 (cid:58)(cid:15)(cid:73) 𝑃𝐶 (cid:59) 3, 2 ∠ = 𝑃𝐶𝐴 2+ 2 cos =32+ ×4 2×3× 2=17(cid:46)(cid:83) = 17(cid:46) 2 𝑃𝐴 𝐴𝐶 𝑃𝐶 −2𝐴𝐶⋅𝑃𝐶 ∠𝑃𝐶𝐴 9−2 𝑃𝐴 (cid:39)(cid:80)cos = 2 2 2 = 17 = 17(cid:46)(cid:48) =| || |cos = 17×3× 17 = (cid:46) 2× 17×3 17 17 𝑃𝐴 +𝑃𝐶 −𝐴𝐶 +9−32 (cid:138)(cid:139)(cid:140) ∠𝐴 = 𝑃𝐶 2𝑃𝐴 = ⋅𝑃𝐶(cid:46) − 𝑃𝐴⋅𝑃𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝐶 ∠𝐴𝑃𝐶 − −3 𝑃𝐵1 𝑚,∠𝐵𝑃𝐷 𝜃1 2 2 (cid:77)(cid:45) = + = + (cid:46)(cid:39)(cid:80) + = + (cid:46) 2 2 𝑃 2 𝑂 2𝑃𝐴 𝑃𝐶 𝑃𝐵2 𝑃𝐷 2 𝑃𝐴 𝑃𝐶 𝑃𝐵 𝑃𝐷 (cid:72) + +2 = + +2 (cid:46) (cid:48)𝑃17𝐴+9𝑃+𝐶2×(𝑃𝐴)⋅𝑃=𝐶 2𝑃+𝐵9+2𝑃×𝐷3× 𝑃𝐵co⋅s𝑃𝐷(cid:46)(cid:104)(cid:15)(cid:59) 2+ cos =0 (cid:46) (cid:89)(cid:35) (cid:36)(cid:46)−32=𝑚 2+ 2 𝑚 c𝜃os (cid:46)𝑚(cid:72)326=𝑚 2+𝜃−11 co①s (cid:46)(cid:48) 2 cos =0 (cid:46)△𝑃𝐵𝐷 𝐵𝐷 𝑃𝐵 𝑃𝐷 −2𝑃𝐵⋅𝑃𝐷 ∠𝐵𝑃𝐷 𝑚 9−6𝑚 𝜃 𝑚 −6𝑚 𝜃−23 (cid:101)②(cid:99)(cid:141)(cid:142)(cid:59)2 2 =0(cid:46)(cid:83) = = 17(cid:46) 𝑚 −34 𝑃𝐵 𝑚(cid:83)(cid:35) (cid:36)(cid:46) = = 17 =4(cid:46) △𝑃𝐵𝐶 𝑃𝐶2 32,𝑃𝐵2 9 ,𝐵𝐶 1 (cid:39)(cid:80)cos = = = (cid:46) 2×3×4 3 𝑃𝐶 +𝐵𝐶 −𝑃𝐵 +16−17 ∠𝑃𝐶𝐵 2𝑃𝐶⋅𝐵𝐶 (cid:89)0< < (cid:46)(cid:39)(cid:80)sin = cos2 =2 2(cid:46) 3 ∠𝑃𝐶𝐵 π ∠𝑃𝐶𝐵 1− ∠𝑃𝐶𝐵 (cid:39)(cid:80) (cid:41)(cid:113)(cid:116)(cid:45) = 1 sin = 1 ×3×4×2 2=4 2. 2 2 3 △𝑃𝐵𝐶 𝑆 𝑃𝐶⋅𝐵𝐶 ∠𝑃𝐶𝐵 (cid:83)(cid:20)(cid:10)C. 5(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:107)(cid:108) (cid:45)(cid:118)(cid:143)(cid:144)(cid:38)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:46)AB(cid:45)(cid:145)(cid:42)(cid:46) (cid:45)(cid:118)(cid:42)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:46)(cid:47)(cid:126)(cid:113)(cid:38) (cid:45)150°(cid:46)(cid:48)(cid:144)(cid:146)CD(cid:88)(cid:147)△(cid:113)𝐴𝐵A𝐶BC(cid:39)(cid:148)(cid:38)(cid:41)(cid:56)(cid:149)(cid:65)(cid:45)(cid:28) (cid:34) △𝐴𝐵𝐷 𝐶−𝐴 A 𝐵 (cid:27) −1𝐷 B(cid:27) 2 C(cid:27) 3 D(cid:27) 2 5 5 5 5 (cid:49)(cid:50)(cid:21)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:78)(cid:79)(cid:150)(cid:58)(cid:151)(cid:152)(cid:46)(cid:153)(cid:98)(cid:154)(cid:58)(cid:146)(cid:113)(cid:38)(cid:46)(cid:60)(cid:54)(cid:55)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:23)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:102)(cid:50)(cid:155)(cid:74). (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:156) (cid:41)(cid:36)(cid:135) (cid:46)(cid:133)(cid:157) (cid:46)(cid:77)(cid:45) (cid:90)(cid:118)(cid:143)(cid:144)(cid:38)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:46)(cid:91) (cid:45)(cid:145)(cid:42)(cid:46)(cid:48)(cid:62) (cid:46) (cid:89) (cid:90)(cid:118)(cid:42)𝐴(cid:81)𝐵(cid:38)(cid:82)(cid:46)(cid:48)𝐸 𝐶𝐸(cid:46),𝐷(cid:123)𝐸 (cid:124) △(cid:45)𝐴(cid:126)𝐵𝐶(cid:113)(cid:38) (cid:41)(cid:147)(cid:113)(cid:38)(cid:46)𝐴𝐵(cid:72) =150𝐶(cid:46)𝐸⊥𝐴𝐵 ∘ △𝐴𝐵𝐷 𝐷𝐸⊥𝐴𝐵 ∠𝐶𝐸𝐷 𝐶−𝐴𝐵−𝐷 ∠𝐶𝐸𝐷 (cid:158)(cid:94) = (cid:147)(cid:113) (cid:46)(cid:105)(cid:90) (cid:147)(cid:113) (cid:46)(cid:89) (cid:147)(cid:113) (cid:46) (cid:77)(cid:106)𝐶(cid:147)𝐸(cid:113)∩𝐷𝐸 𝐸(cid:147),𝐶(cid:113)𝐸,𝐷𝐸⊂(cid:46)(cid:158)(cid:94)𝐶(cid:147)𝐷𝐸(cid:113) 𝐴(cid:147)𝐵(cid:113)⊥ 𝐶=𝐷𝐸 (cid:46) 𝐴𝐵⊂ 𝐴𝐵𝐶 (cid:144)(cid:146) 𝐶(cid:147)𝐷𝐸(cid:113)⊥ (cid:46)𝐴(cid:48)𝐵𝐶(cid:144)(cid:146) (cid:35)(cid:147)(cid:113)𝐶𝐷𝐸∩(cid:37)(cid:41)(cid:159)𝐴(cid:160)𝐵𝐶(cid:45)(cid:144)𝐶(cid:146)𝐸 (cid:46) (cid:123)(cid:124)𝐶𝐷⊂ (cid:45)(cid:144)𝐶(cid:146)𝐷𝐸 (cid:88)(cid:147)(cid:113) 𝐶𝐷(cid:39)(cid:148)(cid:41)𝐴(cid:38)𝐵(cid:46)𝐶(cid:161) =2(cid:46)(cid:48) 𝐶𝐸= = 3(cid:46)(cid:35) (cid:36)(cid:46)(cid:63)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59)(cid:10) = ∠𝐷𝐶𝐸 2+ 2 𝐶𝐷 𝐴 c 𝐵 o 𝐶 s = 1+ 𝐴𝐵 ×1× 𝐶 3 𝐸 × 1,𝐷𝐸3)= 7(cid:46) △𝐶𝐷𝐸 2 𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝐷𝐸 −2𝐶𝐸⋅𝐷𝐸 ∠𝐶𝐸𝐷 3−2 (− (cid:63)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59) = (cid:46)(cid:72)sin = 3sin150 = 3(cid:46) sin sin 7 ∘ 2 7 𝐷𝐸 𝐶𝐷 (cid:158)(cid:94) (cid:90)(cid:162)(cid:38) ∠𝐷 (cid:46) 𝐶𝐸 cos ∠𝐶𝐸𝐷 = si ∠ n2 𝐷𝐶𝐸 = ( 3 ) 2 = 5 (cid:46) 2 7 2 7 ∠𝐷𝐶𝐸 ∠𝐷𝐶𝐸 1− ∠𝐷𝐶𝐸 1− (cid:39)(cid:80)(cid:144)(cid:146) (cid:88)(cid:147)(cid:113) (cid:39)(cid:148)(cid:41)(cid:38)(cid:41)(cid:56)(cid:149)(cid:45) 3. 5 𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶 (cid:83)(cid:20)(cid:10)C. (cid:126)(cid:23)(cid:163)(cid:127)(cid:21)6(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46) = = = 6(cid:46) (cid:41)(cid:38)(cid:147)(cid:43)(cid:146)(cid:134)BC(cid:105)D(cid:46)(cid:48) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 60°=,𝐴𝐵 2,𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 2 (cid:27) 𝐴𝐷 (cid:49)(cid:50)(cid:21)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:115)(cid:117)(cid:22)(cid:10)(cid:54)(cid:55)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:102)(cid:164) (cid:46)(cid:60)(cid:78)(cid:79)(cid:118)(cid:113)(cid:116)(cid:117)(cid:102)(cid:164) (cid:125) (cid:115)(cid:117)(cid:126)(cid:10)(cid:54)(cid:55)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:102)(cid:164) (cid:46)(cid:60)(cid:78)(cid:79)(cid:56)𝐴(cid:57)𝐶(cid:58)(cid:15)(cid:102)(cid:164) (cid:46)(cid:72)(cid:73)(cid:78)(cid:79)𝐴(cid:81)𝐷(cid:38)(cid:82)(cid:41)(cid:165)(cid:166)(cid:102)(cid:164)(cid:27) (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53) 𝐴𝐶 𝐵,𝐶 (cid:136)(cid:137)(cid:39)(cid:167)(cid:10)(cid:140) = = = (cid:46) (cid:115)(cid:117)(cid:22)(cid:10)(cid:63)(cid:61)𝐴(cid:57)𝐵(cid:58)(cid:15)𝑐,(cid:73)𝐴𝐶(cid:59)(cid:46)𝑏2,𝐵2𝐶+ 2𝑎 ×2× ×cos60 =6(cid:46) ∘ (cid:77)(cid:45) >0(cid:46)(cid:50)(cid:59)(cid:10) =1+ 3(cid:46)𝑏 −2 𝑏 (cid:63) 𝑏 = +𝑏 (cid:73)(cid:59)(cid:46) 1 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑆△𝐴𝐵𝐷 𝑆1 △𝐴𝐶𝐷 1 ×2× ×sin60 = ×2× ×sin30 + × × ×sin30 (cid:46) 2 2 2 ∘ ∘ ∘ 𝑏 𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝑏 (cid:50)(cid:59)(cid:10) = 3 = 2 3(1 3) =2(cid:27) 1 3 3 𝑏2 𝑏 + (cid:83)(cid:74)(cid:168) 𝐴 (cid:45) 𝐷 (cid:10)2(cid:27) + + (cid:115)(cid:117)(cid:126)(cid:10)(cid:63)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:73)(cid:59)(cid:46)22+ 2 ×2× ×cos60 =6(cid:46)(cid:77)(cid:45) >0(cid:46)(cid:50)(cid:59)(cid:10) =1+ 3(cid:46) ∘ (cid:63)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:73)(cid:59)(cid:46) 6 = = 𝑏2 − (cid:46) 2 (cid:50)(cid:59)(cid:10) 𝑏 sin = 6 2(cid:46)sin = 𝑏2(cid:46) 𝑏 sin60 sin sin 4 2 𝑏 + ∘ 𝐵 𝐶 𝐵 𝐶 (cid:77)(cid:45)1+ 3> 6> 2(cid:46)(cid:39)(cid:80) =45 (cid:46) =180 60 45 =75 (cid:46) ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ (cid:89) =30 (cid:46)(cid:39)(cid:80) =𝐶75 (cid:46)(cid:72) 𝐵 = =−2(cid:27)− ∘ ∘ (cid:83)∠(cid:74)𝐵(cid:168)𝐴𝐷(cid:45)(cid:10)2(cid:27) ∠𝐴𝐷𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 7(cid:27)(cid:28)2022·(cid:169)(cid:170)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:171)(cid:30)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:175)(cid:13)(cid:11)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:179)(cid:46)(cid:180)(cid:181)(cid:182)(cid:123)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:42)(cid:102)(cid:113)(cid:116)(cid:41)(cid:7)(cid:99)(cid:46)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)(cid:115) (cid:117)(cid:187)(cid:45)“(cid:81)(cid:145)(cid:102)(cid:116)”(cid:46)(cid:188)(cid:163)(cid:189)(cid:182)(cid:171)(cid:30)(cid:190)(cid:191)(cid:13)(cid:11)(cid:41)(cid:22)(cid:192)(cid:127)(cid:193)(cid:27)(cid:136)(cid:194)(cid:184)(cid:185)(cid:192)(cid:115)(cid:117)(cid:195)(cid:148)(cid:7)(cid:99)(cid:46)(cid:196)(cid:90) = 2 𝑆 1 2 2 2 2 2 (cid:46)(cid:197)(cid:36)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:90)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:41)(cid:81)(cid:42)(cid:46)S(cid:90)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:41)(cid:113)(cid:116)(cid:27)(cid:198)(cid:199)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:41)(cid:81)(cid:42) = 2 = 3 4 2 𝑐 +𝑎 −𝑏 𝑐 𝑎 − 𝑎 ,𝑏 =2(cid:46)(cid:48)(cid:200)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:41)(cid:113)(cid:116) = 23 (cid:27) 4 ,𝑐 𝑆 (cid:49)(cid:50)(cid:21)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:78)(cid:79)(cid:21)(cid:36)(cid:39)(cid:150)(cid:41)(cid:7)(cid:99)(cid:68)(cid:65)(cid:50)(cid:164)(cid:27)2 2 (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:77)(cid:45) = 1 2 2 2 2 2 (cid:46)(cid:39)(cid:80) = 1 4× 4 = 23(cid:27) 4 2 4 2 4 𝑐 +𝑎 −𝑏 +2−3 𝑆 𝑐 𝑎 − 𝑆 2− (cid:83)(cid:74)(cid:168)(cid:45)(cid:10) 23. 4 8(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:107)(cid:108) (cid:36)(cid:46)(cid:135)D(cid:35)(cid:42)BC(cid:201)(cid:46) = = = (cid:27)(cid:202) (cid:156)(cid:59) 𝐴𝐶 (cid:66)(cid:203)(cid:65)(cid:204)(cid:46) = 3 (cid:27) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐵 120°,𝐴𝐷 2,𝐶𝐷 2𝐵𝐷 𝐴𝐵 𝐵𝐷 −1 2 (cid:49)(cid:50)(cid:21)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:198) = = >0(cid:46)(cid:54)(cid:55)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:205)(cid:167)(cid:164) (cid:67)(cid:46)(cid:95)(cid:96)(cid:206)(cid:207)(cid:138)(cid:118)(cid:99)(cid:72)(cid:73)(cid:59)(cid:50). 2 𝐴𝐶 (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)[(cid:115) 𝐶 (cid:117) 𝐷 (cid:22)] 2 (cid:10) 𝐵 (cid:61) 𝐷 (cid:57) 2 (cid:58) 𝑚 (cid:15) 𝐴𝐵 (cid:198) = = >0(cid:46) (cid:48)𝐶(cid:35)𝐷 2𝐵𝐷(cid:36)(cid:46)2𝑚 2= 2+ 2 cos = 2+4+ (cid:46) (cid:35) △𝐴𝐵(cid:36)𝐷(cid:46) 𝐴2𝐵= 𝐵2𝐷+ 𝐴2𝐷 −2𝐵𝐷⋅𝐴co𝐷s ∠𝐴𝐷=𝐵4 𝑚2+ 2(cid:46)𝑚 (cid:39)(cid:80) △𝐴𝐶2 2 𝐷 = 4 2 2 𝐴 4 𝐶 = 𝐶𝐷4( 2 𝐴4𝐷 2 − 4 2𝐶𝐷⋅𝐴𝐷 = ∠𝐴𝐷𝐶 1 1 ) 2 3 𝑚 4−4𝑚 𝐴𝐶 𝑚 +4−4𝑚 𝑚 + +2𝑚)−12(1+𝑚) 1 𝐴𝐵 1𝑚2 + +2𝑚 𝑚 + +2𝑚 4−(𝑚+ +𝑚+ 2 1) 3 = 3(cid:46) 1 ≥4− (𝑚+ ⋅𝑚+ 4−2 3 (cid:202)(cid:91)(cid:208)(cid:202) +1= (cid:72) = 3 (cid:204)(cid:46)(cid:118)(cid:9)(cid:148)(cid:209)(cid:46) 1 𝑚 𝑚+ 𝑚 −1 (cid:39)(cid:80)(cid:202) (cid:156)(cid:66)(cid:203)(cid:65)(cid:204)(cid:46) = 3 . 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝑚 −1 (cid:83)(cid:74)(cid:168)(cid:45)(cid:10) 3 . −1 [(cid:115)(cid:117)(cid:126)](cid:10)(cid:210)(cid:211)(cid:117) (cid:161) BD=t(cid:46)(cid:80)D(cid:45)(cid:212)(cid:135)(cid:46)OC(cid:45)x(cid:213)(cid:46)(cid:210)(cid:209)(cid:147)(cid:113)(cid:144)(cid:38)(cid:214)(cid:215)(cid:211).(cid:48)C(cid:28)2t,0(cid:34)(cid:46)A(cid:28)1(cid:46) 3(cid:34)(cid:46)B(cid:28)-t,0(cid:34)(cid:46) 2 2 = 1)2 2 3 3 = 4 2 2 4 4 = 1 1 ) 2 3 3(cid:46) 𝐴𝐶 (2𝑡−1) + 𝑡 −4𝑡+ 1 ∴𝐴𝐵 (𝑡+ + 𝑡 +2𝑡+ 4−(𝑡+ +𝑡+ ≥4−2 当且仅当 +1= 3,即 = 3 时等号成立(cid:125) [(cid:115)(cid:117)(cid:81)](cid:10)𝑡 (cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15) 𝐵𝐷 −1 (cid:198)BD=x,CD=2x.(cid:63)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59) 2= 2+4+ { (cid:46) 2 2+ 2=12+6 2(cid:46) 2=4+4 2 𝑐 𝑥 2𝑥 { 𝑏 2= 2+4𝑥+−4𝑥 (cid:46) ∴ 2 𝑐 2+ 𝑏 2=12+6 𝑥 2(cid:46) 2=4+4 2 𝑐 𝑥 2𝑥 ∴ 𝑐 𝑏 𝑥 (cid:161) 𝑏 = (cid:46)(cid:48) 𝑥 2 −42𝑥 + 2 2=12+6 2(cid:46) 𝐴𝐶 𝐴 2 𝐵 +2 𝑡 = 12 2 6 𝑐 2 = 𝑡 1 2 2 𝑐 6 2 4 = 𝑥 1 2 ) 3 ) 3(cid:46) + 𝑥 + 𝑥 1 ∴𝑡2 𝑐 3(cid:46) 𝑥 +2𝑥+ 6(1−(𝑥+ +𝑥+ ≥6−2 ∴𝑡 ≥4−2 3 (cid:202)(cid:91)(cid:208)(cid:202) +1= (cid:46)(cid:72) = 3+1(cid:204)(cid:118)(cid:9)(cid:148)(cid:209). 1 [(cid:115)(cid:117)(cid:109)](cid:10) 𝑥 (cid:216)(cid:44)(cid:99)𝑥(cid:117)+ 𝑥 (cid:198) = (cid:46)(cid:48) = (cid:35)𝐵𝐷 𝑥(cid:36)(cid:46)𝐶𝐷2=2𝑥 2+ 2 cos = 2+4+ (cid:46) (cid:35)△𝐴𝐵𝐷(cid:36)(cid:46)𝐴𝐵2= 𝐵𝐷2+𝐴𝐷2−2𝐵𝐷⋅𝐴𝐷cos∠𝐴𝐷𝐵=4𝑥2+ 2𝑥(cid:46) (cid:39)(cid:80) △𝐴𝐶2𝐷 = 4 2 𝐴𝐶 (cid:46)(cid:140) 𝐶𝐷 = 4𝐴𝐷2 −2𝐶 (cid:46) 𝐷⋅𝐴𝐷 ∠𝐴𝐷𝐶 𝑥 4−4𝑥 2 2 4 2 4 𝐴𝐶 𝑥 +4−4𝑥 𝑥 +4−4𝑥 (cid:48) 𝐴𝐵 2𝑥 + + + 2𝑥 + 𝑡 𝑥 + + = 2𝑥 0 (cid:63)((cid:115)4−(cid:76)𝑡(cid:62))𝑥(cid:50)−(cid:59)(4(cid:10) 2=𝑡)𝑥(4+(4−42𝑡) 0 (cid:72) 2 +4 0Δ(cid:46)(cid:50)(cid:59)(cid:10)2𝑡) −43(4−𝑡)(44−+42𝑡)3≥ 𝑡 −8𝑡 ≤ 4−22 ≤𝑡≤ (cid:39)(cid:80) = 3(cid:46)(cid:106)(cid:204) = = 3 min +𝑡 𝑡 4−2 𝑥 4−𝑡 −1 (cid:39)(cid:80)(cid:202) (cid:156)(cid:66)(cid:203)(cid:65)(cid:204)(cid:46) = 3 (cid:46)(cid:72) = 3 . 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝑥 −1 𝐵𝐷 −1 (cid:83)(cid:74)(cid:168)(cid:45)(cid:10) 3 . 9(cid:27)(cid:28)2024·(cid:201)(cid:217)−·1(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:107)(cid:108)(cid:135)B(cid:35)(cid:135)C(cid:56)(cid:84)(cid:115)(cid:129)(cid:46)(cid:135)D(cid:35)(cid:135)C(cid:41)(cid:56)(cid:218)(cid:115)(cid:129)(cid:46) = ,(cid:219)(cid:35)(cid:135)A(cid:220)(cid:221) = =37°(cid:46)(cid:48) = 7.8° .((cid:222)(cid:154)(cid:64)0.1(cid:223)) 𝐵𝐶 𝐶𝐷 ∠𝐵𝐴𝐶 16.5°,∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴(cid:49)(cid:50)(cid:21)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:198) = (cid:46)(cid:35) (cid:100) (cid:36)(cid:43)(cid:44)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59)(cid:64) = (cid:46) = (cid:46) sin sin sin( 16.5) sin16.5 𝐶𝐴 𝐶𝐷 𝐶𝐴 𝐶𝐵 ∘ ∘ (cid:101)(cid:99)(cid:141)(cid:224)(cid:72)(cid:73)(cid:59)(cid:64) ∠𝐵 (cid:74) 𝐶𝐴 (cid:168). 𝜃 △𝐷𝐶𝐴 △𝐵𝐶𝐴 𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷 𝜃+ (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:198) = =90 (cid:46) ∘ ∠𝐵𝐶𝐴 𝜃,∠𝐴𝐶𝐷 −𝜃 (cid:35) (cid:36)(cid:46)(cid:63)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59) = (cid:46) sin sin 𝐶𝐴 𝐶𝐷 △𝐷𝐶𝐴 𝐷 ∠𝐶𝐴𝐷 (cid:72) = ’ sin[180 (90 37.0)] sin37.0 𝐶𝐴 𝐶𝐷 ∘ ∘ ∘ ∘ − −𝜃+ (cid:72) = sin(90 37.0) sin37.0 𝐶𝐴 𝐶𝐷 ∘ ∘ ∘ −𝜃+ ① (cid:35) (cid:36)(cid:46)(cid:63)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59) = (cid:46) sin sin 𝐶𝐴 𝐶𝐵 △𝐵𝐶𝐴 𝐵 ∠𝐶𝐴𝐵 (cid:72) = (cid:46)(cid:72) = (cid:46) sin[180 ( 16.5)] sin16.5 sin( 16.5) sin16.5 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝐶𝐴 𝐶𝐵 ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ − 𝜃+ 𝜃+ ② sin(90 37.0) sin37.0 (cid:77)(cid:45) = (cid:46) (cid:59) = (cid:46) sin(∘ 16.5)∘ sin16.5∘ ② −𝜃+ ∘ ∘ (cid:54)(cid:55) 𝐶 (cid:70) 𝐷 (cid:71)(cid:225) 𝐶 (cid:72) 𝐵 (cid:73)①(cid:59) 7.8 𝜃+ (cid:46) ∘ (cid:83)(cid:74)(cid:168)(cid:45)(cid:10)7.8 . 𝜃≈ ∘ 10(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:107)(cid:108)(cid:135) (cid:226)(cid:35)(cid:227)(cid:228)(cid:45)2(cid:41)(cid:229)(cid:113)(cid:201)(cid:46) (cid:90)(cid:42)(cid:114)(cid:45)3(cid:41)(cid:118)(cid:42)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:46) (cid:147)(cid:113) (cid:46)(cid:48) = 2 (cid:27) 𝑆,𝐴,𝐵,𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝑆𝐴⊥ (cid:49)(cid:50)𝐴(cid:21)𝐵(cid:51)𝐶(cid:52)(cid:53)𝑆(cid:93)𝐴(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:102)(cid:112)(cid:113)(cid:230)(cid:157)(cid:231)(cid:227)(cid:228)(cid:46)(cid:60)(cid:95)(cid:96)(cid:144)(cid:110)(cid:232)(cid:41)(cid:230)(cid:157)(cid:229)(cid:80)(cid:233)(cid:102)(cid:41)(cid:234)(cid:235)(cid:131)(cid:71)(cid:102)(cid:50). (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:136)(cid:137)(cid:46)(cid:236)(cid:81)(cid:110)(cid:111) (cid:237)(cid:16)(cid:45)(cid:56)(cid:81)(cid:110)(cid:232) (cid:46) (cid:198) (cid:41)(cid:230)(cid:157)(cid:231)(cid:231)(cid:238)(cid:45) (cid:46)𝑆(cid:227)−𝐴(cid:228)𝐵(cid:45)𝐶 (cid:46) 𝑆𝑀𝑁−𝐴𝐵𝐶 1 △𝐴𝐵𝐶 3 𝑂 𝑟 (cid:48) = = =2 3(cid:46)(cid:73)(cid:59) = 3(cid:46) 3 sin 𝐴𝐵 2 2𝑟 ∠𝐴𝐶𝐵 𝑟 1 (cid:198)(cid:81)(cid:110)(cid:111) (cid:41)(cid:230)(cid:157)(cid:229)(cid:229)(cid:238)(cid:45) (cid:46)(cid:133)(cid:157) (cid:46)(cid:48) = = (cid:46) 1 1 2 𝑆−𝐴𝐵𝐶 𝑂 𝑂𝐴,𝑂𝑂 𝑂𝐴 2,𝑂𝑂 𝑆𝐴 (cid:77)(cid:45) 2= 2+ 2(cid:46)(cid:72)4=3+ 1 2(cid:46)(cid:50)(cid:59) =2. 1 1 4 𝑂𝐴 𝑂𝑂 𝑂 𝐴 𝑆𝐴 𝑆𝐴 (cid:83)(cid:74)(cid:168)(cid:45)(cid:10)2.(cid:81)(cid:23)(cid:50)(cid:74)(cid:21) 9 2 11(cid:27)(cid:28)2024·(cid:239)(cid:240)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46)(cid:38) (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45) (cid:46)(cid:107)(cid:108)cos = ， =5， = (cid:27) 16 3 𝑎 △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝐵 𝑏 𝑐 (1)(cid:102) (cid:125) (2)(cid:102)𝑎sin (cid:125) (3)(cid:102)cos𝐴( )(cid:41)(cid:65)(cid:27) (cid:49)(cid:50)(cid:21)(cid:51)𝐵(cid:52)−(cid:53)2𝐴(cid:28)1(cid:34) = = (cid:46)(cid:54)(cid:55)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:59)(cid:64)(cid:115)(cid:76)(cid:46)(cid:50)(cid:164)(cid:72)(cid:73)(cid:125) (cid:28)2(cid:34)(cid:117)(cid:22)(cid:10)(cid:102)(cid:164)sin𝑎 (cid:46)2(cid:60)𝑡,𝑐(cid:54)(cid:55)3(cid:56)𝑡 (cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:125)(cid:117)(cid:126)(cid:10)(cid:54)(cid:55)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:102)(cid:164)cos (cid:46)(cid:48)(cid:59)(cid:64)sin (cid:125) (cid:28)3(cid:34)(cid:117)(cid:22)(cid:10)(cid:78)(cid:79)(cid:241)(cid:42)𝐵(cid:40)(cid:241)(cid:38)(cid:154)(cid:58) (cid:45)(cid:162)(cid:38)(cid:46)(cid:48)(cid:59)(cid:64)cos (cid:46)(cid:60)(cid:54)(cid:55)(cid:126)(cid:242)(cid:38)(cid:7)(cid:99)𝐴(cid:100)(cid:101)(cid:38)(cid:243)(cid:41)(cid:61)𝐴(cid:57)(cid:7)(cid:99)(cid:72)(cid:73)(cid:125)(cid:117) (cid:126)(cid:10)(cid:144)(cid:157)(cid:54)(cid:55)(cid:126)(cid:242)(cid:38)(cid:7)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:38)(cid:243)𝐴(cid:41)(cid:61)(cid:57)(cid:7)(cid:99)(cid:72)(cid:73). 𝐴 (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:28)1(cid:34)(cid:198) = = (cid:46) >0(cid:46)(cid:48)(cid:78)(cid:79)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59) 2= 2+ 2 cos (cid:46) (cid:72)25=4 2+9 2 × 𝑎 × 2𝑡,𝑐 × 93 (cid:46) 𝑡 (cid:50) 𝑡 (cid:59) =2(cid:28)(cid:244)(cid:245)(cid:34)(cid:125) 𝑏 𝑎 𝑐 −2𝑎𝑐 𝐵 16 𝑡 𝑡 −2 2𝑡 3𝑡 𝑡 (cid:48) = =6. 𝑎 4,𝑐 2 (cid:28)2(cid:34)(cid:117)(cid:22)(cid:10)(cid:77)(cid:45) (cid:45)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:37)(cid:38)(cid:46)(cid:39)(cid:80)sin = cos2 = 9 =5 7(cid:46) 16 16 (cid:60)(cid:78)(cid:79)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59) 𝐵 = (cid:46)(cid:72) 4 = 5 (cid:46) 𝐵 (cid:50)(cid:59)s 1 in − = 𝐵 7(cid:46) 1− sin sin sin 5 7 4 𝑎 𝑏 16 𝐴 𝐵 𝐴 𝐴 (cid:117)(cid:126)(cid:10)(cid:63)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59)cos = 2 2 2 = 52 62 42 = 3 (cid:46) 2×5×6 4 𝑏 +𝑐 −𝑎 + − 𝐴 2𝑏𝑐2 (cid:77)(cid:45) (0, )(cid:46)(cid:48)sin = 3 = 7 4 4 𝐴∈ π 𝐴 9 1− (cid:28)3(cid:34)(cid:117)(cid:22)(cid:10)(cid:77)(cid:45)cos = >0(cid:46)(cid:91) (0, )(cid:46)(cid:39)(cid:80) 0, (cid:46) 16 2 π 𝐵 𝐵∈ π 𝐵∈ (cid:63)(cid:28)2(cid:34)(cid:117)(cid:22)(cid:108)sin =5 7(cid:46) 16 𝐵 (cid:77)(cid:45) < (cid:46)(cid:48) < (cid:46)(cid:39)(cid:80)cos = 7 2 = 3 (cid:46) 4 4 𝑎 𝑏 𝐴 𝐵 𝐴 1−2 (cid:48)sin =2sin cos =2× 7× 3 =3 7(cid:46)cos =2cos2 =2× 3 = 1 4 4 8 4 8 cos( 2𝐴 )=co 𝐴 s c 𝐴 os +sin sin = 9 × 12𝐴 +5 7×3 𝐴 7 − = 157 . −1 16 8 16 8 64 𝐵−2𝐴 𝐵 2𝐴 𝐵 2𝐴 (cid:117)(cid:126)(cid:10)sin =2sin cos =2× 7× 3 =3 7(cid:46) 4 4 8 2𝐴 𝐴 𝐴 2 (cid:48)cos =2cos2 =2× 3 = 1 (cid:46) 4 8 2𝐴 𝐴−1 −1 2 (cid:77)(cid:45) (cid:45)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:37)(cid:38)(cid:46)(cid:39)(cid:80)sin = cos2 = 9 =5 7(cid:46) 16 16 (cid:39)(cid:80) 𝐵 cos( )=cos cos + 𝐵 sin 1 s − in = 𝐵 9 × 11− +5 7×3 7= 57. 16 8 16 8 64 12(cid:27)(cid:28)20 𝐵 2 − 4· 2(cid:29)𝐴(cid:30)·(cid:31)(cid:32) 𝐵 (cid:33)(cid:21) 2 (cid:34) 𝐴 (cid:140) 𝐵 (cid:41) 2𝐴 (cid:37)(cid:38)A(cid:46)B(cid:46)C(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:46)(cid:107)(cid:108)sin + 3cos =2(cid:27) (1)(cid:102)A(cid:27) △𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐴 (2)(cid:47) =2(cid:46) 2 sin = sin (cid:46)(cid:102) (cid:41)(cid:246)(cid:114)(cid:27) (cid:49)(cid:50)(cid:21)𝑎(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:28)𝑏1(cid:34)(cid:78)𝐶 (cid:79)𝑐(cid:247)(cid:248)2(cid:38)𝐵(cid:7)(cid:99)△(cid:40)(cid:151)𝐴𝐵(cid:152)𝐶sin + 3cos =2(cid:249)(cid:250)(cid:16)(cid:251)(cid:252)(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:102)(cid:50)(cid:46)(cid:253)(cid:254)(cid:115)(cid:117)(cid:255)(cid:73)(cid:54)(cid:55)(cid:256) (cid:38)(cid:81)(cid:38)(cid:257)(cid:13)(cid:41)(cid:3)(cid:211)(cid:50)(cid:115)(cid:76)(cid:132)(cid:46)(cid:258)(cid:73)(cid:54)(cid:55)(cid:98)(cid:13)(cid:46)𝐴(cid:129)(cid:130)(cid:13)(cid:130)(cid:116)𝐴(cid:7)(cid:99)(cid:46)(cid:259)(cid:260)(cid:7)(cid:99)(cid:50)(cid:261)(cid:125) (cid:28)2(cid:34)(cid:93)(cid:78)(cid:79)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:42)(cid:38)(cid:262)(cid:16)(cid:71)(cid:164) (cid:46)(cid:94)(cid:67)(cid:78)(cid:79)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:71)(cid:164) (cid:72)(cid:73)(cid:59)(cid:164)(cid:246)(cid:114). (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:28)1(cid:34)(cid:115)(cid:117)(cid:22)(cid:10)(cid:253)(cid:254)(cid:115)𝐵(cid:117)(cid:28)(cid:247)(cid:248)(cid:38)(cid:7)(cid:99)(cid:34) 𝑏,𝑐 (cid:63)sin + 3cos =2(cid:73)(cid:59) 1 sin + 3cos =1(cid:46)(cid:72)sin + )=1(cid:46) 2 2 3 π 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 (𝐴 (cid:63)(cid:105) (0, + ( , )(cid:46)(cid:83) + = (cid:46)(cid:50)(cid:59) = 3 3 3 3 2 6 π π4π π π π 𝐴∈ π)⇒𝐴 ∈ 𝐴 𝐴 (cid:115)(cid:117)(cid:126)(cid:10)(cid:253)(cid:254)(cid:115)(cid:117)(cid:28)(cid:256)(cid:38)(cid:81)(cid:38)(cid:257)(cid:13)(cid:41)(cid:206)(cid:207)(cid:3)(cid:211)(cid:34) (cid:63)sin + 3cos =2(cid:46)(cid:89)sin2 +cos2 =1(cid:46)(cid:263)(cid:264)sin (cid:59)(cid:64)(cid:10) 4cos2 𝐴 3cos 𝐴 +3= (2 𝐴 cos 𝐴 3) 2 =0(cid:46)(cid:50)(cid:59)c 𝐴 os = 3(cid:46) 2 𝐴−4 𝐴 0⇔ 𝐴− 𝐴 (cid:89) (0, )(cid:46)(cid:83) = 6 π 𝐴∈ π 𝐴 (cid:115)(cid:117)(cid:81)(cid:10)(cid:54)(cid:55)(cid:265)(cid:65)(cid:135)(cid:102)(cid:50) (cid:198) =sin + 3cos < < )(cid:46)(cid:48) =2sin + (0< < )(cid:46) 3 π 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥(0 𝑥 π 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 π (cid:158)(cid:94) = (cid:204)(cid:46) =2(cid:46)(cid:4)(cid:103)(cid:64) =sin + 3cos =2=2sin + )(cid:46) 6 max 3 π π 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑓(𝐴) 𝐴 𝐴 (𝐴 = (cid:46)(cid:35)(cid:266)(cid:267)(cid:128)(0, )(cid:201)(cid:156)(cid:64)(cid:66)(cid:241)(cid:65)(cid:46)(cid:105)(cid:90) = (cid:268)(cid:58)(cid:90)(cid:265)(cid:65)(cid:135)(cid:46) max 𝑓 (cid:72) (𝑥) =0 𝑓( = 𝐴) cos 3sin (cid:46) π (cid:72)tan = 3(cid:46) 𝑥 𝐴 3 ′ 𝑓(𝐴) 𝐴− 𝐴 𝐴 (cid:89) (0, )(cid:46)(cid:83) = 6 π 𝐴∈ π 𝐴(cid:115)(cid:117)(cid:109)(cid:10)(cid:54)(cid:55)(cid:129)(cid:130)(cid:13)(cid:130)(cid:116)(cid:7)(cid:99)(cid:28)(cid:269)(cid:270)(cid:138)(cid:118)(cid:99)(cid:34) (cid:198) =(1, 3), =(sin cos (cid:46)(cid:63)(cid:21)(cid:103)(cid:46) =sin + 3cos =2(cid:46) (cid:78)𝑎(cid:79)(cid:129)(cid:130)(cid:41)(cid:13)𝑏(cid:130)(cid:116)(cid:7)(cid:99)𝐴,(cid:46)(cid:46)𝐴) 𝑎⋅𝑏 𝐴 𝐴 (cid:48)2cos , = cos , =1(cid:46)(cid:106)(cid:204) , =0(cid:46)(cid:72) , (cid:256)(cid:129)(cid:271)(cid:146)(cid:46) (cid:78)(cid:79)(cid:129)⟨(cid:130) 𝑎 (cid:271) 𝑏 ⟩(cid:146)(cid:151) 2⇔ (cid:152)(cid:46)1⟨ 𝑎𝑏 co⟩s = 3 si⟨n 𝑎𝑏 ⟩ tan = 𝑎3𝑏 (cid:46) 3 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐴⇔ 𝐴 (cid:89) (0, )(cid:46)(cid:83) = 6 π 𝐴∈ π 𝐴 (cid:115)(cid:117)(cid:272)(cid:10)(cid:54)(cid:55)(cid:259)(cid:260)(cid:7)(cid:99)(cid:102)(cid:50) (cid:198) =tan (cid:46)(cid:78)(cid:79)(cid:259)(cid:260)(cid:7)(cid:99)(cid:46)sin + 3cos =2= + 3 2)(cid:46) 2 1 2 1 2 𝐴 2𝑡 (1−𝑡 𝑡 𝐴 𝐴 +𝑡 +𝑡 2 2 (cid:104)(cid:15)(cid:73)(cid:59)(cid:46) 2 3 + 3) =0= 3)) (cid:46) 𝑡 −2(2− )𝑡 (2− (𝑡−(2− (cid:50)(cid:59)tan = = 3(cid:46)(cid:78)(cid:79)(cid:126)(cid:242)(cid:38)(cid:7)(cid:99)(cid:46)tan = = 3(cid:46) 2 2 3 𝐴 2𝑡 𝑡 2− 𝐴 1−𝑡 (cid:89) (0, )(cid:46)(cid:83) = 6 π 𝐴∈ π 𝐴 (cid:28)2(cid:34)(cid:63)(cid:21)(cid:198)(cid:151)(cid:152)(cid:100)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15) 2 sin = sin 2sin sin =2sin sin cos (cid:46) (cid:89) 𝑏 𝐶 (0, 𝑐 )(cid:46) 2 (cid:48) 𝐵 s ⇔ in sin 𝐵 0 𝐶 (cid:46)(cid:249)(cid:124)co 𝐶 s = 𝐵 2(cid:46) 𝐵 (cid:59)(cid:64) = (cid:46) 2 4 π 𝐵,𝐶∈ π 𝐵 𝐶≠ 𝐵 𝐵 (cid:105)(cid:90) = = (cid:46) 12 7π 𝐶 π−𝐴−𝐵 sin =sin( =sin + =sin cos +sin cos = 2 6(cid:46) 4 + 𝐶 π−𝐴−𝐵) (𝐴 𝐵) 𝐴2 𝐵 𝐵 𝐴 (cid:63)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:73)(cid:59)(cid:46) = = (cid:46)(cid:72) = = (cid:46) si 𝑎 n si 𝑏 n si 𝑐 n sin π 6 si 𝑏 n π 4 sin 𝑐 7 1 π 2 𝐴 𝐵 𝐶 (cid:50)(cid:59) =2 2 = 6+ 2(cid:46) (cid:83) 𝑏 (cid:41)(cid:246),𝑐(cid:114)(cid:45)2+ 6+3 2. 13(cid:27)△(cid:28)𝐴2𝐵0𝐶24·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:140) (cid:41)(cid:37)(cid:38)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:46)(cid:107)(cid:108)sin = 2cos (cid:46) 2+ 2 2= 2 △𝐴𝐵𝐶 𝐶 𝐵 𝑎 𝑏 −(1𝑐)(cid:102)B(cid:125)𝑎𝑏 (2)(cid:47) (cid:41)(cid:113)(cid:116)(cid:45)3+ 3(cid:46)(cid:102)c(cid:27) (cid:49)(cid:50)(cid:21)△(cid:51)𝐴(cid:52)𝐵𝐶(cid:53)(cid:28)1(cid:34)(cid:63)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:23)(cid:147)(cid:115)(cid:3)(cid:211)(cid:121)(cid:122)(cid:102)(cid:164)cos sin (cid:46)(cid:66)(cid:67)(cid:95)(cid:96)(cid:107)(cid:108)sin = 2cos (cid:59)cos (cid:41)(cid:65)(cid:72)(cid:73)(cid:125) (cid:28)2(cid:34)(cid:92)(cid:93)(cid:102)(cid:164) (cid:46)(cid:94)(cid:67)(cid:63)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:73)(cid:236) (cid:226)(cid:55)(cid:273)(cid:62)𝐶,(cid:41)(cid:99)𝐶 (cid:274)(cid:205)(cid:167)(cid:46)(cid:95)(cid:96)(cid:81)(cid:38)𝐶(cid:82)(cid:113)(cid:116)(cid:7)(cid:99)𝐵(cid:72)(cid:73)(cid:275)𝐵(cid:115)(cid:76)(cid:102)(cid:50). (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:28)𝐴1,𝐵(cid:34),𝐶(cid:63)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:62) 2+ 2 𝑎2,𝑏= cos 𝑐(cid:46)(cid:40)(cid:276)(cid:107)(cid:108) 2+ 2 2= 2 (cid:46) 𝑎 𝑏 −𝑐 2𝑎𝑏 𝐶 𝑎 𝑏 −𝑐 𝑎𝑏(cid:73)(cid:59)cos = 2 2 2 = 2 = 2(cid:46) 2 𝑎 +𝑏 −𝑐 𝑎𝑏 (cid:77)(cid:45) 𝐶 (0, )(cid:46)2𝑎(cid:39)𝑏 (cid:80)sin2𝑎𝑏>0(cid:46) (cid:123)(cid:124) 𝐶 sin ∈ = π cos2 = 𝐶 2 2 = 2(cid:46) 2 2 𝐶 1− 𝐶 1− 1 (cid:89)(cid:77)(cid:45)sin = 2cos (cid:46)(cid:72)cos = (cid:46) 2 𝐶 𝐵 𝐵 (cid:4)(cid:103)(cid:64) (0, )(cid:46) 𝐵∈ π (cid:39)(cid:80) = . 3 π 𝐵 (cid:28)2(cid:34)(cid:63)(cid:28)1(cid:34)(cid:73)(cid:59) = (cid:46)cos = 2(cid:46) (0, )(cid:46)(cid:123)(cid:124) = (cid:46) = = 5 (cid:46) 3 2 4 3 4 12 π π π π π 𝐵 𝐶 𝐶∈ π 𝐶 𝐴 π− − (cid:124)sin =sin 5 =sin + = 2× 3+ 2× 1 = 6 2(cid:46) 12 4 6 2 2 2 2 4 π π π + 𝐴 (cid:63)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:62) sin5 = sin = sin (cid:46) 𝑎12 𝑏3 𝑐4 π π π (cid:123)(cid:124) = 6 2 2 = 3 1 = 3 2 = 6 (cid:46) 4 2 2 2 + + 𝑎 ⋅ 𝑐 𝑐,𝑏 ⋅ 𝑐 𝑐 (cid:63)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:113)(cid:116)(cid:7)(cid:99)(cid:73)(cid:108)(cid:46) (cid:41)(cid:113)(cid:116)(cid:73)(cid:205)(cid:167)(cid:45) = 1 sin = 1 3 1△𝐴𝐵6𝐶 2=3 3 2(cid:46) 2 2 2 2 2 8 + + 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑎𝑏 𝐶 ⋅ 𝑐⋅ 𝑐⋅ 𝑐 (cid:63)(cid:107)(cid:108) (cid:41)(cid:113)(cid:116)(cid:45)3+ 3(cid:46)(cid:73)(cid:59)3 3 2=3+ 3(cid:46) 8 + △𝐴𝐵𝐶 𝑐 (cid:39)(cid:80) =2 2. 14(cid:27)(cid:28) 𝑐 2024·(cid:84)(cid:85)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46)(cid:37)(cid:38) (cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45) (cid:46) (cid:45)(cid:277)(cid:38)(cid:46) =7(cid:46)sin = 3 cos 7 △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 ∠𝐴 𝑎 2𝐵 𝑏 (cid:27) (𝐵1)(cid:102) (cid:125) (2)(cid:123)(cid:151)∠𝐴(cid:152) (cid:23)(cid:151)(cid:152) (cid:23)(cid:151)(cid:152) (cid:185)(cid:81)(cid:192)(cid:151)(cid:152)(cid:36)(cid:20)(cid:26)(cid:22)(cid:192)(cid:155)(cid:45)(cid:107)(cid:108)(cid:46)(cid:278)(cid:59) (cid:219)(cid:35)(cid:46)(cid:102) (cid:41)(cid:113)(cid:116)(cid:27) ① ② ③ 13 5 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶 (cid:151)(cid:152) (cid:10) =7(cid:125)(cid:151)(cid:152) (cid:10)cos = (cid:125)(cid:151)(cid:152) (cid:10) sin = 3(cid:27) 14 2 (cid:4)(cid:10)(cid:136)①(cid:194)(cid:20) 𝑏 (cid:26)(cid:41)(cid:151)(cid:152)(cid:138)②(cid:279)(cid:96)(cid:280)(cid:102) 𝐵 (cid:46)(cid:281)(cid:28)2(cid:34)(cid:282)③(cid:59)0 𝑐 (cid:43)(cid:125) 𝐴 (cid:136)(cid:194)(cid:20)(cid:26)(cid:283)(cid:192)(cid:279)(cid:96)(cid:280)(cid:102)(cid:41)(cid:151)(cid:152)(cid:43)(cid:44)(cid:50)(cid:74)(cid:46)(cid:284)(cid:281)(cid:22)(cid:192)(cid:50) (cid:74)(cid:70)(cid:43)(cid:27) (cid:49)(cid:50)(cid:21)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:28)1(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:102)(cid:164)(cid:74)(cid:168)(cid:125) (cid:28)2(cid:34)(cid:20)(cid:26) (cid:46)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59) = (cid:46)(cid:95)(cid:96)(cid:28)1(cid:34)(cid:282)(cid:74)(cid:168)(cid:72)(cid:73)(cid:285)(cid:224)(cid:125)(cid:20)(cid:26) (cid:46)(cid:92)(cid:93)(cid:102)(cid:164)sin =3 3(cid:46)(cid:60)(cid:68)(cid:69) 3 14 𝜋 (cid:99)(cid:274)(cid:59) = ① 3(cid:46)(cid:60)(cid:54)(cid:55)(cid:101)(cid:38)(cid:100)(cid:41)(cid:56) 𝐵 (cid:57)(cid:7)(cid:99)(cid:72)(cid:73)(cid:102)(cid:164)sin (cid:46)(cid:66)(cid:67)(cid:54)(cid:55)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:113)②(cid:116)(cid:7)(cid:99)(cid:72)(cid:73)(cid:125)(cid:20) 𝐵 (cid:26) (cid:46)(cid:92)(cid:93)(cid:59)(cid:64) 𝑏 𝐶 ③=5(cid:46)(cid:60)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59)(cid:64)sin =5 3(cid:46)(cid:60)(cid:54)(cid:55)(cid:101)(cid:38)(cid:100)(cid:41)(cid:56)(cid:57)(cid:7)(cid:99)(cid:72)(cid:73)(cid:102)(cid:164)sin (cid:46)(cid:66)(cid:67)(cid:54)(cid:55)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:113)(cid:116)(cid:7)(cid:99) 14 𝑐 𝐶 𝐵 (cid:72)(cid:73)(cid:125) (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:28)1(cid:34)(cid:63)(cid:21)(cid:103)(cid:59)2sin cos = 3 cos (cid:46)(cid:77)(cid:45) (cid:45)(cid:277)(cid:38)(cid:46) 7 (cid:48)cos 0(cid:46)(cid:48)2sin = 3 (cid:46)(cid:48) 𝐵 = 𝐵2 = 𝑏 = 𝐵 7 (cid:46)(cid:50)(cid:59) 𝐴 sin = 3(cid:46) 7 sin 3 sin sin 2 𝑏 7 𝑎 𝐵≠ 𝐵 𝑏 𝐵 𝐴 𝐴 𝐴 2 (cid:77)(cid:45) (cid:45)(cid:277)(cid:38)(cid:46)(cid:48) = . 3 π 𝐴 𝐴 (cid:28)2(cid:34)(cid:20)(cid:26) =7(cid:46)(cid:48)sin = 3 = 3×7= 3(cid:46)(cid:77)(cid:45) = 2 (cid:46)(cid:48) (cid:45)(cid:162)(cid:38)(cid:46)(cid:48) = (cid:46) 14 14 2 3 3 π 𝜋 (cid:106)(cid:204) + ① = 𝑏 (cid:46)(cid:138)(cid:96)(cid:21)(cid:103) 𝐵 (cid:46)(cid:245)(cid:286) 𝑏 (cid:125) 𝐴 𝐵 𝐵 (cid:20)(cid:26) 𝐴 co 𝐵 s = π13 (cid:46)(cid:77)(cid:45) (cid:45)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:37)(cid:38)(cid:46)(cid:48)sin = 13 2 =3 3(cid:46) 14 14 14 ② 𝐵 𝐵 𝐵 1− (cid:48)(cid:68)(cid:69)2sin = 3 (cid:59)2×3 3= 3 (cid:46)(cid:50)(cid:59) =3(cid:46) 7 14 7 𝐵 𝑏 2 𝑏 2𝑏 2 sin =sin( + ) =sin + =sin cos +cos sin 3 3 3 π π π = 𝐶 3× 13 + 𝐴 𝐵 1 ×3 3=5 3, 𝐵 𝐵 𝐵 2 14 2 14 14 − (cid:48) = 1 sin = 1 ×7×3×5 3=15 3. 2 2 14 4 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑎𝑏 𝐶 (cid:20)(cid:26) sin = 5 3(cid:46)(cid:48)(cid:62) × 3= 5 3(cid:46)(cid:50)(cid:59) =5(cid:46) 2 2 2 (cid:48)(cid:63) ③ (cid:56)(cid:57) 𝑐 (cid:58) 𝐴 (cid:15)(cid:59) = (cid:46) 𝑐 (cid:72) 7 = 5 (cid:46)(cid:50)(cid:59)s 𝑐 in =5 3(cid:46) sin sin 3 sin 14 𝑎 𝑐 2 (cid:77)(cid:45) (cid:45)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:37)(cid:38) 𝐴 (cid:46)(cid:48)c 𝐶 os = 𝐶 5 3 2 = 11 𝐶 (cid:46) 14 14 (cid:48)sin 𝐶 =sin( + )=sin 2 𝐶 + 1 = − sin 2 cos +cos 2 sin 3 3 3 π π π 𝐵 𝐴 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 = 3× 11 + 1 ×5 3=3 3(cid:46) 2 14 2 14 14 − (cid:48) = 1 sin = 1 ×7×5×3 3=15 3. 2 2 14 4 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑎𝑐 𝐵 2 2 2 15(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:140) (cid:41)(cid:37)(cid:38) (cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45) (cid:46)(cid:107)(cid:108) =2(cid:27) cos 𝑏 +𝑐 −𝑎 (1)(cid:102) (cid:125) △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝐴 𝑏c𝑐os cos (2)(cid:47) =1(cid:46)(cid:102) (cid:113)(cid:116)(cid:27) cos cos 𝑎 𝐵−𝑏 𝐴 𝑏 (cid:49)(cid:50)(cid:21)𝑎 (cid:51)𝐵(cid:52)+𝑏(cid:53)(cid:28)𝐴− 1 𝑐(cid:34)(cid:78)(cid:79)(cid:61)(cid:57) △ (cid:58) 𝐴𝐵 (cid:15) 𝐶 (cid:72)(cid:73)(cid:50)(cid:164)(cid:125) (cid:28)2(cid:34)(cid:63)(cid:28)1(cid:34)(cid:73)(cid:108)(cid:46)(cid:287)(cid:288)(cid:102)(cid:164)sin (cid:72)(cid:73)(cid:59)(cid:64)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:113)(cid:116)(cid:46)(cid:40)(cid:118)(cid:99)(cid:289)(cid:118)(cid:86)(cid:87)(cid:46)(cid:72)(cid:73)(cid:50)(cid:164)(cid:27) 𝐴(cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:28)1(cid:34)(cid:77)(cid:45) 2= 2+ 2 cos (cid:46)(cid:39)(cid:80) 2 2 2 = cos = =2(cid:46)(cid:50)(cid:59)(cid:10) =1(cid:27) cos cos 𝑏 +𝑐 −𝑎 2𝑏𝑐 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 −2𝑏𝑐 𝐴 𝐴 𝐴 2𝑏𝑐 𝑏𝑐 cos cos sin cos sin cos sin (cid:28)2(cid:34)(cid:63)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:73)(cid:59) = cos cos sin cos sin cos sin 𝑎 𝐵−𝑏 𝐴 𝑏 𝐴 𝐵− 𝐵 𝐴 𝐵 𝑎 𝐵+𝑏 𝐴−𝑐 𝐴 𝐵+ 𝐵 𝐴− 𝐶 sin( ) sin sin( ) sin = = =1(cid:46) sin( ) sin( ) sin( ) 𝐴−𝐵 𝐵 𝐴−𝐵 − 𝐵 𝐴+𝐵 − 𝐴+𝐵 𝐴+𝐵 (cid:86)(cid:82)(cid:73)(cid:59)(cid:10)sin( ) sin( + )=sin (cid:46)(cid:72) cos sin =sin (cid:46) (cid:124)00(cid:46)(cid:89)sin = 1 (cid:46) 3 𝑎 +𝑐 −𝑏 (cid:48) 𝑎 cos 𝑐 = −𝑏 1 2 =2 2(cid:46) = 1 = 𝐵 3 2(cid:46) 2 (cid:48) 𝑎𝑐 = 1 𝑎 s 𝑐 in = 𝐵 2(cid:125) 𝐵 𝐵 3 3 cos 4 2 8 𝐵 1− 𝑎𝑐 𝐵 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑎𝑐 𝐵 3 2 9 (cid:28)2(cid:34)(cid:63)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:59)(cid:10) = = (cid:46)(cid:48) = = = 4 = (cid:46) sin sin sin sin2 sin sin sin sin 2 4 𝑏 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎𝑐 3 𝐵 𝐴 𝐶 𝐵 𝐴⋅ 𝐶 𝐴 𝐶 3 3 1 (cid:48) = (cid:46) = sin = . sin 2 2 2 𝑏 23(cid:27)(cid:28)𝐵 2022· 𝑏 (cid:29)(cid:30)·(cid:31) 𝐵 (cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:140) (cid:41)(cid:37)(cid:38)A(cid:46)B(cid:46)C(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)a(cid:46)b(cid:46)c﹐(cid:107)(cid:108)sin sin( )=sin sin △𝐴𝐵𝐶 𝐶 𝐴−𝐵 𝐵( )(cid:27) (1𝐶)−(cid:47)𝐴 = (cid:46)(cid:102)C(cid:125) (2)(cid:119)(cid:120)𝐴 (cid:10)22𝐵2= 2+ 2. (cid:49)(cid:50)(cid:21)(cid:51)(cid:52)𝑎(cid:53)(cid:28)𝑏1(cid:34)(cid:78)𝑐(cid:79)(cid:21)(cid:103)(cid:73)(cid:59)(cid:46)sin =sin( )(cid:46)(cid:60)(cid:95)(cid:96)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:37)(cid:38)(cid:100)(cid:58)(cid:15)(cid:72)(cid:73)(cid:50)(cid:164)(cid:125) (cid:28)2(cid:34)(cid:63)(cid:21)(cid:103)(cid:54)(cid:55)(cid:101)(cid:38)(cid:243)(cid:41)(cid:56)(cid:57)(cid:7)(cid:99)(cid:295)(cid:266)𝐶(cid:59)sin 𝐶(s−in𝐴 cos cos sin )=sin (sin cos cos sin )(cid:46)(cid:60)(cid:78)(cid:79) (cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:46)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:16)(cid:251)(cid:72)(cid:73)(cid:119)(cid:164)(cid:27) 𝐶 𝐴 𝐵− 𝐴 𝐵 𝐵 𝐶 𝐴− 𝐶 𝐴 (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:28)1(cid:34)(cid:63) = (cid:46)sin sin( )=sin sin( )(cid:73)(cid:59)(cid:46)sin sin =sin sin( )(cid:46)(cid:124)0< < 𝐴 2𝐵 𝐶 𝐴−𝐵 𝐵 𝐶−𝐴 𝐶 𝐵 𝐵 𝐶−𝐴 𝐵 (cid:46)(cid:39)(cid:80)sin (0,1)(cid:46)(cid:72)(cid:62)sin =sin( )>0(cid:46)(cid:124)0< < ,0< < (cid:46)(cid:158)(cid:94) (cid:46)(cid:39)(cid:80)(cid:46) 2 π 𝐵∈ 𝐶 𝐶−𝐴 𝐶 π 𝐶−𝐴 π 𝐶≠𝐶−𝐴 + = (cid:46)(cid:124) = (cid:46) + + = (cid:46)(cid:39)(cid:80) = (cid:27) 8 5π 𝐶 𝐶−𝐴 π 𝐴 2𝐵 𝐴 𝐵 𝐶 π 𝐶 (cid:28)2(cid:34)(cid:63)sin sin( )=sin sin( )(cid:73)(cid:59)(cid:46) sin (sin co𝐶s c𝐴o−s𝐵sin )=𝐵sin 𝐶(s−in𝐴 cos cos sin )(cid:46)(cid:60)(cid:63)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:73)(cid:59)(cid:46) c𝐶os 𝐴 co𝐵s−= 𝐴cos𝐵 co𝐵s (cid:46)(cid:94)𝐶(cid:67)(cid:78)𝐴−(cid:79)(cid:61)(cid:57)𝐶 (cid:58)𝐴(cid:15)(cid:73)(cid:108)(cid:46) 𝑎1𝑐 𝐵−𝑏𝑐 𝐴1 𝑏𝑐 𝐴−𝑎𝑏 1𝐶 1 ( 2+ 2 2) ( 2+ 2 2)= ( 2+ 2 2) ( 2+ 2 2)(cid:46)(cid:16)(cid:251)(cid:59)(cid:10) 2 2 2 2 2𝑎2= 𝑐2−+𝑏2(cid:46) − (cid:83)𝑏(cid:212)(cid:118)𝑐(cid:99)−(cid:148)𝑎(cid:209)(cid:27) 𝑏 𝑐 −𝑎 − 𝑎 𝑏 −𝑐 24𝑎(cid:27)(cid:28)𝑏2022𝑐·(cid:84)(cid:85)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46)sin = 3sin (cid:27) (1)(cid:102) (cid:125) △𝐴𝐵𝐶 2𝐶 𝐶 (2)(cid:47)∠𝐶=6(cid:46)(cid:91) (cid:41)(cid:113)(cid:116)(cid:45)6 3(cid:46)(cid:102) (cid:41)(cid:246)(cid:114)(cid:27) (cid:49)(cid:50)(cid:21)𝑏 (cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:28)△1(cid:34)𝐴𝐵(cid:54)𝐶(cid:55)(cid:126)(cid:242)(cid:38)(cid:41)(cid:56)(cid:57)(cid:7)(cid:99)△(cid:16)𝐴𝐵(cid:251)𝐶(cid:73)(cid:59)cos (cid:41)(cid:65)(cid:46)(cid:95)(cid:96)(cid:38) (cid:41)(cid:156)(cid:65)(cid:296)(cid:297)(cid:73)(cid:102)(cid:59)(cid:38) (cid:41)(cid:65)(cid:125) (cid:28)2(cid:34)(cid:54)(cid:55)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:41)(cid:113)(cid:116)(cid:7)(cid:99)(cid:73)(cid:102)(cid:59) (cid:41)(cid:65)(cid:46)(cid:63)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)𝐶(cid:73)(cid:102)(cid:59) (cid:41)(cid:65)(cid:46)𝐶(cid:72)(cid:73)(cid:102)(cid:59) (cid:41)(cid:246)(cid:114)𝐶. (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:28)1(cid:34)(cid:50)(cid:10)(cid:77)(cid:45) ( 𝑎)(cid:46)(cid:48)sin >0(cid:46)(cid:63)(cid:107)(cid:108)(cid:73)(cid:59)𝑐 3sin =2sin c△os𝐴𝐵(cid:46)𝐶 (cid:73)(cid:59)cos = 3(cid:46)(cid:77)(cid:106)(cid:46) = . 𝐶∈ 0,𝜋 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 2 6 𝜋 𝐶 𝐶 1 3 (cid:28)2(cid:34)(cid:50)(cid:10)(cid:63)(cid:81)(cid:38)(cid:82)(cid:41)(cid:113)(cid:116)(cid:7)(cid:99)(cid:73)(cid:59) = sin = =6 3(cid:46)(cid:50)(cid:59) =4 3. 2 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝑎𝑏 𝐶 𝑎 𝑎 (cid:63)(cid:61)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:73)(cid:59) 2= 2+ 2 cos =48+ ×4 3×6× 3=12(cid:46) =2 3(cid:46) 2 𝑐 𝑎 𝑏 −2𝑎𝑏 𝐶 36−2 ∴𝑐 (cid:39)(cid:80)(cid:46) (cid:41)(cid:246)(cid:114)(cid:45) + + =6 3+6. 25(cid:27)(cid:28)2 △ 02 𝐴 2 𝐵 ·(cid:29) 𝐶 (cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33) 𝑎 (cid:21)(cid:34) 𝑏 (cid:140) 𝑐 (cid:41)(cid:37)(cid:38)A(cid:46)B(cid:46)C(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:46)(cid:107)(cid:108) cos = sin (cid:27) 1 sin 1 cos 𝐴 2𝐵 △𝐴𝐵𝐶 + 𝐴 + 2𝐵 (1)(cid:47) = (cid:46)(cid:102)B(cid:125) 3 2𝜋 𝐶2 2 (2)(cid:102) (cid:41)(cid:66)(cid:203)(cid:65)(cid:27) 2 𝑎 +𝑏 𝑐 cos sin (cid:49)(cid:50)(cid:21)(cid:51)(cid:52)(cid:53)(cid:28)1(cid:34)(cid:78)(cid:79)(cid:126)(cid:242)(cid:38)(cid:7)(cid:99)(cid:80)(cid:233)(cid:101)(cid:38)(cid:243)(cid:41)(cid:61)(cid:57)(cid:7)(cid:99)(cid:73)(cid:236) = (cid:16)(cid:148)cos + =sin (cid:46)(cid:60)(cid:95) 1 sin 1 cos 𝐴 2𝐵 + 𝐴 + 2𝐵 (𝐴 𝐵) 𝐵 (cid:96)0< < (cid:46)(cid:72)(cid:73)(cid:102)(cid:164)(cid:125) 2 π 𝐵 (cid:28)2(cid:34)(cid:63)(cid:28)1(cid:34)(cid:108)(cid:46) = + (cid:46) = (cid:46)(cid:60)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:58)(cid:15)(cid:80)(cid:233)(cid:126)(cid:242)(cid:38)(cid:7)(cid:99)(cid:236) 2 2 (cid:16)(cid:148)4cos2 + 2 (cid:46)(cid:94) 2 2 2 cos2 π π 𝑎 +𝑏 (cid:67)(cid:54)(cid:55)(cid:206)(cid:207)(cid:138)(cid:118)(cid:99) 𝐶 (cid:72)(cid:73)(cid:50)(cid:164) 𝐵 (cid:27) 𝐴 −2𝐵 𝑐 𝐵 𝐵−5 cos sin 2sin cos sin (cid:49)(cid:50)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:53)(cid:28)1(cid:34)(cid:77)(cid:45) = = = (cid:46)(cid:72)sin =cos cos sin sin =cos + = cos 1 sin 1 cos 2cos2 cos 𝐴 2𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 + 𝐴 + 2𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐴 𝐵− 𝐴 𝐵 (𝐴 𝐵) − 1 = (cid:46) 2 𝐶 (cid:124)0< < (cid:46)(cid:39)(cid:80) = (cid:125) 2 6 π π 𝐵 𝐵 (cid:28)2(cid:34)(cid:63)(cid:28)1(cid:34)(cid:108)(cid:46)sin = cos >0(cid:46)(cid:39)(cid:80) < < ,0< < (cid:46) 2 2 π π 𝐵 − 𝐶 𝐶 π 𝐵 (cid:124)sin = cos =sin )(cid:46) 2 π 𝐵 − 𝐶 (𝐶− (cid:39)(cid:80) = + (cid:46)(cid:72)(cid:62) = (cid:46)(cid:39)(cid:80) (0, ( , ) 2 2 4 2 4 π π 𝜋 𝜋3𝜋 𝐶 𝐵 𝐴 −2𝐵 𝐵∈ ),𝐶∈ (cid:39)(cid:80) 2 2 = sin2 sin2 = cos2 cos2 2 sin2 cos2 𝑎 +𝑏 𝐴+ 𝐵 2𝐵+1− 𝐵 𝑐 𝐶 𝐵 = (2cos2 2 cos2 =4cos2 + 2 2 8 =4 2 (cid:27) cos2 cos2 𝐵−1) +1− 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵−5≥ −5 −5 (cid:202)(cid:91)(cid:208)(cid:202)cos2 = 2(cid:204)(cid:156)(cid:118)(cid:9)(cid:46) 2 𝐵 2 2 (cid:39)(cid:80) (cid:41)(cid:66)(cid:203)(cid:65)(cid:45)4 2 (cid:27) 2 𝑎 +𝑏 𝑐 −5