文档内容
专题 18 全等三角形
【专题目录】
技巧1：全等三角形判定的三种类型
技巧2：构造全等三角形的六种常用方法
技巧3：证明三角形全等的四种思路
【题型】一、全等三角形的性质
【题型】二、全等三角形的判定（SSS）
【题型】三、全等三角形的判定（SAS）
【题型】四、全等三角形的判定（AAS）
【题型】五、全等三角形的判定（ASA）
【题型】六、全等三角形的判定（HL）
【题型】七、全等三角形综合问题
【题型】八、角平分线的判定定理
【考纲要求】
1、了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素
2、掌握并能应用“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”四种方法判断全等
【考点总结】一、全等三角形及其性质
能完全重合的图形叫做全等图形.
全等图形概念
特征：①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。
全等
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
三角
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应
形及
全等三角形概 顶点字母要写在对应位置上。
其性
念 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
质
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
【考点总结】二、全等三角形的判定
概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
性质 全等三角形的对应边、对应角分别相等．
全等三
(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；
角形的
(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；
性质与
判定 (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)；
判定
(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
角平分线
三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边
距离相等。
【技巧归纳】
技巧1：全等三角形判定的三种类型
【类型】一、已知一边一角型
题型1：一次全等型
1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交
AD的延长线于点F，且BE＝CF.
求证：AD是△ABC的中线．
题型2：两次全等型
2．如图，∠C＝∠D，AC＝AD.求证：BC＝BD.
【类型】二、已知两边型
题型1：一次全等型
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，
BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说
明理由．
题型2：两次全等型
4．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD.求证：△ACF≌△BDE.
【类型】三、已知两角型
题型1：一次全等型5．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，BE＝CD.求证：OB＝OC.
题型2：两次全等型
6．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长
BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.
技巧2：构造全等三角形的六种常用方法
【类型】一、翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
【类型】二、构造法
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，
其延长线交AB于点F，连接DF.
求证：∠ADC＝∠BDF.
【类型】三、旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．【类型】四、平行线法
4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，
且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.
【类型】五、倍长中线法
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【类型】六、截长补短法
6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.
技巧3：证明三角形全等的四种思路
【类型】一、条件充足时直接用判定方法
1．(2014·武汉)如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：AB∥CD.
【类型】二、条件不足时添加条件再用判定方法
2．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AF＝DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．
【类型】三、非三角形问题中构造全等三角形用判定方法
3．如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，∠1＝∠2，CA＝CB.求证：
(1)∠3＋∠4＝180°；
(2)OA＋OB＝2OM.
【类型】四、实际问题中建立全等三角形模型用判定方法
4．如图，要测量AB的长，因为无法过河接近点A，可以在AB所在直线外任取一点D，在AB的延长线
上任取一点E，连接ED和BD，并且延长BD到G，使DG＝BD，延长ED到F，使DF＝ED，连接FG，
并延长FG到H，使H、D、A在一条直线上，则HG＝AB，试说明理由．
【题型讲解】
【题型】一、全等三角形的性质
例1、如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（ ）
A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC
【题型】二、全等三角形的判定（SSS）
例2、如图，在四边形 中， ，点E，F分别在 ， 上， ， ，求证： ．
【题型】三、全等三角形的判定（SAS）
例3、如图，已知 ， ， ．
求证：（1） ；
（2） ．
【题型】四、全等三角形的判定（AAS）
例4、如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE．
【题型】五、全等三角形的判定（ASA）
例5、如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.
求证：BD＝CE.【题型】七、全等三角形综合问题
例7、如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
【题型】八、角平分线的判定定理
例8、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S =15，则CD的长为（
△ABD
）
A．3 B．4 C．5 D．6
全等三角形（达标训练）
一、单选题
1．如图，平行四边形 中， ，点 在 上，且 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
2．如图，在Rt 中， 为 上一点且 于 ，连结 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中，DE垂直平分BC，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点 是 的垂直平分线与 边的交点，作 于点 ，若 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，以Rt ABC的斜边BC为一边在 ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，
如果AB 4，AO 6 ，那么BC＝_____．7．已知边长为4的等边 ，D，E，F分别为边 ， ， 的中点，P为线段 上一动点，则
的最小值为______．
三、解答题
8．如图，在等边 中，点 是 内一点，点 是 外一点，连接 、 、 、 、 ，
其中 ， 试判断 的形状并证明你的结论．
全等三角形（提升测评）
一、单选题
1．如图，将 ABC绕点A逆时针旋转40°得到 ADE，其中点D恰好落在BC边上，则∠ADE等于（ ）
△ △A． B． C． D．
2．如图，在 中， ， ，BE平分 交AD于E，CF平分 交AD于F，则EF
等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
3．如图，已知AB＝CD，若使△ABC≌△DCB，则不能添加下列选项中的（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．BO＝CO
C．AO＝DO D．∠A＝∠D
4．如图，在边长为 的正方形 中， 是边 的中点， 是边 上的一个动点 不与 重合 ，以
线段 为边在正方形内作等边 ， 是边 的中点，连接 ，则在点 运动过程中， 的最
小值是（ ）A． B． C． D．
5．如图，点 为 的内心， ， ，点 ， 分别为 ， 上的点，且 ．
甲、乙、丙三人有如下判断：甲： ；乙：四边形 的面积为定值；丙：当 时，
的周长有最小值．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙错误
C．乙、丙都正确 D．只有丙错误
二、填空题
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；
②分别以E、F为圆心，以大于 EF的长为半径作弧，两弧相交于点P；
③作射线BP，交边AC于D点．
则点D到AB的距离为_______．
三、解答题
7．如图，在四边形 中，点 在边 上， ， ，作 交线段
于点 ，连接 ，求证： ．
