文档内容
牡丹江二中 2025—2026 学年度第一学期高一学年期中试题
数学
考生注意
1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域
内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，且 ，则 等于（ ）
A. －3 或－1 B. -3 C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可.
【详解】因为集合 ，且 ，
则 或 ，所以 或 ；
当 时， 不合题意舍；
当 时， 符合题意；
故选：B.
2. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，得 ，进而根据包含关系求解即可.
【详解】由 ，得 ，则 .
故选：A
第 1页/共 14页3. 设 ，则“ 且 ”是“ ”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的判定方法进行判定.
【详解】因为若“ 且 ”则“ ”成立；
但当“ ”时，“ 且 ”未必成立.比如“ ， ”时，“ ”成立，但“
且
”不成立.
所以“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
4. 若命题 p:“ ”.使命题 p 为假命题的实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】 为真命题，由根的判别式得到不等式，求出 ，得到答案.
【详解】 为真命题，
故需满足 ，解得 ，
故使命题 p 为假命题的实数 的取值范围为 .
故选：C
5. 已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 6 B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得 ，结合基本不等式计算即可.
第 2页/共 14页【详解】因为 ，所以
，
当且仅当 时取等号，即 时取等号，
所以 的最小值为
故选：B
6. 若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的解集可得参数的关系，代入所求不等式后可求其解集.
【详解】因为 的解集为 ，
故 且 为方程 的解.
故 ，故 ，
故不等式 即为 ，
故 ，故 ，
故不等式 解集为 ，
故选：C
7. 已知定义在 上的偶函数 ，且当 时， 单调递增，则关于 的不
等式 的解集是（ ）
第 3页/共 14页A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用偶函数性质可得 ，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可.
【详解】由题意，函数 是定义在 上的偶函数，
所以 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，
当 时， 单调递增，所以当 时， 单调递减，
关于 的不等式 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以原不等式解集为 .
故选：B
8. 已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数 的解析式，结合指数函数单调性分类讨论即可求解不等式的解集.
【详解】作出 图象如图所示.
第 4页/共 14页当 时， ， ，
所以 ， ，
所以 ，符合题意；
当 时， ， ，
所以 ， ，
所以 ，符合题意；
当 时， ， ，
，
令 得 ，解得 .
综上，不等式 的解集为 .
故选：C.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A 选项利用不等式的同向可加性即可判断；B 选项举反例可判断；C 选项利用反比例函数的单调性
第 5页/共 14页可判断；D 选项利用作差法比较大小即可.
【详解】对于 A 选项，由 可得 ，又 ，则有 ，故 A 正确；
对于 B 选项，因为 ， ，若 ， ， ， ，
此时 ， ，所以 ，故 B 错误；
对于 C 选项，因为 在 上单调递减，又 ，所以 ，故 C 正确；
对于 D 选项，由 ，则 ，即 ，
，即 ，所以 ，故 D 正确.
故选：ACD.
10. 已知函数 ，则下列关于函数 的结论正确的是（ ）
A. B. 若 ，则 x 的值是
C. 的解集为 D. 的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】将 代入 ，得 ，将 代入 ，可知 A 正确；分别在
和 的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断 BC 正误；分别在 和 的
情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知 D 正确.
【详解】对于 A，因为 ，则 ，
所以 ，故 A 正确；
对于 B，当 时， ，解得： （舍）；
当 时， ，解得： （舍）或 ；
的解为 ， 故 B 正确；
对于 C，当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
第 6页/共 14页的解集为 ，故 C 错误；
对于 D，当 时， ；
当 时， ；
的值域为 ， 故 D 正确.
故选：ABD.
11. 下列选项正确的是（ ）
A. 命题“ ”否定是“ ”．
B. 若函数 在定义域上为奇函数，则 ．
C. 函数 的最小值为 6
D. 函数 与 是相同的函数．
【答案】BD
【解析】
【分析】由命题否定定义判断 A 选项，由奇函数的定义列出等式求出 的值即可判断 B 选项，由基本不等
式判断 C 选项，由函数的定义判断 D 选项.
【详解】A 选项，命题“ ”否定是“ ”．故 A 选项错误.
B 选项，若函数定义域为 ，则 ，即 .当 时， ，
，函数 为奇函数，∴ .
若函数定义域为 ，则 ， .当 时， ，
，函数 为奇函数，∴ .
∴ ，B 选项正确.
第 7页/共 14页C 选项， ，当且仅当 ，即
时取等号，而方程 无解，故函数 取不到最小值 6，C 选项错误.
D 选项，由 ，即 ，且 ，
由 ，即 ，
故 与 的定义域相同，对应关系相同，故为同一个函数，D 选项正确.
故选：BD.
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若幂函数 的图象经过点 ，则函数 的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】将点 代入幂函数，求得幂函数 的解析式，再求函数 的定义域.
【详解】因为幂函数 的图象经过点 ，
所以 ，解得 ，
故函数 ，
所以函数
∴ ，
∴ .
∴函数的定义域为 .
故答案为： .
13. 计算 _______．
第 8页/共 14页【答案】
【解析】
【分析】直接利用有理指数幂的运算性质化简求值.
【详解】
故答案 ： .
14. 已知函数 且 ，若 在 上为减函数，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数单调性列出不等式，求解即可
【详解】当 时， 单调递减，此时 ，
若当 时， 单调递减，则 ，此时 ，
因为 在 R 上单调递减，所以 ，解得 ，又 ，所以 ．
故答案为： ．
四､解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤
15. 已知集合 ，
（1）当 时，求 ;
（2）若 ，求实数 的取值范围.
第 9页/共 14页【答案】（1） ; ; 或 ;
（2） 或 ，
【解析】
【分析】（1）利用交、并、补运算的定义求解即可；（2）分别讨论 和 不为空集两种情况，结合集合
关系求解即可.
【小问 1 详解】
当 时， ,
所以 ; ;
由于 或 ; 或 ;
所以 或 ;
【小问 2 详解】
由于 或 ;因为 ，
当 ,则 ,解得： ,此时满足 ，
当 不 空集时，要使 ，则 ，或 ，解得： 或 ，
综上：实数 的取值范围为 或 ，
16. 已知函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 .
【答案】（1）
（2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）分 和 两种情况讨论，结合一元二次不等式恒成立问题求解得答案；
（2）将不等式转化为 ，分 ， ， 三种情况讨论求解.
第 10页/共 14页【小问 1 详解】
因为 的解集为 ，
若 ，得 ，符合题意；
若 时，则 ，解得 ；
综上所述：实数 的取值范围是 .
【小问 2 详解】
由不等式 ，化简得 ，
即 ，其对应方程 的两根为 ，
当 ，即 时，不等式的解集为 或 ；
当 ，即 时，解集 R；
当 ，即 时，不等式的解集为 或 ；
综上所述：当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 R；
当 时，不等式的解集为 或 .
17. 已知定义在 上的偶函数 满足：当 时， .
（1）求 的解析式；
（2）求不等式 的解集.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设 ，由 时 的解析式及奇偶性，求出 时的 的解析式，即可得到
第 11页/共 14页的解析式；
（2）利用 是偶函数，将 转化为 ，再根据 在 上
单调性，继续转化为 ，将其两边同时平方后转化为一元二次不等式求解即可.
【小问 1 详解】
设 ，则 ，
因为当 时， ，所以 ，
因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，
所以 .
【小问 2 详解】
因为 是定义在 上的偶函数，且 ，
所以 .
又因为 在 上单调递增，
在 上也单调递增，
所以 在 上单调递增，
所以 ，两边同时平方可得 ，
即 ，即 ，解得 .
所以不等式 的解集为 .
18. 已知函数 ，
（1）用定义法证明函数 在区间 上是增函数；
第 12页/共 14页（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解，
（2）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.
【小问 1 详解】
证明：任取 ，且 ，
则
，
又 ，则 ，
所以 ，故 ，
得到 ，即 ，
所以函数 在区间 上是增函数．
【小问 2 详解】
因为函数 是定义在区间 上的增函数，由 ，
得到 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 或
19. 已知函数 ．
（1）当 时，求 的值域；
（2）若 在 恒成立，求实数 的范围
【答案】（1） ；
第 13页/共 14页（2） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用指数函数单调性，结合二次函数求出值域.
（2）将给定不等式作等价变形并分离参数，利用指数函数单调性，结合基本不等式求出最小值即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，
由 ，得 ，则 ，因此 ，
所以函数 的值域是 .
【小问 2 详解】
， ，
由（1）知， ，
，当且仅当 ，即 时取等号，则 ，
所以实数 的范围是 .
第 14页/共 14页
