文档内容
第 04 讲 三角函数与解三角形（2022-2024 高考真题）
（新高考专用）
(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:25)(cid:20)(cid:26)(cid:21)
1(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36),(cid:37)(cid:38) (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45) (cid:46)(cid:47) = (cid:46) 2= 9 (cid:46)(cid:48)sin +sin =
3 4
π
△𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝐵 𝑏 𝑎𝑐 𝐴 𝐶
(cid:28) (cid:34)
A(cid:27)2 39 B(cid:27) 39 C(cid:27) 7 D(cid:27)3 13
13 13 2 13
2(cid:27)(cid:28)2023·(cid:49)(cid:50)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46) + sin sin = sin sin (cid:46)(cid:48) =(cid:28) (cid:34)
△𝐴𝐵𝐶 (𝑎 𝑐)(2 𝐴− 𝐶) 𝑏( 𝐴−5 𝐵) ∠𝐶
A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27) D(cid:27)
6 3 3 6
π π π π
3(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46)(cid:37)(cid:38) (cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:51) (cid:46)(cid:47) cos cos = (cid:46)(cid:52) = (cid:46)(cid:48) =
5
𝜋
△𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝑎 𝐵−𝑏 𝐴 𝑐 𝐶 ∠𝐵
(cid:28) (cid:34)
A(cid:27) B(cid:27) C(cid:27) D(cid:27)
10 5 10 5
𝜋 𝜋 3𝜋 2𝜋
4(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:55)(cid:56)(cid:57) (cid:41)(cid:58)(cid:59)(cid:51)(cid:42)(cid:60)(cid:45)4(cid:41)(cid:61)(cid:62)(cid:63)(cid:46) = = =45°(cid:46)
(cid:48) (cid:41)(cid:59)(cid:64)(cid:45)(cid:28) (cid:34) 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐶 𝑃𝐷 3,∠𝑃𝐶𝐴
△A(cid:27)𝑃𝐵2𝐶2 B(cid:27)3 2 C(cid:27)4 2 D(cid:27)6 2
5(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:53)(cid:54) (cid:45)(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:38)(cid:68)(cid:38)(cid:63)(cid:46)AB(cid:45)(cid:69)(cid:42)(cid:46) (cid:45)(cid:65)(cid:42)(cid:68)(cid:38)(cid:63)(cid:46)(cid:47)(cid:70)(cid:59)(cid:38)
(cid:45)150°(cid:46)(cid:48)(cid:67)(cid:71)CD(cid:72)(cid:73)△(cid:59)𝐴𝐵A𝐶BC(cid:39)(cid:74)(cid:38)(cid:41)(cid:61)(cid:75)(cid:76)(cid:45)(cid:28) (cid:34) △𝐴𝐵𝐷
𝐶−𝐴 A 𝐵 (cid:27) −1𝐷 B(cid:27) 2 C(cid:27) 3 D(cid:27) 2
5 5 5 5
(cid:70)(cid:23)(cid:77)(cid:78)(cid:21)
6(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46) = = = 6(cid:46) (cid:41)(cid:38)(cid:73)(cid:43)(cid:71)(cid:79)BC(cid:80)D(cid:46)(cid:48)
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 60°=,𝐴𝐵 2,𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶
(cid:27) 𝐴𝐷
7(cid:27)(cid:28)2022·(cid:81)(cid:82)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:83)(cid:30)(cid:84)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:13)(cid:11)(cid:88)(cid:89)(cid:90)(cid:91)(cid:46)(cid:92)(cid:93)(cid:94)(cid:95)(cid:68)(cid:38)(cid:63)(cid:68)(cid:42)(cid:96)(cid:59)(cid:64)(cid:41)(cid:7)(cid:97)(cid:46)(cid:98)(cid:99)(cid:100)(cid:101)(cid:62)
(cid:102)(cid:103)(cid:45)“(cid:68)(cid:69)(cid:96)(cid:64)”(cid:46)(cid:104)(cid:77)(cid:105)(cid:94)(cid:83)(cid:30)(cid:106)(cid:107)(cid:13)(cid:11)(cid:41)(cid:22)(cid:108)(cid:78)(cid:109)(cid:27)(cid:110)(cid:111)(cid:99)(cid:100)(cid:108)(cid:62)(cid:102)(cid:112)(cid:74)(cid:7)(cid:97)(cid:46)(cid:113)(cid:51) =
2 𝑆
1 2 2 2 2 2 (cid:46)(cid:114)(cid:36)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:51)(cid:68)(cid:38)(cid:63)(cid:41)(cid:68)(cid:42)(cid:46)S(cid:51)(cid:68)(cid:38)(cid:63)(cid:41)(cid:59)(cid:64)(cid:27)(cid:115)(cid:116)(cid:68)(cid:38)(cid:63)(cid:41)(cid:68)(cid:42) = 2 = 3
4 2
𝑐 +𝑎 −𝑏
=𝑐2(cid:46)𝑎 (cid:48)−(cid:117)(cid:68)(cid:38)(cid:63)(cid:41)(cid:59)(cid:64) = (cid:27) 𝑎 ,𝑏
,𝑐 𝑆
8(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:53)(cid:54) (cid:36)(cid:46)(cid:118)D(cid:35)(cid:42)BC(cid:119)(cid:46) = = = (cid:27)(cid:120) (cid:121)(cid:122)
𝐴𝐶
△𝐴𝐵𝐶 ∠𝐴𝐷𝐵 120°,𝐴𝐷 2,𝐶𝐷 2𝐵𝐷 𝐴𝐵(cid:123)(cid:124)(cid:76)(cid:125)(cid:46) = (cid:27)
9(cid:27)(cid:28)2024·(cid:119)𝐵𝐷(cid:126)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:118)B(cid:35)(cid:118)C(cid:61)(cid:49)(cid:62)(cid:127)(cid:46)(cid:118)D(cid:35)(cid:118)C(cid:41)(cid:61)(cid:128)(cid:62)(cid:127)(cid:46) = ,(cid:129)(cid:35)(cid:118)A(cid:130)(cid:131)
= =37°(cid:46)(cid:48) = .((cid:132)(cid:133)(cid:134)0.1(cid:135)) 𝐵𝐶 𝐶𝐷
∠𝐵𝐴𝐶 16.5°,∠𝐷𝐴𝐶 ∠𝐵𝐶𝐴
10(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:118) (cid:136)(cid:35)(cid:137)(cid:138)(cid:45)2(cid:41)(cid:139)(cid:59)(cid:119)(cid:46) (cid:51)(cid:42)(cid:60)(cid:45)3(cid:41)(cid:65)(cid:42)(cid:68)(cid:38)(cid:63)(cid:46)
(cid:73)(cid:59) (cid:46)(cid:48) = (cid:27) 𝑆,𝐴,𝐵,𝐶 △𝐴𝐵𝐶 𝑆𝐴⊥
(cid:68)(cid:23)𝐴(cid:140)𝐵(cid:141)𝐶(cid:21) 𝑆𝐴
9 2
11(cid:27)(cid:28)2024·(cid:142)(cid:143)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46)(cid:38) (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45) (cid:46)(cid:53)(cid:54)cos = ， =5， = (cid:27)
16 3
𝑎
△𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝐵 𝑏 𝑐
(1)(cid:96) (cid:144)
(2)(cid:96)𝑎sin (cid:144)
(3)(cid:96)cos𝐴( )(cid:41)(cid:76)(cid:27)
𝐵−2𝐴
12(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:145) (cid:41)(cid:37)(cid:38)A(cid:46)B(cid:46)C(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:46)(cid:53)(cid:54)sin + 3cos =2(cid:27)
(1)(cid:96)A(cid:27) △𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐴
(2)(cid:47) =2(cid:46) 2 sin = sin (cid:46)(cid:96) (cid:41)(cid:146)(cid:60)(cid:27)
𝑎 𝑏 𝐶 𝑐 2𝐵 △𝐴𝐵𝐶
13(cid:27)(cid:28)2024·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:145) (cid:41)(cid:37)(cid:38)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:46)(cid:53)(cid:54)sin = 2cos (cid:46) 2+ 2
2= 2 △𝐴𝐵𝐶 𝐶 𝐵 𝑎 𝑏
−𝑐 𝑎𝑏(1)(cid:96)B(cid:144)
(2)(cid:47) (cid:41)(cid:59)(cid:64)(cid:45)3+ 3(cid:46)(cid:96)c(cid:27)
△𝐴𝐵𝐶
14(cid:27)(cid:28)2024·(cid:49)(cid:50)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46)(cid:37)(cid:38) (cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45) (cid:46) (cid:45)(cid:147)(cid:38)(cid:46) =7(cid:46)sin = 3 cos
7
△𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 ∠𝐴 𝑎 2𝐵 𝑏
(cid:27)
(𝐵1)(cid:96) (cid:144)
(2)(cid:95)(cid:148)∠𝐴(cid:149) (cid:23)(cid:148)(cid:149) (cid:23)(cid:148)(cid:149) (cid:100)(cid:68)(cid:108)(cid:148)(cid:149)(cid:36)(cid:20)(cid:26)(cid:22)(cid:108)(cid:150)(cid:45)(cid:53)(cid:54)(cid:46)(cid:151)(cid:122) (cid:129)(cid:35)(cid:46)(cid:96) (cid:41)(cid:59)(cid:64)(cid:27)
① ② ③ 13 5 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
(cid:148)(cid:149) (cid:10) =7(cid:144)(cid:148)(cid:149) (cid:10)cos = (cid:144)(cid:148)(cid:149) (cid:10) sin = 3(cid:27)
14 2
(cid:4)(cid:10)(cid:110)①(cid:111)(cid:20) 𝑏 (cid:26)(cid:41)(cid:148)(cid:149)(cid:152)②(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:96) 𝐵 (cid:46)(cid:156)(cid:28)2(cid:34)(cid:157)③(cid:122)0 𝑐 (cid:43)(cid:144) 𝐴 (cid:110)(cid:111)(cid:20)(cid:26)(cid:158)(cid:108)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:96)(cid:41)(cid:148)(cid:149)(cid:43)(cid:44)(cid:140)(cid:141)(cid:46)(cid:159)(cid:156)(cid:22)(cid:108)(cid:140)
(cid:141)(cid:160)(cid:43)(cid:27)
2 2 2
15(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:145) (cid:41)(cid:37)(cid:38) (cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45) (cid:46)(cid:53)(cid:54) =2(cid:27)
cos
𝑏 +𝑐 −𝑎
(1)(cid:96) (cid:144) △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝐴
𝑏c𝑐os cos
(2)(cid:47) =1(cid:46)(cid:96) (cid:59)(cid:64)(cid:27)
cos cos
𝑎 𝐵−𝑏 𝐴 𝑏
𝑎 𝐵+𝑏 𝐴−𝑐 △𝐴𝐵𝐶
16(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46)(cid:53)(cid:54) =120°(cid:46) =2(cid:46) =1.
(1)(cid:96)sin (cid:144) △𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶
(2)(cid:47)D(cid:45)∠𝐴B𝐵C𝐶(cid:119)(cid:22)(cid:118)(cid:46)(cid:52) =90°(cid:46)(cid:96) (cid:41)(cid:59)(cid:64).
∠𝐵𝐴𝐷 △𝐴𝐷𝐶17(cid:27)(cid:28)2023·(cid:142)(cid:143)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46)(cid:38) (cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:51) (cid:27)(cid:53)(cid:54) = 39 = =120 (cid:27)
∘
(1)(cid:96)sin (cid:41)(cid:76)(cid:144) △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 𝑎 ,𝑏 2,∠𝐴
(2)(cid:96) (cid:41)𝐵(cid:76)(cid:144)
(3)(cid:96)𝑐sin( )(cid:41)(cid:76)(cid:27)
𝐵−𝐶
18(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:53)(cid:54)(cid:35) (cid:36)(cid:46) + = sin( )=sin (cid:27)
(1)(cid:96)sin (cid:144) △𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐵 3𝐶,2 𝐴−𝐶 𝐵
(2)(cid:115) 𝐴=5(cid:46)(cid:96) (cid:42)(cid:119)(cid:41)(cid:31)(cid:27)
𝐴𝐵 𝐴𝐵
19(cid:27)(cid:28)2023·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:145) (cid:41)(cid:37)(cid:38) (cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45) (cid:46)(cid:53)(cid:54) (cid:41)(cid:59)(cid:64)(cid:45) 3(cid:46) (cid:45) (cid:36)
(cid:118)(cid:46)(cid:52) =1(cid:27) △𝐴𝐵𝐶 𝐴,𝐵,𝐶 𝑎,𝑏,𝑐 △𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶
𝐴𝐷
(1)(cid:47) = (cid:46)(cid:96)tan (cid:144)
3
π
(2)(cid:47)
∠2𝐴
+
𝐷𝐶2=8(cid:46)(cid:96) 𝐵
(cid:27)
𝑏 𝑐 𝑏,𝑐
20(cid:27)(cid:28)2022·(cid:142)(cid:143)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46)(cid:38)A(cid:23)B(cid:23)C(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)a(cid:46)b(cid:46)c.(cid:53)(cid:54) = 6 = cos =
1 △𝐴𝐵𝐶 𝑎 ,𝑏 2𝑐, 𝐴 −
.
4(1)(cid:96) (cid:41)(cid:76)(cid:144)
(2)(cid:96)𝑐sin (cid:41)(cid:76)(cid:144)
(3)(cid:96)sin𝐵 (cid:41)(cid:76).
(2𝐴−𝐵)
21(cid:27)(cid:28)2022·(cid:81)(cid:82)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46)(cid:38)A(cid:46)B(cid:46)C(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:27)(cid:53)(cid:54) = 5 cos = 3 (cid:27)
5
△𝐴𝐵𝐶 4𝑎 𝑐, 𝐶
(1)(cid:96)sin (cid:41)(cid:76)(cid:144)
(2)(cid:47) =𝐴11(cid:46)(cid:96) (cid:41)(cid:59)(cid:64)(cid:27)
𝑏 △𝐴𝐵𝐶
22(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:145) (cid:41)(cid:37)(cid:38)A(cid:46)B(cid:46)C(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:46)(cid:43)(cid:44)(cid:161)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:45)(cid:42)(cid:60)(cid:41)(cid:68)
(cid:108)(cid:61)(cid:68)(cid:38)(cid:63)(cid:41)(cid:59)(cid:64)(cid:162)(cid:163)(cid:45) , , △ (cid:46) 𝐴 (cid:53) 𝐵𝐶 (cid:54) + = 3,sin = 1 (cid:27)
1 2 3 1 2 3 2 3
𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 −𝑆 𝑆 𝐵
(1)(cid:96) (cid:41)(cid:59)(cid:64)(cid:144)
(2)(cid:47)s △ in 𝐴 s 𝐵 i 𝐶 n = 2(cid:46)(cid:96)b(cid:27)
3
𝐴 𝐶
23(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:145) (cid:41)(cid:37)(cid:38)A(cid:46)B(cid:46)C(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)a(cid:46)b(cid:46)c﹐(cid:53)(cid:54)sin sin( )=sin sin
( )(cid:27) △𝐴𝐵𝐶 𝐶 𝐴−𝐵 𝐵
(1𝐶)−(cid:47)𝐴 = (cid:46)(cid:96)C(cid:144)
(2)(cid:164)(cid:165)𝐴 (cid:10)22𝐵2= 2+ 2.
𝑎 𝑏 𝑐24(cid:27)(cid:28)2022·(cid:49)(cid:50)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:35) (cid:36)(cid:46)sin = 3sin (cid:27)
(1)(cid:96) (cid:144) △𝐴𝐵𝐶 2𝐶 𝐶
(2)(cid:47)∠𝐶=6(cid:46)(cid:52) (cid:41)(cid:59)(cid:64)(cid:45)6 3(cid:46)(cid:96) (cid:41)(cid:146)(cid:60)(cid:27)
𝑏 △𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐶
25(cid:27)(cid:28)2022·(cid:29)(cid:30)·(cid:31)(cid:32)(cid:33)(cid:21)(cid:34)(cid:145) (cid:41)(cid:37)(cid:38)A(cid:46)B(cid:46)C(cid:41)(cid:40)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)a(cid:46)b(cid:46)c(cid:46)(cid:53)(cid:54) cos = sin (cid:27)
1 sin 1 cos
𝐴 2𝐵
△𝐴𝐵𝐶 + 𝐴 + 2𝐵
(1)(cid:47) = (cid:46)(cid:96)B(cid:144)
3
2𝜋
𝐶
2 2
(2)(cid:96) (cid:41)(cid:123)(cid:124)(cid:76)(cid:27)
2
𝑎 +𝑏
𝑐
