专题18解直角三角形（10个高频考点）（举一反三）（全国通用）（解析版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料_专项复习

专题 18 解直角三角形（10 个高频考点）（举一反三） 【考点1 锐角三角函数的定义】...........................................................................................................................1 【考点2 锐角三角函数的增减性】.......................................................................................................................5 【考点3 同角三角函数的关系】...........................................................................................................................7 【考点4 互余两角三角函数的关系】...................................................................................................................9 【考点5 特殊角的三角函数】.............................................................................................................................13 【考点6 解直角三角形】.....................................................................................................................................16 【考点7 解直角三角形的应用之仰角俯角问题】..............................................................................................24 【考点8 解直角三角形的应用之方位角问题】.................................................................................................29 【考点9 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】..............................................................................................35 【考点10 解直角三角形应用之其他问题】.........................................................................................................40 【要点1 锐角三角函数】 在 中， ，则 的三角函数为 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 A的对边 a 0sin A1 sinA sinA 斜边 c (∠A为锐角) sin AcosB 余弦 A的邻边 b 0cosA1 cos AsinB cosA cosA 斜边 c (∠A为锐角) sin2 Acos2 A1 正切 A的对边 a tanA 0 tanA tanA A的邻边 b (∠A为锐角) 【考点1 锐角三角函数的定义】 【例1】（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴 正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P(1,1)， 则tan∠OAP的值是（ ）√3 √2 1 A． B． C． D．3 3 2 3 【答案】C 【分析】由P(1,1)可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为OP∥AB，则△OAB为等腰直角形，设OC=x， OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P点坐标为（1，1）， 则OP与x轴正方向的夹角为45°， 又∵OP∥AB， 则∠BAO=45°，△OAB为等腰直角形， ∴OA=OB， 设OC=x，则OB=2OC=2x， 则OB=OA=3x， OC x 1 ∴tan∠OAP= = = ． OA 3x 3 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标 推出特殊角是解题的关键． 【变式1-1】（2022·上海·上海市进才中学校考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列 四个选项，正确的是（ ） 3 4 4 4 A．tanB= B．sinB= C．sinB= D．cosB= 4 3 5 5 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4 ∴根据勾股定理得：BC=√AB2−AC2=√52−42=3， AC 4 AC 4 BC 3 ∴tanB= = ，sinB= = ，cosB= = ， BC 3 AB 5 AB 5 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）如图所示，已知⊙O 是△ABC 的外接圆， AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若AD＝3，AC＝2，则cosD 的值为（ ） √3 √5 √5 2 A． B． C． D． 2 3 2 3 【答案】B CD 【分析】由直径所对圆周角为直角，得出：∠ACD=90°，再由勾股定理求得CD的长，由cosD= 即 AD 可求得结果． 【详解】解：∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∵AD=3，AC=2， ∴CD=√5， CD √5 ∴cosD= = ， AD 3 故选：B． 【点睛】本题考查了圆中直径所对的圆周角是直角，勾股定理，灵活运用这些知识求锐角三角函数是关键． 【变式1-3】（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿 BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）8 7 15 8 A． B． C． D． 17 15 17 15 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明ΔAFD≌ΔEFB，得出AF=EF，DF=BF， 设AF=EF=x，则BF=5−x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数 的定义求出结果即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴CD=AB=5，AB=BC=3，∠A=∠C=90°， 根据折叠可知，BE=BC=3，DE=DE=5，∠E=∠C=90°， ∴在△AFD和△EFB中¿， ∴ΔAFD≌ΔEFB（AAS）， ∴AF=EF，DF=BF， 设AF=EF=x，则BF=5−x， 在RtΔBEF中，BF2=EF2+BE2， 即(5−x) 2=x2+32， 8 8 17 解得：x= ，则DF=BF=5− = ， 5 5 5 AD 3 15 cos∠ADF= = = ∴ DF 17 17，故C正确． 5 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据 题意证明ΔAFD≌ΔEFB，是解题的关键．【考点2 锐角三角函数的增减性】 【例2】（2022·上海静安·统考一模）如果0°<∠A<45°，那么sinA与cosA的差（ ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【答案】B 【分析】cosA=sin(90°−∠A)，再根据正弦函数随着角的增大而增大进行分析即可． 【详解】∵cosA=sin(90°−∠A)，正弦函数随着角的增大而增大， ∴当0°<∠A<45°时，45°<90°−∠A<90°， ∴sin A10．∴该商场楼高符合规定． 5【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题、勾股定 理、锐角三角函数定义、矩形的判定与性质、一元二次方程、一元一次方程等知识．正确作出辅助线构造 直角三角形是解题的关键． 【考点10 解直角三角形应用之其他问题】 【例10】（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商 品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段 AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息， 解决下列问题；参考数据：√2≈1．41，√3≈1．73，√6≈2．45． (1)求AC的长度（结果保留根号）； (2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）． 【答案】(1)(40+40√3)cm (2)77cm 【分析】（1）过F作FH⊥ED于H，解直角三角形即可得到结论； （2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：过F作FH⊥DE于H∴∠FHC=∠FHD=90° ∵∠FDC=30°，DF=30cm 1 √3 ∴FH=sin⁡30°⋅DF= DF=15，DH=cos⁡30°⋅DF= DF=15√3 2 2 ∵∠FCH=45° ∴CH=FH=15 ∴CD=CH+DH=15+15√3 ∵CE∶CD=1∶3 4 ∴DE= CD=20+20√3 3 ∵AB=BC=DE=20+20√3 ∴AC=2AB=(40+40√3)cm （2）解：过A作AG⊥ED交ED的延长线于G ∴∠ACG=45°，AC=40+40√3cm √2 ∴AG=sin⁡45°⋅AC= AC=20√2+20√6 2 ∵√2≈1.41，√6≈2.45√2 ∴AG= AC=20√2+20√6=20×1.41+20×2.45=77.2=77(cm) 2 答：拉杆箱点A到水平滑杆ED的距离为77cm 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，主要是三角形函数的基本概念和运算，关键是用数学知识解决 和实际问题． 【变式10-1】（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经淡然无存，但底部 未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔 原来高度为( ) A．120m B．60√3m C．60√5m D．120√3m 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，即求AC的长，求得∠BAC＝30°，进而解Rt△ABC即可求解． 【详解】如图， ∵底部是边长为120m的正方形， 1 ∴BC＝ ×120＝60m， 2 ∵AC⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， BC BC = =2BC ∴AB＝sin∠BAC 1 ＝120m， 2∴AC＝√1202−602＝60√3m． 答：这个金字塔原来有60√3米高． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 【变式10-2】（2022·山东枣庄·校考模拟预测）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．当按 压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．求点D到直线EF的距离（结果精 确到0.1cm）．（参考数据： sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 【答案】点D到直线EF的距离约为7.3cm 【分析】过D作DG⊥BD′于G，过E作EH⊥BD′于H，在Rt△BDG中，求出DG=3.54(cm)，在 Rt△BEH中，HE=3.80(cm)，故DG+HE≈7.3cm，即点D到直线EF的距离为7.3cm． 【详解】解：过D作DG⊥BD′于G，过E作EH⊥BD′于H，如图： ∵BD′∥EF， ∴∠BEF+∠EBD′=180°，∵∠DBE=∠BEF=108°， ∴∠EBD′=72° ，∠DBG=108°−72°=36°， 在Rt△BDG中，DG=BD·sin36°≈6×0.59=3.54(cm)， 在Rt△BEH中，HE=BE·sin72°≈4×0.95=3.80(cm)， ∴DG+HE=3.54cm+3.80cm=7.34cm≈7.3cm， ∵BD′∥EF， ∴点D到直线EF的距离约为7.3cm， 答：点D到直线EF的距离约为7.3cm． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用三角函数解直角三角形． 【变式10-3】（2022·江苏连云港·校考三模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具， 始见于《墨子⋅备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于 水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，且AB=6米，OA:OB=2:1．当点A位于最高点时， ∠AOM=127°． (1)求点A位于最高点时到地面的距离； (2)当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A 时，求此时水桶B上升的高度． 1 （考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8） 【答案】(1)点A位于最高点时到地面的距离为5.4米； (2)水桶B上升的高度为1.8米． 【分析】（1）作出如图的辅助线，在Rt△AOG中，利用正弦函数求解即可； （2）作出如图的辅助线，在Rt△OBC中和在Rt△OB D中，分别利用三角函数求出BC和B D的长即可． 1 1 【详解】（1）解：过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于G， ∵AB=6米，OA:OB=2:1， ∴OA=4米，OB=2米， ∵∠AOM=127°，∠EOM=90°， ∴∠AOE=127°−90°=37°， 在Rt△AOG中，AG=AO×sin37°≈4×0.6=2.4（米），点A位于最高点时到地面的距离为2.4+3=5.4（米）， 答：点A位于最高点时到地面的距离为5.4米； （2）解：过O作EF⊥OM，过B作BC⊥EF于C，过B 作B D⊥EF于D， 1 1 ∵∠AOE=37°， ∴∠BOC=∠AOE=37°，∠B OD=∠A OE=17.5°， 1 1 ∵OB =OB=2（米）， 1 在Rt△OBC中，BC=sin∠OCB×OB=sin37°×OB≈0.6×2=1.2（米）， 在Rt△OB D中，B D=sin17.5°×OB ≈0.3×2=0.6（米）， 1 1 1 ∴BC+B D=1.2+0.6=1.8（米）， 1 ∴此时水桶B上升的高度为1.6米． ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键．