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挑战 20 2 3 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题18二次函数与旋转变换综合问题
【例1】（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A
（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段
DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否
存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣ x﹣4分别与x，y轴交
于点A，B，抛物线y＝ x2+bx+c恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A
的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求 BP+EP取最小值时，点P的坐标．【例3】．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，
与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点
E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且 ＝ 时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
【例4】．（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线 L ：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点
1
A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线L 的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
1
（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；
（3）若将抛物线L 绕点B旋转180°得抛物线L ，其中C，D两点的对称点分别记作
1 2
M，N．问：在抛物线L 的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为
2
等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
一．解答题（共20小题）
1．（2022•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 W 与x轴交于A，B两
1
点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）．
（1）求抛物线W 的表达式；
1
（2）将抛物线W 绕原点O旋转180°得到抛物线W ，抛物线W 的顶点为D′，在抛物
1 2 2
线W
2
上是否存在点M，使S△D′AD ＝S△D′DM ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，
请说明理由．
2．（2022•双流区模拟）如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D．
（1）求a的值及顶点D的坐标；
（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C ，记抛物
1
线C 的顶点为E，抛物线C 与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点
1 1
B重合时（如图1），求抛物线C 的表达式；
1
（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以
取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C 为抛物线C的“勾股伴随同
1
类函数”．当抛物线C 是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．
1
3．（2022•灞桥区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ x+6与
x轴、y轴的交点分别为A、B，其中点C是x轴上一点，OC＝3．
（1）求过A、B、C三点的抛物线L的解析式；
（2）将抛物线L绕着点O旋转180°得到抛物线L ，抛物线L 与x轴交于F点、E点
1 1
（点F在点E的左侧），与y轴交于点M，则抛物线L 的对称轴上是否存在一点Q，使|
1
QF﹣QM|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及其最大值，若不存在，请说明理由．
4．（2022•莲湖区二模）已知抛物线W ：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，
1
0）两点与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线W 的表达式；
1
（2）将抛物线W 绕原点O旋转180°后得到抛物线W ，W 的顶点为D'，点M为W 上
1 2 2 2
的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．
5．（2022•深圳三模）已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x
轴于另一点B．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，
求P点坐标；
（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N
分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．
①直线EF的解析式是 ；
②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是 ．
6．（2022•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点
C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣ ，
0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形
与△FEN相似，求点N的坐标；
②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转
45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；
（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合
条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．7．（2022•沙湾区模拟）如图，抛物线f（x）：y＝a（x+1）（x﹣5）与x轴交于点A、B
（点A位于点B左边），与y轴交于点C（0， ．
（1）求抛物线f（x）的解析式；
（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接线段AC，作∠CAB的平分线AE交抛物线于点
E，将抛物线f（x）沿对称轴向下平移经过点C'得到抛物线f'（x）．在射线AE上取点
F，连接FC，将射线FC绕点F逆时针旋转120°交抛物线f'（x）于点P．当△ACF为等
腰三角形时，求点P的横坐标．
8．（2022•灌南县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（3，0）两点，
与y轴交于点C，其顶点为M，连接MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）直线l上是否存在点N，使得S△MBN ＝2S△MAC ？若存在，求出点N的坐标；若不存
在，请说明理由．
（3）如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转45°，求新抛物线与y轴交点P坐标．9．（2022•红花岗区三模）如图（1），△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，点P在线段
AC上，从C点向A点运动，∠PBE＝90°，BP＝BE，PE交BC于点D，完成下列问题：
（1）①点E到BC边的距离为 ；
②若CD＝x，△BDE的面积为S，则S与x的函数关系式为 ；（不写自变量取
值范围）
（2）当△BDE的面积为15时，若PC＜ AC，以C为原点，AC、BC所在直线分别为
x、y轴建立坐标系如图（2），抛物线C 过点A、D、B；
1
①点Q在抛物线C 上，且位于线段PB的下方，过点Q作QN⊥PB，垂足为点N，是否
1
存在点Q，使得QN最长，若存在，请求出QN的长度和Q点坐标；若不存在，请说明
理由；
②将抛物线C 绕原点C旋转180°，得到抛物线C ，当﹣2a≤x≤﹣a时（a＞0），抛物
1 2
线C 有最大值2a，求a值．
210．（2022•乳源县三模）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）
图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为
（2，0），点C的坐标为（0，4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当
△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；
（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是
否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q的坐标；若不存在，
说明理由．
11．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c经过点A
（0，﹣3），与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交
于点D，P是直线l下方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及
PM的最大值；（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛
物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写
出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其
中一个点G的坐标的过程写出来．
12．（2021秋•北京期中）定义：如果抛物线 C 的顶点在抛物线C 上，同时，抛物线C
1 2 2
的顶点在抛物线C 上，则称抛物线C 与C 关联．例如，如图，抛物线y＝x2的顶点
1 1 2
（0，0）在抛物线y＝﹣x2+2x上，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点（1，1）也在抛物线y＝x2
上，所以抛物线y＝x2与y＝﹣x2+2x关联．
（1）已知抛物线C ：y＝（x+1）2﹣2，分别判断抛物线C ：y＝﹣x2+2x+1和抛物线
1 2
C ：y＝2x2+2x+1与抛物线C 是否关联；
3 1
（2）抛物线M ： 的顶点为A，动点P的坐标为（t，2），将抛物线M
1 1
绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线M ，若抛物线M 与M 关联，求抛物线M 的解析
2 1 2 2
式；
（3）抛物线M ： 的顶点为A，点B是与M 关联的抛物线的顶点，将
1 1
线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB ，若点B 恰好在y轴上，请直接写出
1 1
点B 的纵坐标．
113．（2021•锡山区一模）如图，抛物线y＝ x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，
与x轴的交点为A（﹣3，0）和B，将抛物线y＝ x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，
点M 、A 为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．
1 1
（1）写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；
（2）求证A，M，A 三点在同一直线上；
1
（3）设点P是旋转后抛物线上DM 之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM MD
1 1
的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM MD的面积；如果不存在，请
1
说明理由．
14．（2022秋•道里区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝
x+3交x轴于点A，y轴于点D，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，交y轴于点
C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P在第三象限抛物线上，P点横坐标为t，连接AP、DP，△APD的面积为s，求s
关于t的函数关系式；（不要求写自变量t的取值范围）
（3）在（2）的条件下，PD绕点P逆时针旋转，与线段AD相交于点E，且∠EPD＝
2∠PDC，过点E作EF⊥PD交PD于G，y轴于点F，连接PF，若 ，求线
段PF的长．15．（2022秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，
点A（4，0），∠AOC＝60°，点C的纵坐标为 ，点D是边BC上一点，连接OD，
将线段OD绕点O逆时针旋转60°得到线段OE．
给出如下定义：
如果抛物线y＝ax2+bx（a≠0）同时经过点A，E，则称抛物线y＝ax2+bx（a≠0）为关
于点A，E的“伴随抛物线”．
（1）如图1，当点D与点C重合时，点E的坐标为 ，此时关于点A，E的“伴
随抛物线”的解析式为 ；
（2）如图2，当点D在边BC上运动时，连接CE．
①当CE取最小值时，求关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式；
②若关于点A，E的“伴随抛物线”y＝ax2+bx（a≠0）存在，直接写出a的取值范围．
16．（2020秋•天心区期末）如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 C：y＝﹣
x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A（﹣4 ，0），B（4 ，0），
设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线
C' ．（1）求抛物线C的函数解析式；
（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物
线C'上的对应点P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否
成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
17．（2022•大庆模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l： 与x轴、y轴
分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线 经过点B，且与直线l的另一个
交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点
F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t
的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A O B ，点
1 1 1
A、O、B的对应点分别是点A 、O 、B ．若△A O B 的两个顶点恰好落在抛物线上，
1 1 1 1 1 1
请直接写出点A 的横坐标．
1
18．（2022•苏州一模）如图，二次函数y＝ x2+bx+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴
交于点C，点A的坐标为（﹣8，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．
（1）b＝ ，点B的坐标是 ；（2）连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB；
（3）点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直
线DE翻折，点A的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E
点的坐标．
19．（2022•大连模拟）已知抛物线G：y＝（m+1）x2+2（n﹣1）x+n+1（m≠﹣1，m为常
数）的对称轴与直线y＝kx+k（k＞0，k为常数）相交于x轴上一点P．
（1）求m与n的数量关系；
（2）若直线y＝kx+k与y轴交于点Q，且OQ＝OP，
①把直线y＝kx+k绕点Q顺时针旋转45°得到的直线与抛物线G相交于A、B两点，若
AB＝4，求m的值；
②将直线y＝kx+k向上平移2k个单位，得到的直线与抛物线 G的两个交点的横坐标
x ，x 满足﹣2＜x ＜x ＜2，求m的取值范围．
1 2 1 2
20．（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，
﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，
求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求
点D的坐标．
